详细解析：北京市东城区2016届高三一模数学(文)试题

东城区 2016 届高三上学期期中考试数学文试卷一、选择题（ 60 分）1、若会合A ＝{ －1,2}，B ＝{ x | x0} ，则 A B ＝A 、B 、{ －1}C 、 {2}D 、 { － 1,2}2、命题的否认是3、已知角的边经过点 P （－ 1,0 ），则 cos 的值为 A 、 0B 、－ 1C 、－2 D 、2224、以下函数中，定义域与值域同样的是5、等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 3 3, a 10 7的值是10，则 S A 、30B 、29C 、 28D 、 276、函数 f (x)1ln x 的零点个数为xA 、0B 、1B 、 2D 、 37、三个数之间的大小关系是A 、c ＜ a ＜ bB 、c ＜ b ＜ aC 、a ＜ b ＜ cD 、b ＜ c ＜ a8、“”是“ sin sin ”的A 、充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件9、函数 f （ x ）＝的图象可能是10、已知函数的最小正周期为，为了获得函数和图象，只需将 y＝ f （x）的图象A 、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度88C、向左平移个单位长度D、向右平移个单位长度4411、已知函数的最大值2，则实数 a 的取值范围是A、（0， 2 ］B、（ 0， 2 ）C、（ 0,1）D、 A、（ 0， 2 ）2212、已知函数在一个周期内的图象如下图，此中P， Q分别是这段图象的最高点和最低点，M ， N 是图象与 x 轴的交点，且∠ PMQ＝ 90°，则 A 的值为A、 1B、2C、3D、2二、填空题（30 分）13、若曲线 f（ x）＝在点（ 1，a）处的切线平行于x 轴，则a＝14、在△ ABC中，角 A， B 所对的边分别为a，b，15、已知4，则316、已知函数f x）＝为实数，若f x）在x＝－1处获得极值，（（则 a ＝17、已知函数f（ x）＝＝18、在数列a n中，－三、解答题（60 分）19、（本小题共14 分）设函数（I ）求 f （ x）的单一递加区间；（II ）求 f （x）在区间上的最大值和最小值。

绝密★启用前2016届北京市东城区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：129分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、某程序框图如图所示，当输入的的值为时，输出的值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（ ）A ．B ．C ．D ．3、“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、给出下列函数：①； ②；③； ④．其中图象关于轴对称的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④5、经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知向量，．若与平行，则实数的值是（ ）7、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、已知集合，．若，则实数（）A．1 B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线的方程；（2）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设函数，请写出曲线与最多有几个交点．（直接写出结论即可）10、纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，，如此对开至规格．现有，，，，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为；这张纸的面积之和等于__________．11、已知点的坐标满足条件点为坐标原点，那么的最大值等于_________．12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13、如图是名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在中的学生人数是_________．14、在△中，角，，所对边分别为，，，且，，面积，则______；=_____．15、双曲线的离心率是_________．三、解答题（题型注释）16、已知椭圆过点，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线交椭圆于两个不同点，，点的坐标为，设直线与的斜率分别为，．①若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值；②试探究是否为定值？并说明理由．17、如图，在四棱锥中，，平面，平面，．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18、某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（1）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第，，组中用分层抽样抽取名学生进行体能测试，求第，，组每组各抽取多少名学生进行测试？（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生进行引体向上测试，求：第组中至少有一名学生被抽中的概率．19、已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求的解析式；（2）求函数的最大值和最小值．20、已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求正整数的值．参考答案1、D．2、C．3、B．4、B．5、A．6、D．7、C8、C．9、（1）；（2）或；（3）3个．10、．11、．12、．13、．14、．15、．16、（1）；（2）①，，②．17、（1）详见解析；（2）在线段上存在一点，且．18、（1）①处的数据为35，②处的数据为0．300；（2）3人，2人，1人；（3）．19、（1）；（2）最大值，最小值．20、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：设为函数的图象上的点，则为函数图象上的点，所以，依题意方程在区间上有解，设，则有，解得，故选D考点：函数综合．2、试题分析：循环两次后，因为输出，所以，故选C．考点：算法与程序框图．3、试题分析：，∴或，即或（），所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．考点：充分必要条件．4、试题分析：图象关于轴对称即为偶函数，故选B考点：函数的奇偶性．5、试题分析：所求直线斜率为2，且过点，所以方程为，即，故选A考点：直线方程．6、试题分析：，，因为与平行，所以，即，故选D考点：平面向量坐标运算．7、试题分析：，对应的点为，在第三象限考点：复数运算8、试题分析：因为，所以，所以，故选C．考点：集合的运算．