第6章 椭圆曲线密码体制

西安电子科技大学硕士学位论文椭圆曲线密码体制的研究与实现姓名：李德庆申请学位级别：硕士专业：电路与系统指导教师：李小平20080101第三章有限域算法的实现第三章有限域算法的实现素域结构简单，元素的表达也比较方便，在其上也有很多比较成熟的算法，比较适合软件实现。

在这样的域中，主要问题通常是模素数的大数运算。

而在有限域ＧＦ（２”）中，元素都是一定长度的Ｏ和１的比特串，特别符合硬件中对元素的表示，而当采用最优正规基来表示域元素的时候，可以充分地利用移位运算，元素的运算是十分高效的，所以，我们这里采用基于最优正规基的二进制有限域来实现椭圆曲线密码体制。

３．１加法运算有限域ＧＦ（２”）的加法运算，就是对元素的二进制表示序列按位进行异或运算。

输入数据：口，６ＥＧＦ（２”），输出数据为ｃ∈ＧＦ（２４），利用异或门来实现，利用ＶｃｒｉｌｏｇＨＤＬ描述就是简单的语句，ｎ船ｉ｛弘ｃ＝口“６；，生成运算模块如图３．１所示，其运算几乎不占用时钟周期。

因为对于域元素来讲，其加法逆元为其自身，所以减法运算等同于加法运算。

图３．１加法运算模块３．２平方运算用正规基来表述的域元素，最大的运算优势就是平方运算，这个在多项式基下比较费时和消耗资源的运算，转变为一个简单的循环移位操作。

输入数据：口∈ＧＦ（２“），输出数据为口２∈ＧＦ（２”），利用控制信号ｒｌＲｏＲ来控制循环移位，在实际工作中，一个时钟周期内完成运算，并稳定输出，生成运算模块见图３．２．２４椭圆曲线密码体制的研究与实现图３．２平方运算模块３．３乘法运算有限域的乘法运算具有无进位，无误差的特点，在纠错码、密码学、数字信号处理领域有着广泛的应用，本节在分析各种算法原理和硬件结构的基础上，给出了乘法矩阵的几种运算方法，并设计了满足所有基于Ｉ型或者Ⅱ型最优正规基的串并皆可的乘法器。

３．３．１乘法矩阵的构造根据式（２－７），乘法运算的核心部件为乘法矩阵，在最优正规基的情况下，该矩阵是一个稀疏矩阵，除第ｌ列只有一个ｌ外，其余各列都只有两个ｌ。

内容安全研究室朱潜报告的主要内容⏹群和域的相关概念⏹椭圆曲线的定义和运算法则⏹椭圆曲线离散对数问题⏹椭圆曲线密码体制⏹椭圆曲线密码的优势⏹曲线密码体制的应用为什么要在有限域上研究椭圆曲线密码？密码学常在有限域的基础上研究椭圆密码曲线，在有限域的椭圆m基础上。

基于有限域Fp，而不是使用实数域、曲线主要是基于Fp和F2是因为实数计算时会产生截段误差，无法满足密码算法的精确性，而m是由于可以在计算机处理时大大提且实数运算的速度很慢。

基于F2高处理速度。

群和域的相关概念定义1：任意给定一个非空集合F和其上的二元运算“*”，如果满足（1）封闭性：对任意a,b∈F,存在c ∈F,使得c=a*b ∈F;（2）结合律：对于任意a,b∈F,都有(a*b)*c=a*b*c;（3）单位元e存在：即存在e ∈F,对于任意a ∈F,都有a*e=e*a;（4）逆元存在：对于任意a ∈F,存在b ∈F,使得a*b=b*a=e;则称集合F关于二元运算“*”构成群，记为（F，*）。

在群（F，*）中，如果对于任意a ,b∈F,都有a*b=b*a,则称群（F，*）是交换群，也称为阿贝尔（Abel）群。

定义2：设“+”，“*”是G上的二元运算，如果满足：（1）（G，+）是一个交换群，其单位元记为0；（2）（G-{0}，*）是交换群，其单位元记为1；（3）运算“*”对“+”可分配，即对任意a ,b,c∈G,都有a*(b+c)=a*b+a*c(a+b)*c=a*c+b*c则称（G,+,*）是域。

