有放回与无放回的探讨

c82排列组合公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文将重点介绍和解释排列组合公式C82及其应用。

排列组合是高中数学中的重要内容，它涉及到在给定条件下对对象进行有序或无序选择的问题。

排列指的是对一组对象进行有序选择的方式，而组合指的是对这些对象进行无序选择的方式。

通过掌握排列组合公式和相应的推导过程，我们能够更好地解决排列组合问题，从而提高解题效率。

1.2 文章结构本文将按照以下结构展开：- 引言：介绍本文主题和目标。

- 排列组合公式：介绍排列和组合的基本概念，并讨论它们在实际生活中的应用。

- C82排列组合公式的说明与推导：详细阐述C82排列组合公式的定义、推导过程以及相关应用案例分析。

- 其他常见排列组合公式介绍：介绍阶乘、二项展开、Pascal三角形以及全排列、循环排列和重复排列等常见排列组合公式。

- 结论与总结：分析排列组合在实际生活中的应用价值，并对文章进行总结。

1.3 目的本文旨在深入讲解和说明排列组合公式C82的概念、推导过程以及应用。

通过学习本文，读者将能够更好地理解排列组合的基本原理，掌握相关计算方法，并能够灵活应用于实际问题中。

同时，本文还会介绍其他常见的排列组合公式，进一步丰富读者对该领域的知识储备。

最终，希望读者可以通过阅读本文，加深对排列组合的理解和运用，并从中得到启发和提升。

2. 排列组合公式2.1 定义与基本概念排列和组合是数学中的两个重要概念，用来描述从给定的元素集合中选择若干元素并按照一定顺序排列或不排列的方式。

- 排列：指从n个不同元素中选取m（m ≤n）个元素进行排序的方式。

排列可以分为有放回（重复使用元素）和无放回（不重复使用元素）两种情况。

- 组合：指从n个不同元素中选取m（m ≤n）个元素但不考虑其顺序的方式。

组合只有一种情况，即无放回的选取。

2.2 排列公式的应用排列公式在许多实际问题中都具有广泛的应用，如：- 考生作答顺序：假设考生需要回答n道题目，那么他们能够选择题目作答顺序的方式总数即为n个元素进行排列的情况数，计算公式为n！（阶乘）。

小专题(八) 概率中的“放回”与“不放回”问题【例】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球； ①求两次取出的小球的标号的和等于4的概率；②求第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的概率；(2)随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸出一个小球，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率是多少？请直接写出结果．【思路点拨】 (1)①先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，然后根据概率的概念计算即可；②由①可知有16种等可能的结果数，其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，进而可求出其概率；(2)根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】【方法归纳】 在解决有关摸取(球、卡片或扑克牌)的概率问题时，一定要注意条件中有没有放回．若没放回，在画树状图或列表时一定注意考虑两次摸到(球、卡片或扑克牌)的数字不能重复．类型1 “放回”问题1．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( )A ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b)在第三象限的概率是( )A.49B.13C.12D.233．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；(2)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．4．(武汉中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球，直接写出摸出小球标号是3的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，计算下列结果： ①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．类型2 “不放回”问题5．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为( ) A.118 B.19 C.215 D.1156．如图，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是( )A.45B.56C.715D.8157．(潜江中考)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀．从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是____________．8．(宁波中考)一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为12.(1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．参考答案【例】 (1)①画树状图如图所示：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率为316.②其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，所以其概率为816＝12.(2)列表如下：1 2 3 4 1 —— (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) —— (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) —— (4，3) 4(1，4)(2，4)(3，4)——所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，所以其概率为212＝16.1．A 2.A3．(1)从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，∴P(牌面是偶数)＝24＝12.(2)根据题意，画树状图如图所示：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的共有4种，∴P(4的倍数)＝416＝14.。

