奥数11.15,mgk g

第八讲分数计算与比较大小前面我们学习了分数计算的基本方法，这一讲我们来学习一些常见巧算方法在分数计算中的应用．在分数加减法的算式中，如果分数的分母不同，我们需要先通分才能继续计算．如果在计算之前我们适当的分下组，把分母相同的分数放在一起算，就可以减少通分的次数，使计算变得简便例题1.计算：12317 36182434320⎛⎫⎛⎫+++⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．「分析」这个算式有什么特点呢？你能发现前面括号里四个数分母的规律吗？怎样利用这个规律简算呢？计算：2451727482757515⎛⎫⎛⎫+++÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例题2.计算：111222333889 23103410451091010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L．「分析」对于第一个括号中的分数，如果把它们加起来通分后的分母会非常大．有没有能避免通分的方法？计算：1238127126121 2349349459899⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L．例题3.计算：111111111111 133557799111113 484848484848⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．「分析」这个问题的特点是什么呢？我们发现六个括号中的减数都含有1136，那么能不能把这些含有1136的部分放在一起计算呢？ 计算：131313131313215487111014131716515151515151⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭接下来我们学习如何比较分数的大小．我们知道分数的意义是：把“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数．易知：如果两个分数分母相同，分子越大分数越大．如果两个分数分子相同，分母越大分数越小．如果两个分数分子和分母都不同，我们应该怎么比较它们的大小呢？最常用的方法是利用分数的基本性质把它们化成分母相同或分子相同的分数．例如我们要比较1316和2127的大小，可以先把它们通分，变成分母相同的分数：13271627⨯⨯和21162716⨯⨯，然后再比较分子的大小：13272116⨯>⨯，所以13211627>． 因为最后比较的是两个乘积，因此这个方法也被称为交叉相乘法．要比较两个分数，只需要将这两个分数的分子分别与另 一个分数的分母相乘，比较两个乘积的大小．分子所在．．．．的乘积大．．．．，则分数就大．．．．．．例如比较58和813的大小，因为51388⨯>⨯，58的分子所在的乘积大，所以58813>． 除了我们介绍的方法外，比较分数大小还有许多其它的巧妙方法，但这些巧妙方法都需要我们多观察，看出题目中分数的特点，针对分数的特点来使用．例题4.比较下列分数的大小：（1）37与819；（2）827与1241；（3）把5个数1017，1219，1523，2033，60101由小到大排列起来．「分析」这里的分数分子分母都不相同，我们就应该观察分数的特点，来选择最适当的方法来比较它们的大小．大家能找出这些分数的特别之处吗？比较下列分数的大小：（1）717与512；（2）1223与1528；（3）把5个数311、514、1528、2539、75151由小到大排列起来．例题5.计算：363636636636363363636363．「分析」363636和636363看起来是不是很相似？它们都是谁的倍数呢？例题6.（1）把3个数1312，3635，6259由小到大排列起来；（2）把3个数45，79，1113由小到大排列起来．「分析」注意到这几个分数都与1很接近，能不能通过与1作比较来确定它们的大小？分数的历史在我国古代，《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年．西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》．在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则．从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同．另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作．分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行．欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度．实际上，印度在七世纪婆罗摩笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同．而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，印度也要比我们晚400年左右．刘徽（约公元225年—295年）作业1.计算：9398 136212 13111311+-+．作业2.计算：323324 7575⨯+⨯．作业3.比较下列分数的大小（填>=<或或）：（1）417___519；（2）445___665；（3）67___78．作业4.将下列分数按照从小到大的顺序排列起来：57，79，34，23．作业5.计算：215222 392372375⎛⎫⎛⎫+⨯÷-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第八讲 分数计算与比较大小例题1. 答案：33详解：1231736182434320⎛⎫⎛⎫+++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1321407316844332020⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()3351520+⨯ =33例题2. 答案：452详解：11122233388923103410451091010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L =112123128129233444999101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L =13914222+++++L =1238922222+++++L =452例题3. 答案：25详解：原式=()111111111111135791135791113484836484848⎛⎫+++++-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭=()11363579111348-⨯+++++ =11364848-⨯ =3611-=25．例题4. 答案：（1）38719>；（2）8122741>；（3）106020121517101331923<<<< 详解：（1）37与819的分子、分母都比较小，我们可以直接通分比较：3319577719719⨯==⨯⨯，8785619719719⨯==⨯⨯．因为5756719719>⨯⨯，所以38719>． （2）观察两个分数，我们发现它们的分母比较复杂，但分子之间的关系非常简单．由于24既是8的3倍又是12的2倍，我们可以通分子来计算：8242781=，12244182=，因为8182<，所以24248182>，即8122741>． （3）通过观察我们发现，这些数的分子是有联系的：每个分数都可以化成分子为60的分数．101066017176102⨯==⨯；12125601919595⨯==⨯；15154602323492⨯==⨯；20203603333399⨯==⨯． 几个分数分子相同时，分母越大，分数就越小，因此我们知道6060606060102101999592<<<<．即106020121517101331923<<<<．例题5. 答案：848847详解：整体约分，形如abcabc 的6位数是1001的倍数，形如ababab 的6位数是10101的倍数．例题6. 答案：（1）366213355912<<．（2）74119513<< 详解：（1）13111212=，36113535=，62315959=．因为13111236=，131135105=，所以131111355912<<，于是366213355912<<． （2）与1作比较，41155=-，72199=-，11211313=-．因为2121359<<，所以74119513<<．练习1. 答案：15 简答：245172327482231575751515⎛⎫⎛⎫+++÷-=÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．练习2. 答案：18简答：原式=1238182222++++=L ．练习3. 答案：44简答：原式()()13258171471657134451=++++-⨯+++=-=LL ．练习4. 答案：（1）751712<；（2）12152328<；（3）3575152511141512839<<<< 简答：同例4的方法．作业1. 答案：30简答：提示，凑整，将分母相同的分数一起算．作业2. 答案：3简答：提示，提取公因数．作业3. 答案：（1）；（2）；（3）简答：（1）交叉相乘；（2）通分子；（3）看分差或与1做比较．作业4. 答案：简答：采用通分差的方法较为方便，即变为，，，．分差相同的真分数，分46 68 79 57 25373749<<< < < <母越大则分数越大．作业5.答案：45简答：提示，注意运用提取公因数，凑整等巧算方法．。

