第24讲_三角不等式

27种不等式在北京这地界儿，咱们得讲究个严谨和精炼，不整那些花里胡哨的。

今天咱就聊聊数学里的不等式，具体来说就是27种不等式。

1. 算数平均与几何平均，那可是不等式里的基础，两者之间总有差距，算数平均总比几何平均要大。

2. 柯西-施瓦茨不等式，它可是在向量运算中起着大作用，告诉你两个向量的点积跟它们的模长的关系。

3. 均值不等式，那更是常见，平均值、几何平均值、调和平均值，它们之间的大小关系可是清清楚楚。

4. 伯努利不等式，告诉你一加一减的式子在啥情况下能取到等号。

5. 赫尔德不等式，那更是泛函分析里的利器，处理范数问题得靠它。

6. 琴生不等式，凸函数里的宝贝，能帮你估计函数的平均值。

7. 排序不等式，给你一组数，告诉你怎么排序能让式子取到最大或最小值。

8. 切比雪夫不等式，概率论里的好帮手，帮你估计随机变量的概率分布。

9. 闵可夫斯基不等式，范数空间里的重要不等式，揭示了不同范数之间的关系。

10. 柯西不等式，别跟柯西-施瓦茨搞混了，它可是在复数、向量、矩阵上都能用的。

11. 三角不等式，那更是在几何、三角函数中随处可见，告诉你三角形两边之和大于第三边。

12. 杨氏不等式，那也是在范数空间里用的，跟赫尔德不等式有点类似。

13. 幂平均不等式，告诉你不同幂次的平均值之间的大小关系。

14. 加权算数平均与加权几何平均不等式，那就是带权重的算数平均和几何平均之间的比较。

15. 霍尔德不等式，它可是积分形式的不等式，告诉你函数积分的性质。

16. 闵可夫斯基-霍尔德不等式，那就是把闵可夫斯基和霍尔德结合起来的版本。

17. 卡普兰不等式，在概率论里，它可是用来估计随机变量和的分布的。

18. 琴生-卡普兰不等式，那就是琴生不等式在概率论里的应用。

19. 范德蒙德不等式，告诉你行列式与它的子式之间的关系。

20. 斯特林不等式，它在数学分析里可是常用来估计阶乘和幂的关系的。

21. 赫尔-布拉施克不等式，复分析里的重要不等式，跟复数的模有关。

第24讲同角三角函数的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.知识点1同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式语言描述平方关系22sin cos 1αα+=同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系sin tan cos ααα=同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切2、基本关系式的要点剖析（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如22sin 3cos 31αα+=成立，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立．（2）2sin α是2(sin )α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α写成2sin α，前者是α的正弦的平方，后者是2α的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，22sin cos 1αα+=对一切R α∈恒成立，而sin tan cos ααα=仅对()2k k Z παπ≠+∈成立．知识点2关系式的常用等价变形1、2222222sin 1cos cos 1sin sin cos 1sin cos (sin cos )12sin cos αααααααααααα⎧=-⎪=-⎪⎪+=⇒=⎨⎪=⎪⎪+=±⎩2、sin tan cos sin tan sin cos cos tan ααααααααα=⎧⎪=⇒⎨=⎪⎩【注意】使用变形公式sin α=，cos α=时，“±”由α的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．知识点3基本关系式常用解题方法1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。

