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第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。
(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。
(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。
则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。
易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。
若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。
例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。
分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。
向量与矩阵范数,,,(1):0,00(2):,(3):,,.n nnR RY X Y X Y R X R X X X X X λX λX λX X ≥=⇔==∀∈+≤+∀∈在向量空间中任意向量定义一种运算使其与一个实数对应并且满足:正定性齐次性三角不等式则称为空间定义1向量 的范数 22212122,,(,,,),,.T n n n X XX x x x X x x x X X R ==+++=∈利用向量的内积运算给出向量的一种范数:回顾知识：通常记为{}111112,max (),1n i i i n i p p p p n P Xx X x Xx x x p ∞≤≤====+++≤<+∞∑在实际问题中经常使用的范数:()1222124,3(13)=101=1,0,3XX X X ∞===+，例()()122123,(3=1,0,31,0,3)=3X Y Y X Y X X Y εεεεεεε∞-=-=-==+++例2，，()()n m R n m A a B b A B ij n m ij n m⨯⨯==⨯⨯表示实数域上所有阶矩阵的集合，,如何刻画与的逼提出问题：近程度？(),,,(1):0,00(2):,(3):,,.2:n mn m R A a ij n mA A A A A A RA B A B A B R A A λλλ⨯⨯=⨯≥=⇔==∀∈+≤+∀∈对于中的任意一个矩阵定义一种运算使其与一个实数对应并且满足正定性齐次性三角不等式则定称为矩阵的范数义下面给出矩阵范数的定义.()()()1111121()max .m 2ax 1-.()2-,).3(mij i n j n ij j m i T T T A a ij n mA a A A a A A A A A A A A A ρρ∞≤≤=≤≤==⨯===∑∑常用的矩阵范数如下:为矩阵的行范数或无穷范数为矩阵的列范数或范数为矩阵的范数为的最大特征值112345615103001A AA ∞⎛⎫ ⎪=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭，例21000505001B B ⎛⎫ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭1023406109000A B A BA B ∞⎛⎫ ⎪-=⇒-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，,.3:,n m b mb b b A R A X AX A X X R A X ⨯∈≤∀∈设矩阵范数和一个向量范数满足关系则称矩阵范数定和向量范数是相容的义1()max ,()m X a A AX a X R ==∀∈与向量范数相容的矩阵范数可以通过式来定义,(),,,:.1n m mn m A R a A AX A X X R AB R AB A B ⨯⨯∈≤∀∈∈≤设式定义的满足矩阵范数的定义并且有以及对于任意有定理111222:)2(m ij n m A a X R AXA X AXA X AX A X⨯∞∞∞=∀∈≤≤≤设，,成立:定理121212121212122112121212221212121211,,,,,,,,,4,:n X R c XX c X e X X e X d XX d X r X X r X c c d d e e h XX h X r r h h s s s X X s X ∞∞∞∞∞∞∀∈≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,成立:为例非零正实数{}{}12,,,,k k k k k X X X X X X X X ∞---不同的度量是否改变的收敛与发提出问题：散判断？()222212211122212121,=max max =111:n n i i i n i nn i n i X R X x x x n x n x n X X x x x x n X ≤≤≤≤=∀∈+++≤=≤≤++++++=∑证明{}12,k k k X X X X X --判断敛散性结论一致.121X X n X n ≤≤121212121212122112121212221212121211,,,,,,,,,:,n m A R c A A c A e A A e A d A A d Ar A A r A c c d d e e h A A h A r r h h s s s A A s A ⨯∞∞∞∞∞∞∀∈≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,成立:为非例5零正实数。
