3.1.1倾斜角与斜率教案.pdf

直线的倾斜角与斜率杨兵一、教材分析1．教材的地位直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐标法〔解析法〕的方式来研究直线及其几何性质的根底。

本课有着开启全章，承前启后，奠定基调，渗透方法的作用。

2．教学目标知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率计算公式。

过程与方法：引导学生观察、探索、合作探究、发现，培养学生的探索创新能力和合作意识。

情感、态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。

并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程。

二、教学重点、难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式；难点：对直线倾斜角以及斜率的理解；三、教学过程1．创设情景，形成概念问题1：过一点能确定一条直线吗？问题2：这些直线有怎样的区别？怎样准确的表示它们的区别呢？2.〔1〕直线倾斜角的定义：直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角．(2)直线倾斜角的范围：0︒≤α<180︒【设计意图】让学生了解到除了两点能确定一条直线的位置外，一个点和方向也能确定一条直线的位置。

学生了解倾斜角的概念，并发现倾斜角的取值范围3．发现问题，探索新知通过上面的学习，我们知道倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，那么我们在还学习过什么量可以表达倾斜程度呢？斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)，常用小写字母k表示；α=ktan【设计意图】通过这个问题让学生意识到可以用角的正切值来表示坡度，从而让学生理解：用倾斜角的正切值来表示直线的倾斜程度，也就是斜率。

4.深入探究，加深理解〔1〕发现直线斜率随着倾斜角的变化会怎么样变化。

是不是每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？〔2〕由正切函数的图像，引导学生得到倾斜角与斜率的图像。

进一步探究斜率k和倾斜角α的关系请根据斜率k和倾斜角α的关系完成以下填空：〔3〕应用探究在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1的直线，【设计意图】及时稳固斜率k和倾斜角α的关系式，进一步明确确定一条直线的两个几何要素：点和倾斜角。

张喜林制[3. 1.1 直线的倾斜角与斜率【学习目标 】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题.【教学重难点】重点：倾斜角与斜率的概念难点：直线的斜率与倾斜角的关系【教学过程】一、课前准备（预习教材 82P ~ 86P ，找出疑惑之处）复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢? 复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、新课导学探究点一：①倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination ）.发现：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与轴x 平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度..思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系一条直线的倾斜角 α () 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k= tan .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 （1）α=0°时，则k （2）0°<α< 90°,则k （3）α= 90°，,则k（4）90 °<α< 180°，则k③ 已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)的直线的斜率公式：1212x x y y k --=.探究任务二：1.已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于 y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？ 三、典型例题分析例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴ 。

课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。

在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。

这是解析几何的创始。

新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。

引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。

3.1.1倾斜角与斜率课标要求1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．核心扫描1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)新知探究新知导学1．倾斜角的概念和范围当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴或时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是≤α＜.温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：(1)直线与x轴相交；(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向2．斜率的概念及斜率公式本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？(2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？题型探究类型一直线的倾斜角与斜率的概念例1 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．[规律方法](1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．活学活用1 (1)已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A．135° B．90° C．45° D．30°(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1类型二求斜率及其范围例2 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[规律方法] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．活学活用2 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．类型三 斜率公式的应用例3 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[规律方法] 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．活学活用3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错示例 求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [错解] 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.[错因分析] 未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m ＝1情况． [正解] 当m ＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.[防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件，对k ＝tan α注意α≠90°；对k ＝y 2－y 1x 2－x 1注意x 1≠x 2，对不满足公式适用条件的可能情况，要多加考虑，不可忽略.感悟提升课堂达标1．下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为________．4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5 C．－1 D．－55．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线P A的倾斜角为60°.课堂小结1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解k ＝tan α(α≠90°)在0°≤α＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.参考答案新知探究新知导学1．正方向 向上 平行 重合 0° 180° 2．正切值 tan α k ＝0 k ＞0 k ＜0 不存在 互动探究探究点1 提示 是．探究点2 提示 (1)90° 不存在 (2)无关题型探究类型一 直线的倾斜角与斜率的概念 例1 60°或120° 【解析】有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 活学活用1 (1)C (2)A【解析】(1)如图，因为直线l 不经过第四象限，故当直线l 处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.(2)设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k 1＜k 2＜k 3，选A.类型二 求斜率及其范围例2 【解】根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°， 故斜率的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞， 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 活学活用2 【解】如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间， 又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 类型三 斜率公式的应用例3 【解】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.活学活用3 【解】由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,2)，B (－1,4)．则k P A ＝2－－31－－2＝53，k PB ＝4－－3－1－－2＝7.∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为53. 感悟提升课堂达标1．D【解析】对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D. 2．C【解析】直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°＜α＜180°. 3．－2【解析】由过两点的直线的斜率公式，知直线AB 的斜率为4－20－1＝－2.4．D【解析】由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.5．【解】①当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k ＝0－2a －1＝－2a －1.又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1.解得a ＝1－233.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0.②当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．。

