(完整版)高中数学直线和圆知识点总结

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。

掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。

本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。

一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。

2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。

3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。

直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。

二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。

定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。

3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。

三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。

相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。

2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。

3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。

4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。

四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。

2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。

五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。

2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。

3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。

六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。

2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。

高二数学直线和圆的知识点【高二数学圆知识点总结】[word范
本]
一、定义
圆是由平移不变加平面上某一点为圆心，且距离圆心一定距离的点共同确定同一条直线(或折线)作圆弧组成的闭合图形。

二、特性
1、圆的轨迹是完全一致的，没有任何明显的断点，所以它是一个闭合图形；
2、圆形具有对称性，它具有所谓的镜面对称，可以把图形沿着圆心分成两个完全相等的部分；
3、圆上任意点，到圆心的距离均相等；
4、圆的半径和直径之间的关系是半径等于直径的一半。

三、特殊点
圆上可以定义出若干特殊的点，叫做圆上的点。

其中，最重要的一类点是圆心点、圆心与圆弧接触点、两圆心连线交点、半径线相交点等。

四、圆的标注方法
一般情况下，圆心一般用大写字母C表示，半径用小写字母R表示，圆的表达式一般以X²+Y²=R²的形式表示，也就是说圆的方程表示为：
(X-CX)²+(Y-CY)²=R²
五、应用
圆在工程中的运用非常的广泛，比如，圆弧表面用于设计机器的零件，圆柱体用于建筑，圆饼状结构用于制作各种接头，而圆形的外形还可以用于制作时钟、温度计等物件。

此外，还可用圆形计算距离、表示经纬度和绘制圆锥等等，在数学中，圆也有多种表示形式，比如双曲线、二度空间和三度空间等。

直线与圆方程知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则|P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则|P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是公式|P P |=12()()x x y y 212212-+-(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．P PP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角)当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角) (3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0)(2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx ＋b(3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：(4)截距式 已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：(5)参数式 已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2k =y (x x )212--y x x 121≠y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠x a y b +=1则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)．(7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 24．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B C C 121212=一般方程时，A A B B C C 121212==当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A A B B =0⎧⎨⎩Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l 点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间6．直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：的距离为：．d =|C C |12-+A B 22求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标；②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}；A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222n n n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0；④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求截距：③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y 配方()()x D y E D E F +++=+-22442222当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则5．求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 过两个切点的切点弦方程．当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D E D E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔d Aa Bb C A B =+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y 22②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+1(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔。

高中数学必修2知识点——直线与圆整理徐福扬一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直tan k α=线与轴的倾斜程度。

当时，； 当时，； 当时，[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=α不存在。

k ②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不21x x =存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b b kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y ab+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴l x (,0)a y (0,)b l x y 的截距分别为。

,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：b y =（a 为常数）；a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）0000=++C y B x A 00,B A 的直线系：（C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点()00x x k y y -=-；()00,y x （ⅱ）过两条直线，的0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l 系中。

高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。

掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。

本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。

一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。

直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。

2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。

4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。

二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。

判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。

三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。

2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。

若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。

切线方程可以使用直线方程得出。

圆与直线知识点总结一、圆的基本概念圆是平面上与一个给定点距离相等的点的集合。

这个给定点叫做圆心，与圆心距离相等的距离叫做半径。

圆通常用“O”表示圆心，“r”表示半径。

如果圆心为坐标原点(0,0)，那么圆的方程可以表示为x²+y²=r²。

圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，其长度为圆的半径的两倍，可以表示为d=2r。

圆的常见性质：1. 圆的周长：圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示。

圆的周长可以用圆的直径或者半径表示。

圆的周长公式为：C=2πr或者C=πd。

其中π是一个无限不循环小数，它约等于3.14159。

2. 圆的面积：圆的面积叫做圆的面积，通常用S表示。

圆的面积公式为S=πr²。

3. 圆的弧长与扇形面积：圆的一部分叫做弧，连接两个圆周上的点的线段叫做弦，弧与弦所夹的部分叫做扇形。

弧的长度叫做圆的弧长，可以表示为l=α/180°×πr。

扇形的面积可以表示为S=1/2r²θ。

二、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的相交：直线与圆的位置关系主要有相交、外切、内切和相离四种情况。

