空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二 空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 知识点三 共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一 空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________． 答案 ①②解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二 空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解 结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三 向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个． 答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个． 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 ±1解析 由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等． 答案 ④解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， 即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________． 答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案 －a ＋b －c 解析 如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________． 答案 12，－12解析 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析 易知四边形EFGH 为平行四边形， 所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析 设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案 －8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明 连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

立体几何与空间向量知识点归纳总结材料一、立体几何知识点归纳总结：1.点、线、面的几何特性：-点：没有大小和形状，只有位置；两个不同的点确定一条直线，三个不共线的点确定一个平面。

-线：有长度但没有宽度和厚度；平行线、垂直线、相交线等性质。

-面：有长度和宽度但没有厚度；平面的平行关系、垂直关系、相交关系等。

2.空间几何形体的特性：-点：在空间中指定位置的几何实体。

-直线：长度无限延伸的几何实体。

-射线：以一个端点和无限延伸的直线为基础的几何实体。

-平面：无限延伸的、具有长度和宽度的几何实体。

-多面体：由平面构成的立体图形，如三角形、四面体、五棱柱等。

-圆锥、圆柱、圆球等。

3.空间几何的距离公式：-两点之间的距离公式：设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则AB 的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

-点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)，则点P到直线L的距离为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A²+B²+C²)。

二、空间向量知识点归纳总结：1.空间向量的定义：空间中具有大小和方向的有向线段。

2.空间向量的表示方法：-定点表示法：以一个固定点为起点，用一条线段的另一端点表示向量。

-坐标表示法：向量的起点为原点O，终点坐标为(x,y,z)，则向量的坐标表示为(x,y,z)。

-分解表示法：将向量沿着坐标轴分解成若干个坐标分量的和。

3.空间向量的运算：-向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即向量的和等于它们的起点相同的两个边相加的结果。

-向量的减法：向量的减法等于将减向量取反后与被减向量相加。

-向量的数乘：向量的数乘等于向量的每个分量与一个常数的乘积。

4.向量的数量积和向量积：-数量积（点积）：设向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)，则数量积AB=A·B=x1x2+y1y2+z1z2，具有交换律和分配律。

立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量是数学中的两个重要分支，它们都涉及到三维空间的计算和处理。

下面是它们的知识梳理：
一、立体几何
1. 立体几何基本概念：点、线、面、立体、平行、垂直、角度、投影等。

2. 立体图形的性质：体积、表面积、对称性、切割等。

3. 立体几何基本公式：立方体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积公式。

4. 立体几何运用：解决物体体积和表面积的计算问题，如容器的容积、房间的面积等。

二、空间向量
1. 空间向量定义及表示：三维空间中的有向线段，可以用起点坐标和终点坐标表示。

2. 空间向量的运算：加、减、数乘、点乘、叉乘等。

3. 空间向量的性质：模长、模长计算公式、向量方向，空间向量的平行性、垂直性等。

4. 空间向量的应用：用向量来表示物理量，如力、速度、加速
度等。

总结
立体几何和空间向量是数学中两个重要的分支，它们在三维空间中进行计算和处理。

在应用方面，立体几何可以解决物体的体积和表面积计算问题，而空间向量则可以用来表示和处理物理量。

在学习过程中，要注意掌握基本概念和公式，熟练掌握基本运算和性质，逐渐深入到应用层面。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结.知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

\r0B = 0A+ AB = a + b ； BA= OA- OB 二 运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a⑵加法结合律：(a + b).+ C = a + (b + C) ⑶数乘分配律：A (a + b) = + A b 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 3. 共线向量。

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a//b(2) 共线向量定理：空间任意两个向量i(3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线v=>AB = kAC<=> OC xOA yOB(其中(+ y= 1) a(4) 与a 共线的单位向量为±二 4.共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

. 斗(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数X, y 使 P - xa + yb 。

(3)四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP=xAB+yAC平行六面体法则线平行或重合，那么这些向量也叫做共b (b 工0), a //b 存在实数 入 使a =7b 。

A<=> OP 二xOA + yOB + zOC(其中■i I •・x+y+z=1) 45.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x,y, z，使P =xa+yb+zc。

屮.若三向量a,b,C不共面，我们把｛a,b,C｝叫做空间的一个基底，a,b,C叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：（a b ） c a (b c)⑶数乘分配律：（a b ）a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。

（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a//b 。

（2） 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b （ b 丰0 ）, a//b 存在实数入，使a =A b 。

（3） 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ABACi i■.1<=> OC xOA yOB （其中（ y 1）—*■一a （4）与a共线的单位向量为 —a4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2） 共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 x, y 使uOw A go购Bgorarap xa yba- r b r b rb •7d3a d 3a3a2aR（3）四点共面：若A 、B 、c 、P 四点共面<=> AP xAB yAC<=>OP xOA yOB zOC （其中 x y z 1）r ,r r r5. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,C 不共面，那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的有r i r r 1 r r 1 r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：abba ⑵加法结合律：（a b ） c a （b c ） ⑶数乘分配律：（a b ） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。

