2011年高考广东省理科数学试题

【选择题】 【1】．设复数z 满足()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1i +（B ）1i -（C ）2+2i（D ）22i -【2】．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【3】．若向量a,b,c 满足a ∥b 且⊥a c ，则()+2c a b =( )（A ）4（B ）3（C ）2 （D ）0【4】．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )（A ）()()f x g x +是偶函数 （B ）()()f x g x -是奇函数（C ）()()f x g x +是偶函数（D ）()()f x g x -是奇函数【5】．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为( )（A） （B）（C ）4（D ）3【6】．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )（A ）12 （B ）35 （C ）23（D ）34【7】．如图1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为 （A）（B） （ C）（D）【8】．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T U =Z ,且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是 （A ）,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 （B ）,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 （C ）,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的（D ）,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【填空题】 【9】．不等式13x x +--≥0的解集是 .【10】．72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）【11】．等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0,k a a a =+=则k =____________．【12】．函数()3231f x x x =-+在x =____________处取得极小值.【13】．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．【14】．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为,(0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩≤ 和25,()4x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩R ，它们的交点坐标为___________．图3【15】．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .【解答题】【16】．已知函数1π()2sin(),.36f x x x =-∈R （1）求5π()4f 的值； （2）设ππ106,0,,(3),(32π),22135f f αβαβ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．【17】．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.【18】．如图．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，PA PD ==PB =2,,E F 分别是,BC PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ; （2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．【19】．设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;（2）已知点M (55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标． 【20】．设b>0,数列{}n a 满足1a b =，()11222n n n nba a n a n --=+-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a +++≤【21】．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =，实数,p q 满足240p q -≥，1,2x x 是方程20xpx q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上任一点(),Q p q 有0(,);2p p q ϕ=（2）设(),Ma b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠．过(),M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：(),M a b X ∈⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设()()215,|1,144D x y y x y x ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭≤≥．当点(),p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f xg x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：柱体体积公式V=Sh,其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121()(),()niii nii x x y y b a y b x x ==--==--∑∑，其中,x y 表示样本均值．n 是正整数，则-1-2-2-1-(-)()n n n n n n a b a b a a b ab b =++⋯⋯++一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． ==+z i z i z 为虚数单位，则，其中满足设复数2)1(A ． i +1B ． i -1C ． i 22+D ． i 22-2．{}{}x y y x y x B y x y x y x A ===+=为实数，且，为实数，且已知集合,),(1,),(22， 的元素个数为则B AA ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 3．=+⋅⊥)2(//b a c c a b a c b a ，则且满足，，若向量A ． 4B ． 3C ． 2D ． 04．则下列结论恒成立的是上的偶函数和奇函数，分别是和设函数R x g x f )()(A ． 是偶函数)()(x g x f +B ． 是奇函数)()(x g x f -C ． 是偶函数)()(x g x f +D ． 是奇函数)()(x g x f -5．为给定。

若由不等式组上的区域已知平面直角坐标系),(2220y x M y x y x D xOy ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤的最大值为，则的坐标为上的动点，点OA OM z A D ⋅=)1,2(A ． 24B ． 23C ． 4D ． 3俯视图 图3侧视图 图2正视图 图12222222336．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要 再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．347．如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．1838．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集, T V Z =,且,,a b c T ∀∈,有abc T ∈；,,x y z V ∀∈,有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是A ． ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式130x x +--≥的解集是 ．10．7)2(xx x -的展开式中4x 的系数是 ．（用数字作答）11．等差数列{}n a 的前9项和等于前4项和，若0,141=+=a a a k ，则=k ． 12．