任意三角形三边的等式关系哎呀，今天咱们聊聊三角形，听起来是不是有点枯燥？可别急，这可不是简单的几何题，而是个充满故事和趣味的话题。

想象一下，一个三角形，就像是你我他，三个边围成一个小圈，里面藏着不少秘密。

三角形的三边关系可真有意思，不信你往下看。

先说说这三角形的“任性”，就是边的长度不能随便来。

你想啊，要是其中一条边太长，另外两边就会心里不平衡，觉得这兄弟太张扬了。

就好比一个人总是抢风头，旁边的朋友自然就难受了。

这就是“三角形不等式”，一个边长要小于另外两边的和，简单说就是要懂得谦让。

没听过那句老话吗，“有多少本事就说多少话”，这在三角形里也适用哦。

再来看看，三角形的边长也得讲究点“和谐”。

你看啊，三角形的每条边就像一段关系，有时候长有时候短，但总得凑在一起，才能形成一个完整的形状。

就像你和朋友一起吃饭，总不能一个人点了大鱼大肉，别的朋友只吃个青菜。

相互之间得有个数，这样才能让大家都开心。

三角形的三边关系也遵循这个道理，只有彼此支持，才能完美结合。

我记得有次，我和朋友们一起去爬山，路上我们聊起了这个三角形的事。

有人说，三角形就像我们的生活，虽然有高有低，有时还得克服点困难，但只要你们互相扶持，就能爬到山顶。

说得真好！生活中不就是这个理吗？有时可能会有争执，像三角形的边一样不太和谐，但只要我们记得彼此之间的关系，最后总能找到共鸣。

三角形还有个特性，那就是“可塑性”。

哇，这个可不是说三角形会变形，而是它可以根据边的长度变化出不同的样子。

就像我们的人生，有时候要面对挑战，变得灵活应变。

有人说，三角形就是勇敢的象征，它告诉我们，只要合适，哪怕外表不一样，核心的力量是相通的。

生活也是这样，变得适应和灵活，才能迎接各种挑战。

说到这里，咱们再聊聊这三角形的美。

嘿，别小看这三条边，它们的组合可以构成各种各样的形状。

无论是优雅的等边三角形，还是神秘的直角三角形，每个都有自己独特的魅力。

就像每个人都有自己的闪光点，或许你是个幽默的家伙，或许你是个冷静的观察者，但只要你找到了合适的位置，照样能发光发热。

第24讲 分类与整合思想、转化与化归思想思想诠释分类与整合思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案．实质上分类与整合就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 思想应用应用一 由概念、性质、运算引起的分类与整合[典例1] 已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32数学概念运算公式中常见的分类1．由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；2．由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；3．由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论． [应用体验]1．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________．解析：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧a 1q 2＝32，①a 1（1＋q ＋q 2）＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案：32或6应用二 由图形位置或形状引起的分类与整合[典例2] 若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1B ．13C.113D ．－1或13解析：选B.根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，m －1＜0，解得m ＜1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－mx ， 由题意1－m 3－m＝12，解得m ＝13. ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＜0，m －1＞0，解得m ＞3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ， 由题意m －1m －3＝12，解得：m ＝13；与m ＞3矛盾(舍去)． 综合以上可知m ＝13.故选B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论． [应用体验]2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．143C ．3或143D ．3或－113解析：选D.先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a ＞0时，－1a＜0，①若－12＜－1a ＜0，即a ＞2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a ＜－12，即0＜a ＜2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；当a ＜0时，－1a＞0，③若0＜－1a ＜1，即a ＜－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a ＞1，即－1＜a ＜0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.应用三 由变量或参数引起的分类与整合[典例3] 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间． 解：由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解． 2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． 4．二元二次方程表示曲线类型的判定等． 5．直线与圆锥曲线位置关系的分类． [应用体验]3．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a.当a ＞0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ＜0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a ＜0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)． 答案：[－1，＋∞)思想诠释转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 思想应用应用四 特殊与一般的转化[典例4] 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[12，＋∞)C ．[－1，12]D ．⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除选项A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.答案：D常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． [应用体验]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________．解析：令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形， 且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案：45应用五 正与反的转化[典例5] 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立， 或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t ，t ∈[1，2]恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 答案：⎝⎛⎭⎫－373，－51．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中． [应用体验]5．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2解析：选C.命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.应用六 主与次的转化[典例6] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________． 解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＜0，φ（－1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就象“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． [应用体验]6．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （4）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)限时规范训练(二十四)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)． 1．“(m －1)(a －1)＞0”是“log a m ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.(m －1)(a －1)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，a ＜1，而log a m ＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，0＜a ＜1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m ＞0.2．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)·x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2，2] C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)解析：选C.当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2，所以a 的取值范围是{a |－2＜a ≤2}．3．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的离心率为( ) A.54 B ．53C.54或53D ．35或45解析：选C.当焦点在x 轴上时，b a ＝34，此时离心率e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，a b ＝34，此时离心率e ＝c a ＝53，故选C.4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B ．2 23C.33D ．2 33解析：选B.由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x ， 所以x ＋y ＝x ＋13⎝⎛⎭⎫1x －x ＝2x 3＋13x ≥2 23⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：选C.抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1a y (a ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a， ∴1p ＋1q＝4a . 6．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2 解析：选A.由P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO →2＋PO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝PO →2－r 2，即为d 2－r 2，其中d 为点P 与圆心O 之间的距离，r 为圆的半径，因此当d 取最小值时，P A →·PB →取值最小，可知d 的最小值为|1－0＋1|2＝2，故P A →·PB →的最小值为1，故选A.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )． 所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1＜a ＜0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 答案：1或－228．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________．解析：当k ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图①(阴影部分)所示，由图②可知，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.答案：0或－12三、解答题(本题共2小题，每小题12分，共24分)9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)因为c ＝2，C ＝π3，所以由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝ 3，所以ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 所以sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝2 33，b ＝4 33，所以b 2＝a 2＋c 2，因为C ＝π3，所以A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.10．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)由已知，得x ＞0， f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax，又因为y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－（a ＋1）x ＋ax＝（x －1）（x －a ）x.①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .。