小学五年级奥数题——速算与巧算在日常生活和解答数学问题时,经常要进行计算,在数学课里我们学习了一些简便计算的方法 ,但如果善于观察、勤于思考 ,计算中还能找到更多的巧妙的计算方法 ,不仅使你能算得好、算得快 ,还可以让你变得聪明和机敏 .例 1：计算： 9.996＋ 29.98＋ 169.9＋ 3999.5算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算,但是 ,这几个数每个数只要增加一点 ,就成为某个整十、整百或整千数,把这几个数“凑整”以后,就容易计算了.当然要记住 ,“凑整”时增加了多少要减回去.9.996＋ 29.98＋ 169.9＋ 3999.5=10＋ 30＋ 170＋ 4000－（ 0.004＋ 0.02＋ 0.1＋ 0.5）=4210－ 0.624=4209.376例 2：计算： 1＋ 0.99－ 0.98－ 0.97＋ 0.96＋ 0.95－ 0.94－0.93 ＋＋ 0.04＋ 0.03－ 0.02－ 0.01 式子的数是从 1 开始 ,依次减少0.01, 直到最后一个数是0.01, 因此 ,式中共有100 个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数,再加两个数 ,再减两个数这样的顺序排列的 .由于数的排列、运算的排列都很有规律,按照规律可以考虑每 4 个数为一组添上括号 ,每组数的运算结果是否也有一定的规律?可以看到把每组数中第 1 个数减第 3 个数 ,第 2 个数减第 4 个数 ,各得 0.02, 合起来是 0.04,那么 ,每组数（即每个括号）运算的结果都是0.04,整个算式 100 个数正好分成 25 组 ,它的结果就是25 个 0.04 的和 .1＋ 0.99－ 0.98－ 0.97＋ 0.96＋ 0.95 － 0.94－ 0.93 ＋＋ 0.04＋0.03 －0.02 －0.01 =（ 1＋ 0.99－ 0.98－ 0.97）＋（ 0.96＋ 0.95 －0.94－ 0.93 ）＋＋（ 0.04＋ 0.03－ 0.02－ 0.01 ）=0.04× 25=1如果能够灵活地运用数的交换的规律,也可以按下面的方法分组添上括号计算：1＋ 0.99－ 0.98－ 0.97＋ 0.96＋ 0.95 － 0.94－ 0.93 ＋＋ 0.04＋0.03 －0.02 －0.01 =1＋（ 0.99－ 0.98－ 0.97＋ 0.96）＋（0.95 －0.94－ 0.93 ＋ 0.92）＋＋（ 0.03－ 0.02－ 0.01 ）=1例 3：计算： 0.1＋ 0.2＋ 0.3＋＋ 0.8 ＋0.9＋0.10 ＋ 0.11＋ 0.12＋＋ 0.19＋ 0.20这个算式的数的排列像一个等差数列,但仔细观察 ,它实际上由两个等差数列组成,0.1＋0.2＋ 0.3＋＋ 0.8＋ 0.9 是第一个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.1,而 0.10＋ 0.11＋0.12＋＋ 0.19＋ 0.20 是第二个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.01, 所以 ,应分为两段按等差数列求和的方法来计算.0.1＋ 0.2＋ 0.3＋＋ 0.8＋0.9＋ 0.10＋ 0.11 ＋ 0.12＋＋0.19＋ 0.20=（ 0.1＋ 0.9）×9÷ 2＋（ 0.10＋0.20 ）× 11÷2=4.5＋ 1.65=6.15例 4：计算： 9.9× 9.9＋ 1.99算式中的 9.9× 9.9 两个因数中一个因数扩大10 倍 ,另一个因数缩小10 倍 ,积不变 ,即这个乘法可变为99× 0.99； 1.99 可以分成0.99＋ 1 的和 ,这样变化以后 ,计算比较简便.9.9× 9.9＋ 1.99=99× 0.99＋ 0.99＋ 1=（ 99＋ 1）× 0.99 ＋1=100例 5：计算： 2.437× 36.54＋ 243.7× 0.6346虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数,但前一个乘法的 2.437 和后一个乘法的243.7 两个数的数字相同,只是小数点的位置不同,如果把其中一个乘法的两个因数的小数点.按相反方向移动同样多位,使这两个数变成相同的,就可以运用乘法分配律进行简算了2.437× 36.54＋ 243.7× 0.6346=2.437× 36.54＋ 2.437× 63.46=2.437×（ 36.54＋ 63.46）=243.7* 例 6：计算： 1.1×1.2 ×1.3× 1.4×1.5算式中的几个数虽然是一个等差数列,但算式不是求和,不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果.平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、 11 和 13 这三个数连乘的积是1001,而一个三位数乘1001,只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积,例如 578× 1001=578578,这一题参照这个方法计算,能巧妙地算出正确的得数.1.1× 1.2× 1.3× 1.4× 1.5=1.1× 1.3× 0.7× 2× 1.2× 1.5=1.001× 3.6=3.6036计算下列各题并写出简算过程：1． 5.467＋ 3.814＋ 7.533＋ 4.1862． 6.25× 1.25× 6.43． 3.997＋ 19.96＋ 1.9998 ＋ 199.74． 0.1＋ 0.3＋＋ 0.9＋ 0.11＋ 0.13＋ 0.15＋＋ 0.97＋ 0.995． 199.9× 19.98－ 199.8× 19.976． 23.75× 3.987＋ 6.013× 92.07＋ 6.832× 39.87*7 ． 20042005 × 20052004 － 20042004 ×20052005 *8 ．（1＋ 0.12＋ 0.23）×（ 0.12＋ 0.23＋ 0.34）－（ 1＋ 0.12＋ 0.23＋ 0.34）×（ 0.12＋ 0.23 ）计算下列各题并写出简算过程：1． 6.734－ 1.536＋ 3.266－ 4.4642． 0.8÷ 0.1253． 89.1＋ 90.3＋ 88.6＋ 92.1＋ 88.9＋ 90.84． 4.83× 0.59＋ 0.41× 1.59－ 0.324× 5.95． 37.5× 21.5× 0.112＋ 35.5× 12.5× 0.112包含与排除1、某班有40 名学生 ,其中有 15 人参加数学小组,18 人参加航模小组,有 10 人两个小组都参加. 那么有多少人两个小组都不参加?两个小组共有（15+18） -10=23 （人） ,都不参加的有40-23=17（人）答：有 17 人两个小组都不参加 .--2、某班45 个学生参加期末考试,成绩公布后 ,数学得满分的有 10 人 ,数学及语文成绩均得满分的有 3 人 ,这两科都没有得满分的有29 人.那么语文成绩得满分的有多少人?45-29-10+3=9 （人）答：语文成绩得满分的有9 人 .3、 50 名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,,49,50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转,接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转 .问：现在面向老师的同学还有多少名 ?4 的倍数有 50/4 商 12 个 ,6 的倍数有 50/6 商 8个,既是 4又是 6的倍数有 50/12 商 4 个.4 的倍数向后转人数 =12,6 的倍数向后转共8 人 ,其中 4 人向后 ,4 人从后转回 .面向老师的人数 =50-12=38（人）答：现在面向老师的同学还有38 名.4、在游艺会上 ,有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券 .按奖券标签号发放奖品的规则如下：（ 1）标签号为 2 的倍数 ,奖 2 支铅笔；（ 2）标签号为 3 的倍数 ,奖 3 支铅笔；（ 3 ）标签号既是 2 的倍数 ,又是 3 的倍数可重复领奖；（ 4）其他标签号均奖 1 支铅笔 .那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?2 的倍数有100/2 商 50 个 ,3 的倍数有100/3 商 33 个 ,2 和 3 人倍数有100/6 商 16 个 .领 2 支的共准备（ 50— 16）*2=68, 领 3 支的共准备（ 33— 16）*3=51, 重复领的共准备16*（ 2+3）=80,其余准备100-（ 50+33-16 ） *1=33共需要 68+51+80+33=232（支）答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232 支.5、有一根长为180 厘米的绳子 ,从一端开始每隔后将标有记号的地方剪断.问绳子共被剪成了多少段3 厘米作一记号?,每隔 4 厘米也作一记号,然3 厘米的记号：180/3=60, 最后到头了不划,60-1=59 个4 厘米记号： 180/4=45,45-1=44 个 ,重复的记号：180/12=15,15-1=14 个 ,所以绳子中间实际有记号 59+44-14=89 个 .剪 89 次 ,变成 89+1=90 段答：绳子共被剪成了 90 段 .6、东河小学画展上展出了许多幅画,其中有 16 幅画不是六年级的 ,有 15 幅画不是五年级的 . 现知道五、六年级共有25 幅画 ,那么其他年级的画共有多少幅?1,2,3,4,5 年级共有 16,1,2,3,4,6 年级共有 15,5,6 年级共有 25所以总共有（ 16+15+25） /2=28 （幅） ,1,2,3,4 年级共有28-25=3 （幅）答：其他年级的画共有 3 幅.