群和域的相关概念定义3：有限域，如果域F中的元素个数有限，则称F为有限域或伽罗华域，其中F中的元素个数称为有限域F的阶，记为∣F ∣。

对有限域而言，其元素的个数必为一素数的方幂。

即存在一个q阶有限域F，当且仅当q是一个素数的幂，即q=p m,其中，p是一个素数，并称为域F的特征，m是一个正整数。

若m=1,则域F就称为素域。

定义4：设p是一个素数，以p为模，则模p的全体余数的集合{0，1，2，……，p-1}关于模p的加法和乘法构成一个p阶有限域，简称素域，并且用符号Fp表示。

椭圆曲线密码体制的研究与实现的开题报告一、选题背景和意义随着现代密码学的发展，传统的RSA和DSA等密码体制在一定程度上已不能满足现代信息安全需求，因此需要快速、高效、安全的新型密码体制。

椭圆曲线密码体制具有高强度、短密钥、低计算量等优点，已经成为现代密码学的重要研究领域之一。

椭圆曲线密码体制被广泛应用于数字签名、密钥协商、加密、认证等方面，是信息安全领域不可或缺的一部分。

本课题旨在深入研究椭圆曲线密码体制的理论与实现，探索基于椭圆曲线密码体制的安全通信技术，为信息安全提供有效的保障。

二、研究内容和目标1.研究椭圆曲线密码体制的基本理论和应用领域。

2.探究椭圆曲线密码体制的实现方法，包括ECDSA、ECDH等常用算法。

3.使用Python等编程语言实现椭圆曲线密码体制相关算法，并验证其正确性和安全性。

4.分析椭圆曲线密码体制的优缺点，比较其与传统密码体制的差异。

5.设计一种基于椭圆曲线密码体制的安全通信协议，并进行实际应用测试。

三、研究方法和技术路线1.文献调研：收集椭圆曲线密码体制的相关文献资料，深入了解其基本理论和应用领域。

2.算法研究和实现：探究椭圆曲线密码体制的实现方法，使用Python等编程语言实现相关算法，并验证其正确性和安全性。

3.性能比较和应用研究：将椭圆曲线密码体制与传统密码体制进行比较，分析其优缺点，并设计基于椭圆曲线密码体制的安全通信协议，进行实际应用测试。

四、预期成果1.深入了解椭圆曲线密码体制的基本原理和应用领域，掌握其实现方法和算法实现技术。

2.实现ECDSA、ECDH等常用椭圆曲线密码体制算法，验证其正确性和安全性。

3.分析椭圆曲线密码体制的优缺点，与传统密码体制进行比较，并设计一种基于椭圆曲线密码体制的安全通信协议。

4.论文撰写和答辩，取得满意的评价和认可。

五、进度计划时间节点计划内容第1-2周文献调研，整理研究思路第3-4周研究椭圆曲线密码体制的基础理论和算法第5-6周实现ECDSA、ECDH等常用算法，并验证其正确性和安全性第7-8周性能比较和优缺点分析第9-10周设计基于椭圆曲线密码体制的安全通信协议第11-12周实际应用测试和结果分析第13-14周论文撰写和修改第15-16周答辩和总结六、参考文献[1] 欧阳先明.椭圆曲线密码概论[M]. 北京: 清华大学出版社,2020.[2] 钱涛, 蔡旭, 杨振华. 椭圆曲线密码及其应用[M]. 北京: 电子工业出版社, 2015.[3] 邵德良, 刘斌. 椭圆曲线密码学原理与应用[D]. 北京: 北京邮电大学, 2012.[4] 任炳良, 蒋伟伟. 椭圆曲线密码及其应用[M]. 北京: 电子工业出版社, 2014.[5] Menezes, A. J., van Oorschot, P. C., Vanstone, S. A. Handbook of Applied Cryptography [M]. New York: CRC Press, 1996.。

椭圆曲线密码体制所使用的域的参数（原创实用版）目录1.椭圆曲线密码体制的背景和基本原理2.椭圆曲线上的有理点和 Abel 群3.椭圆曲线离散对数问题 (ECDLP) 与一般离散对数问题 (DLP) 的异同4.椭圆曲线密码体制在安全性相当的前提下使用较短密钥的优势5.标准安全模式与随机 Oracle 模式的比较6.基于随机 Oracle 模式提出的新身份认证算法及其相应的数字签名变形7.改进的可否认认证协议8.结论与展望正文椭圆曲线密码体制是一种公钥密码体制，其基于椭圆曲线上的有理点构成的 Abel 群。

