恒定磁场分析

真空中本构关系
7
求证：
证 明:
∫
ur r B ds = 0
Q
ur µ B= 0 4π
∫
r ur Id l × R R3
r r u r r µ0 Idl × eR r ∴ ∫ B ds = ∫ ∫ c R2 d s s 4π
又Q
uv ur uv uv ur uv A× B C = A B×C
23
2、磁偶极子的标量位（解释P116） 磁偶极子的标量位（解释 ） 在无源区域（ 在无源区域（只有无源 ∇ × H = J＝0 uu r 区域才定义标量位）： 区域才定义标量位）： ∇×H =0 uu r H = −∇ ϕ m 由下面式子
P ( r ,θ , 0 )
µ0 µ0 1 A = p m × e r = − p m × ∇ 2 4πr 4π r B、幂级数近似） 与求电偶极子类似的方法（余弦定理、幂级数近似）可以得到 磁偶极子的矢量位和标量位： 磁偶极子的矢量位和标量位：
µ0 µ0 1 A= p m × er = − p m × ∇ 2 4πr 4π r
的距离，是标量。 其中 r 为场点 P 到磁偶极子中心 O 的距离，是标量。
这表明恒定磁场是无散有旋场， 这表明恒定磁场是无散有旋场， 无散有旋场 传导电流是其旋涡源。 传导电流是其旋涡源。
13
5－2、内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中，均匀 － 、 、 的无限长空心圆柱中， 分布着轴向电流 求柱内、外的磁场强度。 I ，求柱内、外的磁场强度。
解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 使用圆柱坐标系。
12
3、真空（介质）中磁场的基本方程： 真空（介质）中磁场的基本方程：
∫sB • d s = 0 , ∇•B =0 , ∇×H = J ∫c H • d l = I B = µ0H B = µH
磁通连续性方程 安培环路定律 真空中本构方程 介质中本构方程 介质中本构方程
ur µ0 A = 4π
ur ur J dτ + C R
21
同理可知体电流、面电流、 同理可知体电流、面电流、线电流所产生的矢量位分别为
ur µ0 A = 4π ur µ0 A = 4π ur µ0 A = 4π
∫τ ∫
S
∫τ
u r ur J dτ + C R uu r ur Js ds + C R r I d l ur +C R
ur W • 磁通密度 即磁感应强度 ： 单位 m 磁通密度(即磁感应强度 B 即磁感应强度)：
b 2
与D（电通密度或电位移矢量）类似
dφ B = ds r ur ur µ Id l × R 0 B= 4π ∫ R 3
ur B P
v Id l
u v R
2
u u r r 从第二章我们知道， P34 从第二章我们知道，对于体电流密度 J r ′ ，
uu r 1 H= 4π
∫
r u r Idl × R R3
A/ m
5
r • I d l 在磁场中受到的安培力为
r ur r uu r uv d F m = Id l × B = Id l × µ H
磁介质材料的磁导率, 其中 µ = µ r µ 0 , 磁介质材料的磁导率
单位为 H /m。
• 真空中本构关系 真空中本构关系:
()
( )
( )
( )
3
uu ur r uur ur 2.对于面电流密度 2.对于面电流密度 J s r ′ ,矢性点源 J s r ′ dS '
( )
( )
uu ur r r ′ dS ' ur ur r µ0 Js dB r = ×R 3 4π R uu ur r r ′ dS ' ur ur µ Js 0 B= ∫s R 3 × R 4π uu ur r uu r ' µ 0 J s r ′ dS × e R = 2 ∫s 4π R
ur Q∇ B = 0
ur ur 为使 A 唯一确定，引入库仑规范，即对 ∇ A 唯一确定，引入库仑规范，
做规定， 做规定，在恒定磁场中规定 ∇
ur A = 0
B = ∇ × A ∇ • A = 0
16
2. 矢量位的泊松方程与拉普拉斯方程 ur ur 2 ∇ A = − µ 0 J 2 ur ∇ A = 0 uu r u r 证明： 证明： ∇ × H = J uu r ur B = µ0 H 由 ur ur B = ∇ × A ur ∇ A = 0 u r 可以推导出 u r uu v B 1 ∇× H = ∇× = ∇× ∇× A
恒定磁场分析的基本变量
()
恒定电流周围除了有恒定电场； 恒定电流周围除了有恒定电场；还有 恒定磁场。静电场是有散无旋场， 恒定磁场。静电场是有散无旋场，而 有散无旋场 恒定磁场是无散有旋场 无散有旋场。 恒定磁场是无散有旋场。
矢量性源，恒定磁场是有旋度的矢量场。 矢量性源，恒定磁场是有旋度的矢量场。 2.场变量 场变量: 场变量
ur u r ∇ A = −µ0 J
2
∇ 2 Ax = − µ 0 J x 2 ∇ Ay = − µ 0 J y 2 ∇ Az = − µ 0 J z
为标量算符
19
此时
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
2、如果引入洛仑兹规范，则 如果引入洛仑兹规范，
B =∇×A ∇ • A = − µε ∂ ϕ ∂t
14
10.
r < a时，
∫ H • dl = H ⋅ 2πr = 0
c
∴H = 0
20.
