第11讲 排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学 新东方内部

思维导图——排列、组合、二项式定理、概率知识点默写——排列、组合与二项式定理*1、分类加法计数原理：*2、分步乘法计数原理：3、排列数mn A 的含义：4、计算：m n A =*5、在m n A 中，若m n <，这样的排列叫作；若m n =，这样的排列叫作；6、阶乘!n =；nn A =；规定，0!=；7、组合数mn C 的含义：8、计算：m n C ==；9、组合数的性质（1）m n C =；（2）1m m n n C C -+=；（3）0121n nn n n n n C C C C C -+++++=.10、（1）对于*n N ∈，()na b +=.该公式所表示的定理叫作，右边的多项式叫作()na b +的；展开式共有项数为项.（2）二项展开式的通项1r T +=，表示第项.（3）二项展开式中的二项式系数为；项的系数是指.11、（1）对称性：与首末两端的两项的二项式系数相等，即(0,1,2,,)r n rn n C C r n -==（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数n 为偶数时，最大的二项式系数为，最大二项式系数为第项；当n 为奇数时，最大的二项式系数为，最大的二项式系数为第项.（3）二项式系数之和为.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数项的二项式系数之和相等，即：==.12、若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，令，得0127a a a a ++++=.一、特殊元素特殊位置优先1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？二、相邻元素捆绑法2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？三、不相邻问题插空法3、一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则所有节目共有多少种出场顺序？四、定序问题倍缩法、空位法、插入法4、7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法？五、排列组合混合问题先选后排法5、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同装法？六、元素相同问题隔板法6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？七、平均分组问题除法策略7、有6本不同的书，平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？八、合理分类与分步策略8、在一次演唱会上共有10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？九、构造模型策略9、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？。

排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。

⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。

2021年高考数学试题分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理（含解析）1.【xx高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是．2.【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【xx高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【xx高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B．C．D．【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.5、【xx高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【xx高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【xx高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】．【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：．8.【xx高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【xx高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【xx高考福建，理11】的展开式中，的系数等于．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中项为，所以的系数等于．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【xx高考北京，理9】在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.13.【xx高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【xx高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.【xx高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C xx x x⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【xx高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．27669 6C15 氕vJ40087 9C97 鲗L35622 8B26 謦28031 6D7F 浿37770 938A 鎊40002 9C42 鱂29902 74CE 瓎29455 730F 猏^25521 63B1 掱。

可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。

排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。

全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。

2021高考数学查缺补漏集中营：排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．把握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．明白得排列的意义，把握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．明白得组合的意义，把握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．把握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的大体公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、彼此独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与彼此独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行实验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是能够重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人经历自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101.例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，此题是等可能性事件问题，且Card(I1)=123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n m n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对这两个知识点进行总结和说明。