自 20 世纪 80 年代中期被引入以来，椭圆曲线密码体制逐渐成为公钥密码学领域的一个重要课题，并在 1997 年以来形成了一个研究热点。

椭圆曲线上的有理点可以表示为 P(x, y)，其中 x、y 为整数，且满足椭圆曲线方程。

Abel 群是椭圆曲线上的点加法群，其群元素为椭圆曲线上的点 P1、P2、…、Pn，群的乘法满足 (P1 + P2) + P3 = P1 + (P2 + P3)。

在 Abel 群中，离散对数问题 (DLP) 和椭圆曲线离散对数问题(ECDLP) 是两个重要的问题。

DLP 是指在给定公钥和签名的情况下，找到一个私钥使得签名与公钥的乘积等于给定的消息。

而 ECDLP 是指在给定椭圆曲线上的点 P 和已知公钥 G 的情况下，找到一个私钥 K 使得 P =GK。

ECDLP 的难度要高于 DLP，因此在安全性相当的前提下，椭圆曲线密码体制可以使用较短的密钥。

在椭圆曲线密码体制中，通常采用标准安全模式或随机 Oracle 模式。

标准安全模式要求椭圆曲线上的点加法和标量乘法运算满足一定的安全性要求，如椭圆曲线上的点加法和标量乘法运算应该具有可逆性、双线性性等。

而随机 Oracle 模式则引入了随机性，使得椭圆曲线密码体制在面对特定攻击时具有更好的安全性。

基于随机 Oracle 模式，本文提出了一种新的身份认证算法及其相应的数字签名变形。

椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制一、什么是椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制（简称ECC），又称椭圆曲线加密算法，是一种公开密钥密码体系，是一种基于现代密码术中数论和椭圆曲线理论的一种密码学体系，由Neal Koblitz和Victor Miller在1985年首次提出。

椭圆曲线密码体制是基于椭圆曲线上的椭圆点之间的变换来实现的，研究表明，它可以用比同等安全等级的传统密码体系所需要的密钥长度要短得多的密钥进行加密。

二、椭圆曲线密码体制的特点1. 安全：与RSA不同，椭圆曲线密码体制的安全性完全取决于数学上的易破性，没有同等级别的RSA系统比它更安全。

相对RSA而言，椭圆曲线系统的密钥长度更短，它的安全性能与相同等级的RSA系统相比也要高一些。

2. 速度：椭圆曲线密码体制的速度要比RSA更快，一般用椭圆曲线密码体制的执行时间可以达到RSA的1/30-1/1000。

3. 隐私：椭圆曲线密码体制具有较高的安全性，可以保证用户信息的安全性。

三、椭圆曲线密码体制的应用1. 数字签名：椭圆曲线密码体制最常用于数字签名，可以确保签名者之间的身份认证，避免信息传输过程中的欺诈行为，为数字处理私有、公共和敏感信息提供强大的安全保护。

2. 数据加密：椭圆曲线密码体制还可以应用于数据加密，可以有效保护不同终端上的资料传输安全，满足不同企业在网络安全方面的需求。

3. 隐私保护：虽然椭圆曲线密码体制的产生是为了提高通信安全性，但也可以应用于隐私保护，为信息发布者和使用者都提供安全保护。

四、椭圆曲线密码体制的缺点1. 椭圆曲线密码体系要求很高的计算能力，一旦公钥被公开，破解椭圆曲线密码体制的成本比RSA的上升很多，增加了攻击的成本。

2. 尽管椭圆曲线密码体制的速度比RSA快，但椭圆曲线算法的速度仍然比较慢，因此有时可能会影响用户体验。

3. 椭圆曲线密码体制中使用的椭圆点数量比较大，也使得它的安全性有限。

4. 椭圆曲线密码体制目前尚没有足够的理论和实际证明，是否能达到纳什不可破解定理的效果。

椭圆密码曲线密码
椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线数学问题的密码学算法。

它利用了椭圆曲线上的离散对数难题来提供加密和数字签名功能。

椭圆曲线密码的安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题，该问题在计算上是非常困难的。

而椭圆曲线本身具有一种重要的数学特性，即通过两个点的加法运算可以得到另一个点，这种运算在椭圆曲线上是封闭的。

椭圆曲线密码算法利用这种运算特性来实现加密和解密操作。

椭圆曲线密码的一个重要应用是公钥密码学，其中一方使用自己的私钥生成一个公钥，并将其公开给其他人。

其他人使用该公钥对消息进行加密，并将其发送给该方。

该方可以使用自己的私钥对密文进行解密。

椭圆曲线密码的一个重要特点是其相对较短的密钥长度可以提供与其他公钥密码学算法相同的安全性。

椭圆曲线密码广泛应用于互联网安全、移动通信、电子支付、物联网等领域，其安全性和效率在各种环境下得到了验证。

椭圆曲线密码体制的探讨作者：徐平鸽王栋丁友平来源：《科技经济市场》2008年第06期摘要：椭圆曲线密码体制是一种公钥密码体制，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成Aebel加法群上椭圆离散对数的计算。

