黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
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⎨ 大庆实验中学 2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．命题“ ∃n ∈ N ，使得 n 2> 2n”的否定形式是（）6.下列说法中不．正确的是（ ） ①从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，500 名学生是总体;②总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是 从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体的 编号为 04;③采用系统抽样从含有 8 000 个个体的总体(编号为 0 000，0 001，…，7 999)中抽取一个容量为 50 的 样本．已知最后一个入样的编号为 7 894，则第一个入样的编号是 0 054；A. ∀n ∈ N ，使得 n 2 ≤ 2nC. ∀n ∈ N ，使得 n 2> 2n2． 如图所示是计算1 + 1 + 1 + ... +1B. ∃n ∈ N ，使得 n 2 ≤ 2nD. ∀n ∈ N ，使得 n 2 < 2n的程序框图，判断框 ④某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 5∶4∶1，现用分层抽样的方法从该校高中三个年 级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 15 名学生; ⑤某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x ＋y 的值为 5.2 3 内的条件是()．2018A. ①②③B.②③④C.③④⑤D.①④⑤ 7. 随机向边长为 4 的正方形 ABCD 中投一点 M ，则点 M 与 A 的距离不小于 1 且使∠CMD 为锐角的概 A. n ≤ 2017率是（ ）B. n ≤ 2018 A.1 -3πB. 1 -5πC.1 - 9πD.1 - πC. n < 2018 168644D. n < 20178.以下说法正确的是（）3. 某工厂生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准 煤)①用数学归纳法证明不等式 1 + n +111 n + 2+ ... +1 n + n > 13 的过程中，由 n = k 推导 n = k +1 时，不等 24 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7， 式的左边增加的式子是；(2k + 1)(2k + 2)'则这组样本数据的回归直线方程是（）②有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数 f ( x ) ，如果 f ( x 0 ) = 0 ，那么x = x 0 是函数 f ( x )^ ^ ^ ^A. y ＝0.7x ＋3.5B. y ＝0.35x ＋0.7C. y ＝4.5x ＋3.5D.y ＝0.7x ＋0.35 4. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数为 1 的概率是（ ）的极值点.因为 f (x ) = x 3在 x = 0 处的导数值 f '(0) = 0 ，所以 x = 0 是函数 f (x ) = x 3的极值点.以上 1 1A. B. 9 8 1 1 C. D. 76⎧推理中是大前提的错误；③已知命题：若数列{a n }是等差数列，且 a m= a , a n= b (m ≠ n , m , n ∈ N* ) ，则 am + n=bn - am；现n - m⎪ y ≤ x + 2 已 知 等 比 数 列 {b n } ， 其 中 b m = a , b n = b (m ≠ n , m , n ∈ N * ) ， 若 类 比 上 述 结 论 ， 则 可 得 到5.设 p ：实数 x , y 满足 (x -1)2 + ( y -1)2 ≤ 2 且 x , y ∈ Z ，q ：实数 x , y 满足 ⎪y ≥ -7 - 2 x ，则 p 是 qn m⎪ =1 ⎪ y ≤ 3 -xb m + n =b - a .的（ ）⎩ 2 n - mA.①②B.②③C.①③D.①②③A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知抛物线的方程为 x 2= 2 py ( p > 0) ，其焦点为 F ，点O 为坐标原点，过焦点 F 作斜率为 k (k ≠ 0)的直线与抛物线交于A, B 两点，过A, B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ，设直线MF 与抛物线交于C, D 两点.则（）角形ABC 中，A(2,0)、B(－1,2)，则直角顶点C 的轨迹方程为x2 +y2 -x -2y- 2 =0；则命题p ∧q ，p∨q，⌝p∨q，p∧⌝q中真命题的个数是16. 函数f(x)=x3 -x2 +x+1在点(1，2)处的切线与函数g(x)=x2 -x围成的图形的面积等于A. OA ⋅O B =3p24C. AB ⊥CDB. M 点的轨迹方程为y =-pD.四边形ABCD 的面积是定值三、解答题17. (本小题满分10 分)10. 节日前夕，小明在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4 秒内任意时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是（）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率.7 3A. B.8 41 1C. D.2 4x2 y211.已知A, B 分别为双曲线C : -a 2 b2=1(a > 0, b> 0) 的左右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为PA, PB, PO 的斜率分别为k1 ,k2 ,k3 ，则k1k2k3的取值范围为（）18. (本小题满分12 分)某高校在2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.A．(0, )2B. C. D. (0, 2)12.设函数f (x) 为R 上的可导函数，对任意的实数x ，有f (x) = 2018x2 -f (-x) ，且x ∈(0,+∞)时，f ' (x) - 2018x > 0 .则关于实数m 的不等式f (m +1) -f (-m) ≥ 2018m +1009 的解集为（）A.[3，+∞)B. [1，+∞)2C. [1，2]D. [-1，+∞)2(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）13.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是2 ，则判断框内m 的取值范围是14．有6 名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6 号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4 号，5 号，6 号都不可能；乙猜：3 号不可能；丙猜：不是1 号就是2 号；丁猜：是4 号，5 号，6 号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是．(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5 组中用分层抽样抽取6 名学生进入第二轮面试，求第3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6 名学生中随机抽取2 名学生接受A 考官进行面试，求：第4 组至少有一名学生被考官A 面试的概率．15.已知命题p ：方程(x +y -= 0 所表示的曲线是一条射线与一条直线，命题q ：若直角三19.(本小题满分12 分)如图，四棱锥H -A B C D中，H A ⊥底面A B C D，AD / /B C ，AB =AD =AC = 6 ，21.(本小题满分12 分)HA =BC = 8 ， E 为线段AD 上一点，AE = 2ED ， F 为HC 的中点.