小学小升初奥数专题之整除问题

小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。

同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。

这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。

例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。

由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。

这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。

例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。

又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。

2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。

换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。

例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。

(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。

即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。

例如，7│28，28│84，那么就有7│84。

(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。

也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。

例如，13│39，39×4=156，因此13│156。

(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。

即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。

例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。

小学六年级奥数练习题：整除问题
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整除问题：（中等难度）
用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是_.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
整除问题答案：
∵被除数=除数_商+余数，
即被除数=除数_40+_。

由题意可知：被除数+除数=933-40-_=877，
∴（除数_40+_）+除数=877，
∴除数_41=877-_，
除数=861÷41，
除数=_，
∴被除数=__40+_=856。

答：被除数是856，除数是_。

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(数论问题数的整除性)1、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.答：2、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.答3、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.答：4、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.答：5、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.答：（数论问题）1、五年级数的整除习题答案：解答：7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2、五年级数的整除习题答案：解答：1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3、五年级数的整除习题答案：解答：990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4、五年级数的整除习题答案：解答：99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填 6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960. 解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5、五年级数的整除习题答案：解答:3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=3367。

2019年小学奥数数论专题——整除1．整除1．173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，1l，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?2．如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?3．某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?6．在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?7．已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少? 9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？10．1～9九个数字按下图所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？11．1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?12．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．13．有20位同学，每位同学都有编号，他们是1号到20号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．14．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?15．试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．16．把若干个自然数l，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?17．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？18．如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零?第 1 页19．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？20．六位数2008能被99整除，是多少？21．六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？22．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？23．已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？24．一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.25．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？26．各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？27．张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？28．某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？29．在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c 整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3某4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.二、唯一分解定理a3aka1a2np1p2p3pk任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，a1a2ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2某3某5某7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2022222251；10101371337.约数倍数一、求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)236；32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．二、最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．三、求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．a四、约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数五、求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772；②短除法求最小公倍数；21812例如：396，所以18,12233236；32ab③[a,b]．(a,b)六、最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最35[3,5]15b大公约数b；即为所求．例如：[,]412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：141,42,32,34八、倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数九、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

小学数学整除问题一、相关概念对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。

a就是b的倍数，b是a 的约数。

0是任何自然数的倍数，1是任何整数的约数二、一些数的整除特征①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数③被5整除的特征：数的个位上是0、5④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数⑦被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数，两者的差是7、11、13的倍数⑧一个整数既能被2整除又能被3整除，那这个数就能被6整除一个整数既能被2整除又能被5整除，那这个数就能被10整除一个整数既能被3整除又能被5整除，那这个数就能被15整除三、整除的应用(一)简单应用题型例1．期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？解析：总分=平均分×人数，即□95□是90的倍数，而90=2×5×9，□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征，□95□的个位数一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的□一定是4，总分一定是4950，学生人数=4950÷90=55（人）例2．一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。

你能帮忙算出单价和总价吗？解析：先不考虑小数点.总价=单价×数量，即1□245□应是36的倍数，而36=4×9，1□245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数,即个位上的□只能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数.如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元例3.水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克.例4.希望小学有11个兴趣小组,各小组人数如下表:一天下午,学校同时举办写作、数学两个讲座，已知有10个小组去听讲座，其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在讨论问题，这一组是哪个小组？解析：由“其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”可知：听讲座的人数一定是7的倍数，除以7肯定没有余数，而总人数除以7必得一余数，再看表中哪组人数除以7得到的余数，与上面那个余数相同，该组就是去参加讨论的那组例5．小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。

整除1.被一个数整除2. 被两个数整除3. 被三个数整除4. 整除与生活应用一被一个数整除10÷2＝5四种说法：看末几位末一位末两位末三位被2，5整除的数被4，25整除的数被8，125整除的数看各个数位数字之和被3，9整除的数的特征：取隔断三位隔断（求差）两位隔断（求和）一位隔断（求差）被7，11，13整除的数被99整除的数被11整除的数被2 5 4 25 8 125 整除例1.在（）里填入适当的数使所组成的数能被2整除使所组成的数能被5整除292（）328（）（）785（）96（）51. 用5，7，8，0组成一个四位数，使它是2的倍数，这个数是（）；使它是5的倍数，这个数是（）例2. 下列哪些书能被4整除？哪些数能被25整除？12456 2350 37212 7800 5408 653251. 在（）里填入适当的数使所组成的数能被4整除65（）4 ，1235（），78（）4 ，7653（）使所组成的数能被25整除2785（），96（）5 ，98（）5 ，667（）例3.在（）里填入适当的数使所组成的数能被8整除2210（），427（）6 ，23（）6使所组成的数能被125整除662（），887（）0 ，4525（）（），6673（）（）被3 9 整除例1.下面12个自然数，哪些能被3整除，哪些能被9整除？864 650 432 3675 9064 22125 5748 3108 96311125 2950 72901. 在89 121 135 480 157 483 中，是3的倍数的有（）个。

2. 有一个四位数7AA1 是9的倍数，那么A是（）3. 1024至少减去（）就是3的倍数，1708至少加上（）就是5的倍数。

4. 判断：个位上是3，6，9的数都是3的倍数。

（）对于两个不相等的自然数，它们的和、差、积中必有一个是3的倍数。

（）5. 已知x+2y（其中x y都是正整数）能被9整除，则2（5x-8y-4）被9除的余数为（）被7 11 13 整除例1. 下面5个自然数中：128114 94146 64152 6139 4913678哪些能被7整除?哪些能被11整除？哪些能被13整除？1. 小月写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89 ，他们让小白写一个一位数放在59和89之间组成一个五位数59（）89，使这个五位数能被7整除，小白写的数字是多少？被99 整除例1.2007a12b2既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个数是多少？1. 已知七位数92AB427能被99整除，那么AB=2. 若1A219B7能被99整除，那么两位数A+B=（）3. 六位数（）2008（）能同时被9和11整除。

第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。

【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。

小升初奥数题解析“数的整除”小升初奥数题解析”数的整除把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种叫奇偶位差法.除上述外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍........到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11x50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下13－3x2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下613－9x2＝595 ， 59－5x2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这。

数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.—答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,37719=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)2100-(3+99)233=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)302=16657. 96910或46915五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=357,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。