直线与圆相交的情况有两点相交和两点重合两种情况。

2. 判别方法：通过解析几何的方法可以判别直线与圆的位置关系。

设直线的方程为y=kx+b，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，通过联立直线方程与圆的方程，可以求解直线与圆的交点。

根据交点的数量和位置可以判断直线与圆的位置关系。

三、圆与直线的解析几何1. 直线的方程：直线的方程通常用一般式、点斜式、斜截式等形式表示。

一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。

点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中k是斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。

斜截式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

2. 圆的方程：圆的方程通常用标准方程和一般方程表示。

标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0。

高二数学直线与圆的知识点及公式直线和圆是高二数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。

本文将介绍直线和圆的基本概念、性质以及相关的公式。

一、直线的知识点直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点。

在直线上可以确定无数个点，其中有一些特殊的点和直线的性质需要我们了解。

1. 直线的斜率直线的斜率是直线的重要性质之一，它表示了直线上各个点的变化率。

直线的斜率可以用以下公式表示：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上两个不同的点的坐标。

2. 直线的截距直线的截距也是直线的一个重要性质，它表示了直线与坐标轴的交点位置。

设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线的截距可以用以下公式表示：x轴截距a = -y轴截距b = -c / b其中，c是直线的常数项。

3. 直线的方程直线可以由点斜式、一般式和截距式等不同的方程表示。

根据直线上已知的条件，我们可以选择适当的方程形式来表示直线。

下面是直线方程的一般形式：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，代表直线的斜率和截距。

二、圆的知识点圆是由平面内到一个固定点距离相等的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，距离称为半径。

圆的性质和相关公式如下：1. 圆的方程圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点处于圆上的一条线段。

圆的直径长度等于半径的2倍。

3. 圆的弦圆上任意两点之间所形成的线段称为圆的弦。

圆的直径是圆的一个特殊的弦，它同时也是最长的弦。

4. 圆的切线圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。

切线和圆的半径垂直。

5. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度 ×半径而圆的扇形面积则可以用以下公式计算：扇形面积 = 弧度 ×半径² / 2三、综合运用直线和圆在几何学和代数学中的运用非常广泛。

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率（前提是斜率都存在）21k k ≠ 特例----垂直时：<1> ；0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即 <2> 斜率都存在时： 。

121-=∙k k ②平行：<1> 斜率都存在时：；2121,b b k k ≠= <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：；2121,b b k k ==二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式： 将已知点直接带入即可；)(00x x k y y -=-k y x 与斜率),(00 ②斜截式： 将已知截距直接带入即可；b kx y +=k b 与斜率),0( ③两点式： 将已知两点直),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中),(),,(2211y x y x 接带入即可；④截距式：将已知截距坐标直接带入即可；1=+bya x ),0(),0,(b a ⑤一般式： ，其中A 、B 不同时为00=++C By Ax 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA CC d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点： ),(00y x )2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点： 靠近A 的三分点坐标),(),,(2211t s t s )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。

- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。

- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。

2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。

设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。

设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。

将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。

4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线与圆一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围[)π,0。

如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k≠--=；3．直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．应用：证明三点共线：AB BC k k =。

如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy的最大值、最小值分别为______三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x轴的直线。

2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

高三直线与圆的知识点直线与圆是高中数学中一个重要的几何学知识点。

本文将对高三学生在学习直线与圆相关内容时需要掌握的知识点进行详细介绍。

一、直线与圆的基本概念在几何学中，直线与圆是最基本的图形。

直线是无限延伸的、宽度可以忽略不计的一维图形，用两个端点确定；圆是平面上一组与一个给定点的距离相等的点的集合，该给定点称为圆心。

二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系有三种情况：（1）直线与圆相交：直线与圆相交于两个不同的点。

（2）直线与圆相切：直线与圆相切于圆上的一个点。

（3）直线与圆相离：直线与圆没有公共的点。

2. 判断直线与圆的位置关系的方法：（1）利用勾股定理：设圆的圆心为O，直线上任意一点为A，则直线上的点到圆心的距离等于圆的半径r，即OA²=r²。

（2）利用判别式：设圆的圆心为O(x0,y0)，半径为r，直线的方程为Ax+By+C=0，则直线与圆的位置关系可以用判别式D=|Ax0+By0+C|²-(A²+B²)(x0²+y0²-r²)来判断。