9、试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）求导，分析导函数的取值情况，确定其单调性，即可知其大致的函数图象，从而求解；（3）最多有3个交点．试题解析：（1）当时，，，当时，，又，所以曲线在点处的切线方程为；（2）由，得．当时，，此时在上单调递增．当时，，当时，，所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；当时，令，得．与在区间上的情况如下：若曲线与轴有且只有一个交点，则有，即．解得．综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点；（3）曲线与曲线最多有个交点．考点：导数的综合运用．10、试题分析：依题意，，，，…，的面积构成以为公比的等比数列因为纸的宽度为2，所以长为，故面积为，所以纸的面积为，这9张纸的面积之和等于．考点：等比数列的运用．11、试题分析：作出可行域如图，当点位于点时，取得最大值．考点：线性规划．12、试题分析：几何体的直观图为底面积为，高为的三棱锥，所以体积为．考点：空间几何体的三视图与直观图．13、试题分析：由图可知，，所以，所以成绩落在中的学生频率为，所以人数为．考点：频率分布直方图．14、试题分析：，，由余弦定理，所以．考点：解三角形．15、试题分析：由标准方程知，，所以，所以离心率．考点：双曲线．16、试题分析：（1）根据条件列出满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理即可求解．试题解析：（1）由椭圆过点，则，又，故，所以椭圆的方程为；（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．②为定值，且．设直线的方程为，由消，得．当，即时，直线与椭圆交于两点．设．，则，．又，，故．又，，所以．故．考点：圆锥曲线综合．17、试题分析：（1）首先证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（2）在线段上存在一点，且，再利用线面平行的判定与性质加以求解．试题解析：（1）因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；在线段上存在一点，且，使平面，设为线段上一点，且，过点作交于，则，因为平面，平面，所以，又，所以，因为，所以．所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．考点：立体几何综合．18、试题分析：（1）根据题意中的数据即可求解；（2）利用分层抽样的性质即可求解；（3）列出所有符合题意的基本事件的种数以及所有符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解．试题解析：（1）由题可知，第2组的频数为人，第3组的频率为，即①处的数据为35，②处的数据为0．300；（2）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为:第3组:人；第4组：人；第5组:人，所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人；（3）从6位同学中抽两位同学有15种可能，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有9种可能，所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率．考点：概率综合．19、试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于的方程即可求解．试题解析：（1）由表格可知，的周期，所以，又由，且，所以，所以；（2），由，所以当时，有最大值；当时，有最小值．考点：三角函数综合．20、试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于的方程即可求解．试题解析：（1）设数列的公差为，由题意知，即，由，解得，所以，即；（2）由（1）可得，所以，又，，由已知可得，即，整理得，，解得（舍去）或，故．考点：数列综合运用．。

2016年北京市东城区高三（一模）地理一.本卷共6小题，每小题0分，共44分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．人们习惯从冬至起开始“数九”，每九天算一个“九”．第一个九天叫做“一九”，第二个九天叫做“二九”，以此类推．我国某区域的“九九歌”为：一九二九，不出手；三九四九，冰上走；五九六九，沿河看柳；七九河开，八九雁来；九九加一九，耕牛遍地走．据此，回答1、2题．1．（4分）资料中“九九歌”所描述区域（）A．河流结冰期六个月以上 B．河网密布水运发达C．植被以落叶阔叶林为主 D．经济作物以甘蔗为主2．（4分）与“一九二九”相比，“三九四九”气温更低的主要原因是（）①正午太阳高度更低②黑夜时间更长③地面温度更低④冬季风较强．A．①② B．③④ C．①③ D．②④图为我国河西走廊部分地区示意图．读图，回答3～5题．3．（4分）图中（）A．铁路为西南﹣东北走向 B．河流参与海陆间水循环C．地势由东南向西北降低 D．降水水汽主要来自太平洋4．（4分）与甲河段比较，乙河段的流量与主要成因分别是（）A．大，雨水补给量大 B．小，城市的用水量大C．大，支流补给量大 D．小，蒸发与下渗量大5．（4分）图中绿洲（）A．规模与水资源多少相关 B．规模与城市等级负相关C．属于经度地域分异规律 D．应大力发展水稻种植业读图，回答6～8题．6．（4分）回归线附近，大陆东岸比西岸年降水量（）A．多，位于东北信风的迎风坡，暖流增湿B．少，受副热带高气压的影响，寒流减湿C．多，位于东南信风的迎风坡，暖流增湿D．少，位于中纬西风的背风坡，寒流减湿7．（4分）图中南部渔场形成的主要原因是（）A．海底冷水上泛 B．大陆架广阔C．河流径流汇入 D．寒暖流交汇8．（4分）南非开采矿产资源最可能出现的环境问题是（）A．污染水源 B．森林面积减少 C．酸雨严重 D．土壤盐渍化如图示意中国七大区极端天气气候事件和灾害的影响程度．读图，回答9、10题．9．（4分）我国（）A．华北地区已有灾害损失最重 B．干旱已造成损失最大C．华东地区沙尘暴影响会增加 D．寒潮的不确定性最大10．（4分）我国洪涝（）A．均为暴雨洪涝 B．多发生在夏秋季节C．影响将会减轻 D．影响限于东部地区11．（4分）图为2012年俄罗斯人口自然增长率示意图．读图，回答：2012年俄罗斯人口自然增长率（）A．自西向东逐渐增加 B．与经济发展水平呈正相关C．最小值分布在欧洲 D．与中国相邻地区为负增长二、综合题12．（36分）读图1和相关资料，回答下列问题．表：哈尔滨各月平均气温月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月月均温（℃）﹣18.3﹣13.6﹣3.47.114.720.423.21.114.55.6﹣5.3﹣14.8（1）结合自然地理环境整体性的观点，说明长白山对松花江的影响．“中国云谷”位于哈南工业新城，其规划建设有云计算中心基地、应用创新研发基地、产业发展基地等．云计算中心基地的云存储对电的消耗比较大，数据中心需要不断地降温来达到恒温的环境．（2）简述在哈尔滨建设“中国云谷”的主要原因．伊春市素有“祖国林都”之称，是我国专业化林业资源型城市．目前，伊春市呈现出“林竭城衰”态势，图2为伊春市开放式生态工业园区构想．（3）说出图中家具厂的工业导向类型，简述伊春市开放式生态工业园区构想的优越性．