向量学习卷20110725

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向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律:()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量,那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1)我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；(3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4）基底给定时,分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--， 1212(,)a b x x y y ⋅=。

2、已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

高考数学选择题分类汇编1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(1,0)， c ＝ (3,4)．若 λ为实数，(a ＋ λ b)∥ c ，则 λ＝( ) 1 1A. 4 B .2 C ．1 D ． 22．【2011·课标理数广东卷】 若向量 a ，b ，c 满足 a ∥ b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋ 2b)＝ ( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ． 03【． 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 → → →)ABCDEF 中，BA ＋ CD ＋EF ＝ ( A ． 0 →→ → B. BEC. ADD. CF4．【2011 大纲文数全国卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a ·b ＝－ 1，则 |a ＋ 2b|＝ ()2 A. 2 B.3 C. 5 D. 7 .5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a ＝(1,2)， b ＝ (1，－ 1)，则 2a ＋b 与 a － b 的夹 角等于 ( ) 3ππ π π A ．－ 4B. 6C.4D. 46．【2011 课标理数辽宁卷】 若 a ，b ，c 均为单位向量， 且 a ·b ＝ 0，(a － c) ·(b － c)≤0，则|a ＋b － c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ． 2【解析】 |a ＋b －c|＝ a ＋ b － c 2＝ a 2＋ b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c － 2b ·c ，由于 a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于 (a －c) ·(b －c)≤0，得 (a ＋ b) ·c ≥c 2＝ 1，所以|a ＋ b － c|＝ 3－2c ·a ＋b ≤1，故选 B.7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b)＝0，则 k ＝()A ．－ 12B ．－ 6C ．6D ．121 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a ，b ，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a ·b ＝－ 2，〈 a － c ，b －c 〉＝ 60°，则 |c|的 最大 值 等 于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ．19．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a ＝( 3， 1)，b ＝(0，－ 1)，c ＝(k ， 3)．若a － 2b 与 c 共线，则 k ＝________.10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝2 5，b ＝ (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 ________．【解析】 因为 a ＋λb ＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c ，(11＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.【解析】 因为 a ∥b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ·(a ＋ 2b) ＝c ·a ＋2b ·c ＝0.→ → → → → → → → →【解析】 BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.【解析】 | a ＋2b | 2 ＝(a ＋ 2b) 2＝| a | 2＋4a ·b ＋4| b | 2 ＝3，则 | a ＋2b | ＝ 3，故选 B【解析】 因为 2a ＋b ＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a －b ＝( 0， 3) ，所以| 2a ＋b | ＝ 3 2 ， | a －b | ＝ 3. 设2a ＋ b 与 a － b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝( ) () (3，3 ) () 2 0，π π 2a ＋b · a －b ＝· 0，3＝ 2 ，又 θ∈ [] ，所以 θ＝4.|| ||32×32a ＋ ba －b【解析】 a ·(2a －b)＝ 2a 2－ a ·b ＝ 0，即 10－(k －2)＝ 0，所以 k ＝ 12，故选 D.【解析】设向量 a ，b ，c 的起点为 O ，终点分别为 A ，B ，C ，由已知条件 得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心 时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是3＝2，|c |的最大值是 2，故选 A. sin120 °【解析】 因为 a －2b ＝ (3，3)，由 a －2b 与 c 共线，有 k ＝ 3，可得 k ＝1.3 3【解析】 因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a ＝λb( λ<0)，所以 a ＝(2 λ，λ)．a 2 2或 λ＝2(舍去 )，故 a ＝(－ 4，－ 2)． 由 | |＝25，得 2λ ＋λ＝2 5? λ＝－ 2 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，＝ ， ＝ ， 是腰 上的动点，则 → → ．AD BC DC＋3PB 的最小值为2 1 P |PA | ________12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量 α，β满足 | α|＝1，| β|≤ 1，且以向量 α，1β为邻边的平行四边形的面积为 2，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．13 ．【2011·新课标理数安徽卷】 已知向量 a ，b 满足 (a ＋2b) ·(a － b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (－1,2)，则 a ·b 等于 ________．