第二十四讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题一、选择题1．已知点O 是锐角△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，A=π4 ，且cosBsinC AB⃑⃑⃑⃑⃑ +cosB sinBAC⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ的值为（ ） A ．√22B ． ﹣√22 C ． √2 D ． ﹣√2【答案】D 【解析】如图所示：O 是锐角△ABC 的外心，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， 设△ABC 外接圆半径为R ，则|OA →|=R ， 由图得，OA →=OD →+DA →，则AB →⋅OA →=AB →⋅(OD →+DA →)=AB →⋅DA →=AB →⋅(−12AB →)=−12AB →2=−12|AB →|2，同理可得，AC →⋅OA →=−12|AC →|2， 由cosB sinC AB →+cosC sinB AC →=λOA →得，cosB sinC AB →⋅OA →+cosC sinB AC →⋅OA →=λOA →2，所以−12⋅cosB sinC |AB →|2−12cosC sinB|AC →|2=λOA →2，则cosB|AB →||AB →|sinC+cosC|AC →||AC →|sinB =−2λ|OA →|2，①在△ABC 中由正弦定理得：|AB →|sinC =|AC →|sinB =2R ， 代入①得，2RcosB|AB →|+2RcosC|AC →|=−2λR 2， 则cosB|AB →|+cosC|AC →|=−λR ，②由正弦定理得，|AB →|=2RsinC 、|AC →|=2RsinB ， 代入②得，2R sin C cos B +2R cos C sin B ＝﹣λR ；所以2sin （C +B ）＝﹣λ，即2sin 3π4=−λ，解得λ=−√2，故选D ．2．在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若ΔABC 的面积为18c 2，则a b +ba 的最大值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 2√5D ． 4√2 【答案】C 【解析】由题意得，S =12absinC =18c 2，∴c 2=4absinC ，又c 2=a 2+b 2−2abcosC ， ∴a 2+b 2=c 2+2abcosC ， ∴ab +ba =a 2+b 2ab=c 2+2abcosCab=4absinC+2abcosCab=4sinC +2cosC =2√5sin(C +φ)， 则ab+ba 的最大值为2√5，故选C3．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f(−π3)=0，对任意x ∈R 恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间（π15，π5）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为 A ．574B ． 1114C ．1054D ．1174【答案】C 【解析】由题意知{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2 ,(k 1,k 2∈Z )，则{ω=3(2k+1)4φ=k′π2+π4,(k 1,k 2∈Z )， 其中k =k 2−k 1,φ=k 1+k 2，又f (x )在（π15，π5）上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则区间（π15，π5）包含的周期应最多，所以π5−π15=2π15≤2T ，得0<ω≤30，即3(2k+1)4≤30，所以k ≤19.5.分类讨论：①.当k =19时，ω=1174，此时φ=3π4可使{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2,(k 1,k 2∈Z )成立，当x ∈(π15,π5)时，1174x +3π4∈(2.7π,6.6π)，所以当117x 14+3π4=4.5π或6.5π时，f (x 1)=3都成立，舍去；②.当k =18时，ω=1114，此时φ=3π4可使{−π3ω+φ=k 1ππ3ω+φ=k 2π+π2,(k 1,k 2∈Z )成立，当x ∈(π15,π5)时，1054x +3π4∈(2.5π,6π)，当且仅当105x 14+3π4=4.5π或6.5π时，f (x 1)=3都成立，综上可得：ω的最大值为1054.本题选择C 选项.4．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且MA =MB =MC =MD =1,∠CMD =120∘,若点N 在线段CD (端点C,D 除外)上运动,则NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是( )A ． [−1,0)B ． [−1,1)C ． [−34,0) D ． [−12,1)【答案】C 【解析】由NA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) =MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2−MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2−1， 在ΔMCN 中，MC =1,∠MCN =30∘， ∴MN 2=12+NC 2−2×NC ×1×√32=NC 2−√3NC +1， ∴MN 2−1=NC 2−√3NC =(NC−√32)2−34，∵N 在CD 上，MC =MD =1,∠CMD =120∘，可得CD =√3， ∴0<NC <√3， ∴34≤MN 2−1<0，即NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−34,0)，故选C. 5．已知A 是函数f(x)=sin (2018x +π6)+cos (2018x −π3)的最大值，若存在实数x 1,x 2使得对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A ⋅|x 1−x 2|的最小值为 A ． π2018 B ． π1009 C ． 2π1009 D ． π4036 【答案】B 【解析】∵f (x )=sin (2018x +π6)+cos (2018x −π3)=√32sin2014x +12cos2018x +12cos2018x +√32sin2018x =√3sin2018x +cos2018x=2sin (2018x +π6)，∴A =f (x )max =2，周期T =2π2018=π1009，又存在实数x 1,x 2，对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， ∴f (x 2)=f (x )max =2,f (x 1)=f (x )min =−2， A ⋅|x 1−x 2|的最小值为A ×12T =π1009，故选B. 6．将函数f (x )=cosωx 2(2sinωx 2−2√3cosωx 2)+√3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g (x )的图像，若y =g (x )在[0,π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】B 【解析】由三角函数的性质可得：f (x )=2sinωx 2cos ωx 2−2√3cos 2ωx2+√3 =sinωx −2√3×1+cosωx+√3 =sinωx −√3cosωx=2sin (ωx −π3)， 其图象向左平移π3ω个单位所得函数的解析式为：g (x )=2sin [ω(x +π3ω)−π3]=2sinωx ，函数的单调递增区间满足：2kπ−π2≤ωx ≤2kπ+π2(k ∈Z )，即2kπ−π2ω≤x ≤2kπ+π2ω(k ∈Z )，令k =0可得函数的一个单调递增区间为：[−π2ω,π2ω]，y =g (x )在[0,π4]上为增函数，则：π2ω≥π4，据此可得：ω≤2， 则ω的最大值为2. 