2014年4月10日，由黑龙江、吉林、辽宁三省多家景区组成“东北旅游景区联盟”．联盟打破行政区划的约束，共建区域旅游一体化主题，整合联盟成员间资源，合力发展，形成“聚力”．（4）简述“东北旅游景区联盟”对该区域旅游业发展的影响．13．（10分）自2015年底以来，“供给侧”和“需求侧”成为高层讲话中的高频词．两个词相对应，“需求侧”有投资、消费、出口三驾马车，而“供给侧”则有劳动力、土地、资本、创新四大要素．我国土地利用类型多样．图12为我国两类耕地类型的分布示意图．读图，回答：说出甲、乙耕地类型的名称，任选一种耕地类型说明其集中分布的自然原因．14．（10分）近代以来，伴随着经济崛起，美国城市化进程发展迅速．美国拥有完整的工业部门体系，生产规模大，技术先进，是世界上最发达的工业国家．图13为美国本土主要工业中心的分布图．读图，回答：（1）描述美国工业中心的特点，并简述美国工业发展对城市的有利影响．参考答案一.本卷共6小题，每小题0分，共44分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．1．【解答】解：由材料可知，“九九歌”所描述区域位于温带季风气候区，植被以落叶阔叶林为主，经济作物以小麦为主，河流结冰期不超过六个月．故选：C．2．【解答】解：从冬至起开始“数九”，每九天算一个“九”，与“一九二九”相比，“三九四九”气温更低，主要原因是此时地面温度更低、冬季风较强，此时太阳直射点向北移动，正午太阳高度变高，黑夜时间变短，所以B正确．故选：B．3．【解答】解：读图可知，铁路的走向为东南﹣西北，A错误；河流参与的陆地内循环，B错误；地势为西南向东北降低，C错误，降水的水汽主要来自于太平洋，D正确．故选：D．4．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出甲位于乙上游，甲河段绿洲广布，用水量大，蒸发与下渗量大，所以乙河段的流量较甲河段小，所以D正确．故选：D．5．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出图中绿洲规模与城市等级正相关，绿洲分布属于非地带性地域分异规律，该地不适合应大力发展水稻种植业，绿洲规模与水资源多少相关．故选：A．6．【解答】解：回归线附近大陆西岸受副高控制，盛行下沉气流，炎热干燥，回归线附近大陆东岸位于东南信风迎风坡；大陆西岸有寒流经过，对沿岸气候具有降温减湿的作用，大陆东岸受暖流影响，具有增温增湿的作用．故选：C．7．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出图示位于非洲中南部，南部受寒暖流交汇的影响，鱼类饵料丰富，形成大型渔场．故选：D．8．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出图示位于非洲中南部，南非矿产资源丰富，南非开采矿产资源，最可能直接导致植被破坏，水体污染严重，所以A正确．故选：A9．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出我国冰雹灾害的不确定性最大，我国华北地区已有灾害损失最重，华东地区干旱、洪涝灾害的影响会增加，故选：A．10．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出我国洪涝大部分为暴雨洪涝，我国洪涝灾害的影响将增强，我国洪涝灾害发生地较广，不仅仅局限于东部地区，我国洪涝灾害多发生在夏秋季节．故选：B．11．【解答】解：读图并结合所学的知识，可以得出2012年俄罗斯人口自然增长率，大致是西部低、东部高，但不是自西向东逐渐增加，俄罗斯人口自然增长率与经济发展水平既有正相关，也有负相关，俄罗斯人口自然增长率最小值分布在欧洲部分，俄罗斯人口自然增长率与中国相邻地区多为正增长，所以C正确．故选：C．二、综合题12．【解答】解：（1）从自然地理环境整体性来看，长白山对松花江的影响为长白山海拔较高，为松花江的发源地；长白山坡度较大（陡），影响松花江河水的流速（较快）；长白山的积雪（冰川）融水，为松花江的补给水源之一，影响松花江的流量和汛期；长白山为东北﹣西南走向的山脉，影响松花江的流向，影响凌汛的形成；长白山天池的湖水补给河水，影响松花江流量的（稳定性）；长白山植被覆盖率较高，影响河流的含沙量（少）等．（2）在哈尔滨建设“中国云谷”的主要原因为哈尔滨气温低；全年有5个月的月均温在0℃以下，时间长，节约能源；政策扶持；省会城市，基础设施较完善；有一定的工业发展基础等．（3）读图，该地区位于我国的东北，图中家具厂的工业导向类型为原料导向（指向）型．伊春市开放式生态工业园区构想的优越性为减少废弃物的排放，提高废弃物的利用率；保护森林资源等．延长产业链；综合发展（旅游、农业、工业）或优化（调整）产业结构；产业集聚效应明显等，促进经济发展．增加就业机会，提高收入，改善人民的生活水平．（4）“东北旅游景区联盟”对该区域旅游业发展的影响为省区间资源优势互补与共享，提升旅游资源的品牌价值（吸引力）；节约宣传成本；共享基础设施，节约成本；共享（客源）市场等．故答案为：（1）长白山海拔较高，为松花江的发源地；长白山坡度较大（陡），影响松花江河水的流速（较快）；长白山的积雪（冰川）融水，为松花江的补给水源之一，影响松花江的流量和汛期；长白山为东北﹣西南走向的山脉，影响松花江的流向，影响凌汛的形成；长白山天池的湖水补给河水，影响松花江流量的（稳定性）；长白山植被覆盖率较高，影响河流的含沙量（少）等．（2）哈尔滨气温低；全年有5个月的月均温在0℃以下，时间长，节约能源；政策扶持；省会城市，基础设施较完善；有一定的工业发展基础等．（3）原料导向（指向）型．优越性：减少废弃物的排放，提高废弃物的利用率；保护森林资源等．延长产业链；综合发展（旅游、农业、工业）或优化（调整）产业结构；产业集聚效应明显等，促进经济发展．增加就业机会，提高收入，改善人民的生活水平．（4）省区间资源优势互补与共享，提升旅游资源的品牌价值（吸引力）；节约宣传成本；共享基础设施，节约成本；共享（客源）市场等．13．【解答】解：首先判断甲、乙耕地类型的名称，然后从地形、土壤、降水等方面分析其分布的自然原因．故答案为：甲为旱地，乙为水田．旱地：年降水量较少；地势平坦开阔；土壤肥沃（土层较厚）；水源不足．水田：年降水量丰富；地势平坦开阔；土壤肥沃（土层较厚）；水源充足．14．【解答】解：由图可知：美国工业中心总体上东北部（五大湖）地区密集，规模较大；太平洋沿岸地区工业中心也较多．美国工业发展对城市的有利影响：工业化促进城市化、工业发达地区易形成城市群，工业发展影响城市的分布、级别、疏密（数量）．故答案为：分布特点：分布广泛；集中分布在东北部（五大湖）地区、太平洋沿岸地区；工业中心体系完善（等级多）．工业发展对城市的有利影响：工业发展促进了城市的发展；工业发展影响城市的分布、级别、疏密（数量）；东北部工业城市多，形成了城市群．。