函数13)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．13．某数学老师身高176cm ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤θ ＜π ）和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245（t ∈R ），它们的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别做 圆的切线和割线交圆于A ,B 两点，且PB =7，C 是圆上一点使 得BC =5，,BAC APB ∠=∠则AB = ．图4COBP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R ．（1）求5()4f π的值； （2）设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素y x ,的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2） 当产品中微量元素y x ,满足175≥x 且75≥y 时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==PB =2，E ，F分别是BC ，PC 的中点． (1) 证明：AD ⊥平面DEF ； (2) 求二面角P —AD —B 的余弦值．C EFPDBA图519．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切． （1） 求C 的圆心轨迹L 的方程； （2） 已知点M （553，554），F （5，0），且P 为L上的动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标．20．（本小题满分14分）设b >0,数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．（纯word 版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：．maths168．）21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{||,||}p q x x ϕ=．（1） 过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0||(,)2p p q ϕ=；（2） 设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E p p ，12,l l 与y 轴分别交于,'F F ．线段EF 上异于两端点的点集记为X ， 证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3） 设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）答案数学（理科）（答案制作：广州 邓军民 本答案纯粹是为了大家学习交流参考使用，因为个人水平有限，答案不一定完全正确，如果发现错误，请联系我的QQ ：9022074，Email ：gzdjm@qq ，我会及时改正，谢谢您！） 18：B C D A C D B A （个人网站：数学驿站 maths168 ） 第8题提示：先证明至少有一个封闭：由于 T ∪V=Z ，故元素 1 必在 T 和 V 之一，不妨设 1∈T ，则取c=1 则对任意的,a b ，都有ab T ∈，故 T 封闭．再证明可以有一个封闭时另一不封闭：取 T = {2k | k 为全体奇数}，V = ZT ，容易验证 T ，V 满足条件，但 T 对乘法并不封闭． 最后证明可以两个均封闭：取 T 为全体奇数，V 为全体偶数，此时 T ，V 显然满足条件且均封闭． 9．[1,)+∞ 10．84 11．10 12．2 13．185 14． 15．16．解：（1）1()2sin(),36f x x x R π=-∈，55()2sin()2sin 241264f ππππ∴=-==（2）,[0,]2παβ∈，10(3)2sin 213f παα+==，5sin 13α∴=，6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==，3cos 5β∴=，212cos 1sin 13αα∴=-=，24sin 1cos 5ββ=-=，362016cos()cos cos sin sin 656565αβαβαβ∴+=-=-=．17．解：（1）5983514⨯=（件） （2）235145⨯=（件） （3）ξ的可能取值为0,1,2，则有23253(0)10C p C ξ===，1132253(1)5C C p C ξ⋅===，22251(2)10C p C ξ===，ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2p31035 110ξ∴的均值为：012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）取AD 的中点为G ，连接,PG BG ，易知在ABG ∆中，由余弦定理得BG =， AD BG ∴⊥，又PA PD =,AD PG ∴⊥,而PG BG G =，AD PBG ⊥平面，而PBG ⊂PB 平面,AD PB ∴⊥,又//PB EF ,AD EF ⊥, 而//ED BG ,AD ED ∴⊥,而EFED E =, AD ⊥平面DEF ．（2）由（1）知，AD PBG ⊥平面，所以PGB ∠为二面角PADB 的平面角，在PBG ∆中，2PG BG PB ===，由余弦定理得：222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅⋅． ∴二面角PADB的余弦值为．19．解：（1）依题意有12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==，所以圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为因此2222,1a c b c a ===-=，故C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=．（2）过点,M F 的直线l方程为2(y x =-，代入2214x y -=解得：12x x ==， 故直线l 与L的交点为12,T T ⎝⎭⎝⎭,因为1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 内，故11||2MT FT MF -==,22||2MT FT MF -<=,若点P 不在MF上，则||2MP FPMF -<=，综上所述，MP FP-只在点1T 处取得最大值2．20．解：（1）因为10a b =>,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-，取倒数得：1121n n n n a b b a --=+⋅，当2b =时，1112n n n n a a ---=，{}n n a ∴为一个首项为12，公差为12的等差数列， 2n n na ∴=，2n a ∴=． 当2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+--，∴1{}2n n a b +-为一个首项为2(2)b b -公比为2b的等比数列， 11222()2(2)(2)n n n n n a b b b b b b -∴+=⋅=---，变形得：(2)2n n n nnb b a b -=-． 综上所述，数列}{n a 的通项公式为2(2)(2)(2)2n n n n b a nb b b b=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩．（2）当2b =时，不等式显然成立；当2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+成立，只需证：11122(2)2n n n n n n b n b b b +++-⋅⋅≤+⋅-（*）11111101122222122211212112(2)(2)(2)2(222)(222)2222[()()]2222(222)2(2)2n n n n n n n i n i i n n n n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n nb bb b b b b b b b b b b bb b b b b b n n b -++++--=+-+----+--+-+⋅=+⋅-=++++++++=+++++++>+++==⋅∑（中括号里用均值不等式）所以（*）成立，所以原不等式成立，综上所述，当0b >时，对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12yx '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =2x =则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px = ∵00122p px -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==- ∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-， 即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =±-① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p > ∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ， 点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③ 由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122pa p -≥，∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)p a b ϕ=（3t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ 222125224(1)54244t t t t t -++---+=++≤=≤，即max 54ϕ=综上所述min 1ϕ=，。

【选择题】 【1】．设复数z 满足()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1i +（B ）1i -（C ）2+2i（D ）22i -【2】．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【3】．若向量a,b,c 满足a ∥b 且⊥a c ，则()+2c a b =( )（A ）4（B ）3（C ）2 （D ）0【4】．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )（A ）()()f x g x +是偶函数 （B ）()()f x g x -是奇函数（C ）()()f x g x +是偶函数（D ）()()f x g x -是奇函数【5】．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为( )（A） （B）（C ）4（D ）3【6】．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )（A ）12 （B ）35 （C ）23（D ）34【7】．如图1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为 （A）（B） （ C）（D）【8】．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T U =Z ,且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是 （A ）,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 （B ）,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 （C ）,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的（D ）,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【填空题】 【9】．不等式13x x +--≥0的解集是 .【10】．72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）【11】．等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0,k a a a =+=则k =____________．【12】．函数()3231f x x x =-+在x =____________处取得极小值.【13】．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．【14】．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为,(0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩≤ 和25,()4x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩R ，它们的交点坐标为___________． 【15】．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，图3C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .【解答题】【16】．已知函数1π()2sin(),.36f x x x =-∈R （1）求5π()4f 的值； （2）设ππ106,0,,(3),(32π),22135f f αβαβ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．【17】．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.【18】．如图．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，PA PD ==PB =2,,E F 分别是,BC PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ; （2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．【19】．设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;（2）已知点MF ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标． 【20】．设b>0,数列{}n a 满足1a b =，()11222n n n nba a n a n --=+-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a +++≤【21】．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =，实数,p q 满足240p q -≥，1,2x x 是方程20xpx q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上任一点(),Q p q 有0(,);2p p q ϕ=（2）设(),Ma b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠．过(),M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：(),M a b X ∈⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设()()215,|1,144D x y y x y x ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭≤≥．当点(),p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【参考答案】【1】．B提示：由(1i)2z +=，得22(1i)1i 1(1i)(1)zi i -===-+-+. 【2】．C提示：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩，得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B的元素为,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭.【3】．D 提示：因为a ∥b ，所以λ=b a ，故2(12)λ++a b =a ，又因为⊥a c ，所以(2)+=c a b (12)0λ+a c =. 【4】．A提示：设()()|()|F x f x g x =+,则()()|()|F x f x g x -=-+-()|()|()f x g x f x =+-=+|()|g x()F x =，所以()F x 是偶函数.【5】．C提示：由不等式组得平面区域D的四个顶点坐标为1234(0,0),(0,2),A A A A ，将它们分别代入2z OM OA x y =∙=+，得12340,2,4,3z z z z ====.【6】．D提示:只打一局时必须甲队赢，概率为12，打两局时必须乙队先赢第一局，甲队赢第二局，概率为111224⨯=，所以甲队获得冠军的概率为113244+=. 【7】．B提示：由三视图可知，该几何体是底面边长为3的正方形，高为h 方形的面积为339S =⨯=，故几何体的体积为3V Sh ===.【8】．