本题选择B 选项.7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ >0，a =√32，则ΔABC 周长的取值范围是（ ）A ． (2+√32,3+√32) B ． (√3,3+√32) C ． (1+√32,2+√32) D ． (1+√32,3+√32)【答案】B 【解析】∵A 是B 和C 的等差中项，∴2A =B +C ，∴A =π3，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ >0，则cos(π−B)>0，从而B >π2，∴π2<B <2π3， ∵a sinA=b sinB=c sinC=√32sin π3=1，∴b =sinB,C =sinC =sin(2π3−B)，所以ΔABC 的周长为l =a +b +c =√32+sinB +sin(2π3−B) =√3sin(B +π6)+√32， 又π2<B <2π3，2π3<B +π6<5π6，12<sin(B +π6)<√32，∴√3<l <3+√32．故选B ．8．若函数f (x )=sin (2x −π3)与g (x )=cosx −sinx 都在区间(a,b )(0<a <b <π)上单调递减，则b −a 的最大值为（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π2 D ． 5π12 【答案】B 【解析】根据正弦函数的单调递减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],k ∈Z ，所以f(x)=sin(2x −π3)的单调递减区间为π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，可解得5π12+kπ≤x ≤11π12+kπg(x)=cosx −sinx =√2cos(x +π4） ，由余弦函数的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ],k ∈Z ，所以2kπ≤x +π4≤π+2kπ，可解得2kπ-π4≤x ≤3π4+2kπ因为f(x)与g(x)在(a,b )(0<a <b <π) 上同为单调递减函数，所以其交集为2kπ+5π12≤x ≤3π4+2kπ，所以(b −a )max =3π4−5π12=π3所以选B9．已知锐角△ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为AB 上的一点，cos∠ACM =√13，AC =15，CM =3√13，则AB 的取值范围为（ ）A．(15√22,15√2)B．(15,15√2)C．(6√2,15)D．(15√22,+∞)【答案】A【解析】：ΔAMC中，由余弦定理可得，AM2=AC2−CM2−2AC CMcos∠ACM=72，AM=6√2，ΔAMC中，由正弦定理得，AMsin∠ACM =MCsin∠MAC，得sin∠MAC=√22,∠MAC=π4，当∠ACB=90∘时，AB=15√2，当∠ABC=90∘时，AB=15√22，∵ΔABC为锐角三角形，∴15√22<AB<15√2，AB的取值范围为(15√22,15√2)，故选A.10．设函数f(x)=sin(2x+π3).若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0，则|x2−x1|的取值范围为（）A．(π6,+∞)B．(π3,+∞)C．(2π3,+∞)D．(4π3,+∞)【答案】B【解析】（特殊值法）画出f(x)=sin(2x+π3)的图象如图所示．结合图象可得，当x2=0时，f(x2)=sinπ3=√32；当x1=−π3时，f(x1)=sin(−2π3+π3)=−√32，满足f(x1)+f(x2)=0．由此可得当x 1x 2<0,且f (x 1)+f (x 2)=0时，|x 2−x 1|>|0−(−π3)|=π3．故选B ．11．函数f(x)=2sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位后得到函数y =g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x =π4对称，则g(x)在[−π4,π6]上的最小值是（ ）A ． −1B ． −√32C ． −2D ． −√3【答案】D 【解析】根据题意可知g(x)=2sin[2(x +π12)+φ]=2sin(2x +φ+π6)，因为其图像关于直线x =π4对称，可知π2+φ+π6=kπ+π2,k ∈Z ，结合φ的范围，可以求得φ=56π，从而得到g(x)=2sin （2x +π)=−2sin2x ，因为x ∈[−π4,π6]，则有2x ∈[−π2,π3]，从而求得sin2x ∈[−1,√32]，所以有g(x)∈[−√3,2]，所以g(x)在[−π4,π6]上的最小值是−√3，故选D.12．若函数f(x)=4sinωx ⋅sin 2 (ωx 2+π4)+cos2ωx −1 (ω>0)在[−π3,π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ）A ． [34,5) B ． [1,5) C ． [1,92) D ． (0,34]【答案】C 【解析】∵f (x )=4sinωx ⋅sin 2(ωx 2+π4)+cos2ωx −1=4sinωx ⋅1−cos (ωx +π2)2+cos2ωx −1=2sinωx (1+sinωx )+1−2sin 2ωx −1=2sinωx , 因为函数f(x)在[−π3,π2]内有且仅有一个最大值，所以{π2≤ωπ2<5π2−3π2<−ωπ3，可得1≤ω<92，即ω的取值范围是[1,92)，故选C.13．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|≤π2), 其图象与直线y =−1相邻两个交点的距离为π,若f (x )>1对∀x ∈(−π12,π3)恒成立，则φ的取值范围是( ) A ． (π6，π3) B ． [π12,π3] C ． [π12,π2] D ． [π6,π3]【答案】D 【解析】函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|≤π2)，其图象与直线y =−1相邻两个交点的距离为π，故函数的周期为2πω=π， ω=2 ，f （x ）=2sin （2x +φ）+1．若f (x )>1对∀x ∈(−π12,π3)恒成立，即当x ∈(−π12,π3)时，sin （2x +φ）＞0 恒成立，， 故有2kπ＜2⋅（−π12）+φ＜2⋅π3+φ＜2kπ+π，求得2kπ+π6φ＜2kπ+π3，k ∈Z ，结合所给的选项， 故选D ．14．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|≤π2), 其图象与直线y =3相邻两个交点的距离为π,若f (x )>2对∀x ∈(π24,π3)恒成立，则φ的取值范围是( ) A ． (π6,π2) B ． [π6,π3] C ． (π12,π3) D ． [π12,π6] 【答案】D【解析】因为函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|≤π2), 其图象与直线y =3相邻两个交点的距离为π,所以函数周期为T =π,ω=2，由f (x )>2知sin(2x +φ)>12 ，又x ∈(π24,π3)时，2x +φ∈(π12+φ,2π3+φ),且|φ|≤π2 ，所以{π6≤π12+φ2π3+φ≤5π6解得π12≤φ≤π6，故选D.15．ABC ∆的三个内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若2B A =，cos cos cos 0A B C >，则sin a Ab的取值范围是（ ） A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】由cosAcosBcosC >0，可知，三角形是锐角三角形， 由题意有sinB =sin 2A =2sinAcosA ， 结合正弦定理有b =2acosA ， sin sin 1tan 2cos 2a A a A Ab a A ==， ∵A +B +C =180°，B =2A ， ∴3A +C =180°, 60303CA =->，∵2A <90°，∴()30,45A ∈，11tan tan 22A A <<<<，即asinAb 的取值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭.本题选择D 选项.二、填空题16．设ΔABO （O 是坐标原点）的重心、内心分别是G,I ，且BO ⃑⃑⃑⃑⃑ //GI ⃑⃑⃑⃑ ，若B(0,4)，则cos∠OAB 的最小值是__________． 【答案】12 【解析】因为重心、内心分别是G,I ，且BO ⃑⃑⃑⃑⃑ //GI ⃑⃑⃑⃑ ，所以x A =3r ，（r 为ΔABO 内切圆的半径）， 又S ∆ABO =12(|AB |+|AO |+|OB |)r =12|OB |∙x A =12|OB |∙3r .且|OB |=4.解得|AB |+|AO |=8. 所以cos∠OAB =|AB |2+|AO ||2−|OB|22|AB|∙|AO|=(|AB |+|AO |)2−2|AB |∙|AO |−162|AB|∙|AO|=24|AB|∙|AO|−1≥24(|AB |+|AO |2)2−1=12.当且仅当|AB |=|AO |=4时，即ΔABO 为等边三角形cos∠OAB 有最小值12.17．已知α,β均为锐角，且cos (α−β)=3cos (α+β)，则tan (α+β)的最小值是________. 【答案】2√2 【解析】由cos （α-β）=3cos （α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，则tanαtanβ=12，又tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2(tanα+tanβ)≥2×2√tanαtanβ=2√2． 故答案为：2√2.18．若两个锐角α,β满足α+β=π4，则tanαtanβ的最大值是__________． 【答案】3−2√2 【解析】∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，tanα>0，tanβ>0，∴tanα+tanβ=1−tanαtanβ≥2√tanαtanβ，令√tanαtanβ=m，则m2+2m−1≤0，∴0<m≤−1+√2，即0<tanαtanβ≤3−2√2，当且仅当α=β=π8时取等号，∴tanαtanβ的最大值时3−2√2.故填：3−2√219．在ΔABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若√2a,b,c成等差数列，则3sinA +√2sinC的最小值为________.【答案】2(√3+1)【解析】由题得2b=√2a+c,∴cosB=a 2+c2−b22ac=a2+c2−(√22a+c2)22ac,所以cosB=12a2+34c2−√22ac2ac≥2√12a2⋅34c2−√22ac2ac=√6−√24,所以0<B≤750,∴0<sinB≤√6+√24,因为2sinB=√2sinA+sinC,∴√2sinA+sinC≤√6+√22,∴√2sinA+sinC√6+√22≤1.所以3sin A +√2sin C≥(3sinA+√2sinC)√2sinA+sinC√6+√22=4√2+2sinAsinC+3sinCsinA√6+√22≥4√2+2√2sinAsinC⋅3sinCsinA√6+√22=4√2+2√6√6+√22=2(√3+1).故答案为：2(√3+1)20．不等式(acos2x−3)sinx≥−3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[−32,12]【解析】令sin=t,−1≤t≤1，则原函数化为g(t)=(−at2+a−3)t，即g(t)=−at3+(a−3)t，由−at3+(a−3)t≥−3,−at(t2−1)−3(t−1)≥0，(t−1)(−at(t+1)−3)≥0及t−1≤0知，−at(t+1)−3≤0，即a(t2+t)≥−3，当t=0,−1时（1）总成立，对0<t≤1,0<t2+t≤2，a≥(−3t2+t )max=−32；对−1<t<0，−14≤t2+t<0，a≤(−3t2+t)min=12从而可知−32≤a ≤12，故答案为[−32,12].21．已知f(x)=sinωx −cosωx (ω>23)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，则ω的取值范围是__________．（结果用区间表示） 【答案】[78,1112] 【解析】由题意，函数f(x)=sinωx −cosωx =√2sin(wx −π4),(ω>23)， 由f (x )的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)， 则T2=πw≥3π−2π=π，解得w ≤1，即23<w ≤1，函数f(x)=√2sin(wx −π4)的对称轴的方程为wx −π4=π2+kπ,k ∈Z ，即x =3π4w+kπw,k ∈Z ，则{3π4w+πw ≤2π3π4w+2πw≥3π，解得78≤w ≤1112，所以实数w 的取值范围是[78,1112].22．已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且BE =3，则菱形ABCD 面积的最大值为_______. 【答案】12 【解析】设AE =x ，则AB =AD =2x,∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴{AB +AE >BE AB −AE <BE ，即{2x +x >32x −x <3 ⇒{x >1x <3，∴x ∈(1,3)，设∠BAE =θ，在ΔABE 中，由余弦定理可知9=(2x )2+x 2−2⋅2x ⋅xcosθ，即cosθ=5x 2−94x 2，S ABCD =2x ⋅2x ⋅sinθ=4x2√1−(5x 2−94x )2=√−9(x 4−10x 2+9)，令t =x 2，则t ∈(1,9)，则S ABCD =√−9[(t −5)2−16]，当t =5时，即x =√5时，S ABCD 有最大值12，故答案为12. 23．函数f(x)=sinωx−12+cos 2ωx 2，且ω>12，x ∈R ，若f(x)的图像在x ∈(3π ， 4π)内与x 轴无交点，则ω的取值范同是__________. 【答案】[712 ， 1116]∪[1112 ， 1516] 【解析】∵f(x)的图像在x ∈(3π ， 4π)内与x 轴无交点 ∴T2>π∵f(x)=sinωx−12+cos2ωx2=√22sin(ωx+π4)∴12<ω<1∵由对称中心可知ωx+π4=kπ∴x=1ω(kπ−π4),k∈Z∵假设在区间(3π ， 4π)内存在交点，可知k4−116<ω<k3−112∴当k=2,3,4时，716<ω<712,1116<ω<1112,1516<ω<54∴以上并集在全集12<ω<1中做补集，得ω∈[712,1116]∪[1112,1516]故答案为[712,1116]∪[1112,1516]24．ΔABC的垂心H在其内部，∠A=60°，AH=1，则BH+CH的取值范围是________.【答案】(√3,2]【解析】在ΔABC为锐角三角形，设∠BAH=θ，且θ∈(0∘,600)，所以BH=2AH⋅sinθ=2sinθ,CH=2AH⋅sin(60∘−θ)=2sin(60∘−θ)，所以BH+CH=2sinθ+2sin(60∘−θ)=2(sinθ+√32cosθ−12sinθ)=2sin(θ+60∘)，又由θ∈(0∘,600)，则θ+600∈(600,1200)，所以2sin(θ+60∘)∈(√3,2]，即BH+CH的取值范围是(√3,2].25．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=2√2, b2−a2=16,则角C的最大值为_____；【答案】π6【解析】在ΔABC中，由角C的余弦定理可知cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−b2−a222ab=3a2+b24ab≥√32，又因为0<C<π，所以C max=π6。