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点(3,1) ，焦点(1)证明：EF // 平面HAB ；2(2)求二面角E -HF -A 的正弦值. F1(- 3，0)，F2(3，0) ，圆O 的直径为F1F2 .(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .直线l 与椭圆C 交于A, B两点，求∆AOB 的面积S 的范围.20.(本小题满分12 分)设函数f (x) =x2e x-1 +ax3 +bx2 ,已知x =-2 和x =1 为f ( x) 的极值点．(1)求a 和b 的值; (2)讨论函数f ( x) 的单调性;(3)设g (x) =2x3 -x2 ,比较f ( x) 与g (x) 的大小．3大庆实验中学2018-2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）ABDAB DCACB CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.(24,28]14．甲15.2 16.9 2三、解答题17.(本小题满分10分)解：标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．-------------3从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．-------------6由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．-------------8所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.-------------10 18．(本小题满分12分)．解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如图所示，-------------4(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．-------------6(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，-------------8其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，-------------10所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为915＝35.-------------1219．(本小题满分12分)解：（1）由已知得243AE AD==，取BH的中点G，连接AG，GF，由F为HC的中点知//GF BC，142GF BC==，又//AD BC，故//GF AE，所以四边形AEFG为平行四边形，于是//EF AG，AG⊂平面HAB，EF⊄平面HAB，所以//EF平面HAB.-------------4（2）取BC的中点T，连接AT.由AB AC=得AT BC⊥，从而AT AD ⊥，且AT ===以A 为坐标原点， AT 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.-------------6由题意知， ()0,0,8H ， ()0,4,0E ，()C ，)2,4F，()0,4,8HE =-， ()5,2,4HF =-， ()5,2,4AF =.设(),,n x y z =为平面HEF 的法向量，则0{n HE n HF ⋅=⋅=，即480 240y z y z -=+-=，可取()0,2,1n =.-------------8设()000,,m x y z =为平面HAF 的法向量，则0{m HF m AF ⋅=⋅=，即240 240y z y z +-=++=，可取()2,5,0m =-.-------------10于是cos ,n m m n m n ⋅=⋅23=-，5sin ,n m =. 所以二面角EHF A --的正弦值为3-------------12 20.(本小题满分12分)解:(1)因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++,又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==,因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-．-------------4（2）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =．因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)时,()0f x '<;当(2,0)(1,)x ∈-+∞时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的．-------------8（3）由（1）可知21321()e 3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减．故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增．故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=． 所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >,因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=,所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >；(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =-------------1221.(本小题满分12分)解：（1）因为1271,22CF CF ==,所以12712422a CF CF =+=+=，即2a =，又c =1b =所以椭圆C 方程为2214xy +=，圆O 方程为223x y +=.-------------4 (2)因为直线l 与圆O 相切，且切点在第一象限，所以直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，圆心O到直线的距离d r ===2233m k =+联立直线y kx m =+与椭圆2214x y +=得：222(41)8440k x kmx m +++-=，所以2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，所以AB ===所以12AOBS AB d ∆=⋅==-------------8 平方得2222212(1)(2)(41)k k S k +-=+，设2141x k =+，则211(1)4k x =-，所以 2221111312[1(1)][(1)2](1627)444S x x x x x =⋅+---=--当l与椭圆和圆均相切时，可求得此时直线斜率为()k ∈+∞，所以109x <<所以S取值范围是.-------------12 22.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)'()ln 10f x x a =++≤在2[,]e e 恒成立，即min (1ln )a x ≤--，设()1ln g x x =--，因为()g x 在2[,]e e 上单调递减，所以2min ()()3g x g e ==-， 所以a 的取值范围是(,3]-∞-.-------------4（Ⅱ）（解法1）令()()(1)ln (1)0h x f x k x ax x x x k x k =---+=+-+>对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令2x =，得2(1ln 2)4k <+<.又k 为正整数，取3k =，则()ln 23h x x x x =-+，故'()ln 1h x x =-令'()0h x =，得x e =，所以()h x 在(1,]e 单调递减，在[,)e +∞单调递增，故min ()()30h x h e e ==->，因此3k =满足题意，所以正整数k 的最大值为3.-------------1222.(本小题满分12 分)已知函数f (x) =x ln x +ax(a ∈R) .(1)若函数f (x) 在区间[e, e2 ] 上为减函数，求a 的取值范围；(2)若对任意x ∈ (1, +∞) ，f (x) >k(x -1) +ax -x 恒成立，求正整数k 的最大值.。