人教高一数学教学设计之《3.1.1倾斜角与斜率》一. 教材分析《3.1.1倾斜角与斜率》是高中数学人教版必修二的第一节，本节课主要介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以及它们之间的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握它们的计算方法，并能运用它们解决一些实际问题。

二. 学情分析高一的学生已经具备了一些几何的基础知识，例如直线的倾斜角和斜率的概念，他们对于新的知识有较强的接受能力。

但是，对于如何运用这些知识解决实际问题，他们可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握它们的计算方法。

2.过程与方法：通过观察和操作，培养学生的空间想象能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使他们能够主动探索和发现。

四. 教学重难点1.重点：直线的倾斜角和斜率的定义，它们的计算方法。

2.难点：如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实物和图片，引导学生观察和思考。

2.问题驱动法：通过提问和讨论，激发学生的学习兴趣。

3.实践操作法：通过动手操作，培养学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备一些直线的倾斜角和斜率的实例，用于讲解和演示。

2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图片，如直线、斜坡等，引导学生思考：直线的倾斜角和斜率是什么？它们有什么关系？2.呈现（10分钟）讲解直线的倾斜角和斜率的定义，以及它们的计算方法。

通过实物和图片，让学生直观地理解这两个概念。

3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试计算一些直线的倾斜角和斜率。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

教师选典型题目进行讲解，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题？出示一些实例，让学生分组讨论和解答。

第三章 直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率（2课时）主备教师：李劲东一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。

这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值。

之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准，直线与X 轴相交时，X 轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点的直线的斜率公式k = （x 1≠x 2）三、问题诊断与分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式tan(180)tan αα-=-。

优质资料---欢迎下载直线的倾斜角与斜率教案一、课题直线的倾斜角与斜率一、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。

二、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。

三、教学方法讲授法四、教具三角板、幻灯片五、教学过程1.引入新课（出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和地面的夹角很小的时候滑得慢一些。

那时，我们说夹角大的更陡一些。

现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具——平面直角坐标系。

那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做x轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于 x 轴或于x 轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等. 问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果α 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop)记作:tan k问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在.( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出幻灯片）推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1212x x y y --（x 1≠x 2） 即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） 同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.3.例题和练习［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120° 参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-， cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝︒-︒︒-︒40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒-︒=又 α∈［0，π］ ∴α＝120°故选D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan 43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.六、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.七、课后作业八、教学反思。

《3.1.1倾斜角与斜率》教学设计安阳市第二中学杨卫娟教学《3.1.1倾斜角与斜率》课题课程新授课类型课时一课时直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，担负着开启教材分析全章的重任。

本节课涉及了两个概念――倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续微积分的学习奠定了基础。

我个人认为，新教材把本节课作为解析几何的入门课是因为解析几何的本质是几何问题代数化，而最简单的几何图形就是直线，新教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用代数法研究几何问题的思想。

因此在本课的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更要落实一种思想――几何问题代数化。

学情分析高一学生经历了函数的学习，初步形成了数形结合的能力，另外通过初中的学习，已经具备了直角坐标系的相关知识，这些都为本节课知识的生长点奠定了基础。

但根据高一普通班学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。

所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。

教学重点直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。

教学难点直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。

教学目标（1）知识与技能理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。

（2）方法与过程通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。

（3）情感态度与价值观体会几何问题代数化的思想，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜悦。

教学方法启发引导，动态演示，讲练结合学法渗透情景观察、活动探究，小组讨论教学手段多媒体辅助教学教学过程设计教学步骤教师活动学生活动（一）指明方向课题引入向学生提出，在平面直角坐标系中点可以用坐标表示，那直线如何表示呢？生活中一些优美的曲线呢？17世纪法国数学家笛卡尔和费马对这个问题进行了深入的思考，创立了解析几何，探索怎样以坐标系为桥梁，把几何问题代数化。