→ → →15．【2011·课标理数湖南卷】 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝ → → →3CE ，则 AD ·BE ＝________.16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a ＋2b) ·(a － b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1 ， 2π的夹角为 ，若向量 b 1＝ 1e3 e－2e 2， 2＝1＋2，则b 3e 4e b ·b ＝________.18．【2011 课标文数全国卷】 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋b 与向量 ka －b 垂直，则 k ＝ ________. 19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是2 2(A) a b(B) a ?b2 (C) a / / b(D) a b 与 b 垂直220. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为 （A ）3（ B ）3（C ）2（D ）622【解析】 建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h)．设 P(0，y)， (0≤y ≤h) → →则 PA ＝(2 ，－ y)， PB ＝ (1，h －y)，∴ |→＋ →|＝ 25＋ 3h － 4y 2 ≥ 25＝5. PA 3PB【解析】 由题意得： |α||β| θ＝1，∵ |α|＝ ，|β|≤ ，∴ sinθ＝ 1≥ 1sin 2 1 1 2|β| 2.π 5π又∵ θ∈(0， π)，∴θ∈ 6， 6 .【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a ＋ 2b) ·(a －b)＝a 2＋a ·b － 2b 2＝－ 7＋2cos θ＝－ 6，所以 1cos θ＝2.因为 π0≤θ≤π，故 θ＝3.【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝ (－1,2)，得a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】 由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴， 以 AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，可得 A 0， 3 ，D(0,0)，B －1，0 ，2 21 ， 3 → ，－ 3 → 5 3→ → 3 3 1 E，故 AD ＝，BE ＝ ， ，所以 AD ·BE ＝－× ＝－ .3 6 2 6 6 2 64【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a ＋ 2b)(a － b)＝－ 2 得1π|a|2＋a ·b －2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cos θ－2×4＝－ 2，解得 cos θ＝2，∴θ＝3.【解析】 |e 1 ＝ 2 ＝且11－ 2 · 1＋ 2 ＝ 21·2－1·2＝ ，所以 b 1·2＝1－||e | 1e e2b(e 2e ) (3e 4e ) 3e 2e e122－ 8＝－ 6.8e ＝ 3－ 2× 2【解析】 由题意，得 (a ＋ b) ·(ka －b)＝k |a |2－ ·＋ ·－ |b |2＝k ＋ (k －·－1 a b ka b1)a b ＝ (k －1)(1＋ a ·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a ·b ≠－1，所以 k － 1＝ 0，解得 k＝ 1.【解析】 a b = ( 1,1) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 【解析】 D2221.【 10 重庆理数】已知向量 a ，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a bA. 0B. 2 2C. 4D. 8 解析： 2a b(2a b )2 424a b b 282 2a22．【10 湖南文数】若非零向量 a ，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为 CA. 30B. 60C. 120D. 150uur uur23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 b ，ACB ．若 CB a ，CA，uuur2 2 1 （ ）34（ ）43，则 CD （A ）1a 1b 2ab （B ） abCabDab3 333 5555【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得AD= CA 2，所以 D 为 AB的DBCB 1三 等 分点 ， 且uuur2 uuur 2uuur uuur，所 以ADAB 3 (CB CA)uuur uuur uuur2 uuur 1 uuur 2 r 1 r3CD CA+ADCB CA a b ，选 B.3 3 3 3uuur r uuur r24. 【 10辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB b , 则 OAB 的面积等于（ A ） r 2 r 2 r r（B ） r 2 r2r r a b (a b)2 a b (a b) 2（ C ）1 r2 r 2r r 2（D ）1 r2 r 2r r 22a b(a b)a b(a b)2S1 r r r r 1 r r 2r r 1 r r OAB2 | a || b | sin a,b2 | a || b | 1 cosa,b 2 | a ||b | 1r r 2 ( a b) r 2 r 2| a | | b |1 r2 r 2r r 2 2 a b(a b)uuur uuur25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =b ,a = 1 ，uuur2 b （ B ） 2 a + 1b（C ） 3 a + 4b （ D ）b = 2, 则 CD =（A ） 1a +4a + 3b 33335 555BDBC1uuur uuur uuur r r∵ CD 为 角 平 分 线 ， ∴ADAC 2 ， ∵AB CB CA a b ， ∴uuur 2 uuur 2r2ruuur uuur uuur r2r2r2r1rADABab CDCAADbabab3 33，∴333326. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“re ”如下，对任意的 a=(m,n) ，r r rb （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（）r r r r r r r r A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0B. a e b=b e aC.对任意的 r r r rr r 2 r r 2 r 2 r2 R ，有（ a) e b= ( a e b) D. (a e b) +(ab) =|a| |b|r r r rr r pn-qm ，而 【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a r r r r r r a e b=mq-np ，所以有 a e bbe a ，故选项 B 错误，故选 B 。