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）54（10） 5 （11）25 （12）4 （13）10（14）642 51124注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+， 整理得 220k k --=，*k ∈N .解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =. (13)分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=.所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分（Ⅱ）2()()2sin cos22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+2132(sin )22x =--+. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)AB ，12(,)A B ，11(,)AC ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=. ………………………13分（18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面A D E ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面C D E .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE .设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FMCD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CDAB .又FM CD ，所以F MA B. 因为3C D A B =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AFBM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF平面BCE . (13)分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,f 处的切线方程为1y =-. ………………………………4分ABCED FM（Ⅱ）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-， 所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； (8)分当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：xx k b 1 . c o m(,ln )a -∞-ln a - (ln ,)a -+∞()f x ' +-()f x极大值若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. …………………12分（Ⅲ）曲线()e x f x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. …………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(02)，，则2b =.又32a b +=， 故22a =.所以椭圆C 的方程为12822=+y x . (4)分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:22l y x =+， 由22122182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1102x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，或2222,0.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m . 故021=+k k . (14)。

北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)（1)若集合2{3}A x x x =∈<R ，{12}B x x =-<<，则A B =（A ）{10}x x -<< （B ）{13}x x -<<（C ）{02}x x << （D ）{03}x x <<【知识点】集合的运算【试题解析】因为， 所以，故答案为：B【答案】B（2）已知直线310ax y +-=与直线3+2=0x y -互相垂直，则a =（A ）3- (B)1-（C)1 （D ）3【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为:C【答案】C（3）已知4log 6a =,4log 0.2b =,2log 3c =，则三个数的大小关系是（A ）c a b >> （B ）a c b >>（C)a b c >> (D ）b c a >>【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为所以，故答案为:A【答案】A（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为 （A ）3 （B ）52（C ）2 （D ）32【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图,在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A【答案】A（5)已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则11S =（A ）21- （B ）19-（C)19 （D ）21【知识点】数列的求和 【试题解析】因为故答案为:D【答案】D(6）在△ABC 中,角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的。

2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•(1+ai）为纯虚数,那么实数a的值为（) A．﹣1 B．0 C．1 D．22．集合A={x｜x≤a｝，B=｛x｜x2﹣5x＜0｝，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜43．某单位共有职工150名,其中高级职称45人，中级职称90人,初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（) A．9,18，3 B．10，15，5 C．10,17，3 D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为( ）A．B．1 C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B．C．3 D．7．已知三点P（5,2）、F1（﹣6,0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（) A．3 B．6 C．9 D．128．已知1，2为平面上的单位向量,1与2的起点均为坐标原点O,1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中，那么平面区域D 的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答)10．已知等比数列｛a n}中，a2=2,a3•a4=32，那么a8的值为______．11．如图，圆O的半径为1，A,B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=______；AP=______．12．若，且，则sin2α的值为______．