---7、有若干卡片 ,每张卡片上写着一个数 ,它是 3 的倍数或 4 的倍数 ,其中标有 3 的倍数的卡片占 2/3, 标有 4 的倍数的卡片占 3/4, 标有 12 的倍数的卡片有15 张 .那么 ,这些卡片一共有多少张?12 的倍数有2/3+3/4-1=5/12,15/（5/12）=36（张）答：这些卡片一共有36 张.----8、在从 1 至 1000 的自然数中 ,既不能被 5 除尽 ,又不能被7 除尽的数有多少个?5 的倍数有1000/5 商 200 个 ,7 的倍数有 1000/7 商 142 个,既是 5 又是 7 的倍数有1000/35商 28 个 .5 和 7 的倍数共有 200+142-28=314 个 .1000-314=686答：既不能被 5 除尽 ,又不能被 7 除尽的数有686 个.---9、五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项 .其中有 25 人参加自然兴趣小组 ,35 人参加美术兴趣小组 ,27 人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人, 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8 人 ,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9 人,语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人 .求这个班的学生人数 .25+35+27-（ 8+12+9） +4=62（人）答：这个班的学生人数是62 人.-- --10、如图 8-1,已知甲、乙、丙 3 个圆的面积均为 30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6,8,5,而 3 个圆覆盖的总面积为 73.求阴影部分的面积 .甲、乙、丙三者重合部分面积=73+（ 6+8+5） -3*30=2阴影部分面积=73-（ 6+8+5） +2*2=58答：阴影部分的面积是58.11、四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动 .其中有 24 人参加了数学小组 ,20 人参加了语文小组 ,参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍 ,又是 3 项活动都参加人数的 7 倍 ,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍 , 既参加数学小组又参加语文小组的有10 人 .求参加文艺小组的人数 .设参加文艺小组的人数是X,24+20+X-（ X/305+2/7*X+10 ） +X/7=46, 解得 X=21答：参加文艺小组的人数是21 人.________________________________________-12、图书室有 100 本书 ,借阅图书者需要在图书上签名.已知在 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33,44 和 55 本 ,其中同时有甲、乙签名的图书为29 本 ,同时有甲、丙签名的图书有25 本,同时有乙、丙签名的图书有36 本 .问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过 ?三个人一共看过的书的本数是：甲 +乙 +丙（-甲乙 +甲丙 +乙丙）+甲乙丙 =33+44+55（- 29+25+36）+甲乙丙 =42+甲乙丙 ,当甲乙丙最大时 ,三人看过的书最多,因为甲、丙共同看过的书只有25 本,比甲乙和乙丙共同看到的都少,所以甲乙丙最多共同看过25 本.三人总共看过最多有42+25=67（本） ,都没看过的书最少有100-67=33 （本）答：这批图书中最少有33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.________________________________________13、如图 8-2,5 条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994 个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?五条线上右发有 5*1994=9970 个红点 ,如果所有交叉点上都放一个红点,则红点最少 ,这五条线有 10 个交叉点 ,所以最少有9970-10=9960 个红点答：在这个五角星上红色点最少有9960 个 .14、甲、乙、丙同时给100 盆花浇水 .已知甲浇了 78 盆 ,乙浇了 68 盆 ,丙浇了 58 盆 ,那么 3 人都浇过的花最少有多少盆?甲和乙必有 78+68-100=46 盆共同浇过 ,丙有 100-58=42 没浇过 ,所以 3 人都浇过的最少有46-42=4（盆）答： 3 人都浇过的花最少有 4 盆 .15、甲、乙、丙都在读同一本故事书 ,书中有100 个故事 .每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读 .已知甲读了 75 个故事 ,乙读了 60 个故事 ,丙读了 52 个故事 .那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个?乙和丙共同读过的故事至少有60+52-100=12（个） ,甲无论从哪里开始都必定要读这12 个故事.答：甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有12 个.15、甲、乙、丙都在读同一本故事书 ,书中有100 个故事 .每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读 .已知甲读了 75 个故事 ,乙读了 60 个故事 ,丙读了 52 个故事 .那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个?乙和丙共同读过的故事至少有60+52-100=12（个） ,甲无论从哪里开始都必定要读这12 个故事.答：甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有12 个.________________________________________-8、在从 1 至 1000 的自然数中 ,既不能被 5 除尽 ,又不能被 7 除尽的数有多少个 ?5 的倍数有 1000/5 商 200 个 ,7 的倍数有1000/7 商 142 个,既是 5 又是 7 的倍数有 1000/35 商 28 个 .5 和 7 的倍数共有 200+142-28=314 个 .1000-314=686答：既不能被 5 除尽 ,又不能被7 除尽的数有686 个 .题中的除尽应该是整除吧.11、四年级一班有46 名学生参加 3 项课外活动 .其中有 24 人参加了数学小组,20 人参加了语文小组 ,参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍 ,又是 3 项活动都参加人数的7 倍 ,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍 , 既参加数学小组又参加语文小组的有10 人 .求参加文艺小组的人数.设参加文艺小组的人数是X,24+20+X-（ X/305+2/7*X+10 ） +X/7=46, 解得 X=21答：参加文艺小组的人数是21 人.。

第十五讲公约数与公倍数进阶这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识．首先来看一下最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系．两个数，如果它们的最大公约数是k ．那么可以假设这两个数分别为、，其中a 、b 互质．而它们的最小公倍数可以表示为．通过观察，我们发现．由此可得： 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行．如果只给出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？例题1．（1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数是多少？（2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？「分析」最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为18a ⨯和18b ⨯，且a 、b 互质．接下来，我们讨论一下a 、b 的取值．（1）两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出来．比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a 和12b ，而且a 和b 互质．那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a 和b 表示出来了．例题2．两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数． 「分析」可以设两个数分别是13a ⨯和13b ⨯，且a 、b 互质．()()()k a k b k k a b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ k a b ⨯⨯ k b ⨯a 和b 互质 k a⨯k b ⨯ k a ⨯两个自然数的乘积是288，它们的最大公约数是6，求这两个数．