3.1.1直线的倾斜角与斜率(教学设计)

3.1.1直线的倾斜角与斜率-教案解析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直线的倾斜角与斜率●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？⇒引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)直线的倾斜角1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能．2．在平面直角坐标系中，过定点P (2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】 不同． 1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．直线的斜率与倾斜角的关系如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？ 【提示】 不同，因为32≠22.2．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？【提示】 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)0k>0不存在k<0过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1 x2－x1(x1≠x2).直线的倾斜角的理解转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°【思路探究】画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．【自主解答】根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.【答案】 D1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.【答案】 D求直线的斜率(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．【思路探究】依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．【自主解答】(1)直线的斜率k＝3－0－2－(－3)＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求直线AB 斜率和倾斜角的步骤： (1)当x 1＝x 2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x 1≠x 2时，直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，倾斜角α利用k ＝tan α求得．已知直线l 经过两点M (－2，m )，N (m,4)，若直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．【解】 由直线l 的倾斜角为45°，可知直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又直线l 经过两点M (－2，m )，N (m,4)， 故k ＝4－m m ＋2.由4－mm ＋2＝1得m ＝1.斜率与倾斜角的应用1122,3三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角已知可以求出其斜率且P 1、P 2、P 3均在直线l 上，故任两点的斜率均等于直线l 的斜率，从而可以解出x 2，y 1的值．【自主解答】 ∵α＝45°， ∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上， ∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k .∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解之得：x 2＝7，y 1＝0.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 【解】 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74.∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .即1－m 4＝74，∴m＝－6.因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在．【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1应注意的问题：(1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1．下图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )图3－1－1A ．①B ．①②C ．①③D ．②④ 【解析】 结合直线l 的倾斜角的概念可知①③可以，选C. 【答案】 C2．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33 B. 3 C ．1 D.22【解析】 由题意可知，k ＝tan 30°＝33. 【答案】 A3．已知A (2,3)、B (－1,4)，则直线AB 的斜率是________． 【解析】 直线AB 的斜率k ＝4－3－1－2＝－13.【答案】 －134．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，求实数a 的值．【解】 ∵A 、B 、C 三点共线，且3≠－2， ∴BC 的斜率存在，∴AB 的斜率存在，且k AB ＝k BC ， ∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75，∴53－a＝9a ＋75，∴25＝27a ＋21－9a 2－7a ， 即9a 2－20a ＋4＝0， 解得a＝2或a＝29.一、选择题图3－1－21．如图3－1－2，直线l 的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．0° D ．不存在【解析】 由图可知，直线l 的倾斜角为45°＋90°＝135°. 【答案】 B2．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)过点M (－3，2)、N (－2，3)的直线的斜率是( )A ．1B ．－1C ．2 D.32 【解析】 过点M 、N 的直线的斜率k ＝3－2－2＋3＝－1.【答案】 B4．若图3－1－3中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有( )图3－1－3A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 3<k 1C ．k 1<k 3<k 2D ．k 2<k 1<k 3【解析】 设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k 1<0<k 3<k 2.【答案】 C5．下列各组中的三点共线的是( ) A ．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B ．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) C ．(1,0)，(0，－13)，(7,2)D ．(0,0)，(2,4)，(－1,3)【解析】 对于A ，∵4－21－(－1)≠5－23＋(－1)，故三点不共线；对于B ，∵6－(－5)7－(－2)≠3－6－5－7，故三点不共线；对于C ，∵－13－00－1＝2－(－13)7，故三点共线；对于D ，∵4－02－0≠3－0－1－0，故三点不共线．【答案】 C 二、填空题6．斜率的绝对值等于3的直线的倾斜角为________．【解析】 设直线的倾斜角为α，由题意可知tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 【答案】 60°或120°7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．【解析】 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P ( m,0)，则0－2m －1＝－1，若P 点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得m ＝n ＝3，故P 点坐标为(3,0)或(0,3)．【答案】 (3,0)或(0,3) 8．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°； ③若A (1，－3)、B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点； ⑤若直线的斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．所有正确命题的序号是________．【解析】 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故错误； ②当倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故正确； ③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确； ④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，所以直线必过(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误．【答案】 ②③④ 三、解答题9．如图3－1－4所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率．图3－1－4【解】 l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率为k 2＝tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 10．在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线： (1)直线l 1过原点，斜率为1； (2)直线l 2过点(3,0)，斜率为－23；(3)直线l 3过点(－3,0)，斜率为－23；(4)直线l 4过点(－3,0)，斜率为23.【解】 (1)设A (x 1，y 1)是直线l 1上一点，根据斜率公式有1＝y 1－0x 1－0，即x 1＝y 1，令x 1＝y 1＝1，则直线l 1过原点及点A (1,1)两点．(2)同理，设B (x 2，y 2)是直线l 2上一点，则－23＝0－y 23－x 2，即y 2＝2－23x 2，令x 2＝0，得y 2＝2，所以直线l 2过点(3,0)及点B (0,2)．(3)同理可知，直线l 3过点(－3,0)及(0，－2)． (4)同理可知，直线l 4过点(－3,0)及(0,2)． 四条直线的图象如图所示．11．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 【解】 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0.k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示．设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k的取值范围为[33，3].(教师用书独具)过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路探究】 画图――→斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1倾斜角α的取值范围――→斜率定义k ＝tan α斜率k 的取值范围 【自主解答】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．直线l 过点M ，斜率变化时，可以理解为直线l 绕定点M 旋转，使直线l 与线段AB 的公共点P 从端点A 运动到端点B ，直线l 的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)、B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 根据题中的条件可画出图形，如图所示： 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为[43，＋∞)；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角．故斜率的变化范围是(－∞，－32]，综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－32]∪[43，＋∞)．。

