相似三角形辅助线(教师版)

相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

1. 如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，

求证：BFCFBDCE

证明：过点C作CG∥AB交DF于G

∵CG∥AB

∴△ADE∽△CGE

∴AD/CG＝AE/CE

∵AD＝AE

∴AD/CG＝AD/CE

∴CG＝CE

∵CG∥AB

∴△BFD∽△CFG

∴BF/CF＝BD/CG

∴BF/CF＝BD/CE

∴BF：CF＝BD：CE

2. 如图，△ABC中，AB

证明：AB·DF=AC·EF。

先作辅助线，从D点作AC的平行线交BC于M点

则△FEC与△FDM相似

∴EF/DF=EC/DM. (1)

又∵DM‖AC，

∴△BDM与△BAC相似

∴AB/AC=BD/MD (2)

∵BD=EC,

∴式（2）为AB/AC=EC/MD （3）

由式（1）和（3）得AB/AC＝EF/DF

∴AB*DF=AC*EF

二、作垂线

3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，

求证：2ACAFADAEAB。 B

D

A C

F E ABCFDE AB×AE+AD×AF＝AB×（AB+BE）+AD（AD+DF）＝AB²+AB×BE+AD²+AD×DF

AC²＝AE²+EC²＝（AB+BE）²+BC²-BE²＝AB²+2AB×BE+BC²①.

同理，AC²＝AD²+2AD×DF+DC²②.而BC＝AD,DC＝AB.

①+②,2AC²＝2AB²+2AB×BE+2AD²+2AD×DF＝2[AB×AE+AD×AF]

类似三角形中几种罕有的帮助线作法

在添加帮助线时,所添加的帮助线往往可以或许结构出一组或多组类似三角形,或得到成比例的线段或出等角,等边,从而为证实三角形类似或进行相干的盘算找到等量关系.重要的帮助线有以下几种：

一.添加平行线结构“A”“X”型

例1：如图,D是△ABC的BC边上的点,BD：DC=2：1,E是AD的中点,求：BE：EF的值.

解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P,则

∴PE=EFBP=2PF=4EF所以BE=5EF∴BE：EF=5：1.

解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q,

∴BE：EF=5：1.

解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S,

解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T,

∵BD=2DC∴∴BE：EF=5：1.

变式：如图,D是△ABC的BC边上的点,BD：DC=2：1,E是AD的中点,贯穿连接BE并延伸交AC于F,求AF：CF的值.

解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P,

解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q,

解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S,

解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T,

例2：如图,在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,；TCBTEFBE，DCBT25且使AD＝AE,

DE延伸线与BC延伸线订交于F,求证：

（证实：过点C作CG//FD交AB于G）

例3：如图,△ABC中,AB

剖析：证实等积式问题经常化为比例式,再经由过程类似三角形对应边成比例来证实.不类似,因而要经由过程两组三角形类似,应用中央比代换得到,为结构类似三角形,需添加平行线..

办法一：过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC（两角对应相等,两三角形类似）.

办法二：过D作DN//EC交BC于N.

例4：在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延伸线上的一点,BE=AD,DE交AB于F.求证：EF×BC=AC×DF

八年级上册数学几何辅助线经典题

一、概述

在数学几何学科中，辅助线是解决问题的重要方法之一。在八年级上册数学教材中，有许多经典的数学几何辅助线题目，通过这些题目的练习，可以帮助学生更好地掌握辅助线的运用方法，提高解题能力。本文将针对八年级上册数学几何辅助线经典题进行详细介绍和解析。

二、题目一：相似三角形的辅助线应用

题目描述：如图所示，∠ABC=∠ACD=90°，AB=4cm，AC=6cm，CD=9cm，求AD的长度。

解析：根据题目给出的信息，我们可以通过绘制辅助线来解决这道题。连接BD并延长至E点，使得BE=BC。接下来，连接AE，可得到相似三角形ABE与ACD。根据相似三角形的性质，我们可以得出以下等式：AB/AC=BE/AD，即4/6=4/(4+AD)。通过解方程，可以求得AD=8cm。

三、题目二：三角形中的中位线问题

题目描述：如图所示，△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，连接DE，求证：DE//BC。

解析：这道题目考察了中位线的性质和应用。根据△ABC的性质，可以得出AD=DC，AE=EB，通过连接DE可以得到四边形ADBE。根据四边形的性质，可以得出ADBE是一个平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，因此DE//BC。

四、题目三：正方形中的选点问题

题目描述：如图所示，ABCD为正方形，E为BC的中点，连接AE，求证：AE⊥CD。

解析：这道题目是典型的正方形中的选点问题。首先根据正方形的性质可以得出AB⊥BC，BC⊥CD，AD⊥DC，因此AD//BC。接下来连接AE，并可得到△ADE与△CDE，由△ADE≌△CDE，可得出AE⊥CD。

五、结语

通过以上三道典型的数学几何辅助线经典题目的解析，我们可以看到辅助线在解决问题中的重要作用。通过练习和掌握这些经典题目，不仅可以提高学生的数学运算能力，还可以加深对数学几何知识的理解。希望学生能够在课堂上认真学习，多加练习，提高自己的解题能力，取得好成绩。在教学中，数学几何辅助线经典题的练习和解析是十分重要的。通过这些经典题目的学习，学生不仅可以掌握辅助线的运用方法，还能培养解决问题的能力和思维逻辑。在接下来的内容中，我们将继续介绍八年级上册数学几何辅助线的经典题目，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1 的特殊相似形，相似形则是全等形的

推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为

基础．

二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构

造出基本图形，从而使问题得以解决

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；

2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；

3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似； ②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两

三角形相似

2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似

3、已知可能的一个直角三角形 ①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；

②找另一角，两角对应相等，两三角形相似 ③ 找两边对应成比例 判定定理 1 或判定定理 4

4、与等腰三角形有关的 ①找顶角对应相等 判定定理 1

②找底角对应相等 判定定理 1 ③找底和腰对应成比例 判定定理 3

5、相似形的传递性 若 △1∽ △2， △2∽ △3，则 △1∽ 3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所

代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做

“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只