计算水动力学报告
一、计算水动力学概述
随着电子计算机的出现和现代计算机技术的飞速发展，计算流体力学作为新的流体力学分支，集合了数值模拟、数值计算和计算机实验等各方面的特性，主要针对我们日常水力学的数值求解问题。
目前，计算水动力学的发展，已经从一维、二维数值模拟进入三维数值模拟，从势流发展到漩涡运动，从层流发展到紊流模拟，从恒定流发展到非恒定流，从单相流发展到液、固两相流，再到液、固、气三相流，从大范围流动到水流内部机理等都有所研究。
其中，对于非恒定流、渗流、自由面溢流、水利机械流动的水力计算、粘性流与紊流模拟的研究都有较大的进展。
二、计算水动力学原理和方法
在计算水动力学中，求解流体力学的方法一种是解析方法，一种是数值方法。
对于解析方法，必须要面对基本方程的非线性性质和几何形状不规则这两个难题，这给解析求解带来了很大的困难。
随着电子计算机的发展，开始产生了适用于计算机求解的数值方法，如有限差分法、有限元法、边界积分方程法、快速变换、统计实验法等。
它们主要的原理，就是将基本方程进行离散，然后通过各种优化算法，使得数值解尽量的逼近解析解的真值。
三、泊松方程的迭代求解
泊松方程为2222(x,y)u u
f x u
∂∂+=-∂∂,(x,y)∈Ω
其边界条件(x,y)1,(x,y)u =∈∂Ω，其中(){},0,1x y x y Ω=<<
3．1用菱形五点差分离散格式
如下图所示，用直角坐标系在Ω上打网格，令x y h ∆=∆=， xi=ih, yj=jh ,h=1/(N+1), i,j=1,2,……,N.
对泊松方程，在(),y i j x 上用五点差商格式进行二阶偏导离散，即
()()()()22
11221,y 2,y ,y i j i j i j u u x u x u x o h x h +-∂⎡⎤=-++⎣
⎦
∂ ()()()()2211221
,y 2,y ,y i j i j i j u u x u x u x o h y h +-∂⎡⎤=-++⎣
⎦∂ 将离散格式导入泊松方程，经过化简得到
2,1,1,,1,14i j i j i j i j i j ij u u u u u h f +-+-----=
即2,1,1,,1,11
4
i j i j i j i j i j ij u u u u u h f +-+-⎡⎤=++++⎣⎦，截断误差()2
o h 3.2、边界条件的处理
()()0,,01u j u i ==
3.3、代数方程组求解
各内节点菱形五点格式方程+各边界节点方程—代数方程 各方程统一形式：ij nb nb ij u a u b -=∑
其中：（i ，j ）内部节点与边界节点的集合Ω； nb 代表与（i ，j ）相邻的各结点，也属于集合Ω。
方程组的矩阵形式Au=b
迭代法求解设迭代初值()0ij u ，第一步迭代值()
1ij u ，第二步迭代值
()()()1*
1,0,1,2k k ij ij nb nb ij u w u w a u b k +=-++=∑……直至1max k k ij
ij u u ε+-< （1） J acobi 迭代法()()
1,0,1,2k k ij nb nb ij u a u b k +=+=∑ （2） G auss-Seidel 迭代法()1*,0,1,2k ij nb nb ij u a u b k +=+=∑
*
nb
u 为nb u 最新迭代值 （3） 松弛迭代法（SOR 法）
()()()1*1,0,1,2
k k ij ij nb nb ij u w u w a u b k +=-++=∑
松弛因子w>1，超松弛，加快收敛速度；w<1.欠松弛，放慢收敛速度，避免迭代的不稳定
四、结果分析
采用松弛迭代法
程序如下
!泊松方程菱形5点格式法迭代
program main
implicit none
integer ,parameter:: n=1000,m=100
real :: u(0:m,0:n) ,a(0:n),b(0:n),w,e
integer t,i,j
write (*,*) "输入松弛因子w"
read (*,*) w
write (*,*)"输入收敛精度e"
read(*,*) e
write(*,*)"初始值u(1,1),u(2,1)"
read (*,*) u(1,1),u(2,1)
a(0)=u(1,1)
b(0)=u(2,1)
t=0
!差分方程组
do i=0,n-1
a(i+1)=(1-w)*a(i)+w*0.25*(3+b(i))
b(i+1)=(1-w)*b(i)+w*0.25*(3+a(i+1))
end do
!记录迭代收敛次数
do while (abs(a(t+1)-a(t))>e)
t=t+1
end do
!输出结果
open(10,file="bosong.txt")
write(10,*)"输入松弛因子w" , w
write(10,*)"收敛精度e" , e
write(10,*)"初始值u(1,1),u(2,1)", u(1,1),u(2,1)
do i=0,t
write (10,*) i,a(i)
end do
stop
end
设置边界条件都为1，f（x，y）=0，两个待求解点u（1,1），u（2,1）的初始值都设为 2.1，收敛精度为0.00001，分别取松弛因子为0.8,1.2,1.5,1.7,1.9共5个不同的松弛因子。
根据计算结果显示，当松弛因子从0.8增加到1.9时，迭代收敛次数依次为10次，8次，18次，32次，82次，收敛结果分别为1.00014，1.000003，0.999997，0.999999，0.999945。
由上表可以看出，随着松弛因子的增大，开始时刻数值震荡越明显，选取适当的松弛因子，可以迭代收敛速度大大加快。