直线的倾斜角和斜率教学设计教学设计：直线的倾斜角和斜率一、教学目标：1.知识目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，能够计算直线的斜率。

2.能力目标：能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣和积极参与数学学习的态度。

二、教学内容：1.直线的倾斜角和斜率的概念介绍。

2.直线的斜率的计算方法。

3.直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）让学生观察一些直线的图片，引导学生思考直线的特征和性质。

然后提出问题：“如何刻画直线的倾斜程度？”进一步引导学生思考斜率的概念。

2.概念讲解（10分钟）介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并进行示例说明。

通过几个具体图例，让学生理解倾斜角和斜率的计算方法。

3.斜率计算练习（15分钟）在黑板上给出几组直线的坐标，让学生自行计算斜率。

然后互相交流答案，老师给予必要的指导和讲解。

4.斜率的性质探究（10分钟）在黑板上给出不同的两条直线，让学生分别计算斜率并进行比较，引导学生发现两条平行线的斜率相等，两条垂直线的斜率的乘积为-15.应用实例探讨（20分钟）以实际问题为例，引导学生应用倾斜角和斜率的概念计算问题。

例如，计算两个点之间的坡度、判断两个线段的交叉情况等。

6.巩固练习（15分钟）提供一些练习题，要求学生计算直线的斜率，并在给出的坐标系中绘制这些直线。

让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固对倾斜角和斜率的理解和计算能力。

7.拓展应用（15分钟）让学生从生活实际中寻找更多的与斜率相关的问题，并用倾斜角和斜率的概念解决这些问题。

鼓励学生讨论和分享解决思路，加深对知识的理解和应用能力。

8.知识总结（5分钟）让学生自主总结直线的倾斜角和斜率的关系，并展示自己的总结。

教师进行点评和补充说明。

四、课堂训练：借助数字资源软件或练习册等材料，布置适量的作业题目，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的理解和应用。

五、教学反思：本教学设计通过多种方式引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，并加以实际问题的应用，既注重了学生的思维能力培养，又培养了学生对数学的兴趣和动手能力。

直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 让学生掌握直线的斜率计算公式，能够计算直线的斜率。

3. 让学生了解直线的倾斜角与斜率之间的关系，能够运用关系解决问题。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率计算公式，直线的倾斜角与斜率之间的关系。