《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第1页（共18页）第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x≠，有(cos )(sin )xxαβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x xα=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x xα=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )xxαβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第2页（共18页）(cos )(sin )x xαβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin 2α和cot2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-===2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．解法二 设tan2tα=，由0απ<<得022απ<<，故tan2t α=>，则1cot2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有cot2α-2sin 2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t tt t t t t -⋅-+--==≥+++因此，当3πα=时，2sin 2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第3页（共18页）例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2xππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第4页（共18页）sin x +cos x)4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x<<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan xy=，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：cos cos sin sin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明：sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第5页（共18页）sin sin sin 2sincossin 22A B A B A B C C +-++=+2coscossin 22c A B C-=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sinsin sin A B C++说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 32A B C++≤，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B CA B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin332A B C++︒≤=说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第6页（共18页）例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z zπ++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z zπ>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第7页（共18页）为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例663)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )42πθθθ-=+，sin 22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos xθθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos xθθ+=，则2cos(),sin 2142x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x++--<+，即26223340x ax x a x---++>，222()3()0x x a x a xx+--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()ax x x⎡>+∈⎣．又2()f x x x=+在⎡⎣上递减，m a x 2()3(2)x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sin cos b b =，cos sin c c=，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第8页（共18页）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sin cos cos b b b =<，cos sin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a a b b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b=，则c o s s i n c o s a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有c o s s i n c o sa a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sin cos a b <，而sin cos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cos sin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a <<，即sin c a <，cos sin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中， 求证：（1）3sinsinsin2222A B C ++≤；（2）sinsin sin A B C ≤．5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥-（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第9页（共18页）例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =---->，当x =时，(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且sin 0,cos0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第10页（共18页）12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )4(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x-cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x-cos θ+1x x-sin θ≥，∴1x x-cos θ+1x x-sin θ的最小值为，等号当1x x-cos θ=1x x-sin θ即x =时取到，因此>1．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Zπππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=-+-+≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin cos sin cos θθϕϕ====得，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第11页（共18页）()1))f x x x θϕ=-+-+，即对于一切实数x，都有()1))0f x x x θϕ=-+-+≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=-+++≥（2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ-+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++-+≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+≤恒1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++-（1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第12页（共18页）22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+ 2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<．2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (4242x x ππ-≤-≤+5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第13页（共18页）6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥7．已知A +B +C =π，求证：222tan tantan1222A B C ++≥8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++cb a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nn n nA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程cos cos cos cos sin sin sin sin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答： 1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sincos A B>，同理sin cos ,sin cos BC C A>>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan xy y=>及,(0,)2x y π∈知，x y>，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan63x y π-≤=2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x yy x y x yy--==++，于是问题归结为证22tan 313tan y y≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第14页（共18页）3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证． 证法二： sin x +cosx 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )．4．证明：（1）由琴生不等式即得． （2）sin sin sin sin332A B CA B C++++≤≤=，从而得证．5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123xy z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos2238x π=≥=，当,312xy z ππ===时取等号，故最小值为18（y与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）． 又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z≤+=21cos2128π≤=5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z86．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第15页（共18页）sin cos t x x=+，则有21s i nco2t xx -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++--当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式．8．证明：2242tan2tan 4tan 222sin tan 4tan21tan1tan1tan222ααααααααα+=+=>+--，0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>> ，同理得另两个，命题得证．“习题”解答： 1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第16页（共18页）,,*xy k n N =∈，不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sincos A B>，同理sin cos ,sin cos BC C A>>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tantan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A>+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x xx xππ+-=--又cos sin 222x x±≤≤，cos sin 424242x xπππ±-≤-≤+，又042π->，42π+2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第17页（共18页）6．解： 左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥．7．证：左tan tan tantantantan222222A B B C C A ≥++tantantan(tan tan)22222A B C B A =++tan tan cottan(1tantan)1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123nnnnx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos abab a b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化 即证222222sin cos cot tan 2sin cos ab abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第18页（共18页）三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ 66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解． 由于[0,]2x π∈时有c o s c o s s i n s i n x x>，将x 换成c o s c o s x 得（换成sinsin x也可以）：cos cos cos cos sin sin cos cos x x>，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sin sin cos cos sin sin sin sin x x>，综上可得：cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2yx π=-，则(0,)2y π∈，在cos cos sin sin xx>，[0,]2x π∈中，将x 换成cos sin y 得，cos cos(cos sin )sin sin(cos sin )sin sin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有cos cos cos cos sin sin sin sin x x>，原方程无解．C。