（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ）, a //b 存在实数 入使a = 7b 。

（3） 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> ABAC<=>OC XOA yOB （其中（ y 1）f一 a（4）与a 共线的单位向量为— a4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数r r rx, y 使 p xa yb 。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP xAB yAC <=>OP xOAyOB zOC （其中 x y z 1）一 r 「「一 一 一 r5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一ra 加B gor br r r r个唯一的有序实数组x,y, z，使p xa yb zc or r r r ,r r r ,r r 若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与⽴体⼏何知识点汇总⽴体⼏何空间向量知识点总结知识⽹络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平⾯向量类似，向量加、减法的平⾏四边形法则，三⾓形法则以及相关的运算律仍然成⽴．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共⾯向量定理都是平⾯向量在空间中的推⼴，空间向量基本定理则是向量由⼆维到三维的推⼴．2、当a 、b 为⾮零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之⼀，这是运⽤空间向量研究线线、线⾯、⾯⾯垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a b a b a b ?<>=是应⽤空间向量求空间中各种⾓的基础，⽤这个公式可以求两异⾯直线所成的⾓（但要注意两异⾯直线所成⾓与两向量的夹⾓在取值围上的区别），再结合平⾯的法向量，可以求直线与平⾯所成的⾓和⼆⾯⾓等．4、直线的⽅向向量与平⾯的法向量是⽤来描述空间中直线和平⾯的相对位置的重要概念，通过研究⽅向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯等的位置关系以及有关的计算问题．5、⽤空间向量判断空间中的位置关系的常⽤⽅法（1）线线平⾏证明两条直线平⾏，只需证明两条直线的⽅向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的⽅向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．（3）线⾯平⾏⽤向量证明线⾯平⾏的⽅法主要有：①证明直线的⽅向向量与平⾯的法向量垂直；②证明可在平⾯找到⼀个向量与直线⽅向向量是共线向量；③利⽤共⾯向量定理，即证明可在平⾯找到两不共线向量来线性表⽰直线的⽅向向量．（4）线⾯垂直⽤向量证明线⾯垂直的⽅法主要有：①证明直线⽅向向量与平⾯法向量平⾏；②利⽤线⾯垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）⾯⾯平⾏①证明两个平⾯的法向量平⾏（即是共线向量）；②转化为线⾯平⾏、线线平⾏问题．（6）⾯⾯垂直①证明两个平⾯的法向量互相垂直；②转化为线⾯垂直、线线垂直问题．6、运⽤空间向量求空间⾓（1）求两异⾯直线所成⾓利⽤公式cos,a ba ba b<>=，但务必注意两异⾯直线所成⾓θ的围是0,2π?，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．（2）求线⾯⾓求直线与平⾯所成⾓时，⼀种⽅法是先求出直线及射影直线的⽅向向量，通过数量积求出直线与平⾯所成⾓；另⼀种⽅法是借助平⾯的法向量，先求出直线⽅向向量与平⾯法向量的夹⾓φ，即可求出直线与平⾯所成的⾓θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求⼆⾯⾓⽤向量法求⼆⾯⾓也有两种⽅法：⼀种⽅法是利⽤平⾯⾓的定义，在两个⾯先求出与棱垂直的两条直线对应的⽅向向量，然后求出这两个⽅向向量的夹⾓，由此可求出⼆⾯⾓的⼤⼩；另⼀种⽅法是转化为求⼆⾯⾓的两个⾯的法向量的夹⾓，它与⼆⾯⾓的⼤⼩相等或互补．7、运⽤空间向量求空间距离空间中的各种距离⼀般都可以转化为求点与点、点与线、点与⾯的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与⾯的距离点⾯距离的求解步骤是：①求出该平⾯的⼀个法向量；②求出从该点出发的平⾯的任⼀条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点⾯距离．备考建议：1、空间向量的引⼊，把平⾯向量及其运算推⼴到空间，运⽤空间向量解决有关直线、平⾯位置关系的问题，应体会向量⽅法在研究⼏何图形中的作⽤，进⼀步发展空间想像能⼒和⼏何直观能⼒．2、灵活选择运⽤向量⽅法与综合⽅法，从不同⾓度解决⽴体⼏何问题．3、在解决⽴体⼏何中有关平⾏、垂直、夹⾓、距离等问题时，直线的⽅向向量与平⾯的法向量有着举⾜轻重的地位和作⽤，它的特点是⽤代数⽅法解决⽴体⼏何问题，⽆需进⾏繁、难的⼏何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作⽤．因此，应熟练掌握平⾯法向量的求法和⽤法．4、加强运算能⼒的培养，提⾼运算的速度和准确性．第⼀讲空间向量及运算⼀、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有⼤⼩⽽没有⽅向的量．2、空间向量的表⽰⽅法空间向量与平⾯向量⼀样，也可以⽤有向线段来表⽰，⽤有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，⽤有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．若向量a对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量a可以记为AB，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的⽅向不确定，是任意的．由于零向量的这⼀特殊性，在解题中⼀定要看清题⽬中所指向量是“零向量”还是“⾮零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是⼀种常⽤的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常⽤到．5、相等向量长度相等且⽅向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a与向量b相等，记为a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的⾮零向量都可以⽤空间中的同⼀条有向线段来表⽰，并且与有向线段的起点⽆关．6、相反向量长度相等但⽅向相反的两个向量叫做相反向量．a的相反向量记为－a⼆、共⾯向量1、定义平⾏于同⼀平⾯的向量叫做共⾯向量．2、共⾯向量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共⾯的充要条件是存在实数对x、y,使得p=xa yb。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。

3. 共线向量量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。

(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 工0 ), a // b 存在实数 入，使a = X b 。

(3) 三点共线：A B 、C 三点共线<=>AB<=>oc(4) 与a 共线的单位向量为4.共面向量(1)定义: 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2) 共面向量定理：如果两个向量ad 不共线，p 与向量a,b 共面的条件r是存在实数x,y 使p xa yb 。

(3) 四点共面：若A 、B C 、P 四点共面<=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB zOC(其中 x y z 1)r5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量2. (2)向量具有平移不变性 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、 uuuuuruuu rv uun LLW LUU rOB OA ABa b ； BA OA OB a运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(a b) c a (b c) ⑶数乘分配律：(a b) a b 减法与数乘运算如下(如ruuur运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些向ACxOA yOE （其中（yap，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。

「若三向量a,b)c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。