2. 教学难点：直线的倾斜角与斜率之间的关系的运用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。

2. 利用数形结合法，让学生在几何图形中观察和理解直线的倾斜角与斜率。

3. 运用实例分析法，让学生通过实际问题运用直线的倾斜角与斜率之间的关系。

四、教学准备：1. 教学课件：直线的倾斜角与斜率的定义及计算公式。

2. 教学素材：几何图形、实际问题。

3. 教学工具：黑板、粉笔、直尺、圆规。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平面几何中直线的基本概念，引导学生进入直线的倾斜角与斜率的学习。

2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解如何求直线的倾斜角。

3. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率计算公式，讲解如何计算直线的斜率。

4. 探究直线的倾斜角与斜率之间的关系：引导学生通过几何图形和实际问题，探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。

5. 巩固知识：通过实例分析，让学生运用直线的倾斜角与斜率之间的关系解决问题。

6. 课堂小结：总结直线的倾斜角与斜率的概念、计算方法和关系。

7. 布置作业：布置有关直线的倾斜角与斜率的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了直线的倾斜角与斜率的概念和计算方法，以及是否能够运用关系解决问题。

如有问题，要及时调整教学方法，提高教学质量。

七、课时安排：本节课安排2课时，第一课时讲解直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法，第二课时讲解直线的倾斜角与斜率之间的关系和巩固知识。