当D>0时，直线与圆相交；当D=0时，直线与圆相切；当D<0时，直线与圆相离。

三、直线与圆的性质1. 直线的性质：（1）直线的斜率：直线的斜率定义为直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。

（2）直线的截距：过直线上任意一点的垂直线与坐标轴的交点称为直线的截距。

直线的截距有x截距和y截距两种形式。

2. 圆的性质：（1）圆的周长：圆的周长等于半径乘以2π。

（2）圆的面积：圆的面积等于半径平方乘以π。

四、直线与圆的问题求解在学习直线与圆的知识时，常常需要解决与其相关的问题。

下面介绍几类常见的问题及求解方法：1. 直线与圆的交点问题：（1）已知直线与圆的方程，求交点坐标。

（2）已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程。

2. 直线与圆的切线问题：（1）已知直线与圆的位置关系为相切，求切点坐标及切线方程。

数学直线圆知识点总结一、直线的定义和性质直线是由无数个点组成的一条无限延伸的几何图形，它具有以下几个重要的性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。

这是直线的基本性质，也是它和其他几何图形的最大区别之一。

2. 直线上的任意一点都只有一个坐标。

在数学坐标系中，直线上的任意一点可以通过一个坐标来唯一确定。

3. 直线可以分为有限直线和无限直线。

有限直线是指有两个端点的直线，而无限直线是指没有端点的直线。

4. 直线的斜率是直线的一个重要性质。

斜率可以用来描述直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。

5. 直线可以通过方程来表示。

在数学中，我们通常使用一般式方程、点斜式方程或截距式方程来表示直线。

二、圆的定义和性质圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离等于一个常数的全部点构成的集合，它具有以下几个重要的性质：1. 圆的直径是圆的一个重要性质。

直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，它的长度恰好等于圆的半径的两倍。

2. 圆的周长是圆的另一个重要性质。

圆的周长等于两倍的π乘以半径，即C=2πr。

3. 圆的面积是圆的重要性质之一。

圆的面积等于π乘以半径的平方，即A=πr^2。

4. 圆的切线是圆的一个重要性质。

切线是与圆相切的一条直线，它的斜率恰好等于圆的半径。

5. 圆可以通过方程来表示。

在数学中，我们通常使用标准方程或一般方程来表示圆。

三、直线和圆的相关知识直线和圆作为数学中最基本的图形之一，它们之间有着许多重要的关系和性质，下面我们来总结一下它们的相关知识点：1. 直线与圆的位置关系。

直线与圆可以有三种不同的位置关系，即相离、相切和相交。

当直线与圆没有任何公共点时，它们是相离的；当直线与圆有且仅有一个公共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个公共点时，它们是相交的。

2. 直线与圆的相交性质。

如果直线与圆相交，那么它们会有两个交点；如果直线经过圆，那么它们会有两个共同的交点，即切点；如果直线和圆只有一个交点，那么它们是相切的。

直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈(1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；(2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞;当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程(1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式:y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (4）截距式：1x y a b+= （5）一般式：0C =++By Ax3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y之间的距离：12PP =(2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离:d =（3）平行线间的距离:10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交:12k k ≠平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合:1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l )二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=(0R >）（2)一般式:220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1)点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系:当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系:判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点)；3．圆和圆的位置关系 判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系 当12d R R >+时,两圆相离,有4条公切线；当12d R R =+时,两圆外切，有3条公切线;当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切,有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =。

第七章 直线和圆知识总结一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围[)π,0。

如 二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3．直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有4．应用：证明三点共线： AB BC k k =。

三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5．一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

如 四．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；2．知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

直线与圆知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 21x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.（2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；（3）垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D 2＋E 2－4F 的符号，只有大于0时才表示圆．若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：（1）当F ＝0时，圆过原点．（2）当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上．（3）当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点．（4）当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①代数法――――――――――――――――联立方程得方程组消去x 或y得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离②几何法――――――――――――圆心到直线的距离为d半径为r＜r ⇔相交＝r ⇔相切＞r ⇔相离2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.（3）切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar d.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.（2）代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k ＝tan α的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 22、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2· x A ＋x B 2－4x A x B ＝1＋1k2y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |，八、求过一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。