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北师大版九年级数学下从梯子的倾斜程度谈起( 二)课题§从梯子的倾斜程度谈起( 二 )教课目的( 一 ) 教课知识点1. 经历研究直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2. 能够运用sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比.3. 能依据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义 .(二 ) 能力训练要求1.经历类比、猜想等过程 . 发展合情推理能力，能有条理地、清楚地论述自己的看法.2.领会数形联合的思想，并利用它剖析、解决问题，提升解决问题的能力.(三 ) 感情与价值观要求1.踊跃参加数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作沟通的意识以及独立思虑的习惯.教课要点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3.能依据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教课难点用函数的看法理解正弦、余弦和正切.教课方法研究——沟通法.教具准备多媒体演示 .教课过程Ⅰ . 创建情境，提出问题，引入新课[ 师 ] 我们在上一节课曾议论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，而且得出了当倾斜角确准时，其对边与斜边之比随之确立 . 也就是说这一比值只与倾斜角相关，与直角三角形的大小没关 . 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.此刻我们提出两个问题：[ 问题 1] 当直角三角形中的锐角确立以后，其余边之间的比也确立吗?[ 问题 2] 梯子的倾斜程度与这些比相关吗?假如有，是如何的关系?Ⅱ. 解说新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示以下内容：想想：如图(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系 ?(2)A1C1 和A2C2有什么BA1BA2关系?BC1和BC2呢? BA1BA2(3)假如改变 A2在梯子 A1 B上的地点呢 ?你由此可得出什么结论 ?(4)假如改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论 ? 请同学们议论后回答.[ 生 ] ∵A1C1⊥ BC1， A2C2⊥ BC2，∴A1C1//A 2C2.∴Rt △BA1C1∽ Rt △ BA2C2.A1C1和A2 C2BA1BA2BC1 和BC 2( 相像三角形对应边成比率 ).BA1BA2因为 A2是梯子 A1B 上的随意—点，因此，假如改变A2在梯子 A1 B上的地点，上述结论仍建立 .由此我们可得出结论：只需梯子的倾斜角确立，倾斜角的对边. 与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确立. 也就是说，这一比值只与倾斜角相关，而与直角三角形大小没关 .[ 生 ] 假如改变梯子A1B 的倾斜角的大小，如虚线的地点，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[ 师 ] 我们会发现这是一个变化的过程. 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都跟着倾斜角的改变而改变，同时，假如给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是独一确立的. 这是一种什么关系呢?[ 生] 函数关系 .[ 师 ] 很好 ! 上边我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以够有以下定义：( 用多媒体演示)在 Rt △ ABC中，假如锐角 A 确立，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确立. 如图，∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正弦 (sine) ，记作 sinA ，即sinA＝A的对边斜边∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 (cosine) ，记作 cosA ，即A 的邻边 cosA=斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数 (trigonometricfunction).[ 师 ] 你能用自己的语言解说一下你是如何理解“ sinA 、cosA 、 tanA 都是之 A 的三角函数”呢 ?[ 生 ] 我们在前面已议论过， 当直角三角形中的锐角A 确准时 . ∠ A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠ A 的对边与邻边的比值也都独一确立 . 在“∠ A 的三角函数”概念中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <A<90°；三个比值是因变量 . 当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应.2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 [师 ] 我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 相关系： tanA 的值越大，梯子越陡. 由此我们想到梯子的倾斜程度能否也和 sinA 、 cosA 相关系呢 ?假如相关系，是如何的关系?[ 生 ] 以下图， AB ＝ A 1B 1，19在 Rt △ ABC 中， sinA=BC，在ABRt △ A 1B 1C 中， sinA 1=B 1C.A 1B 1∵BC ＜B 1C,AB A 1B 1即 sinA<sinA 1，而梯子 A 1B 1 比梯子 AB 陡，因此梯子的倾斜程度与 sinA 相关系 .sinA 的值越大， 梯子越陡 . 正弦值也能反应梯子的倾斜程度 .[ 生 ] 相同道理 cosA= AC1A 1Ccos A ＝ABA 1B 1∵ AB=ABAC ＞ A 1C 即 cosA>cosA ，11ABA 1B 11因此梯子的倾斜程度与 cosA 也相关系 .cosA 的值越小，梯子越陡 .