八、教学评价：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对直线的倾斜角与斜率的掌握程度。

第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率教案 A第1课时教学内容：3.1.1 倾斜角与斜率教学目标一、知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.二、过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.三、情感、态度与价值观1.通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；2.通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学难点：斜率的计算方法.教学关键：直线斜率的两种计算方法.教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.教法与学法导航教学方法：启发、引导、讨论.学习方法：探究、思考、讨论、练习.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.教学过程详见下页表格.教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题．概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0α=o.教师提问：倾斜角α的取值范围是什么？0°≤α＜180°当直线l与x轴垂直时90α=o（由学生结合图形回答）概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角α相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tankα=.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在.例如α= 45°时，k = tan45°= 1；α= 135°时，k = tan135°= –1 .教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k = tan0°= 0.（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？α= 90°，k不存在.设疑激发学生思考得出结论．yabcxO续上表概念形成3．直线的斜率公式2121.y ykx x-=-对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角α= 0°，直线与x轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.教师提出问题：给定两点P1 （x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.应用举例例1已知A （3，2），B（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）【分析】已知两点坐标，而且x1≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；而当tan0kα=<时，倾斜角α是钝角；而当tan0kα=>时，倾斜角α是锐角；而当tan0kα==时，倾斜角α是0°.学生分析求解，教师板书例1 略解：直线AB的斜率k1= 1/7＞0，所以它的倾斜角α是锐角.直线BC的斜率k2=–0.5＜0，所以它的倾斜角α是钝角.通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a ，b ，c ，1.【分析】要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另个一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定；或者k = ta n α=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x 轴的正半轴为角的一边，在x 轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.例2 略解：设直线a 上的另一个点M 的坐标为（x ，y ），根据斜率公式有1 = （y – 0）/（x – 0），所以 x = y .可令x = 1，则y = 1，于是点M 的坐标为（1，1）.此时过原点和点M （1，1），可作直线a .同理，可作直线b ，c ，1.（用计算机作动画演示画直线过程）小结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.（2）直线的斜率公式.师生共同总结交流完善.引导学生学会自己总结.课堂作业1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）； （3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2）【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90°； （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0°. 2. 已知点P (3,1)-，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为 .【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为（0，b ）直线PQ 的斜率k = tan120°= 3-， ∴30(3)k ==--- ， ∴b = –2，即Q 点坐标为(02)-，.第2课时教学内容：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定教学目标一、知识与技能1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.二、过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，提高运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．三、情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，获得成功感觉；同学合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．教学重点、难点教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学关键：理解并掌握判断两直线平行和垂直的方法.教学突破方法：结合图形探究两直线平行和垂直时二者斜率的关系，并从这种关系的内涵和外延两个方面强化学生对此结论的理解.对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教法与学法导航教学方法：以实验探究的教学方法为主，具体以实例展示法、多媒体演示法、分析讨论法、问题教学法和练习巩固法展开教学活动.学习方法：以探究理解学习方法为主，自主学习，自我反馈，渐进式提高.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案），资料图片.学生准备：直线的倾斜角与斜率的概念及联系.教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的计算公式.现在，我们来研究通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．师：解析几何的本质是什么？生：用代数的方法研究几何图形的位置关系.设疑激趣导入课题续上表师生互动探究新知1.先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．师生互动探究新知2.两条直线的斜率都存在时，两直线的平行.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.问题: 两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系?结论1: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1=k2.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2，那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体，让学生通过观察度量，感知α1，α2的关系）因为tanα1=tanα2 即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tanα1=tanα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．通过这种师生互动引导学生明确两条直线平行的判定方法续上表师生互动探究新知3.下面我们研究两条直线的斜率都存在时，两直线的垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k kk⊥⇔=-⇔=-注意: 结论成立的条件，即如果k1·k2=-1，那么一定有21ll⊥；反之则不一定.设α2＜α1（如下图），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0，1221tan tan(90)tanααα∴=︒+=-，即211kk-=或121-=kk.反过来，如果211kk-=或121-=kk.不失一般性，设k1<0，k2>0，那么1221tan tan(90)tanααα∴=-=︒+可以推出: α1=90°+α2．即21ll⊥．借助多媒体演示让学生经历两条直线垂直的判定结论的推导.续上表应用举例例1（1）已知直线1l经过点M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？（2）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？例2 已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．例1【解析】（1）∵MNk=0(6)13(15)2--=---，531220(2)2RSk-==--，∴1l//2l．（2）∵1tan451k=︒=，26(1)13(2)k---==---，121k k=-，∴1l⊥2l．例2 【解析】设D（x，y），则CD ABk k⊥，BC ADk k=．∴(3)2113212(3)1231yxyx---⎧⨯=-⎪⎪--⎨---⎪=⎪--⎩，即,56,y xx y=-⎧⎨+=⎩解得3,23,2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴D（33,22-）.通过实例熟练对两条直线平行和垂直的判定.小结1.知识小结（1）两条直线平行或垂直的判定方法.（2）注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.2.思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.师生共同总结交流完善.引导学生学会自己总结.xyo．BACD课堂作业1.如果直线l 1的斜率为a ，且21l l ⊥ ，则直线l 2的斜率为（ ）. A .a 1 B . a C . a 1- D . a1-或不存在 答案：选D .2. 若过点A （2，-2），B （5，0）的直线与过点P （2m ，1）Q （-1，-m ）的直线平行，则m 的值为（ ）．A . -1B . 1C . 2D .21答案：选B ．3.已知点M （2，2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，则点P 的坐标为（ ）．答案：（1，0），（6，0）．教案 B第1课时教学内容：3.1.1 倾斜角和斜率 教学目标一、知识和技能目标1. 了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念；2. 理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 二、过程和方法目标掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法，会实现直线方程的各种形式之间的互化.