1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。

排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。

1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。

二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。

二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。

其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。

二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。

它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。

3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。

例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。

高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。

而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。

本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。

一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。

P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。

同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。

计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。

利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。

在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。

我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。

P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。

假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。

专题十一 排列、组合与二项式定理主干知识整合两个基本原理(1)分类加法计数原理； (2)分类乘法计数原理；2．排列：(1)定义；(2)排列数公式：A m n ＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N ，m ≤n )； 3．组合 (1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：C m n ＝C n －m n (m ，n ∈N ，且m ≤n )；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (m ，n ∈N ，且m ≤n )．4．二项式定理(a ＋b )n 展开式共有n ＋1项，其中r ＋1项T r ＋1＝C r n an －r b r . 5．二项式系数的性质(1)对称性、等距性、单调性、最值性；(2)C r r ＋C r r ＋1＋C r r ＋2＋…＋C r n ＝C r ＋1n ＋1； C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1； C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1等．要点热点探究探究点一 计数原理例1某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种【分析】 掷三次骰子，点数最多为18，因此回到点A 处只能是一次，而不能是回到点A 后再次回到点A .由于正方形的周长为12，即说明三次掷的骰子点数之和为12，设三次点数分别为a ，b ，c ，即方程a ＋b ＋c ＝12的满足1≤a ，b ，c ≤6的解的组数即为所求的走法．我们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况．C 【解析】 根据分析，a ＝1，则b ＋c ＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；a ＝2，则b ＋c ＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a ＝3，则b ＋c ＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；a ＝4，则b ＋c ＝8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；a ＝5，则b ＋c ＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；a ＝6，则b ＋c ＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能．【点评】 本题的设计极为巧妙，在必修3的教材中就有投掷骰子求点数之和的例子，这里把这个问题进行变通，问题就相当于在固定第一次投掷结果的情况下，分别求投掷两次骰子其点数之和是6,7,8,9,10,11的情况有多少种．变式题：某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________．(用数字作答)1200 【解析】 其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×126＝1200种． 探究点二 排列与组合例2在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为( )A ．78B ．114C ．108D ．120【分析】 先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况．B 【解析】 五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是C 15C 14C 33A 22＋C 15C 24C 22A 22＝25，故分配方案的总数是25A 33＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C 13，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C 13，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A 33＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114.【点评】 在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目，就要先分组然后再进行分配．变式题：(1) 2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)(2) 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )A ．576B ．720C ．864D ．1152(1)24 (2)C 【解析】 把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作品看做一个整体，方法数是A 22＝2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有A 22种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A 23＝6.根据乘法原理，故共有方法数2×2×6＝24.(2)先让数字1,3,5,7作全排列，有A 44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A 24种排法，共有A 44×3×A 24＝864种，故选C.探究点三 二项式定理例3 若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 【分析】 令x ＝1求出各项系数和确定n 值，根据二项式的通项公式求解常数项．－540 【解析】 令x ＝1得二项式⎝⎛⎭⎫3x －1x n 展开式的各项系数之和是2n ，由此得n ＝6.根据二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是C 3633×(－1)3＝－540.【点评】 注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和相等，但很多是不相等的．变式题：(1)(1＋3x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4245D ．4246(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14x 8的展开式中，含x 的非整数次幂的项的系数之和为( )A ．