例题3．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？「分析」两个数的最大公约数是6，我们可以假设这两个数是6a⨯，它们的最小公⨯，6b倍数是6a b⨯⨯等于420．那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障⨯⨯，那么可知6a b呢？两个数的最大公约数是10，最小公倍数是300，如果这两个数相差70，那么较小的数是多少？约数与倍数的问题，最重要的就是分析清楚数的构成，最常用的方法就是分解质因数，由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要．例题4．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126．请问：甲数是多少？「分析」这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较它们质因数的构成来求解呢？三个正整数a、b、c，已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是525，28和300．那么a的值是多少？例题5．有4个不同的自然数，它们的和是1111．它们的最大公约数最大是多少？「分析」这4个数的最大公约数和1111有什么关系呢？根据前面的题目可知，几个数的和，一定是这几个数的最大公约数的倍数．那么最大公约数可能是多少？之前在学习约数的时候，我们学习过如果知道约数个数怎么去反求原数．有些题目里面，利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到．例题6．甲、乙是两个不同的自然数．它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数．它们的最大公约数是12．请问：甲、乙两数之和是多少？「分析」甲、乙只含有质因数2和3，且它们都是12的倍数，所以都是23a b ⨯的形式．并且它们都有12个约数，由约数个数公式可得()()1112a b +⨯+=．所以要把12拆成两个大于1的数相乘，这只能是26⨯或34⨯．我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目要求的数．亲和数你能看出220和284之间有什么关系吗？大数学家毕达哥拉斯的回答是：220的约数除本身外为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和为284；而284的约数除本身外为1，2，4，71，142，它们的和为220。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有下列情形：有 4 种形成9 的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成8 的和：1+7=2+6=3+5；有 3 种形成10 的和：2+8=3+7=4+6；有 3 种形成7 的和：1+6=2+5=3+4；有 3 种形成11 的和：3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和：1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和：1+4=2+3；有 2 种形成12 的和：4+8=5+7；有 2 种形成13 的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15 各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15 中的数，如果只用其中3 个数（标在棱的中点处)，那么这三个数不能写成共12种不同形式的(取自于1、2、…、8 之中的两数)和，而正方体棱数有12 个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12 条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加 3 次加法运算。

如果在12 条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11 中的某三个数字(各三次)，那么棱上数之和只能是(9+7+8+1C JX 3=102,(9+8+10+11)X 3=114,(9+7+10+11)X 3=111,( 9+7+8+11)X 3=105。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

第二十六讲比较与估算在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大小的方法•今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题.例题1.现有7个数，其中5个是3.&&、3-、116、3.&&、3凹•如果按照从小到大排列的第三7 37 273个数是空，那么位于最中间的数是多少？37「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果.练习1.有8个数，0.&& -、5、0.5& 24、13是其中的6个.如果按从小到大的顺序排列时,3 9 47 25第4个数是0.5&.那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？例题2.2 5 3在不等式2 5 3的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.3 □4「分析」分子相同，分母大的分数小.但分子不一样怎么比较大小呢?练习2在不等式2□的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.那么方框中最大可以填多少?在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符合题意.例题3.算式33.333 33.333计算结果的整数部分是多少？「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数部分就可以了•我们可以从以下两个方面考虑：(1)估算结果的大致情况，推出整数部分.(2)计算出准确结果，确定整数部分.那大家想一想应该怎么办？练习3.算式66.666 66.666计算结果的整数部分是多少?算式的缩放是估算问题中经常用到的方法. 缩放的方法有很多.在放缩的时候要注意不可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用.例题4.2 2 2 2算式---L —计算结果的整数部分是多少？11 12 13 20「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦•如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算, 还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了.练习4.33 33算式-— L—计算结果的整数部分是多少?20 21 2229同例题4,需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分.例题6.(1) 两个小数的整数部分分别是 4和5,那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能 的取值？ (2)将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9•将这两个小数的乘积四 舍五入到个位后共有多少种可能的取值？「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围， 那么乘积也一定有一个连续 的取值范围.例题 5.求出99 100 9991000 9999999999 的计算结果的整数部分.10000000000「分析」等号与不等号的历史、等号，不等号为了表示等量关系，用“=”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了.说来话长，在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里，常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思.1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto （等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了.”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“=”表示“相等”，“=”叫做等号.用“=”替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用.历史上也有人用其它符号表示过相等. 例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用表示过“相等”.直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“=”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认.顺便提一下，“工”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号.