[ 师 ] 同学们剖析得很棒，能够联合图形剖析就更加妙哉 ! 从理论上讲正弦和余弦都能够刻画梯子的倾斜程度，但实质中往常使用正切.3. 例题解说多媒体演示 .[ 例 1] 如图，在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， AC ＝ 200.sinA ＝0.6 ，求 BC 的长 .剖析： sinA 不是“ sin ”与“ A ”的乘积， sinA 表示∠ A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知 sinA ＝ 0.6 ，BC＝ 0.6.AC解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC ＝ 200. sinA＝0.6 ，即 =BC0.6 ，BC ＝ AC × 0.6 ＝ 200× 0.6=120.AC思虑： (1)cosA ＝ ? (2)sinC ＝？ cosC ＝ ?(3)由上边计算，你能猜想出什么结论?解：依据勾股定理，得AB ＝AC 2 BC 2 2002 1202 =160.在 Rt △ ABC 中， CB ＝ 90°. cosA＝ AB160 4 ＝0.8 ，AC 200 5sinC=AB 160 4 =0.8 ，AC 200 5cosC ＝ BC1203＝0.6 ，AC200 5由上边的计算可知 sinA＝cosC ＝ O.6，cosA ＝sinC ＝ 0.8.因为∠ A+∠ C ＝ 90°， 因此， 结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦” . [ 例 2] 做一做：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， cosA ＝12， AC ＝ 10， AB 等于多少 ?sinB 呢 ?cosB 、sinA13呢?你还可以得出近似例 1 的结论吗 ?请用一般式表达.剖析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步浸透 sin(90 ° -A) ＝cosA ， cos(90 ° -A)=sinA.解：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC=10， cosA ＝12， cosA ＝AC,13AB∴ AB=Ac10 13 65 ,cos A12 1061213sinB ＝Accos A12 AB13依据勾股定理，得222＝ (652265260225 2BC＝ AB -AC6)-10 =3662∴BC＝25.625∴ cosB＝BC625 5 , AB6565136sinA ＝BC5 AB13能够得出同例 1 相同的结论 .∵∠ A+∠ B=90°，∴sinA ： cosB=cos(90-A) ，即 sinA ＝ cos(90 ° -A) ；cosA ＝sinB ＝ sin(90 ° -A) ，即 cosA＝ sin(90 ° -A).Ⅲ. 随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形 ABC中， AB=AC＝ 5，BC=6，求 sinB ，cosB ， tanB.剖析：要求 sinB ， cosB，tanB ，先要结构∠ B 所在的直角三角形 . 依据等腰三角形“三线合一”的性质，可过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .解：过 A 作 AD⊥ BC， D 为垂足 .1∴ AB=AC，∴ BD=DC= BC=3.2在 Rt△ ABD中， AB＝ 5，BD=3，∴ AD＝4.sinB＝ AD4cosB ＝BD3 ,AB5AB5 tanB=AD 4 .BD32.在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝4， BC=20，求△ ABC的周长和面积 . 5解： sinA= BC，∵ sinA=4，BC＝ 20，AB5∴ AB＝BC20＝＝ 25. sin A45在 Rt△ BC中， AC＝252202=15，∴ ABC 的周长＝ AB+AC+BC ＝ 25+15+20＝ 60，△ ABC 的面积： 1 AC × BC=1×15× 20＝150.223.(2003年陕西 )( 增补练习 )在△ ABC 中. ∠ C=90°，若 tanA= 1，2则 sinA= .解：如图， tanA=BC = 1.AC 2设 BC=x ， AC=2x ，依据勾股定理，得AB= x 2(2x)25x .∴ sinA=Ⅳ . 课时小结BCx 1 5 .AB5x55本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的看法， 用函数的看法认识了三种三角函数，即在锐角 A 的三角函数看法中，∠ A 是自变量，其取值范围是 0° <∠ A<90°；三个比值是因变量 .当∠ A 确准时，三个比值分别独一确立；当∠ A 变化时，三个比值也分别有独一确立的值与之对应 . 类比前一节课的内容，我们又进一步思虑了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实质问题.Ⅴ . 课后作业习题 1、2 第 1、2、 3、4 题 Ⅵ . 活动与研究已知：如图， CD 是 Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，求证： BC 2＝ AB ·BD.( 用正弦、余弦函数的定义证明 )[ 过程 ] 依据正弦和余弦的定义，在不一样的直角三角形中，只需角度相同，其正弦值 ( 或余弦值 ) 就相等， 不用只限制于某一个直角三角形中， 在 Rt △ABC 中，CD ⊥ AB.因此图中含有三个直角三角形 . 比如∠ B 既在 Rt △ BDC 中，又在 Rt △ABC 中，波及线段 BC 、 BD 、 AB ，由正弦、余弦的定义得 cosB ＝BC，cosB=BD.ABBC[结果 ] 在 Rt △ ABC 中， cosB ＝BC又∵ CD ⊥ AB.∴在 Rt △ CDB 中， cosB ＝ ABBDBCBC BD2∴=BC ＝ AB · BD.AB BC板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起 ( 二)1.正弦、余弦的定义在 Kt △ ABC中，假如锐角 A确立 . sinA ＝A的对边斜边cosA＝A的对边斜边2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 相关吗 ?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题解说4.随堂练习。