A提示：用特殊值法进行求解：（1）当T 和V 有一个为有限集时，不妨设T 为有限集，例如{0,1,2}T =，显然T 关于乘法是封闭的，此时{,3,2,1,3,4,}V =---，有(1)(2)2V -⨯-=∉，所以V 关于乘法是不封闭的；（2）当T 和V 都是无限集时，例如，{,5,3,1,1,3,5,}T =---，{,4,2,0,2,4,}V =--,此情形下，T 和V 都关于乘法都是封闭的 .再如{1,2,3,}T =---，{0,1,2,3,}V =，此情形下,T 关于乘法是不封闭的，但V 关于乘法是封闭的.综上所述，,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的. 【9】．[1,)+∞ 提示：13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥1.【10】．84提示：72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r r r T x C x C x x--+=-=-，由824r -=，得2r =，则227(2)84C -=.【11】．10 提示：方法1：由94S S =，得9364d d +=+,求得16d =-,则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =.方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =. 【12】．2提示：2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时，()0f x '>； 当02x <<时()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值.【13】．185提示:设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：则173,176x y ==，3132221()()00361033()iii ii x x y y b x x ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx =-=， 所以线性回归方程为3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．【14】．⎛ ⎝⎭提示：将参数方程化为普通方程分别为：2215x y += (0)y ≥ 与 254x y = .联立方程组，可解得1,x y ==【15】提示：∵ AP 为切线，∴PAB ACB ∠=∠. 又∵B A C AP B ∠=∠,PAB ∴∆～ACB ∆, PB ABBA BC∴=, AB ∴===【16】．解：（1）5π15πππ2sin 2sin 43464f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由π1ππ1032sin 32sin 232613f ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得135sin =α. 由()()1ππ632π2sin 32π2sin 2cos 3625f ββββ⎛⎫⎛⎫+=⨯+-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得53cos =β. 又π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1312sin 1cos 2=-=αα，54cos 1sin 2=-=ββ. ()651654135531312sin sin cos cos cos =⨯-⨯=-=+βαβαβα.【17】．解：（1）设乙厂生产的产品数量为n ，则有9814,5n =解得n =35，故乙厂生产的产品数量为35件.（2）样本中只有编号为2，5的产品为优等品，所以可估计乙厂生产的产品中的优等品率为2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品， （3）ξ的可能取值为0，1，2，且21123323222555331(0),(1),(2)10510C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========. 所以ξ的分布列为故012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯=的均值为 【18】．证法1：（1） 如图1，连接BD .∵∠DAB =60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC DE ⊥.又∵AD ∥BC ， ∴AD DE ⊥.取AD 的中点G ，连结,PG BG .图1 ∵PA PD G ==为AD 的中点，∴PG AD ⊥.∵1AB AD ==，G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥. 而PGBG G =∴AD ⊥平面PBG .∴AD PB ⊥.∵,E F 分别是,BC PC 的中点.∴EF ∥PB . ∴AD EF ⊥. 由AD DE ⊥，AD EF ⊥、EFDE E =， 知AD ⊥平面 DEF .(2) 由（1）的证明知PG AD ⊥，BG AD ⊥.又∵PG ⊂平面PAD ，BG ⊂平面BAD . 平面PAD 平面BAD AD =.∴∠PGB 为二面角P -AD -B 的平面角.在Rt△PAG 中，2722=-=AG PA PG , 在Rt△ABG 中，3sin 60BGAB =⋅=∴222cos 2PG BG PB PBG PG BG+-∠=⋅ .734+-==. 证法2：(1) 连接BD ，∵∠DAB =60°，ABCD 是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE .又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥DE .以D 为原点，,DA DE 的方向分别为x 轴，y 轴的正向，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2则有D （0，0，0），C （0,23,21-），(1,0,0)A . 取AD 的中点G ，连PG ，GB . 由 GB ∥DE ， AD ⊥BG ，可得 B（12），G （0,0,21）. ∵PA =PD ∴PG ⊥AD ， ∴可设P （z y ,,21）.于是，31(0,,),(,,)22PB y z DP y z =--=（或用1(,,),2PA y z =--）∴222||()42PB y z =-+= ① 2221||24PD y z =++= ②解得 P （1,23,21-）.又C （0,23,21-），∴F （21,0,0）. (1,0,0),DA = ∴13(0,0,),(0,22DFDE ==∵0,0DA DF DA DE ⋅=⋅=，∴DA ⊥DF ，DA ⊥DE . ∴AD ⊥平面DEF. (2） 由（1）得1(,22DP =-，(1,0,0)DA = ， 设面PAD 的法向量为(,,)xy z =n ,由于1022DP x y z ⋅=-+=n ，且0DA x ⋅==n ， 所以取(0,1,).2=--n 又∵面ABD 的法向量(0,0,1)=m ，∴cos ,||||⋅<>=mn m n m n=7-. 【19】．（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y，由题设条件知|4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -= （2）解：过,M F 的直线l 的方程为2(y x =-，将其代入L 的方程得215840.x-+=解得1212x x l L T T ==故与的交点为 因1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 内，如图.故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=若P 不在直线MF 上，则在MFP ∆中有|||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在1T 点取得最大值2，此时点P的坐标为55⎛- ⎝⎭.【20】．（1）解：由1111112211210,0,,.22n n n n n n n n nba a n n n a b a a n a nba a b b a -----+--=>=>==++-知令11,nn n A A a b==，当1122,n n n A A b b -=+≥时2112111222n n n n A b bb b----=++++21211222.n n n n b b b b---=++++①当2b ≠时，12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n n b A ==时(2),2,22, 2.n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩. （2）证明：当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=++--≤只需证≤）11111212(2)(2)(22)2n nn n n n n n n b bb b b b ++++----+=++++-112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++21212222()222n n n nn n n n b b bb b bb --=+++++++12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅，11(2) 1.22n n n n nn nb b b a b ++-∴=<+-当112,2 1.2n n n b b a ++===+时综上所述11 1.2n n n b a +++≤【21】．