倾斜角与斜率教案教案：倾斜角与斜率教学目标：1. 理解倾斜角和斜率的概念和定义；2. 掌握计算直线斜率和倾斜角的方法；3. 能够应用斜率和倾斜角解决实际问题。

教学准备：1. 教材：含有直线斜率和倾斜角概念和计算方法的教材或课本；2. 教具：黑板、白板、笔、直尺等。

教学过程：Step 1: 引入概念介绍直线的斜率和倾斜角的概念，以及它们之间的关系。

Step 2: 斜率的计算方法1. 解释斜率的定义：直线的斜率是直线上任意两点之间的高度差与水平距离之比。

2. 讲解斜率的计算方法：使用点斜式、两点式或截距式等方法计算直线的斜率。

Step 3: 倾斜角的计算方法1. 解释倾斜角的定义：直线的倾斜角是直线与水平线之间的夹角。

2. 说明倾斜角和斜率的关系：斜率等于倾斜角的正切值。

Step 4: 实例演练通过多个实例演示如何计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。

Step 5: 讲解斜率和倾斜角的应用介绍斜率和倾斜角在实际问题中的应用，如在工程、物理和几何等领域。

Step 6: 练习与巩固提供一些相关的练习题，让学生进行计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。

Step 7: 总结和评价总结斜率和倾斜角的计算方法和应用，并进行综合评价。

教学提示：1. 强调斜率和倾斜角的定义和计算方法的记忆和理解，以便学生能够运用到实际问题中；2. 鼓励学生主动思考和提问，加深对斜率和倾斜角概念的理解；3. 配合实例演练和练习题，让学生在思考和解答问题中巩固知识点。

教学延伸：1. 扩展学生的思维，让他们能够利用斜率和倾斜角的概念和计算方法解决更复杂的问题；2. 让学生观察和探索其他图形的倾斜角和斜率，拓宽对斜率和倾斜角的应用范围；3. 引导学生进行实地考察和调查，了解斜率和倾斜角在实际中的应用情况。