I I r 2 − a2 ⋅π r 2 − a2 = 2 H • dl = H ⋅ 2πr = ∫c b − a2 π b2 − a 2 a < r < b时， I r 2 − a2 ∴H = eϕ 2 2 2πr b − a I 0 3 . r > b时， ∫ H • dl = H ⋅ 2πr = I ∴ H = eϕ c 2πr
()
( )
( )
( )
4
• 磁通量： 磁通量：
ur r φ = ∫B ds
单位韦伯 Wb
• 磁场强度 磁场强度:
uu r H
电场对电荷有力的作用， 表示； 电场对电荷有力的作用，用电场强度 V/m 表示；同 样，磁场对电流或永久磁铁也有力的作用，用磁场强度 磁场对电流或永久磁铁也有力的作用， 或永久磁铁也有力的作用 表示，单位为 A/m， 与 Js 同单位。 表示， ， 同单位。
s
v uv uv n × A ds = ∫ ∇ × A dτ 矢量恒等式 τ
)
(
)
1 1 r ∫ s n × ∇ R ds = ∫τ ∇ × ∇ R dτ
而
1 ∇×∇ ≡ 0 R
∴
u r µ r B ds = 0 ∫ 4π
∫
c
r Idl
1 r ∫ s n × ∇ R ds = 0
20
2 与静电场的泊松方程 ∇ ϕ = −
ρ 解法相类似，其解为： 解法相类似，其解为： ε0
µ0 Ax = 4π µ0 Ay = 4π µ0 Az = 4π
合并为
∫τ ∫τ ∫τ
∫
Jx dτ + C x R Jy dτ + C y R Jz dτ + C z R
0 , r <a I J = 2 , a<r <b 2 π (b − a ) 0 , r >b
由电流对称性， 由电流对称性，可知磁场只有
r
b
a
z
I
eϕ
圆周分量。 圆周分量。
应用安培环路定律： 应用安培环路定律：取半径为 r 的，且与导电 圆柱同轴线的圆为安培回路。 圆柱同轴线的圆为安培回路。
的计算， 加上常矢量 C，并不影响 B 的计算， ， 因
B = ∇× (A + C) = ∇× A
22
常被省去。 故常矢量 C 常被省去。
第四节 磁偶极子的矢量位和标量位
1. 磁偶极子的磁矩 一个小圆电流环为一个磁偶极子， 一个小圆电流环为一个磁偶极子，IS 为磁偶极子的磁矩， 为磁偶极子的磁矩，即 p m = IS ， S为小圆电流包围的面积，单位为 为小圆电流包围的面积， 为小圆电流包围的面积
矢性点源
( )
Id l = J dτ
→ '
→
'
u u r r u r r µ 0 J r ′ dτ ′ ur dB r = ×R 3 4π R u u r r J r ′ dτ ′ u u µ r r 0 B= ∫τ R 3 × R 4π u u r r uu r µ 0 J r ′ dτ ′ × e R = 2 ∫τ 4π R
我们后面将会遇到波动方程的导出， 我们后面将会遇到波动方程的导出，这时引入的就是 洛仑兹规范。在恒定磁场中，一般采用库仑规范，在 洛仑兹规范。在恒定磁场中，一般采用库仑规范， 库仑规范 时变场中将采用洛仑兹规范。 时变场中将采用洛仑兹规范。 洛仑兹规范 根据亥姆霍兹定理：一个矢量， 根据亥姆霍兹定理：一个矢量，可以 由它的散度、它的旋度和边界条件唯一地确定。 由它的散度、它的旋度和边界条件唯一地确定。
2
泊松方程
u r 若 J = 0, 则
ur ∇ A=0
2
拉普拉斯方程
证毕
18
注意： 为矢量拉普拉斯算符， 注意：上式中 ∇ 2 为矢量拉普拉斯算符，对直角坐标系有三 个分量。 后面接标量就是标量拉普拉斯算符 接标量就是标量拉普拉斯算符， 个分量。 2 后面接标量就是标量拉普拉斯算符，接矢量就 ∇ 是矢量拉普拉斯算符。 是矢量拉普拉斯算符。 对泊松方程 有