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因式分解(分组分解法)PPT课件 2

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分组分解法因式分解课件

分组分解法因式分解课件
详细描述
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。

人教八年级数学上册《14.3 因式分解分组分解法》 课件

人教八年级数学上册《14.3 因式分解分组分解法》 课件
八年级数学
第十五章
第五节
分组分解法因式分解
探究：
如何因式分解 mx+my+nx+ny ？
针对四项或四项以上的多项式，当不能提公因 式或不能使用公式法，可以考虑将其分组，对 各组分别分解，再对整体因式分解。这种方法 叫分组分解法。
因式分解： 2 a x4 b x a y 2 b y (2xy)(a2b)
(3) ax2 3x2 4a 12
(a3)(x2)(x2)
巩固练习：
2、因式分解：
(1) a 2 2 a 4 b 2 4 b
(a2b)(a2b2)
(2) x2 a2 bx ab 2ax
(xa)(xab)
(3) x2 4 xy 4 y 2 3x 6 y
(x2y)(x2y3)
四项多项式只有二二分组或一三分组两种可能， 分组后或用提公因式或用公式继续分解。
练习：
4、对4x2+2x–9y2–3y运用分组分解法分解因 式，分组正确的是（ B ） A．（4x2+2x）+（–9y2–3y） B．（4x2–9y2）+（2x–3y） C．（4x2–3y）+（–9y2+2x） D．（4x2+2x–3y）–9y2
因式分解： x2axy2ay(xy)(xya)
分组分解法关键在于合理分组，但分组没有绝 对的方法，只要保证分组后能继续分解即可。
练习：
1、因式分解：
7x2 3yxy21x (7xy)(x3) x2 3ax6ab4b2 (x2b)(x3a2b)
2、分解因式：a2b2c22ab (abc)(abc)
3、分解因式：4x2a26a9(2xa3)(2xa3)
谢谢观赏

《分组分解法》课件

《分组分解法》课件

分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。

人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)

人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)

还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0

沪教版(五四学制)七上：6分组分解法课件(2)

沪教版(五四学制)七上：6分组分解法课件(2)
(x 3 y)2 1 (x 3 y 1)(x 3 y 1) (x y 4)(x y 2)
因式分解： x2 y2 6x 6 y 2xy 8
练习1：因式分解 (1)4x2 4xy y2 4x 2 y 3 (2)x5 x4 x3 x2 x 1 (3)x2 (x y z) xyz (4)a2 b2 x2 y2 2ab 2xy
“三一” 分组
把x+3看 成整体
因式分解： (x 3)2 2(x 3) y y2 1
解：原式 (x 3 y)2 1 (x 3 y 1)(x 3 y 1) (x y 4)(x y 2)
因式分解： (x 3)2 2xy 6 y y2 1 解：原式 (x 3)2 2(x 3) y y2 1
考虑拆项
解：原式 a3 2a2 a2 4
(a3 2a2 ) (a2 4)
a2 (a 2) (a 2)(a 2)
(a 2)(a2 a 2)
分解到底了吗？
(a 2)(a 2)(a 1)
(a 2)2 (a 1)
十字相乘法
还有其他方法吗？
练习2：因式分解
x2 2x a2 2a
因式分解： x2 y2 3x 3y 2xy 2
解：原式 x2 2xy y2 3x 3y 2 (x y)2 3(x y) 2 (x y 2)(x y 1)
因式分解： x2 2xy y2 1
解：原式 (x2 2xy y2 ) 1
(x y)2 1 (x y 1)(x y 1)
因式分解： x2 3x 2
解：原式 (x 2)(x 1)
把x+y看 成整体
因式分解： (x y)2 解： (x y)2 3x 3y 2
解：原式 (x y)2 3(x y) 2 (x y 2)(x y 1)

【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT

【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT

知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中 不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上 述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式 分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)


B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考


（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4

的值为


解析：由 +
得
+






= − − ，
− + + = ，


即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解

因式分解(第2课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)


几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．
ห้องสมุดไป่ตู้ 当堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ D ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=_____4_a_b__________; (3) -a4+16=__(_4_+_a_2_)(_2_+_a_)_(_2_-a_)__.
沪科版七年级下册配套课件
第8章 整式乘法与因式分解
第4节 因式分解 第2课时 公式法与分组分解法
学习目标
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分 解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式 进行因式分解．（难点）
导入新课
情境引入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小
完全平方式: a 2 2ab b2

因式分解ppt课件

识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。

课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2


十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
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பைடு நூலகம்
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解： =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx) =-2y(a-b+c)+x(a-b+c) =(a-b+c)(-2y+x) (6) x2-x2y+xy2-x+y-y2
解： =(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) =(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y)
am+an+bm+bn 整 式 =a(m+n)+b(m+n) 乘 法 =(a+b)(m+n)
因 式 分 解
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组 分解法 注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可 以用分组分解法来分解因式。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分 成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正 好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。 解：a2-ab+ac-bc =(a2-ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式 =(a-b)(a+c) ——提公因式
=(x-y)(x+y-xy-1) =(x-y)[(x-xy)+(y-1)] =(x-y)[x(1-y)-(1-y)]
=(x-y)(1-y)(x-1)
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
教科书 P36 1 2
分组规律：
在有公因式的前提下，按对应项系数成 比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
分解步骤： (1)分组； (2)在各组内提公因式；
(3)在各组之间进行因式分解
(4)直至完全分解
把下列各式分解因式： (1)20(x+y)+x+y 解：=20(x+y)+(x+y) =21(x+y) (3)5m(a+b)-a-b 解：=5m(a+b)-(a+b) =(a+b)(5m-1) (2)p-q+k(p-q) 解：=(p-q)+k(p-q) =(p-q)(1+k) (4)2m-2n-4x(m-n) 解：=2(m-n)-4x(m-n) =(m-n)(2-4x)
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果 有，因式分解的结果是不是一样。 例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx =(a2+ac)-(ab+bc) =(2ax-bx)+(5by-10ay) =a(a+c)-b(a+c) = (a+c)(a-b) =(2ax-bx)+(-10ay +5by） =x(2a-b)-5y(2a-b) = (2a-b)(x-5y)
分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提供因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式
(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn 定义：
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成 两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两 组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好 都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。 解： 2ax-10ay+5by-bx =(2ax-10ay)+(5by-bx) =(2ax-10ay)+(-bx +5by） =2a(x-5y)-b(x- 5y) =(x-5y)(2a-b)