向量是数学中一个重要的概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍向量的基本概念、向量的表示方法、向量的运算以及向量的应用。

一、向量的基本概念向量可以用来表示有大小和方向的量。

在几何上，向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量A用符号A→来表示。

二、向量的表示方法向量可以用不同的表示方法来描述。

其中，最常见的是使用坐标来表示向量。

在二维空间中，一个向量可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示向量在x轴上的大小，y表示向量在y轴上的大小。

在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组(x, y, z)。

这种表示方法称为坐标表示法。

除了坐标表示法外，还可以使用向量的模和方向来表示向量。

向量的模表示向量的大小，向量的方向表示向量的方向。

例如，向量A的模为|A|，向量A的方向用角度或者方向余弦来表示。

三、向量的运算向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

向量加法的运算规则是将两个向量的对应分量相加，结果是一个新的向量。

向量减法的运算规则是将两个向量的对应分量相减，结果也是一个新的向量。

数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以同一个标量，结果是一个新的向量。

此外，还有一种重要的向量运算叫做点积。

点积的运算规则是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，结果是一个标量。

点积可以帮助我们求解两个向量之间的夹角以及判断两个向量之间的关系。

四、向量的应用向量在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

在物理学中，向量可以表示力、速度、加速度等物理量，帮助我们研究物体的运动以及力的作用。

在工程学中，向量可以表示电流、电压、位移等，帮助我们分析电路和结构的性质。

在计算机科学中，向量可以表示图像、音频、文本等数据，帮助我们进行图像处理、音频识别和自然语言处理等任务。

除此之外，向量还可以用于解决几何问题。

例如，通过向量的点积可以求解两条直线的夹角，通过向量的叉积可以求解两条直线的交点等。

高中数学向量基础及应用题库一、向量基础知识1. 向量的定义在数学中，我们可以用一个有方向和大小的箭头表示向量。

向量被定义为有序数对，例如(a,b)。

其中，a和b分别代表向量在水平方向和垂直方向上的分量。

2. 向量的表示向量可以用箭头AB表示，其中A和B分别代表向量的起点和终点。

向量也可以用坐标表示，例如向量AB可以表示为AB = (x2 - x1, y2 -y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别代表向量的起点和终点的坐标。

3. 向量的运算向量之间可以进行加法、减法和乘法运算。

- 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

如果有向量AB和向量CD，则它们的和为AB + CD。

- 向量的减法：向量的减法满足减去一个向量等于加上该向量的相反向量。

如果有向量AB和向量CD，则它们的差为AB - CD。

- 向量的乘法：向量的乘法有数量积和向量积两种。

4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，记作AB·CD。

对于向量AB和CD，它们的数量积可以表示为AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中|AB|和|CD|分别代表向量的模长，θ为AB和CD之间的夹角。

5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，记作AB × CD。

对于向量AB和CD，它们的向量积可以表示为AB × CD = |AB| |CD| sinθ n，其中|AB|和|CD|分别代表向量的模长，θ为AB和CD之间的夹角，n为垂直于AB和CD所在平面的单位向量。