三、情感、态度与价值观目标发展观察、探索能力，运用数学语言表达能力；进一步理解数形结合思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 教学重点直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 教学难点斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式. 教学过程1．创设情景，揭示课题（1）简述本章研究什么？怎样研究？（2）问题探究：我们知道， 经过两点有且只有一条直线. 那么， 在平面直角坐xy aCbxy acbP标系中，经过一点P 的直线l 的位置由哪些条件确定？如图， 过一点P 可以作无数多条直线a ，b ，c ，…，易见这些直线的共同特点是：都经过同一点P ，那么，它们的不同点是什么？学生交流讨论，发表见解：它们的‘倾斜程度’不同. 教师提出：怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念.2．直线的倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时， 取x 轴作为基准， x 轴正向与直线λ向上方向之间所成的角α叫做直线λ的倾斜角．．．. 特别地，当直线λ与x 轴平行或重合时， 规定α= 0°.观察下图直线l 1，l 2，l 3的倾斜角是怎样的？由此回答直线的倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线λ与x 轴垂直时， α= 90°.教师强调：平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度， 引入直线的倾斜角之后， 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.思考1：如上图， 直线a ∥b ∥c ， 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P 和一个倾斜角．．．．．．α.二者缺一不可.思考2：生活中的“倾斜程度”通常用什么量表示？引导学生讨论交流，举例.如道路的坡度等，使学生理解生活中坡度的意义：升高前进α坡度（比）=升高量/前进量如果我们使用“倾斜角”这个概念，这里的“坡度”实际是“倾斜角α的正切值”. 3．直线的斜率（1）一条直线的倾斜角α （α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率（slope ），斜率常用小写字母k 表示，也就是k = tan .α当直线λ与x 轴平行或重合时， α=0°， k = tan0°=0; 当直线λ与x 轴垂直时， α= 90°， k 不存在.由此可知， 一条直线λ的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在. 例如， α=45°时， k = tan45°= 1.4．利用信息技术获得直线的倾斜角和直线的斜率的关系观察上图直线的倾斜角和斜率之间的关系：由于知识的原因，学生不能通过正切值获得直线的倾斜角和斜率之间的关系，因此教学中通过信息技术演示操作（如《几何画板》）获得直线的倾斜角和斜率的关系.（如上图）可以清楚看到： 当οο900<<α时，直线的斜率k 是正数；当οο18090<<α时，直线的斜率k 是负数.思考3：两点确定一条直线，那么给定两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），x 1≠x 2，如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率?xyαOP 2P 15．探究并推导直线斜率的两点式公式可用计算机作动画演示: 直线P 1P 2的四种情况（如下图）， 并引导学生通过作辅助线，共同完成斜率公式的推导.斜率公式:2121.y ykx x-=-对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，直线与x 轴垂直；（2）k值的大小与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换;（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;（4）当y1=y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.6．应用举例例1直线过点A（－2，0），B（－5，3），求直线AB的斜率.【解析】k＝（3－0）/[（－5）－（－2）]＝－1，又α∈［0°，180°），∴α＝135°.因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°变式：m为何值时，经过两点A（m，0），B（－5，1－m）的直线AB的斜率是－1？【分析】101 2.5mmm--=-⇒=---例2分别在下列条件求直线的倾斜角和斜率.（1）直线l的倾斜角α的正弦值是1/2；（2）直线l的方向向量(→=-v.【分析】⑴由已知条件求出直线的倾斜角α，再来求直线的斜率．注意到α∈[0，π），而sinα= 1/2，因此求角时，要分α为锐角与钝角来求. ⑵抓住直线P 1P 2的方向向量21P P 的坐标是（x 2－x 1，y 2－y 1），其中P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）与过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式的结构关系来求.【解析】⑴∵α∈[0，π），又sin α= 1/2．∴α为锐角时，α＝π/6；α为钝角时，α＝5π/6. 当α＝π/6时，斜率k ＝tanπ/6 ＝3/3； 当α＝5π/6时，斜率k ＝tan5π/6 ＝－3/3.⑵∵直线l 的方向向量(→=-v ，∴直线l 的斜率3/3-=k ，故倾斜角α＝5π/6. 6. 课后作业P86练习：1，2，3，4；P89习题3.1A 组：1，2，3，4，5.第2课时教学内容：3.1.2 两条直线的平行与垂直 教学目标一、知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 二、过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题. 三、情感、态度和价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣，欣赏解析几何的代数抽象美． 教学重点、难点教学重点：熟练掌握两条直线平行和垂直的条件． 教学难点：研究两条直线的平行或垂直问题的判断． 教学方法引导、启发、讨论，练习. 教学过程一、创设情景，导入课题复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x 轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式．现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．二、师生互动，探究新知1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2. 两条直线的斜率都存在时，两直线的平行设直线 l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2．我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线， 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l 1∥l 2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体， 让学生通过观察度量， 感知α1， α2的关系） 因为tan α1=tan α2 即 k 1=k 2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k 1=k 2，那么tan α1=tan α2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l 1∥l 2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l 1∥l 2，k 1=k 2.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2， 那么一定有l 1∥l 2; 反之则不一定.3. 两条直线的斜率都存在时， 两直线的垂直 下面我们研究两条直线垂直的情形．如果21l l ，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1（如下图），甲图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上方；乙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴下方；丙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l 1、l 2的斜率分别是k 1、k 2，即α1≠90°，所以α2≠0°．1221tan tan(90)tanααα∴=︒+=-，即211k k -=或121-=k k . 反过来，如果211k k -=或121-=k k . 不失一般性，设k 1<0， k 2>0，那么 1221tan tan(90)tan ααα∴=-=︒+ 可以推出: α1=90°+α2． 即21l l ⊥．结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=-注意: 结论成立的条件. 即如果k 1·k 2 = -1， 那么一定有21l l ⊥；反之则不一定. 三、概念辨析，巩固提高 例 1 已知A （2，3）， B （-4，0）， P （-3，1）， Q （-1，2）， 试判断直线BA 与PQ 的位置关系， 并证明你的结论.分析: 借助媒体动画展示， 通过观察猜想:BA ∥PQ ， 再通过计算加以验证.（图略）【解析】：直线BA 的斜率k 1=21)4(203=---，直线PQ 的斜率k 2=21)3(112=----，因为 k 1=k 2=21，所以 直线BA ∥PQ . 例2 四边形ABCD的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.【解析】AB边所在直线的斜率AB k ==，CD边所在直线的斜率CD k ==， BC 边所在直线的斜率BC k =，DA 边所在直线的斜率DA k ==因为,AB CD BC DA k k k k ==，所以AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形.又因为1)2(22-=-⨯=⋅BC AB k k ，所以AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形. 例 3 已知A （-6，0）， B （3，6）， P （0，3）， Q （-2，6）， 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.【解析】直线AB 的斜率32)6(3061=---=k ， 直线PQ 的斜率23)02361-=---=k ，因为k 1·k 2=-1 所以 AB ⊥PQ .例4 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标． 【解析】设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵ ,AC BH AB CH ⊥⊥，∴ 11AC BH AB CH k k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，， 即 31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，，解之得：1962.x y =-⎧⎨=-⎩，∴ A 的坐标为(19,62)--.四、小结1.知识和技能（1）两条直线平行或垂直的判定方法.（2）注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.2.思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.五、作业P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8.B组：3，4.。