“工”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a+ 1工a+ 5.二、大于号，小于号现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系.我们知道，相等关系可以用“=”表示，不等关系用什么符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁. 1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”表示“小于”.例如，A大于B记作：“ AffB”，A小于B记作“ A§B”. 1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“〉”表示“大于”，“V”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.例如5>3,—2V0, a>b, m V n.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号.例如，1631年，数学家奥乌列德曾采用“ | —”代表“大于”；用“ _ ”代表“小于”.1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a >b用符号“a3|2b”表示；b v a用符号“b2|3a”表示.因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了.只有哈里奥特创用的“〉”和“V” 一直广为使用.作业5.小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8 9 72， 有多少种可能？作业1.下面的分数中，最大的是哪个？326- ? — ? ---11 9 25作业2.下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个?作业3.算式1 23 2 5 2 L13 1517 作业4.6.6666 9.9999的整数部分是多少?那么原算式结果的整数部分11 29 '丄丄，C 丄 -13 27 14 26 211 的整数部分是多少?23作业5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到 8 972 ，那么原算式结果的整数部分有多少种可能？作业 1. 3 11 作业 2.下面的分数中,最大的是哪个？, 2, 69 25下面三个算式的结果中,最大的是哪个？最小的是哪个？1 1 1 1 1 1 A, B , C .11 2913 27 14 26作业3. 2 2 2 2算式 1 2 3 2 5 2 L 11 2 的整数部分是多少？13 15 17 23作业 4. 6.6666 9.9999 的整数部分是多少？作业5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到 8 972 ，那么原算式结果的整数部分有多少种可能？作业1. 3 11 作业 2. 下面的分数中，最大的是哪个？， 2， 6 9 25下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？1 1 1 1 1 1A， B， C ．11 2913 2714 26作业 3. 2 2 2 2算式 1 2 3 2 5 2 L 11 2 的整数部分是多少？13 15 17 23作业 4. 6.6666 9.9999的整数部分是多少？作业5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8 9 72 ，那么原算式结果的整数部分有多少种可能？。

22第十六讲 分数应用题在三、四年级的时候， 同学们学习了 “和差倍”问题．在这一讲，继续来学习 “和差倍” 问题．但不同的是，今天的学习中，我们将引入“分数倍”的概念．和“整数倍”一样， “分 数倍”也是一种倍数关系，唯一的区别是用分数来表示．我们举一个例子：卡莉娅买了 20 个苹果， 10 个桔子，容易知道，卡莉娅买的苹果数量是桔子的 2 倍，那桔子是苹果的几倍 11 呢？同样的，用一个除法算式来计算： 10 20 ，即桔子的数量是苹果的 倍，或者桔22 11子的数量是苹果的 1 ．我们把分数倍，比如前面的“ 1 ”，称为 分率 ．221注意，每一个分率都有一个对应的总量．例如，桔子的数量是苹果的 1 ，在这里，分211率“ 1 ”所对应的总量是苹果总数， “ 1 ”表示的是苹果总数的一半．如果我们将苹果的数量设为“ 1”份，那桔子的数量就为“ 1”份．通常，将分率所对应的总量设为“1”份，2也就是此分率所对应的单位“ 1”．在计算分数应用题的时候，一定要首先找到分率所对应的单位“ 1”．当知道单位“ 1”的数量时，计算分率的对应数量很容易．例如，卡莉娅有20 个苹果，11她的桔子数量是苹果数量的，那卡莉娅就拥有20 10 个桔子．那知道了分率的对应22量，如何来求单位“ 1”呢？请熟记公式：单位“1”= 分率对应量分率2 例如，小高有30 张动物卡，他的动物卡是植物卡数量的2，那么他的植物卡有多少张52呢？列算式计算：30 2 75张，即小高有75 张植物卡．一般来说，每一个分率都会有一5个数量和它对应（包括单位“ 1”），我们将这种对应关系称为量率对应．找到量率对应，是解决分数应用题的关键．（1）小高有100个梨，他把其中的21送给了墨莫，那么小高送给了墨莫 __________ 个梨．（2）卡莉娅有20 个苹果，她把其中的4送给了萱萱，那么卡莉娅送给了萱萱5_______ 个苹果．（3）小高有高思积分360 分，是墨莫的积分的3，则墨莫有高思积分___________分．（4）卡莉娅今年10 岁，是小山羊的2，那么小山羊今年____________ 岁．54例题 1．小高买来一些巧克力，和墨莫、卡莉娅一起吃，不一会便把所有巧克力吃光了．墨 23莫吃了全部巧克力的 2 ，卡莉娅吃了全部巧克力的 3 ，小高吃了 9 块．请问小高一共买来5 10多少块巧克力？「分析」 小高吃的巧克力占全部的几分之几呢？口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球．其中红球占总球数的 1 ，黄球占总球数的 1，绿34 球有 50 个．口袋里一共有几个球？在例题 1 中，容易找到分率与数量的对应． 但有的题目并不直接给出分率所对应的数量， 那就需要同学们仔细寻找和计算，完成量率对应．11例题 2．有一堆砖，搬走总数的 1 后又运来 306 块．这时这堆砖比最开始还多了 1．这堆砖 45 原来有多少块？「分析」 这道题中只有一个具体的量： 306 块砖，那么我们就应该去寻找它所对应的分率．1小言在练毛笔字．第 1 个小时结束的时候，还差 1才完成练字计划．第 2 个小时，小31言又写了 84 个毛笔字， 结果总的练字数超过了练字计划的 1．那么小言计划写多少个字？五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了1，结果总人数增加了16 人．请「分析」题目条件虽然比较多，好在分率只有一个，同学们能不能看出“ 1”这个分率是20相对于哪个单位“ 1”来说的？它对应的又是哪个量呢？上届校运动会共有250 名同学报名参加．本届校运动会的报名统计显示，男生减少了1人，而总人数却增加了 4 人，原因是女生增加了1．那么本届校运动会有多少女同学报名？20在上面的分数应用题中，每题中分率所对应的单位“1”都是统一的，便于我们进行分率的加减．但如果题目中出现的分率所对应的单位“1”并不统一，又该如何处理呢？甲、乙两城相距多少千米？22分析」第二天走的“ 2”是全部路程的2吗？如果不是，它应该是全部路程的几分之几？33小明看一本书，第一天看了全书的1，第二天看了剩下的2，还剩下144页没有看．问35这本书共有多少页？现有苹果、桔子、梨三种水果各若干个，苹果的数目是其它两种水果总数的5是其它两种水果总数的5，梨有26 个．这些水果一共有多少个？163 ；玩了若干局后，阿5 呆赢了阿瓜的20张牌，此时阿呆手里的牌数反而是阿瓜手里牌数的7．请问：11，桔子的数目6阿呆和阿瓜一起玩游戏牌．开始时阿呆手里的牌数是阿瓜手里牌数的分析」已知条件中又有好几个分率，它们对应的单位“1”也不一样，需要将它们统阿呆此时一共5多少张牌？「分析」题目中的两个分率，都是以墨莫手里的牌数作为单位“ 1”，但墨莫手里的牌数前后不一样，需要将两个分率统一．丢番图的墓志铭古希腊的大数学家丢番图。

