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2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

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2004年全国高中数学联赛试题

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角q使关于x的方程0cotcos42xx有重根，则q的弧度数为

A．6 B。12512或 C。1256或 D。12 答：[ ]

2、已知M=32|),(22yxyx，N=bmxyyx|),(，若对于所有的Rm，均有,NM则b的取值范围是

A．[26,26] B。（26,26）C。（332,332） D。[332,332]

答：[ ]

3、不等式2log211log3212xx>0的解集是

A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4） 答：[ ]

4、设O点在△ABC内部，且有032OCOBOA，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为

A．2 B。23 C。3 D。35 答：[ ]

5、设三位数abcn，若以cba,,为三条边的长可以构成一个

等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有

A．45个 B。81个 C。165个 D。216个 答：[ ]

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是

A．35 B。352 C。36 D。362 答：[ ]

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、在平面直角坐标系xoy中，函数)0(cossin)(aaxaxaxf在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2axg的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数,:RRf满足1)0(f，且对任意的Ryx,，都有)1(xyf=

2)()()(xyfyfxf，则________________)(xf。

9、如图，正方体1111DCBAABCD中，二面角11ABDA的度数是______________。

10、设p是给定的奇质数，正整数k使得pkk2也

是一个正整数，则k=________________。

11、已知数列...,,...,,,210naaaa满足关系式

18)6)(3(1nnaa且30a，则niia01的值是______。

12、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，34），B（-1，0），C（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 15、已知、是方程01442txx（Rt）的两个不等实根，函数)(xf

122xtx的定义域为[，]。

（Ⅰ）求);(min)(max)(xfxftg

（Ⅱ）证明：对于)2,0(iu)3,2,1(i，若1sinsinsin321uuu，则

643)(tan1)(tan1)(tan1321ugugug。

【第二试】

一、（本题满分50分）

在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相

交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，

FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求

AK的长。

二、（本题满分50分）

在平面直角坐标系xoy中， y轴正半轴上的点列nA与曲线xy2（x≥0）上的点列nB满足nOBOAnn1，直线nnBA在X轴上的截距为na，点nB的横坐标为nb，

Nn。

（Ⅰ）证明na>1na>4，Nn。 （Ⅱ）证明有Nn0，使得对0nn都有nnnnbbbbbbbb112312...<2004n。

三、（本题满分50分）

对于整数n≥4，求出最小的整数)(nf，使得对于任何正整数m，集合

1,...,1,nmmm的任一个)(nf元子集中，均有至少3个两两互素的元素。

参考答案

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、解：因方程24coscot0xx有重根，故216cos4cot0

0,4cot(2sin21)02

得1sin22

52266或，于是51212或。 故选B。

2、解：MN相当于点（0，b）在椭圆2223xy上或它的内部22661,322bb。 故选A。

3、解：原不等式等价于222331log1log0222log10xxx

设22310log1,220ttxtt则有 解得01t。 即20log11,24xx。 故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，

则2(1)2()4(2)OAOCODOBOCOE

由（1）（2）得，

232(2)0OAOBOCODOE，

即ODOE与共线，

且332||2||,322AECABCAOCAOCSSODOESS， 故选C。

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{1,2,...,9}abc

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199nC。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有292C。但当大数为底时，设a>b，必须满足2bab。此时，不能构成三角形的数码是

a 9 8 7 6 5 4 3 2 1

b 4，3

2，1 4，3

2，1 3，2

1 3，2

1 1，2 1，2 1 1

共20种情况。

同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有23C种情况。

故2222399(220)6(10)156nCCC。 综上，12165nnn。

6、解：,,,ABOBABOPABPBOHPB又

,,PABPOBOHHCOHPA面面。C是PA中点，OCPA

HOCHOHCS当时最大， OBCAED也即OHPCPHCOVV最大。

此时，

002,,3026tan303HOOPHPOOBOP1故HO=2，

故选D。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、解：21()1sin(),arctanfxaaxa其中，它的最小正周期为2a，振幅为21a。由()fx的图像与()gx的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2a、宽为21a的长方形，故它的面积是221aa。