3.1.1直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

理解直线倾斜角的唯一性。

理解直线斜率的存在性。

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。

从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。

在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。

直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。

进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。

为后续的学习探究“埋好暗线”。

2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。

三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。

观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。

【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。

3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时）一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析1．三维目标1、知识与技能：（1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。

2、过程与方法：（1）结合实际，用实际问题带动数学学习；（2）思维训练，借助图像帮助理解。

3、情感态度与价值观：认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。

2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。

3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。

三、问题诊断与分析1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。

2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。

3.探究直线倾斜角与斜率变化关系是本节的另一个难点，教学中可以采用从特殊到一般的思想方法，先让学生观察特殊角的正切值表，发现并总结规律，随后利用几何画板展示直线倾斜角与斜率的变化过程，拓展到一般情况，加强学生思维训练，同时让学生感受到数学的自然性。

§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。

“万事开头难”, “好的开始是成功的一半”, 解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现, 因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念, 还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度, 倾斜角用几何位置关系刻画, 斜率从数量关系刻画, 二者的联系桥梁是正切函数值, 并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程, 体现了坐标法的基本思想: 把几何问题代数化, 通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念, 它主要起过渡作用, 是联系新旧知识的纽带, 研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念, 不仅其建立过程很好地体现了解析法, 而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用, 这是因为在直角坐标系下, 确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率, 其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上, 从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑, 斜率概念是本课时的核心概念。

（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用随着后续内容的学习, 我们逐渐发现, 一点和倾斜程度确定直线的很多应用: 直线的方向向量、直线的参数方程等等。

另外, 从加强知识内容的联系性, 从不同角度看待同一数学内容的角度看, 如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型, 那么从变化的角度看, 直线是线性的, 它描述的是均匀变化, 是最简单的变化之一。

即直线在某个区间上的平均变化率, 与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的, 都等于这条直线的斜率。

一切不均匀的变化或者非线性的变化, 在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。

这也是为什么用线性的研究非线性的, 以直代曲, 用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。