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积(升/件)重量（公斤/件)利润（元/件）甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______．。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3AB =，则实数m =（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】C. 【解析】 试题分析：因为{3}AB =，所以3A ∈，所以3m =，故选C ．考点：集合的运算． 2.在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C. 【解析】 试题分析：212iz ii-==--，对应点为(1,2)--，在第三象限，故选C 考点：复数综合运算．3.已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是（ ） A.4 B.1 C.1- D.4-【答案】D. 【解析】 试题分析：(1,2)a b x +=-+，(3,2)a b x -=-，因为a b +与a b -平行，所以1(2)(2)3x x -⨯-=+⨯，即4x =-，故选D考点：平面向量坐标运算．4.经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（ ）A.230x y --=B. 210x y --=C.230x y -+=D.210x y ++=【答案】A. 【解析】试题分析：所求直线斜率为2，且过点(1,1)-，所以方程为12(1)y x +=-，即230x y --=，故选A 考点：直线方程． 5.给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③错误！未找到引用源。

； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（ ）A.①②B.②③C.①③D.②④ 【答案】B. 【解析】试题分析：图象关于y 轴对称即为偶函数，故选B 考点：函数的奇偶性．6.“sin 221αα=”是“4απ=”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】 试题分析：1sin 221sin(2)32πααα=⇔-=，∴2236k ππαπ-=+或522,36k k Z ππαπ-=+∈，即4k παπ=+或712k αππ=+（k Z ∈），所以“sin 221αα-=”是“4πα=”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分必要条件．7.某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（ ）A.3y x =B.3y x =C. 3x y =D.3y x=【答案】C. 【解析】试题分析：循环两次后1x =-，因为输出13y =，所以3x y =，故选C. 考点：算法与程序框图．8.已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A.5[,)4-+∞ B.[1,2] C.5[,1]4- D.[1,1]- 【答案】D.考点：函数综合．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9.双曲线221169x y -=的离心率是_________.【答案】54. 【解析】试题分析：由标准方程知4a =，3b =，所以5c ==，所以离心率54c e a ==. 考点：双曲线．10.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且c =,45B =,面积2S =，则a =______；b =_____.【答案】5. 【解析】 试题分析：11sin 222S ac B ===，1a =，由余弦定理2222cos 1322125b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以5b =.考点：解三角形．11.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是_________.【答案】25. 【解析】试题分析：由图可知，10(3762)2001a a a a a a ++++==，所以1200a =， 所以成绩落在[50,70)中的学生频率为110(23)504a a a +==，所以人数为1100254⨯=. 考点：频率分布直方图．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．【答案】4.13.已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于_________.【解析】试题分析：作出可行域如图，当点(,)P x y 位于点时(1,3)，||OP考点：线性规划．14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A ()n n n ∈≤N 8，系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，，A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为 2dm ；这9张纸的面积之和等于__________2dm ．【解析】试题分析：依题意，0A ，1A ，2A ，…，8A 的面积构成以12为公比的等比数列 因为4A 纸的宽度为2，所以长为，故面积为，所以0A纸的面积为2，这9=. 考点：等比数列的运用．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，312S =． （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（1）*2,n a n n N =∈；（2）2k =． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1,a d 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于k 的方程即可求解．试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12310a d +=，由12a =，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，即*2,n a n n N =∈；（2）由（1）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+，又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得220k k --=，*k N ∈，解得1k =-（舍去）或2k =，故2k =. 考点：数列综合运用． 16.（本小题13分）已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求的解析式；（2）求函数()()2sin g x f x x =+的最大值和最小值. 