8、解：,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有

(1)()()()2fxyfyfxfxy有

()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy

即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得。

9、解：连结1,DC1作CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。

连结AC，设AB=1，

则112,3.ACADBD

1RtABD在中，1123ABADAEBD，

CED1C1A1B1ABDF在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAECEAE中,

0120,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。

10、解：设222*224,,0,2ppnkpknnNkpknk则，从而224pn是平方数，设为2*2,,(2)(2)mmNmnmnp则

22212123,,214pmmnppmnppn是质数，且解得

222(1)(1),244pmpppkk故。（负值舍去）

11、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,nnnnbnabb则

即1111113610.2,2()333nnnnnnbbbbbb

故数列1{}3nb是公比为2的等比数列，

11001111112()2()2(21)33333nnnnnnbbba。

112001112(21)1(21)(1)2333213nnnniniioiiibnna。

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为

S（a，3－a），则圆S的方程为：222()(3)2(1)xayaa

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2004年全国高中数学联赛试题及答案

2004年全国高中数学联赛试题及答案

第 1 页 共 14 页 2004年全国高中数学联合竞赛试题

第 一 试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角使关于x的方程24coscot0xx有重根，则的弧度数为（ ）

A. 6 B. 51212or C. 5612or D. 12

2、已知22{(,)|23},{(,)|}MxyxyNxyymxb。若对所有,mRMN均有，则b的取值范围是（ ）

A. 66,22 B. 66,22 C. 2323(,]33 D. 2323,33

3、不等式32121log1log202xx的解集为（ ）

A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4]

4、设O点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（ ）

A. 2 B. 32 C. 3 D. 53

5、设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）

A. 53 B. 253 C. 63 D. 263

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、在平面直角坐标系xoy中，函数()sincos(0)fxaaxaxa在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1gxa的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

2022全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)

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2022全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)

2022全国高中数学竞赛二试试题及答案

2022年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n≥2)是实数，证明：可以选取

ε1,ε2, ,εn∈{1, 1}，使得

n n n2

∑ai + ∑εiai ≤(n+1) ∑ai ． = i1= i1 = i1

证法一：我们证明：

n

2 2 nn

n2

∑ai + ∑ai ∑aj ≤(n+1) ∑ai ， ① = i1=

i1 i1 n ==j +1

2 / 10

2

22

n n

（这里，[x]即对i=1, , ，取εi=1；对=i +1, ,n，取εi= 1符合要求．

2 2

表示实数x的整数部分．） …………………10分

事实上，①的左边为

州奥

2 ∑ai i=1

n 2

2

n n 2 2 nn

aaaa ++∑∑j j ∑i ∑i

= n n i1= i1 jj 2 +1 2 +1

2002年全国高中数学联赛试题及解答

2002年全国高中数学联赛试题及解答

2002年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（ ）．

Ａ．｛2｝ Ｂ．｛－1｝

Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝ Ｄ．

2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（ ）．

Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈Ｚ

Ｂ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈Ｚ

Ｃ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ

Ｄ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ

3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（ ）．

Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3 Ｄ．6

4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（ ）．

Ａ．无实根

Ｂ．有两个相等实根

Ｃ．有两个同号相异实根

Ｄ．有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（ ）．

Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．130

6．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（ ）．

Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0

Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0

Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0

Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0

2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案

2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案

2006年全国高中数学联赛试题

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 已知△ABC，若对任意Rt，ACBCtBA，则△ABC一定为

A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）

2. 设2log(21)log2 1xxxx，则x的取值范围为

A．112x B．1, 12xx且 C． 1x D． 01x 【答】（ ）

3. 已知集合05axxA，06bxxB,Nba,，且2,3,4ABN，则整数对ba,的个数为

A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ）

4. 在直三棱柱111ABCABC中，2BAC，11ABACAA. 已知Ｇ与Ｅ分别为11AB 和1CC的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为

A. 1, 15 B.1, 25 C. 1, 2 D. 1, 25 【答】 （ ）

5. 设322()log1fxxxx，则对任意实数,ab，0ab是()()0fafb的

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ）

6. 数码1232006,,,,aaaa中有奇数个9的2007位十进制数12320062aaaa的个数为

A．200620061(108)2 B．200620061(108)2 C．20062006108 D．20062006108 【答】（ ）