3、1、1 倾斜角与斜率学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】 1、 拿握直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式；2、 了解斜率公式的推导过程，会运用斜率公式解决简单的题口，通过斜率 公式的推导过程培养学生数形结合的解题能力，止了生有运用图形的意识.【教学效果】：教学tl 标的给出，有利于学牛整体上把握课堂.二、【口学内容和要求及口学过程】1、阅读教材第82页内容，然后回答问题（倾斜角）〈1＞如图所示，在直角朋标系中，过点P 的一条直线绕P 点 旋转，不管旋转多少周，它对龙轴的相对位置有儿种情形？〈2＞过一点P 可以做无数条直线，它们能组成一个直线朿, 这些直线区别在哪里呢？也就是说怎样描述直线的倾斜 程度呢？〈3＞直线的倾斜角是怎么规定的呢？它的范围是多少?结论:＜1＞引入倾斜角和斜率；＜2＞用倾斜角；＜3＞当直线/与兀轴相交 时，我们取X 轴作为基准，无轴巫向与直线/向上方向之间所形成的角Q, 叫做直线/的倾斜角.倾斜角的范围是：0°5兀＜180°,规定当直线与x 轴 重合或平行时，倾斜角为0°.练习一:①我们引入倾斜角的意义是什么？②引入倾斜角以后，确定 平面直角处标系中一条直线位置的儿何要素是什么？（除了两点确定一条 直线）.【教7效杲】：倾斜角的范围以及意义，要理解清楚.2、阅读教材第83页内容，然后回答问题（斜率的概念）＜4＞日常牛活中还有没有表示倾斜程度的量？〈5〉联系问题〈4＞,你能给出斜率的概念吗？〈6〉请同学们回忆一卞初中学习过的知识，tan90°存在吗？也就是说若一 条直线的倾斜角是直角，那么它的斜率存在吗?结论:＜4＞日常生活中，我们经常用“升高量与前 进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即“坡 度比=升高量/前进量”，如图所示；＜5＞如果我们使用“倾斜角”这个槪念，那么这里的“坡度比”实际就是“倾斜角Q 的正切”. 升 A我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母R来表示，即：k = tan a;＜6＞因为直角的正切不存在，所以倾斜角是直角的直线斜率不存在，或者说没有斜率.练习二:①联想一下坡度比的概念，说一说为什么倾斜角是直和的直线的斜率不存在，你能明口其中蕴含的道理吗？②倾斜角为下列角度吋，直线的斜率是多少? ^ = 30°、45°、60°、120°、135、°150°・③若倾斜角非特殊角，譬如a =41°时，直线的斜率怎么表示？【教学效果人每一条直线都有一个固定的倾斜介，但并不是每一条直线都有斜率.3、阅读教材第84—85页内容，回答问题；（斜率公式及推导）〈7＞如果给定两点片（兀］,必）,马（兀2，乃），兀1工兀2,你能求出直线片£的斜率k吗?请你分类讨论一下，并请你写出求解过程过程；结论＜7＞我们可以很容易得到斜率公式为k = y2 - x /勺-兀|，求解过程见教材84页.练习三:①当直线与兀轴平行或重合时，斜率公式还成立吗？为什么？当立线与y轴平行或重合时，上述公式还成立吗？为什么？②已知直线上两点A （“,°2）,〃（勺,$），运用上述公式计算直线的斜率时，与A、3两点的处标的顺序有关吗？为什么？④请同学们自学教材第85页例1、例2,体会例1、例2中间所蕴含的知识点；⑤请同学们完成教材第86页练习2、3、4.【教学效果】：要理解斜率公式以及其推导公式，要会运用斜率公式.三、【作业】1、必做题:习题3. 1A组1、2、3、4、5；2、选做题:习题3. 1B组1、5.四、【小结】本节课主要学习了三个内容，倾斜角、斜率、斜率公式及推导过程. 要求学牛能熟练的背诵特殊角的三角函数值，了解止切函数的简单性质，能理解正切公式的推导过程，解决简单的关丁斜率的问题，以及三点共线的证明题.五、【教学反思】本节课知识点比较碎，要求学生能做好总结.总体上说，这节课内容比较简单，是学生初中已经接触过的内容，所以要提醍学生不要以为知识简单就掉以轻心，耍养成严谨、严肃的学习习惯.【数学教陈景润】陈景润(1933年5月22日〜1996年3月19 H),汉族,福建福州人, 中国著名数学家，厦门大学数学系毕业.1953年〜1954年在北京四中任教, 因口齿不淸，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，后被“停职冋乡养病”, 调回厦门人学任资料员，同时研究数论，对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类牛活的密切关系等问题也作了研究.1956年调入中国科学院数学研究所.1980年当选中科院物理学数学部委员.他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先，被称为哥徳巴赫猜想第一人.I比界级的数学大师、美国学者安徳烈•韦伊(AndrQ Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走•”历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职.。

3.1.1倾斜角与斜率（教学设计）一、 内容及其解析1、内容：直线的倾斜角与斜率的概念及斜率公式。

2、解析：本课是高中解析几何内容的开始。

解析几何是以平面直角坐标系为桥梁，将几何问题代数化，通过代数运算来研究几何图形性质的方法。

因为直线是最基本的几何图形，所以要实现几何问题代数化应先从直线入手，而直线的倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是将直线用代数形式表示的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解平面直角坐标系内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

本课有着开启全章，奠定基础，渗透方法的作用。

直线的斜率是后续内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都有重要作用。

因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好本章的关键。

二、目标及其解析1、目标：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2、解析： ①在平面直角坐标系中观察具体图形，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素的过程中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围；②以日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。

③在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中，掌握已知直线上两点计算直线斜率的公式，能根据斜率的计算公式，求直线的斜率。

④通过经历用代数方法刻画直线斜率的过程，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法。

三、教学问题诊断 在欧氏几何的学习中，学生已经知道两点可以确定一条直线，而已知一点和什么条件能确定直线，以及如何来刻画这个条件，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察经过同一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念；本课的教学难点是：直线的斜率与它的倾斜角间的关系。