解：（1）由题214y x =，则2xy '= ， 从而过A 点的切线方程为20001()42py p x p -=-，即200124p y x p =-.由于点(,)p q 在线段上，则200124p q p p =-，从而由20x px q -+=得22001024p x px p p -+-=，即00()022p p x x p ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即0012,22p p x x p ==-. 如图1，①当00p >时，有00p p ≤≤，0021,22p px p x =-=≤此时01(,)2p p q x ϕ==； ②当00p <时，有00p p ≤≤，000121222p p px p x x =-=-=-≤≤，此时01(,)2p p q x ϕ== . 综上，0(,)2p p q ϕ=. （2）21,l l 的方程分别为2222114121,4121p x p y p x p y -=-=. 求得21,l l 交点),(b a M 的坐标)4,2(2121p p p p +. 由于0,042≠>-a b a ,即2212121240242p p p p p p +-⎛⎫⎛⎫-⋅=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图1故有21p p ≠.1）先证: 21),(p p X b a M >⇔∈. 充分条件：12(,)M a b Xp p ∈⇒>.设X b a M ∈),(. 如图2. 当01>p 时,211211212020p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<. 当01<p 时, 212112110202p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<.必要条件：12(,)M a b Xp p ∈⇐>.设21p p >,则201111211212<+<⇒<<-⇒<p p p p p p p . 当01>p 时, 12120p p p <+<;当01<p 时，02211<+<p p p , 注意到),(b a M 在1l 上,故X b a M ∈),(.2）再证：1||(,)(,).2p M a b X a b ϕ∈⇔=充分条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇒=.因为,),(X b a M ∈由（1）中的结论可知有1||(,)2p a b ϕ=.即充分条件成立. 必要条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇐=. 由(１)知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根112p x =或2x =12p a -， 同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根212p x =或222p x a =-， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -,2||2p ,2||2pa -小.又因为21p p ≠，所以12||||p p >.又12||||(,)p p M a b X >⇒∈，所以1(,)||2p a b ϕ=⇒(,)M a b X ∈. 综上，.2||),(||||),(121p b a p p X b a M =⇔>⇔∈ϕ （3）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，图2可知0p ≤≤2，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-，得200240x px q -+=，解得0x p =+又q ≥215(1)44p +-，即24p q -42p -≤，∴0x≤pt =， ∴0x ≤221152(1)222t t t -++=--+，0max max ||2x ϕ=，又0x ≤52，∴max 54ϕ=；q ≤1p -，∴0x ≥|2|2p p p +=+-=，∴0min min ||12x ϕ==. 【End 】。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数,)y 为AAA. B. C. 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.则和14.为x y ⎧=⎪⎨⎪⎩ 15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5， ∠BAC =∠APB , 则AB = 。

2011年高考数学广东卷(理科)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤C ．}{11x x -<<D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A B ． C ．5 D ．13 4. 函数ln x y x=在区间()1,+∞上A ．是减函数B ．是增函数C ．有极小值D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, A ．96 B ．114NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)C ．128D ．136图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为2, 长 为2的线段M N 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形A B C D 内运动, 则M N 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有 户.10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .11. 已知数列{}n a 是等差数列, 若468212a a a ++=, 则该数列前11项的和为 . 12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π== 2a b =,则b 的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是 名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题) 如图4, C D 是圆O 的切线, 切点为C , 点A 、B 在圆O 上，1,30BC BC D ︒=∠=，则圆O 的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点()1,0且与 极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .图4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;(2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.DC 1A 1B 1CBA18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1A A ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为A C 的中点, 12A A AB ==.(1) 求证：1//A B 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AA C D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足 OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->.(1) 求函数()f x 的表达式；(2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =,求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑；② 令()121,2,3,kk a a a A kk++== ，证明：112111nk k k A A a a L+=-≤--∑.