分数的拆分

第七讲 分数的拆分

在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。问：最少要切几刀？

分析与解答：

方法一：

1．计算每人得到的根数：11÷12=11／12根；

2．考虑一般的情况：

由于每人都得到11／12根，所以每根可以分成12份，才能使每人都得到一份。把一根糖棒平均分成12份，需要切11刀，11根糖棒最多就要切11×11＝121刀。

怎样才能减少切的刀数呢？

3．考虑每根切的段数与12的关系。

每人得的块数要尽量少，才能使切的刀数少。由于每人都得到11/12根，所以也可以说若干个分数的和一定是11/12。这几个分数在相加时，通分后分母是12，通分前分母必是12的约数，即每根糖棒在平均分时，切出的段数一定是12的约数。

若每根平均分成2段，需要1刀，每段长1/2，即6/12；

若每根平均分成3段，需切2刀，每段长1/3，即4/12；

若每根平均分成4段，需切3刀，每段长1/4，即3/12；

若每根平均分成6段，需切5刀，每段长1/6，即2/12；

若每根平均分成12段，需切11刀，每段长1/12。

4．把1/12、2/12、3/12、4/12、6/12通过枚举的方法组成11/12。

（1）11/12=6/12＋4/12＋1/12=1/2＋1/3＋1/12；

（2）11/12=6/12＋3/12＋2/12=1/2＋1/4＋1/6； （3）11/12=4/12＋4/12＋3/12=1/3＋1/3＋1/4。

数 学 讲 义 六年级

1.分数的分拆 2010.9

★例题剖析★

1.观察我们曾经口算过的这些算是及结果的特点：

21211211

613213121

1214314131

2015415141

3016516151

思考下列问题：

①你能很快说出3012011216121的结果吗？

②你能把“1”表示成5个单位分数的和吗？

③你能把11nn表示成两个单位分数的差吗？

④你还获得了哪些信息？

2.计算100991...431321211

3.在下面的括号中填入两个不同的自然数，使等式成立。

11181

4.将121表示成两个单位分数的差。 5.计算1681120180148124181。

6.计算21171171311391951511。

7.1000...3211...32112111

●练习题●

1.将241表示成两个不同的单位分数的和与差的形式。

2.1120051，其中括号内的整数可能是 和 。

3.在括号内填上不同的自然数。

111111111

4.计算9017215614213012011216121。

5.计算2521421174171341394954514。

- 1 - 埃及分数拆分法

埃及分数拆分法是一种古老的算法，可以将一个分数拆分成若干个较小的分数之和。这种算法起源于古埃及时期，被用来计算土地面积和物品的分配。

具体步骤如下：

1.将分子除以分母，得到商和余数。

2.将分母除以余数，得到商和新的余数。

3.重复上述步骤，直到余数为1。

4.将所有商的倒数相加，得到分数的拆分。

例如，将5/7拆分成若干个分数之和：

5/7=0+1/2+1/7+1/98

其中，商的倒数分别为2、7和98，将它们相加即可得到原分数的拆分。

由于埃及分数拆分法只涉及整数的除法和加法，因此非常适合手算或机械计算，可以避免繁琐的分数运算。此外，该算法还具有一定的数学意义，与分数连分数、连分数的收敛等概念密切相关。

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分数的分拆

概念，把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆。

方法和技巧

把分数单位分拆成单位分数相加的和。

先拆分：同乘以分母的约数和。

再拆分：拆成约数作分子的分数。

后约分：约成最简分数。

分子，分母同乘以大于分母，小于分母2倍的自然数。

把真分数分拆成单位分数相加的和。

把假分数分拆成单位分数相加的和。

例题1，在81=11的括号里填上适当的自然数，使得等式成立。

解法一：8的约数有1、2、4、8.

)21(821181121241382381

101401584581)41(8)41(181

91721988981)81(8)81(181

16116181

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练习：

1，将下列各分数写成两个单位分数。

1141 1131

1161 1151

11211 11121

例题2，将101分拆成三个单位分数之和（任求一解）。

分析一：可以先把101拆分成两个单位分数之和，再拆分成三个单位分数之和。

分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。

解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分。

15130131023101)21(10)21(1101