3．1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率考点学习目标核心素养直线的倾斜角理解直线的倾斜角的概念数学抽象、直观想象直线的斜率理解直线的斜率的概念，理解倾斜角与斜率的对应关系掌握过两点的直线的斜率公式数学抽象、直观想象、数学运算问题导学预习教材P82－P86的内容，思考以下问题：1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是什么？4．直线的斜率与倾斜角之间有什么关系？1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．■名师点拨(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α取值范围当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1■名师点拨(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任意一条直线都有倾斜角．()(2)任意一条直线都有斜率．()(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．()答案：(1)√(2)×(3)×如下图，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对解析：选C．根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的斜率是()A．1 B．－1C．－1或1 D．以上都不对解析：选A ．k ＝－1－0－1－0＝1.假设A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C ．由于A ，B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．经过两点A (－1，3)，B (2，43)的直线的倾斜角为__________．解析：设此直线的倾斜角为α，则tan α＝k ＝43－32－〔－1〕＝ 3.因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案：60°直线的倾斜角(1)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° (2)直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1和l 2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l 2的倾斜角为________．【解析】 (1)根据题意，画出图形，如下图：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.应选D．(2)设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.【答案】(1)D(2)135°求直线的倾斜角的关注点(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．1．直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为()A．90°－αB．90°＋α90°－αD．180°－αC．||解析：选D．(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°，(如图1)(2)当0°<α<90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图2)(3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图3)(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°解析：选C．直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角的范围是90°<α<180°.直线斜率的计算经过以下两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2，3)，B (4，5)； (2)C (－2，3)，D (2，－1)； (3)P (－3，1)，Q (－3，10)．【解】 (1)存在，直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－〔－2〕＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.应用斜率公式求斜率应注意的问题(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．1．假设直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选A ．因为直线的斜率k 和倾斜角α的关系是：k ＝tan α(α≠90°)， 所以当倾斜角为60°时，对应的斜率k ＝tan 60°＝ 3.2．(20xx·江门检测)经过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A ．由题意得m －4－2－m ＝1，解得m ＝ 1.3．求经过两点A (2，3)，B (m ，4)的直线的斜率． 解：当m ＝2时，直线AB 的斜率不存在； 当m ≠2时，直线AB 的斜率k AB ＝4－3m －2＝1m －2.直线的倾斜角及斜率的应用 角度一 三点共线问题如果A ⎝⎛⎭⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．【解】 由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ．由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8， k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18.因为点A ，B ，C 在同一条直线上，所以k AB ＝k BC ．所以74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0，解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.所以m 的值是3＋572或3－572.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x 轴，当任意两点的连线垂直于x 轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．角度二 求参数的范围假设经过两点A (2，1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 因为直线l 的倾斜角为锐角，所以斜率k ＝m 2－11－2>0，所以－1<m <1.【答案】 C解与斜率、倾斜角有关的参数问题时应牢记斜率公式． 角度三 数形结合法求倾斜角或斜率范围直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率的范围和倾斜角的范围．【解】 如下图．因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以45°≤α≤120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．1．A (2，3)，B (－3，－2)，假设直线l 过点P (1，1)与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．k ≥34B ．34≤k ≤2C ．k ≤34或k ≥2D ．k ≤2解析：选C ．k P A ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34.因为直线l 过点P (1，1)与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是：k ≤34或k ≥2.应选C ．2．经过两点A (m ，2)，B (－m ，2m －1)的直线的倾斜角为45°.假设点C (m ＋1，n )在直线AB 上，求m ，n 的值．解：k ＝tan 45°＝2m －1－2－m －m，解得m ＝34.所以A ⎝⎛⎭⎫34，2，C ⎝⎛⎭⎫74，n .又A ，B ，C 三点共线，所以k AC ＝tan 45°＝n －274－34＝nnm 与n 的值分别为34和3.1．给出以下说法，其中正确的个数是( )①假设两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ．假设两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错； 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错； 所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错； 不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)解析：选D ．两点横坐标相同时，直线与x 轴垂直，此时斜率不存在．3．图中α能表示直线l 的倾斜角的是______．解析：结合直线l 的倾斜角的定义可知①可以． 答案：①4．过点(－3，0)和点(－4，3)的直线的倾斜角是________． 解析：设直线的倾斜角为α，直线的斜率k ＝tan α＝3－0－4－〔－3〕＝－ 3.所以直线的倾斜角α＝120°.答案：120°5．A (1，1)，B (3，5)，C (a ，7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．解：由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2.因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。