第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结【知识点梳理】知识点一：三角函数基本概念 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 αsinR ＋ ＋ － － αcosR＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα ＋ － ＋ －记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示 题型二：判断等分角的象限问题 题型三：扇形的弧长、面积公式的计算 题型四：任意角三角函数的定义 题型五：三角函数值的正负判断 【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（ ） A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【答案】D【分析】由3602rad π︒=或180rad π︒=转换．【详解】因为14855360315-︒=-⨯︒+︒，3602rad π︒=，7315rad 4π︒=，所以－1485°可化成7104π-π．故选：D ．【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒ B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【答案】D【分析】与α终边相同的角可表示为2,Z k k απ+∈. 【详解】∵20225360222︒=⨯︒+︒， ∵与2022︒终边相同的角是222︒. 故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245k π+，k Z ∈ B ．93604k π⋅+，k Z ∈ C ．360315k ⋅-，k Z ∈ D ．54k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【分析】 要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可． 【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误； 又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确． 故选：C ．【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角2022α=，则角α的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限. 故选：C.【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线3y x =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【答案】B【分析】先确定3y x =的倾斜角为60，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可. 【详解】易得3y x =的倾斜角为60，当终边在第一象限时，60360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ；当终边在第三象限时，240360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ．所以角α的集合为{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈． 故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（ ） A ．90︒ B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项. 【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈， 故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确， 令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ； 故BD 错误. 故选：AC.【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角 【答案】C【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【详解】对A 选项，如21030-︒<︒，故A 错误.对B 选项，α为第一或第二象限角或终边落在y 轴正半轴上的角．故B 错误. 对C 选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C 正确. 对D 选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D 错误. 故选: C.【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】令0k =即可判断出正确选项.【详解】令0k =，得4590α︒≤≤︒，则B 选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B ． 【题型专练】1.（2022·河南安阳·高一期末）把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【答案】B【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】∵37515360-=-︒-︒︒，∵π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与1840︒ 角终边相同的角是（ ） A ．40︒ B ．220︒C ．320︒D ．400-︒【答案】A【分析】将1840︒化为405360︒+⨯︒，即可确定答案.【详解】因为1840405360︒=︒+⨯︒，故40︒角的终边与1840︒的终边相同， 故选：A3.（2022·全国·高一课时练习）与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可） 【答案】222︒（答案不唯一）【分析】终边相同的角，相差360︒的整数倍，据此即可求解【详解】∵()2022360k k α︒=︒⨯+∈Z ，当5k =时，222α=︒，∵与2022︒终边相同的角可以为222︒， 故答案为：222°（答案不唯一）4.（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（ ）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZD ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D 【解析】 【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解. 【详解】 解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D. 【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.【答案】π5π2π2πZ 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可. 【详解】因为π5π757518012︒=⨯=，π306-︒=-，结合图像可看作π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角的概念可表示为π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为:π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）5π3-的角化为角度制的结果为_______．【答案】300-【分析】利用角度与弧度的互化即可求得5π3-对应角度制的结果【详解】55π=18030033⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：300-7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ） A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z【答案】BD 【解析】 【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可. 【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD.8．（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（ ） A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈ZD ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z【答案】D【分析】先根据终边相同的角分别表达出,αβ，再分析αβ+，αβ-即可.【详解】利用终边相同的角的关系，得()36045n x n α=⋅︒++︒∈Z ，()36045m x m β=⋅︒+-︒∈Z . 则()()3602,m n x n m αβ+=+⋅︒+∈∈Z Z 与x 有关，故AC 错误；又()()36090,n m n m αβ-=-︒+︒∈∈Z Z ．因为m ，n 是整数，所以n －m 也是整数，用()k k ∈Z 表示，所以()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z .故选：D ．9．（2022·全国·高一课时练习）若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】C【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解.【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对k 按奇偶分类讨论可得．【详解】当k ＝2n (n ∵Z )时，2n π≤α≤2n π＋4π(n ∵Z )，此时α的终边和0≤α≤4π的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∵Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋4π (n ∵Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋4π的终边一样．故选：B ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈，则α的终边在（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限【答案】A 【解析】 【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈，其终边在第三象限； 当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈，其终边在第一象限. 综上，α的终边在第一、三象限. 故选：A.【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由α与α-关于x 轴对称，即可判断AD ；由已知可得222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，再根据不等式的性质可判断B ；由32πα+是第一象限角判断C ． 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角， 所以πα-是第一象限角，故A 正确，D 错误； 因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以422k k παπππ+<<+，Z k ∈，故2α是第一或第三象限角，故 B 正确； 因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故C 错误． 故选：AB ． 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可. 【详解】∵角α的终边在第一象限， ∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限， 当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D.2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）A ．sin 2θB ．cos2θ C ．sin 2θ D ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角， 所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0. 而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．3.（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】 【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由cos cos 22αα=-，知cos 02α≤，由此能判断出2α所在象限． 【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角， 因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（ ） A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【答案】B【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长.【详解】扇形的半径112sin1sin1ABr ==， 所以扇形的弧长等于122sin1sin1r α⨯=⨯=. 故选：B【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OA l OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2. 【答案】 1 2 1 【解析】 【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα，所以答案为1；2；1.