第三讲质数与合数什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6 2 3，8 2 4 2 2 2 ,12 2 6 3 4 2 2 3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数.而像2, 3, 7 这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数•如果说得形象一点，质数就是拆不开”的数，合数就是拆得开的数.严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数•注意，1既不是质数也不是合数.我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数.____________________________________________________ （填写在横线上）相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松. 质数是我们后面学习的 基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数. 请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出来， 说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了 A A当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角.【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出 来了.同学们还可以这样做: 在100以上还有无穷多个质F 面是主试委员会为第六届 华杯赛 写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋; 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多; 九天九霄志凌云，九七共庆手相握; 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话.数，比如接着100的就有四个质数：101, 103, 107, 109.将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来,自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个?(1)如果两个不同的质数相加等于26,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.(2)如果两个不同的质数相加等于25,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.(3)三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出.【分析】对于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数•那么后两问中的质数可以都是奇数吗?如果三个互不相同的质数相加，和为52,这三个质数可能是多少?通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解. 下面我们来学习这一讲中最重要的内相信对100以内的质数比较熟悉的同学， 做这个题目会很轻松. 质数是我们后面学习的分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将 30分解质因数，在计算的过程容：分解质因数•分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式•如： 30 2 3 5， 100 2 2 5 5，280 2 2 2 5 7 •同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的.2 2100 2 5 ； 280在分解质因数时也可以写成3280 2 5 7 •这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略.如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断 197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法， 只需要试很少的几个就能判断.例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为 15 15 225比197大•类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为45 45 2025比2011大•有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 999; (4) 10101.请把下面的数分解质因数: (1) 373; (2) 12660.中要善用各种特殊数的整除特性.100在分解质因数时也可以写成:一・22-25752O8能整除30相除后得3「分析」将一个数分解质因数， 可以从最小的质数开始, 一个一个去试商，写成短除的形式.在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数.解决这类问题的方法同样是质因数分解•下面我们来看一个例题.__算式1 2 3 L 100计算结果的末尾有多少个连续的0?【分析】乘积的末尾要出现一个0,只需要乘数中凑出一个10,那么能凑出来几个10,末尾就有多少个连续的0•注意到10 2 5，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5 的个数就可以了.算式1 2 3 L 30的计算结果的末尾有多少个连续的0?分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养. 下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题.三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少?「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数. 由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近.【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数. 而3 2360 2 3 5，它不是一个平方数.它最小再乘上多少，结果就是平方数了？通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处. 它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚. 很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单.在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少.有人可能会问：质数出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个.他用的是如下的反证法：设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2 3 5 7 L n .将这个积加1称为k,因为2, 3, 5, 7, 11,…，n都不能整除k,所以k必然含有一个更大的质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！作业1.（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？2.自然数49，87，101，103，121 中，哪些是质数？3.请把下面的数分解质因数：（1）240；（2）1080.4.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？5.算式1 2 3 L 35的计算结果的末尾有多少个连续的0？第三讲质数与合数例题1. 答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山详解：1~56 中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 共16 个.例题2.答案：(1) 69、133; (2) 46; (3) 434 详解：(1)26可以拆成3与23的和,或者7与19的和;(2)25 只能拆成2 和23 的和;( 3)三个数的和是偶数, 可以是三个偶数, 或者一偶两奇.考虑到质数中只有 2 是偶数,可知一定是一偶两奇,且偶数是2.另外两个奇数是7和31.例题3.答案：(1) 360 23 32 5;(2) 539 ( 4)72 11 ;(3) 999 33 37;10101 3 7 13 37 .例题4. 答案：24详解：末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关, 结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关.因为 2 的个数要比 5 的个数多,所以0 的个数等于5的个数.乘数中5的倍数有20个,25的倍数有4个,所以质因数5的个数有20 4 24 个.末尾有24 个连续的0.例题5. 答案：102详解：39270 2 3 5 7 11 17 .考虑其中最大的质因数17,三个自然数中一定有 1 7的倍数.如果是17,那么一定有16或18.这不可能.如果是34,另外两个数是33和35,正好满足.33 34 35 102 .例题6. 答案：160详解：完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数. 而360 23325, 至少要再乘上 2 5 10 才是一个平方数.题目要求是三位数,即360 1104 2__4_3_ 是一个平方数.可知空格上也要填入一个平方数,最三位数小要填16．要乘的三位数最小是160．练习1. 答案：23、37、53、73简答：一位数中的质数只有2、3、5、7．而N 的个位数字只能是3和7，分类枚举即可．练习2.答案：2、3、47或者2、7、43或者2、13、37或者2、19、31简答：三个质数一定是一偶两奇，偶数是2．练习3. 答案：（1）质数；（2）12660 22 3 5 211．练习4. 答案：7简答：1~30中5的倍数有6个，25的倍数有1个，所以其中有7 个5．计算结果的末尾有7 个连续的0 ．作业1. 答案：（1）74；（2）230或374 简答：（1）39 2 37，乘积为74．（2）30 2 5 23 2 11 17 ，乘积为230或374．作业2. 答案：101，103．作业3. 答案：（1）240 24 3 5；（2）1080 23 33 5．作业4. 答案：21简答：336 24 3 7 6 7 8 ，和为21．作业5. 答案：8个简答：看含有因子5 的个数，是5 的倍数的数有7 个，是25 的倍数的数有1 个，共8 个．。