参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分.9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 33 12. 13. 1014. π 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos 2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()fx 取得最大值, …… 5分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-…… 10分∴2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan 2θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=…… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos 3θ=. …… 9分∴sin 3θ==…… 10分∴sin tan cos 2θθθ==. …… 12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 8分∴sin tan cos θθθ= …… 9分22sin cos 2cos θθθ= …… 10分sin 21cos 2θθ=+2=. …… 12分17．（本小题满分12分）GFEODC 1A 1B 1CBA(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分 解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接O D , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为A C 的中点， ∴O D 为△1AB C 的中位线,∴ 1//O D AB . …… 2分 ∵O D ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//A B 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥A A 平面ABC ,1AA ⊂平面11AA C C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC 平面11AA C C A C =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则B E ⊥平面11AA C C ， ……6分 设B C a =，在Rt △ABC中，AC ==2AB BC a BE AC==，∴四棱锥11-B AA C D 的体积()1111132V A C A D A A B E =⨯+1226a =⨯⨯a =. …… 8分依题意得，3a =，即3B C =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,B C ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .取B C 的中点F ，连接D F ，则D F //A B ,且112D F A B ==.∴D F ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接D G ， 由于1D F BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面D F G . ∵D G ⊂平面D F G , ∴1BC ⊥D G .∴D G F ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分 由Rt △B G F ～Rt △1BC C ,得11G F BF C C BC =,得113213B FC CG FB C⨯===在Rt△D F G中, tanD FD G FG F∠=3=.∴二面角1--C BC D的正切值为3. …… 14分解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B⊥⊥=,B C⊂平面11BB C C，1BB⊂平面11BB C C，∴AB⊥平面11BB C C.以点1B为坐标原点,分别以11B C,1B B,11B Ay轴和z轴,建立空间直角坐标系1B xyz-.则()0,2,0B,()13,0,0C,()0,2,2A,3,2,12D⎛⎫⎪⎝⎭.∴()13,2,0BC=-,3,0,12BD⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D的法向量为n(),,x y z=,由n1BC=及n 0BD=,得320,30.2x yx z-=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x=,得3,3y z==-.故平面1BC D的一个法向量为n()2,3,3=-, …… 11分又平面1B C C的一个法向量为()0,0,2AB=-,∴cos〈n,A B〉=⋅n A Bn A B200323⨯+⨯+-⨯-==…… 12分∴sin〈n,A B〉==. …… 13分∴tan〈n,A B〉=3.∴二面角1--C BC D的正切值为3. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1O P O Q k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=- ,化简得22x y =. …… 2分 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分 由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=.∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22kb =-. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =2412k += …… 7分132⎛⎫=+⎝…… 8分12≥⨯…… 9分=. …… 10分=k =时，等号成立.此时1b =-. ……12分2 解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =2412x +=…… 7分12⎛⎫= ⎝…… 8分12≥⨯…… 9分=. …… 10分=1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎛⎫= ⎝ …… 8分12≥⨯…… 9分=. …… 10分=，即11y =时，等号成立,此时1x =. ……12分220．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a-=-，得a b =. …… 2分又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分 ① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<，则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有()()12f x f x -===. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >> 且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. …… 4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分 (2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . …… 6分∴112233411nk k n n k a a a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L L a a -≤++++- …… 7分1211nLa a L-=--. …… 8分∵01L <<,∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分②∵12kk a a a A k++=,∴1212111kk k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+()()12111kk a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k aa a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ .…… 11分∴1122311nk k n n k A A A A A A A A ++=-=-+-++-∑()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。