本文简要地阐述了椭圆曲线的背景、原理及其实现和优点，最后简单列举了ECC的应用领域。

关键词：公钥密码体制；椭圆曲线密码体制；有限域；离散对数椭圆曲线理论是代数几何、数论等多个数学分支的一个结合点有很广泛的应用。

已有100多年的研究历史，积累了大量的研究文献。

但椭圆曲线应用到密码学上最早是由Neal Koblitz 和Victor Miller在1985年分别独立提出来的。

2002年，美国SUN公司将其开发的椭圆加密技术赠送给开放源代码工程。

目前比较流行的公钥密码体制根据其所依据的难题一般分为三类：第一类是基于大整数因子分解问题的，其中最典型的代表是RSA体制；第二类是离散对数问题类，如EIGamal公钥密码体制；第三类为椭圆曲线类。

有时也把椭圆曲线类归为离散对数类。

1 椭圆曲线基础椭圆曲线密码体制来源于椭圆曲线的研究，所谓椭圆曲线指的是由威尔斯特拉斯（Weierstrass）方程：y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6（1）所确定的平面曲线。

其中a1,a2,a3,a4,a6定义在某个域上，可以是有理数域，实数域，复数域，还可以是有限域GF(pr), 椭圆曲线密码体制用到的椭圆曲线都是定义在有限域GF(pr)上的。

椭圆曲线上所有的点外加一个叫无穷远的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算就构成了一个Abel群。

中，已知m 和点p 求Q 比较容易，反之已知Q 和点p 求m 却是很难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题。

椭圆曲线密码体制正是利用这个困难问题设计出来的。

2 椭圆曲线的原理EIGamal算法是基于GF(2n) 中乘群上定义的离散对数。

这一算法可以推广到群G 中的任意子群H 上定义的离散对数。

椭圆曲线密码体制（ECC）是一种基于椭圆曲线离散对数问题的公钥加密算法，它具有在小比特长度下提供同等安全性的优势。

在椭圆曲线密码体制中，域的参数是非常重要的一部分，它直接影响到密码系统的安全性和效率。

我们将从基础概念开始，深入探讨椭圆曲线密码体制所使用的域的参数。

1. 基础概念在椭圆曲线密码体制中，域的参数指的是有限域的特征和模数。

有限域通常用GF(p)表示，其中p是一个素数，GF(p^m)表示特征为p的扩域。

在ECC中，椭圆曲线的定义需要选择一个合适的有限域作为基础，常用的有限域包括素域GF(p)和二元扩域GF(2^m)。

2. 选择域的参数选择合适的域的参数对于构建安全且高效的椭圆曲线密码体制至关重要。

一般来说，域的参数需要满足以下几个条件：- 模数的大小要足够大，以抵抗各种攻击，如离散对数攻击和椭圆曲线上的移动攻击。

- 模数的选择应该尽量避免特殊结构，以增加密码系统的难度。

- 特征的选择也会影响计算的效率，一般来说，选择特征为素数的域可以更好地适应硬件实现，而选择特征为二的扩域可以简化一些运算。

3. 安全性分析域的参数对于密码系统的安全性有着直接的影响。

模数的大小和特征的选择都会影响到密码系统的安全性。

较小的模数很容易受到穷举搜索的攻击，而特殊结构的模数也容易遭受特定的攻击。

在选择域的参数时，需要进行仔细的安全性分析，以确保密码系统具有足够的安全性。

4. 效率分析除了安全性外，选择合适的域的参数还会影响到密码系统的计算效率。

合适的域的参数可以使得加密和解密的运算更加高效。

特征为素数的域通常适用于软件实现，而特征为二的扩域则适用于硬件实现。

在设计密码系统时，需要综合考虑安全性和效率的因素，选择合适的域的参数。

总结椭圆曲线密码体制所使用的域的参数对于密码系统的安全性和效率都起着至关重要的作用。

正确地选择域的参数可以保证密码系统具有足够的安全性，并且能够高效地进行加密和解密运算。

在设计椭圆曲线密码体制时，需要进行深入的域参数分析，并根据具体的应用场景选择合适的域的参数。