第6讲几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．典型问题兴趣篇1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、，、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？拓展篇1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？6．如图10-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？7．如图10-18，数一数，图中共有多少个长方形？8．如图10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？9．如图10-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？10．如图10-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？12．如图10-23，一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为l的三角形？超越篇1．图10-24是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）?2．如图10-25，数一数，图中共有多少个三角形？3．如图10-26，这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？4．如图10-27，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C这3个点都是格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？5．如图10-28，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形，在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？7．如图10-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？8．如图10-31，在3×3的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？第10讲几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．典型问题兴趣篇1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？解：1,4+3+2+1=10段2，4×1+3×2+2×3+1×4=20厘米2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？解：1，（1+2+3+4）×3=30根2，（1+3+5+7）+（1+2+3+1）+（1+2）+1=27个3，27-2-2-1=22个3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？解：1+4+1=6个4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？解：5+4+1+1+1=12个6×2+10×2=28个5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？解：42+32+22+12=30个6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？解：C53×4+C42×5=70条C52×C42=60个7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？解：C52×C42-C52×4=208．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？解：4×6+2×12=48个9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？解：C123-4×3-4-4=200个10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？解：3×2+4+2+1=13个拓展篇1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？解：25+10+6+3+1+3=48个2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．解：10+4×5+5=35个35-6=29个35+6×2=47个3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？解：35×2+3×5=85个4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）解：7+2+2+2+3+1=17个5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？解：4×4+3×3+2×2+1×1=30个6．如图10-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？解：C102×C52=450个2×3×4×6=144个7．如图10-18，数一数，图中共有多少个长方形？解：15×6+21×3-6×3=135个8．如图10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？解：6×3+15+3×2+3+3=45个9．如图10-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？解12×2+4×2+6×2+2+8+2=5610．如图10-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？解：9+4×2+2×2=21个11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？解：10+10+10+5+1=36个12．如图10-23，一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为l的三角形？解：6×7+8×2+8+4=70个超越篇1．图10-24是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）?解：等边有：9+3+1+2=15个等腰有：3+2×6+6+3=24个共39个2．如图10-25，数一数，图中共有多少个三角形？解：C72×2+C31×2×4+1=67个3．如图10-26，这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？解：2×1×3×5=30个3×4×6+4×2×5×3-3×2×5=162个4．如图10-27，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C这3个点都是格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？解：4×4=16个5．如图10-28，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？解：12×（4+3+2+1）=120个6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形，在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？解：4×8+4×4+2×3+4×2+1=63个7．如图10-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？解：4×6+8×（3+1+3+1）+4×（3+3+2+5+2）=148个8．如图10-31，在3×3的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？解：（1）4个（2）4×10+2×4=48个（3）6×8+4×4+8+4×4+4=92个。