【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）最大值32，最小值3-． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1,a d 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于k 的方程即可求解．试题解析：（1）由表格可知，()f x 的周期()22T πππ=--=，所以22πωπ==， 又由sin(20)ϕ⨯+=，且02ϕπ<<，所以2πϕ=，所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=；（2）2213()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22g x f x x x x x x x =+=+=-+=--+，由sin [1,1]x ∈-，所以当 1sin 2x = 时，()g x 有最大值32；当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-.考点：三角函数综合． 17.（本小题13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示. （1）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率.【答案】（1）①处的数据为35，②处的数据为0.300； （2）3人，2人，1人； （3）35． 【解析】试题分析：（1）根据题意中的数据即可求解；（2）利用分层抽样的性质即可求解；（3）列出所有符合题意的基本事件的种数以及所有符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解． 试题解析：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=， 即①处的数据为35，②处的数据为0.300；（2）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:306360⨯=人；第4组：206260⨯=人；第5组:106160⨯=人， 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人；（3）从6位同学中抽两位同学有15种可能，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有9种可能，所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率93155P ==. 考点：概率综合． 18.（本小题13分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，3CD AB =. （1）求证：平面ACE ⊥平面CDE ； （2）在线段DE 上是否存在一点F ,使AF平面BCE ？若存在,求出EFED的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =． 【解析】试题分析：（1）首先证明AE ⊥平面CDE ，再根据面面垂直的判定即可得证；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，再利用线面平行的判定与性质加以求解． 试题解析：（1）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥，又因为AE DE ⊥，CD DE D =，所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE ；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE ，设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， 过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =，因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，所以CDAB ，又FM CD ，所以FM AB ，因为3CD AB =，所以FM AB =.所以四边形ABMF 是平行四边形，所以AF BM ，又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以AF平面BCE .考点：立体几何综合． 19.（本小题14分）已知函数()e x f x x a =-，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （2）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（3）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）【答案】（1）1y =-；（2）0a ≤或1ea =；（3）3个． 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）求导，分析()f x 导函数的取值情况，确定其单调性，即可知其大致的函数图象，从而求解；（3）最多有3个交点．试题解析：（1）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-，当0x =时，1y =-，又(0)0f '=， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-；（2）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-. 当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e 0a a a ---=.解得1ea =. 综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点；（3）曲线()e xf x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. 考点：导数的综合运用． 20.（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,，且满足a b +=.(1) 求椭圆C 的方程； (2) 斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值； ② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）22182x y +=；（2）①2121--=k ，2122-=k ，②021=+k k ． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出,,a b c 满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理即可求解．试题解析：（1）由椭圆过点(0，则b =，又a b +=a = 所以椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，由2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k .②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ，故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m . 故021=+k k ．考点：圆锥曲线综合．：。