【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】 2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】 【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可. 【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-. 【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 51-时，扇面为“美观扇面”5 2.236）（ ）A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20035 【答案】AC【分析】首先确定12,S S 所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A 正确；由12122S S θπθ==-可求得θ，代入扇形面积公式可知B 错误；由125122S S θπθ-==-即可求得θ，知C 正确；由扇形面积公式可直接判断出D 错误.【详解】对于A ，1S 与2S 所在扇形的圆心角分别为θ，2πθ-，()2122121222r S S r θθπθπθ⋅⋅∴==--⋅，A 正确； 对于B ，12122S S θπθ==-，23πθ∴=，2111293223S R πθπ∴=⋅⋅=⨯⨯=，B 错误； 对于C ，125122S S θπθ-==-，()35θπ∴=-，()3 2.236180138θ∴≈-⨯≈，C 正确； 对于D ，()()2111354002003522S R θππ=⋅⋅=⨯-⨯=-，D 错误.故选：AC.【题型专练】1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】4【分析】利用弧长公式直接求得. 【详解】扇形的圆心角为135︒，为34π，设半径为r ， 由弧长公式可得：334r ππ=，解得：4r =. 故答案为：42.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==，解得2r =，8l =或4r =，4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ．3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B 【解析】 【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．2160cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm【答案】D【分析】根据扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解. 【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到， 设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ， 则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=， 所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积12111608022S r r =⨯⨯-⨯⨯()2111608080404800cm 22=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：D ．5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 51-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 51-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A 51- B 51-C 352D 52【答案】D 【解析】 【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果. 【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，2151S S -=，2S r π=， 所以)122515124S Sr αππ-==， 因为剪下扇形OAB 51-， 所以2512r r r παπ--=(35απ=， 所以))(2515135355355244S S απππ--+===.故选：D.6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】 【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==， 又1AD =，所以OAD △为正三角形，∵3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π 【解析】 【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解. 【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π题型四：任意角三角函数的定义【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．17B 417C 310D ．10【答案】C【分析】先由对数函数图象的特征求出定点()1,3A -，再由三角三函数的定义求解即可 【详解】函数()log 23a y x =++的图象恒过定点()1,3A -， 且点()1,3A -在角α的终边上， 所以()223sin 1331010α==-+，故选：C【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ） A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】因为角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin 2y α==． 故选：C ．【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2D ．52【答案】C【分析】由三角函数定义求得m 值． 【详解】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =． 故选：C ．【题型专练】1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22 B ．225 C ．434 D 434【答案】D【分析】根据sin 0θ>，可判断点()2,P y -位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.【详解】解：因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限， 所以0y >，2222sin 5(2)yy θ==-+， 整理得：21732y =，因为0y >，所以43417y =. 故选：D.2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（ ）A 5B 5C ．12-D ．－2【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可得解.【详解】解：因为角α的终边经过点()2,1P -，所以15sin 541α==+. 故选：A.3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（ ） A ．2B ．3C 171+D 171+【答案】AC【分析】先由函数可知点A 的坐标，再由三角函数的定义可求解.【详解】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有22444tan ,sin 3534θθ===+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时， 由三角函数的定义有22444tan 4,sin 11714θθ====+， 所以11117171tan sin 444θθ++=+=. 故选：AC4.（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin α=，则m 的值为______． 【答案】5±或0【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解.【详解】由题意可知()222sin 43m m m α==-+，解得5m =±或0． 故答案为：5±或05.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______． 【答案】32- 【分析】根据单位圆求出y ，然后由三角函数定义求得sin ,tan αα，再相乘可得．【详解】由题意2114y +=，32y =±， 32y =时，3sin 2α=，tan 3α=-，3sin tan 2αα=-， 32y =-时，3sin 2α=-，tan 3α=，3sin tan 2αα=-， 综上，3sin tan 2αα=-． 故答案为：32-． 题型五：三角函数值的正负判断【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.【详解】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限，又tan 0θ>，则θ的终边在第三象限.故选：C.【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 【答案】－1【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y 值.【详解】因为角θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，tan 0θ<，所以sin cos tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=-+-=-． 故答案为：-1.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且sinsin 22θθ=-，则角2θ在（ ） A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【分析】由题可得角2θ在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得. 【详解】∵角θ是第二象限角，∵θ∵(2,2),Z 2k k k ππππ++∈，∵(,)242k k θππππ∈++，Z k ∈， ∵角2θ在第一或第三象限， ∵sinsin 22θθ=-，∵sin 02θ<， ∵角2θ在第三象限. 故选：C.【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π 【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为90100180︒<︒<︒，所以sin100︒角是第二象限角，所以sin1000︒>；因为270220180-︒<-︒<-︒，220-︒角是第二象限角，所以()cos 2200-︒<；因为71032ππ-<-<-，所以角10-是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<；故选：BCD ．【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】 sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（ ）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】AD【分析】由已知角终边上的点可得2sin 1m m α=+，21cos 1m α=-+，tan m α=-，结合诱导公式判断各项的正负，即可得答案.【详解】由题意知：2sin 1m m α=+，21cos 01m α=-<+，tan m α=-.∵不确定m 的正负，∵sin cos αα-与sin cos αα的符号不确定. ∵sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭， ∵一定为负值的是A ，D 选项.故选：AD2.（2022河南开封·高一期末）已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】∵点()tan ,sin P αα在第三象限，∵tan 0sin 0αα<⎧⎨<⎩，∵α在第四象限.故选：D. 3.（2022全国高一课时练习）在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （ ）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限， 故选：B4.（2021·全国高一课时练习）“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】角θ是第一象限角时，sin 0,cos 0θθ，则sin cos 0>θθ；若角θ是第三象限角，sin 0,cos 0θθ<<，则sin cos 0>θθ.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充分条件.若sin cos 0>θθ，即sin 0,cos 0θθ或sin 0,cos 0θθ<<，所以角θ是第一或第三象限角.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的必要条件.综上，“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充要条件.故选:C.5.（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．【详解】解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∵θ是第二象限角， ∵sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．6.（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要 【答案】B【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.。