256B ．184C ．120D ．72(1)D (2)B 【解析】 (1)第一个展开式中x 的指数依次是0，13，23，1，43，53，2，第二个展开式中x 的指数依次是0，－14，－12，－34，－1，－54，－32，－74，－2，－94，－52，根据多项式的乘法规则，常数项只能是第一个展开式中x 的指数是0,1,2的项与第二个展开式中x 的指数是0，－1，－2的对应项的乘积，根据二项式的通项公式得，(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246.正确选项为D. (2)T r ＋1＝C r 8(x )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 8－r ＝C r 8x 3r 4－2，当r ＝0,4,8时为含x 的整数次幂的项，所以展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为C 08＋C 48＋C 88＝72，展开式所有项的系数之和为28＝256，故展开式中含x 的非整数次幂的项的系数之和为256－72＝184.典型的排列组合问题排列组合是高考数学中比较特殊的一个知识板块，历经多年的高考已经积累了一些经典的类型题，如分组分配问题、相邻与不相邻问题、甲不排头乙不排尾问题等，这些问题都有相对固定的解决方法．下面我们研究两个问题，即“装错信封问题”和“涂色问题”．“装错信封问题”是一道经典的计数问题，虽然有公式可用，但学生不可能掌握这个公式；“涂色问题”也是一类典型的计数问题．这两类试题都得从两个基本原理出发寻找解决问题的途径，设置这个创新链接的目的就在于此．例4 某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有( )A ．4455种B ．495种C ．4950种D ．7425种【分析】 分两个步骤，第一步，使8个班的班主任老师监考自己的班级，第二步，剩下的四位班主任老师，都不监考自己的班级．【解析】 A 从12位老师中选出8位，他们各自监考自己的班级，方法数是C 812；剩下的四位老师都不监考自己的班级，记四位老师分别为甲，乙，丙，丁，他们各自的班级分别为A ，B ，C ，D ，则甲只能在B ，C ，D 中选一个，有方法数3，假设甲在B ，此时若乙在A ，则丙丁只能互换班级，若乙在C ，D 之一，有2种方法，如假设乙在C ，则只能是丙在D ，丁在A ，故这时的安排方法数是3×(1＋2)＝9.根据分步乘法计数原理，监考安排方案共有C 812·9＝4455种，故选A. 【点评】 在元素个数不多的情况下，可以具体地进行操作，以找出其中的方法数目，这也是近年来，高考考查计数问题的一个命题趋势．在具体操作中可以在两个原理的指导下，给所安排的元素确定其具体位置，在逐步缩小位置个数的情况下解决问题．本题中的第二步是四个班主任都不监考自己的班级，这是问题“一个人写了n 封信和n 个对应的信封，所有的信都不装入对应信封”的特例，这是概率论历史上的一个有名问题，其方法数有计算公式n ！⎣⎡⎦⎤12！－13！＋…＋(－1)n 1n ！.本题就是n ＝4的情况，按照这个公式进行计算是4！⎝⎛⎭⎫12！－13！＋14！＝12－4＋1＝9.变式题：五名同学各自写一张卡片集中起来，然后每人任取一张卡片，则仅仅有一个同学取到自己写的卡片的方法各自情况是________种．45 【解析】 一个同学取到自己写的卡片的方法有5种，其余四个同学取到的都不是自己写的卡片，类似例题4的情况，方法数是9，根据分步乘法计数原理得，共有5×9＝45种情况．例5 在1×6的矩形长条格中，两格涂红色，两格涂黄色，两格涂蓝色，但要求至少有一种颜色涂在了相邻的两格，则不同的涂色方法共有________种．【分析】 “至少”，从反面考虑问题，即考虑没有任何一种颜色涂在相邻两格的方法，使用间接排除法求解．【答案】 60【解析】 没有限制的涂法是C 26C 24C 22＝90.若没有任何两种颜色涂在相邻两格，可以这样排列颜色，首先在两个位置上排列其中一种颜色，只有一种排法，在这个颜色隔出的三个空位上选两个排列其中的第二种颜色，有方法数C 23＝3，然后在这四个位置隔出的五个位置中选出两个位置，排列第三种颜色，有方法数C 25＝10，这样排列颜色的方法数是30，最后把这样颜色排列顺次涂在六个格子内，这样得到的就是没有任何一种颜色涂在相邻两格的方法数．故至少有一种颜色涂在了相邻的两格的方法数是90－30＝60.【点评】 涂色问题是一类典型的，以使用两个基本原理为主求解的排列组合应用题，其难点是各种限制条件的处理，如本题中要求至少有一种颜色涂在相邻的两个格子中，基本的解题思路都是根据要求进行具体操作，在操作中寻找解决问题的方法，涂色问题一般涉及的数目不大，具体操作的方法是解决问题的关键．规律技巧提炼1．分步加法计数原理是对要做的事情分成若干类，每一类中的若干种方法都能独立地完成这件事情；分步乘法计数原理是对要做的事情分成若干个步骤，每个步骤只是完成这件事情的一个环节，只有这些步骤都完成了，这件事情才算完成．这就是两个基本原理的区别，在解决问题中要注意区分．2．二项式(a ＋b )n 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指C k n ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别．3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1＋x )n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x ＝1即得，而(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和，只要把x 前面的系数－1变为＋1，令x ＝1得到，也可以不改变系数－1，直接令x ＝－1得到，这样就不难类比得到(1＋ax )n 展开式中各项系数绝对值的和为(1＋|a |)n .附加题：例1 [2011·四川卷]在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n＝( ) A.415 B.13 C.25 D.23【解析】 B 因为当OP →＝(a 1，a 2)，OQ →＝(b 1，b 2)，则以OP →，OQ →为邻边的四边形的面积S ＝|OP →||OQ →|sin ∠POQ ＝|OP →||OQ →|·1－cos 2∠POQ ＝ |OP →|2|OQ →|2－(OP →·OQ →)2＝(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)－(a 1b 1＋a 2b 2)2＝|a 1b 2－a 2b 1|.根据条件知平行四边形面积不超过4可转化为|a 1b 2－a 2b 1|≤4(※)．由条件知，满足条件的向量有6个，即α1＝(2,1)，α2＝(2,3)，α3＝(2,5)，α4＝(4,1)，α5＝(4,3)，α6＝(4,5)，易知n ＝C 26＝15.而满足(※)式的有向量α1和α2、α1和α4、α1和α5、α2和α3、α2和α6共5个，即m n ＝13.例2 [2010·浙江卷]有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．【答案】 264【解析】 上午的测试方法有A 44＝24种；我们以A ，B ，C ，D ，E 顺次代表五个被测试项目，若上午测试E 的下午测试D ，则上午测试A 的只能测试B ，C ，确定上午测试A 后其余两个同学就确定了，下午的测试方法有2种；若上午测试E 的同学下午测试A ，B ，C 之一，则上午测试A ，B ，C 的任何一个都可以测试E ，安排完这个后其余两个同学就确定了，故共有3×3＝9种测试方法，即下午的测试方法有11种．根据乘法原理，共有测试方法24×11＝264种．例3 [2009·四川卷]3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A ．360B ．288C ．216D ．96【解析】 B 方法1：3位男生的全排列数是A 33＝6，隔开四个空隙，把3位女生中的2位“捆绑”有方法数C 23A 22＝6，将3位女生当两个看，安插在四个空隙中的两个有方法数A 24＝12，故“6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法”有A 33C 23A 22A 24＝432种；其中男生甲站两端的男生排法种数是A 12A 22＝4，此时只能在甲的一侧的三个空隙中安插经过“捆绑”处理后的三个女生，有方法数C 23A 22A 23＝36，故“3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的”的排法有(A 12A 22)(C 23A 22A 23)＝144种．符合条件的排法故共有432－144＝288种．方法2：可以按照全排列男生时，男生甲在两端和在中间进行分类：若排列三名男生时男生甲在两端，此时三名男生的排法种数是2A 22＝4，经过“捆绑”处理的女生之一必须有一个排在甲的一侧，使甲不在最外侧，由于三个女生有且只有两个相邻，因此甲的这一侧也只能安放经过“捆绑”处理的女生之一，另一个要放在甲的另一侧的三个空隙中的一个，有方法数(C 23A 22)(C 12A 13)＝36.根据乘法原理此时有排法4×36＝144种；若排列三名男生时男生甲就不在两端，此时男生的排法是A 22＝2种，此时男生甲就没有特殊性了，就相当于在隔开的四个空隙中安排经过“捆绑”处理的三名女生，有方法数C 23A 22A 24＝72，根据乘法原理此时有排法2×72＝144种．根据加法原理共有排法144＋144＝288种．。