第五讲分数基本计算、分数的定义实际生活中，人们在进行测量和计算时往往不能得到整数的结果，为了适应实际的需要，人们发明了分数来表示这些非整数的结果.一般来说，把一个整体分成若干等份，取其中的一份或几份所表示的数就叫做分数.注意，一个物体或一些物体都可以看做一个整体.如图所示，如1果将一个圆平均分成四份，那么取其中的一份用分数表示就是-，取另外43 4的三份用分数表示就是-，如果将四份都取出，那用分数表示就是-，也4 4就是单位“ 1 ”了.134、分数的分类及转化 所有分数可以分成三类：真分数,假分数和带分数•我们把分母比分子大的分数称为真分数,例如：1、—、—、…；223 9 把分子比分母大或分子分母相等的分数称为假分数，例如：32、-、空、…；2179把包含整数部分的分数称为 带分数，例如：95、13、10-、….6 7 4注意：(1)在书写分数的时候不要将带分数与假分数混淆起来， 即不能出现所谓的“带假分数”如： 25，正确的写法是32或11 ；3 3 3(2)带分数都可以写成一个整数与一个真分数相加的形式.假分数转化成带分数：非常简单，只需做一个带余除法•• •分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子.例如：将52化为带分数，52 21 2L L 10，则2152 J02 -.21 21有的时候会发现假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时带分数转化成假分数：刚好是带余除法的逆运算•分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为假分数就转换成了整数•例如:28分子.例如:2巴 2 21 10 5221 21 21【分析】熟练掌握假分数与带分数的转化法则即可.(1)将下面的假分数转化成带分数或整数.7 32 78 10 294 ' 15 ' 13 ' 7 ' 19(2)将下面的带分数转化成假分数.1 ,52 9 , 75 , 1 — , 6-, 7 — , 1—. 4 9 3 13 15三、分数的基本性质及约分、通分在学习分数的运算之前，我们要先学会分数的基本性质||分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变.11利用分数的这种性质，我们可以把分数的分子、分母同时除以某个数，使得分数的大小不变，这个过程叫作 约分•例如：75 15 5 .-不能再约分了，像这样的，不能再约分90 18 66的分数叫做最简分数.根据分数基本性质，把几个分母不同的分数分别化成与原分数相等的同分母分数，叫 做通分•如：将1 ,3这两个分数通分，可以分别变为:(1) 将 (2) 将 3? 2? 13 , E 匸,兰仝27上1丄,Z24128 '1427 '32 168 1122 '1224 8 24F 面的假分数转化成带分数或整数.F 面的带分数转化成假分数. 33， i 12，Hl ， 23， 10 5 . 123 8(1 )将下列分数约分成最简分数: 分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数(1 )将下列分数约分成最简分数:80 91 393414 ' 77 ' 69 ' 15(2)将下面几组分数进行通分:5 •③ 1 3 3 8 2 4 510例题 228 35 38 9136 ' 24 ' 57 ' 84 '(2)将下面几组分数进行通分:5:③ 7 , 3 12 94712【分析】在进行约分和通分时，一定要注意分子和分母要同时乘或除以一个数，否则分数的 大小就会发生改变.(1 )将下列分数约分成最简分数:分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法:1 ）将下列分数约分成最简分数: 分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.28 ， 35 ， 38 ， 91， 36 24 57 842）将下面几组分数进行通分：1；；®9，4，1，1；大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数：80， 91 ， 39 ， 34 • 14 77 6915（ 2）将下面几组分数进行通分：①3,2； ；②1 ,1， 5； ，； ③ 1 ，3，2， 74 54 682 4 5 10四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：分析】 在进行约分和通分时，定要注意分子和分母要同时 乘或除以一个数， 否则分数的例 题 21 ）将下列分数约分成最简分数：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.28， 35 ， 38 ， 91 ， 36 24 57 842）将下面几组分数进行通分：大小就会发生改变.练习21 ）将下列分数约分成最简分数：80， 91 ， 39 ， 34 . 14 77 6915（ 2）将下面几组分数进行通分：①3,2； ；②1 ,1， 5； ，；③ 1 ，3，2， 74 5468 24 5 10①1, 3 :②26831；:③ 9，4，1，1；分析】 在进行约分和通分时，定要注意分子和分母要同时. 乘或除以一个数， 否则分数的例题21 ）将下列分数约分成最简分数：四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.例 题 21 ）将下列分数约分成最简分数：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.28， 35 ， 38 ， 91 ， 36 24 57 842）将下面几组分数进行通分：1；；®9，4，1，1；大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数：80， 91 ， 39 ， 34 • 14 77 6915（ 2）将下面几组分数进行通分：①3,2； ；②1 ,1， 5； ，； ③ 1 ，3，2， 74 54 682 4 5 10四、分数的四则运算分析】 在进行约分和通分时，定要注意分子和分母要同时 乘或除以一个数， 否则分数的例题21 ）将下列分数约分成最简分数：首先，先来看一下分数的加减法：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.例 题 21 ）将下列分数约分成最简分数：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.28 ， 35 ， 38 ， 91 ，36 24 57 842）将下面几组分数进行通分：大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数：80 ， 91 ， 39 ， 34 .14 77 69 15（ 2）将下面几组分数进行通分： ①3, 2； ； ②1 , 1 ， 5；，； ③ 1 ， 3， 2， 74 5 4 68 2 4 5 10①1, 3 :②2 6 8 3 1；:③ 9，4，1，1；分析】 在进行约分和通分时， 定要注意分子和分母要同时. 乘或除以一个数， 否则分数的例题21 ）将下列分数约分成最简分数：四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.1 ）将下列分数约分成最简分数:分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数. 例题228 ， 35 ， 38 ， 91 ，36 24 57 842）将下面几组分数进行通分:分析】 在进行约分和通分时 定要注意分子和分母要同时. 乘或除以一个数，否则分数的 大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数:80 ， 91 ， 39 ， 34 .14 77 69 15（ 2）将下面几组分数进行通分: ①3, 2； ； ②1 , 1 ， 5； ，； ③1, 3， 2， 74 5 4 68 2 4 5 10四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法:①1, 3 :②2 6 8 31；:③ 9，4，1，1；例 题 21）将下列分数约分成最简分数：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数.28 ， 35 ， 38 ， 91 ，36 24 57 842）将下面几组分数进行通分：大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数：80 ， 91 ， 39 ， 34 •14 77 69 15（2）将下面几组分数进行通分： ①3, 2； ； ②1 , 1，5； ，； ③ 1 ，3， 2， 74 5 4 68 2 4 5 10四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：①1, 3 :②2 6 8 31；；®9，4，1，1；分析】 在进行约分和通分时， 定要注意分子和分母要同时 乘或除以一个数， 否则分数的例 题 21 ）将下列分数约分成最简分数： 分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数. 28， 35 ， 38 ， 91 ， 36 24 57 84 2）将下面几组分数进行通分：大小就会发生改变．练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数：80 ， 91 ， 39 ， 34 ．14 77 69 15（ 2）将下面几组分数进行通分： ①3, 2； ； ②1 , 1 ， 5 ； ，； ③ 1 ， 3， 2，7 4 5 4 68 2 4 5 10四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：①1, 3 :②2 6 8 3152 ； ③ 97 ， 43 ， 16， 172 分析】 在进行约分和通分时， 定要注意分子和分母要同时． 乘或除以一个数， 否则分数的1 ）将下列分数约分成最简分数:分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数. 例题228 ， 35 ， 38 ， 91 ，36 24 57 842）将下面几组分数进行通分:分析】 在进行约分和通分时 定要注意分子和分母要同时. 乘或除以一个数， 否则分数的 大小就会发生改变.练 习 21 ）将下列分数约分成最简分数:80 ， 91 ， 39 ， 34 .14 77 69 15（ 2）将下面几组分数进行通分: ①3, 2； ； ②1 , 1 ， 5； ，； ③1, 3， 2， 74 5 4 68 2 4 5 10四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法:①1, 3 :②2 6 8 31；:③ 9，4，1，1；。