2.3.2面面垂直的判定

A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2



B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。

二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
二面角记作 l

l
l l二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
D1 A1 D A B B1 C C1
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. 符号语言：
a B a A
a
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个面的垂线.
例: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
回顾：直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角.


思考：那么平面与平面之间能形成角吗？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画这个角的大小？
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 每个半平 面叫做二面角的面,

无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与平面α垂 3.过平面α的一条斜线，可作____ 直. 1个平面与α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD A
一、二面角的定义：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
• 例1：《优化设计》P42.例1.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
一、两个平面垂直的定义
1．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定定理 提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建 筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
平面与平面垂直的判定
平面与平面所成的角

二面角的平面角 A b l

a
三要素：1、角的顶点在二面角的棱上； 2、角的两边分别在表示二面角的两个半平面上内； 3、角的两边分别与二面角的棱垂直。
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 其顶点 做二面角的面。 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－

§2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1. 理解和掌握二面角和二面角的平面角的相关概念； 2. 掌握平面与平面垂直的判定定理. 【重点难点】 1.二面角的平面角； 2.面面垂直的判定定理. [自主感知] 1. 二面角及其相关定义？ 2. 两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言：若一个平面过另一个平面的 ,则这两个 平面 .简称：若线面垂直，则面面垂直 符号语言：若_______________________________，则 . [深入探究] 探究一：二面角大小的表示往往利用二面角的平面角例 2 如图所示，已知三棱锥D ABC -中，满足A B A C D B ==DC == 2,BC DA ==，求二面角A B C D --的大小. 探究二：面面垂直判定定理的考察 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC PBC ⊥平面.……………………………………装…………………………………订…….…………………………………线……….………………………………...................................…[拓展运用]例3 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，求证：平面''ACC A⊥平面'A BD．【课堂小结】1.二面角的平面角；2.面面垂直的判定定理.【当堂检测】1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和平面α垂直的平面有（）A.1个B.2个C.有无数个D.不存在2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C. 2D. 33.直线l是平面α的斜线，则经过l且和平面α垂直的平面有个.4.四边形ABCD是矩形，P为平面ABCD外一点，P A⊥平面ABCD，且P A=AB，则二面角P—BC—D的大小为.【课下作业】复习导学案，并完成相应学科练.【预习指导】请同学们提前预习下一节课课本内容和导学案.。