高中数学中的排列与组合的计算技巧解析高中数学中的排列与组合是一种非常重要的数学概念，广泛应用于各种实际问题的计算中。

排列与组合的计算技巧涉及到一系列公式和方法，掌握这些技巧对于解决相关问题至关重要。

本文将从基本概念入手，逐步介绍排列与组合的计算技巧。

一、排列的计算技巧在数学中，排列是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序进行排列。

排列的计算可以分为有放回和无放回两种情况。

下面我们将分别介绍这两种情况下的排列计算技巧。

1.1 有放回排列有放回排列是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。

有放回排列的计算公式为P(n,m)=n^m，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。

例如，假设有4个元素：A、B、C、D。

从中选择2个元素进行排列，即计算P(4,2)。

根据有放回排列的公式，P(4,2)=4^2=16。

因此，可以得到排列的结果为：AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC。

1.2 无放回排列中，使得下一次选择不可能选择到该元素。

无放回排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。

例如，假设有4个元素：A、B、C、D。

从中选择2个元素进行排列，即计算A(4,2)。

根据无放回排列的公式，A(4,2)=4!/(4-2)!=4!/2!=4x3=12。

因此，可以得到排列的结果为：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC。

二、组合的计算技巧在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并不考虑其顺序的选择方式。

组合的计算同样可以分为有放回和无放回两种情况。

下面我们将分别介绍这两种情况下的组合计算技巧。

2.1 有放回组合有放回组合是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。

有放回组合的计算公式为C(n,m)=C(n+m-1,m)=(n+m-1)!/(n!(m-1)!)，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。

浅议古典概型中的抽样问题靖江市第一中学 侯琰摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。

在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。

古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。

本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。

关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。

古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。

在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。

而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。

古典概型（Classical probability model ）必须满足条件：① 所有基本事件有限个② 每个基本事件发生的可能性都相等如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。

古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。

因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。

古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。

数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。

“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。

（结构如图）根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。

简单随机抽样一、放回简单随机抽样与不放回简单随机抽样放回简单随机抽样(SRS with replacement)，当从总体N个抽样单元中抽取n个抽样单元时，如果依次抽取单元时，不管以前是否被抽中过，每次都从N个抽样单元中随机抽取，这时，所有可能的样本为nN个(考虑样本单元的顺序),每个样本被抽中的概率为n1，放回简单随机抽样在每次抽取样本单元时，都N将前一次抽取的样本单元放回总体，因此，总体的结构不变，抽样是相互独立进行的，这一点是它与不放回简单随机抽样的主要不同之处。

放回简单随机抽样的样本量不受总体大小的限制，可以是任意的。

例：设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回简单随机抽样的方式抽取中依次抽取n个抽样单元时，每个被抽中的单元不再放回总体，而是从总体剩下的单元中进行抽样。

不放回简单随机抽样的样本量要受总体大小的限制。

在实际工作中，更多的采用不放回简单随机抽样。

例：设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按不放回简单随机抽样的方式抽二、抽样规则简单随机抽样的抽取规则是：第一，按随机原则取样，在取样时排除任何主观因素选择抽样单元，避免任何先入为主的倾向性，防止出现系统误差。

第二，每个抽样单元被抽中的概率都是已知的或事先确定的，或者是事先可以计算出来的。

第三，每个抽样单元被抽中的概率都相等，即简单随机抽样属于一种等概率随机抽样。

三、估计量一般人们只关注四个方面的总体特征：（1）总体均值；（2）总体总值；（3）总体比例；（4）总体比率对上述总体特征的估计，有两条不同的思路：一是不借助任何辅助变量，仅仅通过变量的样本观察值对其总体特征进行直接估计，即用样本特征的线性组合表示总体特征，故统称为线性估计；另一条思路是借助相关辅助变量，对所感兴趣的变量的总体特征进行间接估计，用样本特征的非线性组合表示总体特征，故统称为非线性估计。

至于相关辅助变量的选择必须满足：（1）与主变量高度相关；（2）其总体信息已知，不需要在本次调查中加以收集这两个条件。