二、向量的应用题1. 平面向量运用（题目）2. 向量的共线与垂直（题目）3. 向量的夹角（题目）4. 向量的投影（题目）5. 向量的模长（题目）6. 向量的数量积（题目）7. 向量的向量积（题目）8. 平面向量的定理（题目）9. 平面向量的解析几何（题目）10. 平面向量与三角形（题目）以上是一些高中数学向量基础及应用题的题目，通过解答这些题目，可以帮助你巩固和应用向量的基础知识，提高数学解题能力。

向量第一套：向量的概念、表示和线性运算第二套：向量的加法与减法第三套：向量的坐标表示、数量积和应用第四套：平面向量的坐标表示经典例题第五套：实数和向量的积经典例题第六套：向量综合练习题专题三《向量的概念、表示和线性运算》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ）A. 单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >bD. 对于任意向量a 、b , 必有|a +b |≤|a |+|b |2. 当|a |=|b |≠0且a 、b 不共线时，a +b 与a －b 的关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 相等3．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若++=0，则O 是△ABC 的（ ） A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心5． 若|AB |=8，||=5，则||的取值范围是（ ）A.［3，8］B.（3，8）C.［3，13］D.（3，13）6． 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,AC = b ，则AM 等于（ ）A.21(a - b ) B. 21(b - a ) C. 21( a + b ) D. 12(a + b )7． 已知=a ，=b, =c ,=d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0C. a+b－c－d=0D. a－b－c+d=08．已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中不正确的是()A.AB CB AC+= B. AB AD AC+=C. AD CD BD+= D.AO CO OB OD+++≠09．下列各式结果是AB的是()A.AM MN MB-+ B.AC BF CF-+C.AB DC CB-+ D.AB FC BC-+10．在四边形ABCD中，若12AB CD=-，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11．化简：（1）（-）－(-)= .（2）()()PQ MO QO QM-+-=.12．已知：D为△ABC的边BC上的中点，E是AD上的一点，且AE=3ED，若AD=a，则++=_____________.（用a表示）13．若a、b是不共线向量，p＝2a－3b，q＝－a＋5b，x，y∈R，x p＋y q＝2a－b，则x＝.14．如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则OP＝，OQ＝(用a、b表示)三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本题满分12分)已知在矩形ABCD 中，宽为2，长为AB =a , BC =b , AC =c , 试作出向量a+b+c ， 并求出其模的大小.16．(本题满分12分)已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=.17．(本题满分14分)向量a ＝－e 1＋3 e 2＋2 e 3，b ＝4 e 1－6 e 2＋2 e 3，c ＝－3 e 1＋12 e 2＋11 e 3，问a 能否表 示a ＝1λb ＋2λc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.18．(本题满分14分)设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2 e 1+3 e 2，BC =6 e 1+23 e 2, CD =4 e 1－8 e 2， 求证：A 、B 、D 三点共线．专题三《向量的概念、表示和线性运算》综合检测参考答案一、选择题二、填空题11. (1)0 (2)PQ 12. 14-a 13. 9714. 2133+a b , 1233+a b三、解答题15. 8 16. 略 17. 1211,105λλ=-= 18. 略向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．若且，则2．化简以下各式：（1）；（2）；（3）；（4）。