3.1.1倾斜角与斜率教案第 2 页第 3 页（一）直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?教教学内容教学环节与活动设计第 4 页学设计特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那YXcbaO河北武邑中学课堂教学设计教教学内容教学环节与活动设计第 5 页学设计学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:教学内容教学环节与活动设计第 6 页程及方法(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率教学小结(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.课后反思第 7 页。

第三章直线与方程本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章，用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.本章首先在平面直角坐标系中，介绍直线的倾斜角、斜率等概念；然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等；通过直线的方程，研究直线间的位置关系:平行和垂直，以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是，首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系，将几何问题代数化；解决代数问题，得到结果；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法(数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等)，体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题(尤其是实际问题)的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.本章教学时间约9课时，具体分配如下(仅供参考)：《3.1.1倾斜角与斜率》教学案1一、教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.二、教学目标1．知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)理解直线倾斜角的唯一性.(3)理解直线斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.三、教学重点与难点教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.教学难点:斜率公式的推导.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：倾斜角与斜率.(二)推进新课、新知探究、提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率么？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少？活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.②考虑正方向.③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.⑤教师介绍正切函数的相关知识.⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率. (倾斜角是90°的直线没有斜率)⑦已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线l 与x 轴不垂直，如何求直线l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.讨论结果:①用倾斜角.②都不对.与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背.③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.⑦过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k =1212x x y y --.(三)应用示例思路1例1 已知A (3，2)，B (-4，1)，C (0，-1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.活动:引导学生明确已知两点坐标，由斜率公式代入即可求得k 的值； 而当k =tanα＜0时，倾斜角α是钝角； 而当k =tanα＞0时，倾斜角α是锐角； 而当k =tanα=0时，倾斜角α是0°. 解:直线AB 的斜率k 1=71＞0，所以它的倾斜角α是锐角； 直线BC 的斜率k 2=-0.5＜0，所以它的倾斜角α是钝角； 直线CA 的斜率k 3=1＞0，所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练已知A (1，33)，B (0，23)，求直线AB 的斜率及倾斜角. 解:k AB =3013233=--，∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°， ∴直线AB 的倾斜角为60°.例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线a ，b ，c ，l .活动:要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另外一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定.解:设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x ，y )，根据斜率公式有：1=--x y ，所以x =y . 可令x =1，则y =1，于是点M 的坐标为(1，1).此时过原点和点M (1，1)，可作直线a . 同理，可作直线b ，c ，l . 变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；(2)α=60°；(3)α=90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan 0°=0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)∵tan 60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3. (3)∵tan 90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A .任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B .直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C .平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D .直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A (-2，0)，B (-5，3)的直线的斜率和倾斜角. 解：k AB =)2(503----=1，即tanα=-1，又∵0°≤α＜180°， ∴α=135°.∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α. (1)P 1(-2，3)，P 2(-2，8)；(2)P 1(5，-2)，P 2(-2，-2).解：(1)∵P 1P 2与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°. (2)k =tanα=52)2(2-----=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.例2 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线.点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线.变式训练1.若三点A (2，3)，B (3，2)，C (21，m )共线，求实数m 的值. 解：k AB =2332--=-1，k AC =2213--m ，∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC .∴2213--m =-1.∴m =29.2.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则a 1+b1的值等于_____________. 答案：21例3 已知三角形的顶点A (0，5)，B (1，-2)，C (-6，m )，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD |的长.分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式. 解：D 点的坐标为(-25，22-m )， ∴k AD =025522----m =1.∴m =7.∴D 点坐标为(-25，25).∴|AD |=225)255()25(22=-+. 变式训练过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.答案：k =-1，倾斜角为43π. (四)知能训练课本本节练习1、2、3、4.(五)拓展提升已知点A (-2，3)，B (3，2)，过点P (0，-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞，34)∪(-25，+∞).(六)课堂小结通过本节学习，要求大家： (1)掌握已知直线的倾斜角求斜率； (2)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围； (3)直线斜率的概念；(4)已知直线的倾斜角(或斜率)，求直线的斜率(或倾斜角)的方法. (七)作业习题3.1 A 组3、4、5.。