2004年全国初中数学联赛试题及参考答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，

请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在

评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知，，，那么的大小关系是 （ ） 21a32b62c,,abc

A. B. C. D. abcacbbacbca

【答】C.

因为，，所以，故.又 1

21

a1

32

b11

0

abba(62)(21)6ca

，而，所以，故.因此. (21)22

(6)(21)3220621cabac

2．方程的整数解的组数为 （ ） 22

2334xxyy(,)xy

A．3. B．4. C．5. D．6.

【答】B.

方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为，22

()234xyyxy2xyt22

217ty

它的整数解为从而可求得原方程的整数解为＝，，，，共42,

3,t

y







(,)xy(7,3)(1,3)(7,3)(1,3)

组.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接

BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）

A． B． C． D． 6

35

326

325

3

【答】D.

过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是

△BEG的中位线，所以P为EG的中点.

又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝

DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.

因此DG＝GP＝PE＝DE＝. 1

32

3

连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°.

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）

一、填空题

1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.

答案：-1

2. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.

答案：7

3. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.

答案：6

4. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.

答案：45°

二、选择题

5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.

A. 水平的直线

B. 斜率为 1 的直线

C. 斜率为 -1/3 的直线

D. 竖直的直线

答案：B

6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.

A. 4

B. 5

C. 8

D. 10

答案：A

7. 已知 tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.

A. 5

B. -5

C. -1/5

D. 1/5

答案：B

8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（ ）

A. 1/2

B. 3/2

C. 2/3

D. 3/4

答案：B

三、解答题

9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标

答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)

可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。点 P

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精品资料分享 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１． 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ； （B）31； （C）2； （D）35．

答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10； （B）12；

（C） 16； （D）18．

答（ ）

３． 方程012xx的解是

（A）251； （B）251；

（C）251或251； （D）251．

答（ ）

４． 已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991； （Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n； （Ｄ）11991)1(n．

答（ ）

５． 若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享 答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

2001年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

1．（7分）a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）

A． 1999 B． 2000 C． 2001 D． 不能确定

解答： 解：∵==，

∴a+b+c=，

∴a=0，b=1，c=1，

2a+999b+1001c=2000．

故选B．

2．（7分）若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则的值是（ ）

A． B． C． ﹣ D． ﹣

解答： 解：∵5a2+2002a+9=0，

则5++=0，

∴9（）2+2002（）+5=0，

又9b2+2002b+5=0，

而≠b，

故，b为方程9x2+2002x+5=0的两根，

故两根之积==．

∴=

故选A．

3．（7分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）

A． B． C． 0.3 D．

解答： 解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，

∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，

∴∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，

∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°， ∴AC=AD，

又∵∠ABC=∠BAD=15°

∴BD=AD，

∵BC=1，

∴AD+DC=1，

设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），

∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，

解得：x=﹣3+2，

∴AC=（4﹣2）

=2﹣

故选B．

4．（7分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（ ）

A． AD•BC=AB•BD B． AB2=AD•AC C． ∠ABD=∠CBD D． AB•BC=AC•BD

解答： 解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；