2011年高考数学试题分类汇编（必修Ⅳ——向量）（一）选择题1、【08安徽理3】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)A B =，(1,3)AC =,则AB =（ B ） A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）2、【08安徽文2】若(2,4)A B = ，(1,3)AC =, 则BC = （ B ） A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3、【08广东文3】已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--4、【08湖北文1】设(1,2),(3,4),(3,2),(2)a b c a b c =-=-=+= 则（C ）A.(15,12)-B.0C.-3D.-115、【08湖南理7】设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,D C BD = 2,C E E A =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC （A ）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直6、【08辽宁理5】已知,,O A B 是平面上的三个点,直线A B 上有一点C ,满足2AC CB +=0 ,则O C等于(A ) A.2OA OB - B.2OA OB -+ C.2133O A O B - D.1233O A O B -+7、【08宁夏理8】平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∈R ∃，λ=b aD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b8、【08宁夏文5】已知平面向量(13)=-，a ，(42)=-，b ，λ+a b 与a 垂直， 则λ=（ A ） A ．1- B ．1C ．2-D ．29、【08全国Ⅰ理3】在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ A ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c10、【08全国Ⅰ文5】在A B C △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +11、【08浙江理9】已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--= a c b c ，则c 的最大值是（ C ） A ．1B ．2C ．2D ．22（二）填空题12、【08江苏5】b a ,的夹角为 120，1,3a b == ，则5a b -= 713、【08江西理13】直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段B C 的三等分点，则AE ·AF＝ 22 ．14、【08江西文16】如图，正六边形A B C D E F 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 A,B,D （写出所有真命题的代号）15、【08北京文11】已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么 a b 的值为 -8 16、【08宁夏理13】已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b ，29λ+=a b 且0λ>，则λ= 3 ．17、【08全国Ⅱ理13】设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 2 ． 18、【08陕西理15】关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-．③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）19、【08上海理5】若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ 720、【08天津文14】已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=- c a a b b ，则=c 82 ．21、【08浙江理11】已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = 12+22、【08浙江文16】已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 [0,1] 。

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向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a＝（m,1），b＝（1，m),如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．2［答案］A［解析]设a＝λb（λ<0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ〈0，∴m＝－1.［点评］ 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝（x1，y1)，b＝（x1,y2）,则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b 与错误!＝错误!不等价．2．证明共线（或平行)问题的主要依据：（1)对于向量a,b，若存在实数λ，使得b＝λa,则向量a与b共线(平行)．（2）a＝（x1，y1）,b＝（x2,y2）,若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b。

题型特征及分值：近几年高考对向量的直接考查一般为一个选择题或填空题,主要题型有:(1)向量加减运算的几何意义应用;(2)向量数量积运用：求向量模长、夹角；证向量平行、垂直等(如:07四川卷7题);(3)向量作为工具性知识（如2008年四川卷21题）,命题者常以向量为载体综合考察学生的转化与化归能力.间接或直接涉及的分值一般在5至10分左右.填空、选择题多为容易题，作为工具性知识考察时关键是将以向量形式出现的条件转化为坐标、数量积等的运算.§1.平面向量知识网络：图像平移12PP P Pλ=且12x xxλ+=y=①a b b a⋅=⋅②()()()a b a b a bλλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅注意：①a b b c a c⋅=⋅≠>=②0,00a ab b≠⋅=≠>=③()()a b c a b c⋅⋅≠⋅⋅,'(,PP h=§2. 典型题型真题突破【1】 (07全国卷2)在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB=，CD = 13CA CB λ+，则λ=( )A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 解题思路：由1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =∴-=-⇒=+，，λ=23，选A. 【例2】 (06陕西)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解题思路：．已知非零向量AB →与AC →满足(||||AB AC AB AC +)·BC →=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB=AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 设,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量是a 与e 的交角:则①cos e a a e a θ⋅=⋅=②0a b a b ⊥⇔⋅=③,a b 同向a b a b ⋅=；,a b 反向a b a b ⋅=- 特别,22()a a =④a ba b θ⋅=a b ①设(,),(,)1122ax y b x y ==,则12a b x x ⋅=1212x x y y += ②设(,)ax y =2()a a ==2x 2a x =+(,(,)1122A x x y =,则2()(12AB x x y =-+(,),(,)1122a x y b x y ==则12(a b x x ⊥⇔,a b 非零a //b 12y y x ⇔=【例3】(06广东)如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =( ) A.12BC BA -+ B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 解题思路：21+-=+=，故选A. 【例4】(06山东)设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为 ( )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2,－6)D.(－2,－6)解题思路：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c)＝（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c)＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，选D.【例5】(07江西)如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ． 解题思路：1(),,,2AO AB AC AB mAM AC n AN =+== 1()2AO mAB nAC ∴=+ 1,2m n m n ∴==+=。

高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。

向量可以任意平移。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。

任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。

（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。