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3A B = ，则实数m =（A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是 （A ）4 （B ）（C ）1-（D ）4-（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是 （A ）230x y --= （B ） 210x y --=（C ）230x y -+= （D ）210x y ++=（5）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③错误！未找到引用源。

； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④（6）“sin 221αα=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x =（C ） 3x y = （D ）3y x=（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A 5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- （D ）[1,1]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。

2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．22．（5分）集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是（）A．a≥5B．a≥4C．a＜5D．a＜43．（5分）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，5 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1C．2D．45．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为（）A．B．1C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2B．C．3D．7．（5分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3B．6C．9D．128．（5分）已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，与2夹角为．平面区域D由所有满足＝λ1+μ2的点P组成，其中1，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x3的系数值为．（用数字作答）10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝2，a3•a4＝32，那么a8的值为．11．（5分）如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，若CP＝AC，则∠COA＝；AP ＝．12．（5分）若，且，则sin2α的值为．13．（5分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为．14．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0＝1时，c的取值范围是；当时，c的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，AC＝2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）＝sin（2x+C），求y＝f（x）与直线相邻交点间的最小距离．16．（14分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，A1A＝1，，AC＝2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17．（13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．（14分）设函数f（x）＝ae x﹣x﹣1，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当x∈（0，+∞）时，．19．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB （不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．20．（13分）数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i＝1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）＝a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n＝1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵i•（1+ai）＝﹣a+i为纯虚数，∴﹣a＝0，即a＝0．故选：B．2．（5分）集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是（）A．a≥5B．a≥4C．a＜5D．a＜4【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B＝（0，5），∵A∩B＝B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．（5分）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，5【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×＝9，中级职称人数为30×＝18，初级职称人数为30×＝3．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝，k＝1，当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝，k＝2，当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝3，当k＝3时，满足进行循环的条件，故S＝2，k＝4，当k＝4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C．5．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为（）A．B．1C．D．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1化为直角坐标方程：x﹣y+1＝0．曲线ρ＝1即x2+y2＝1．∴圆心（0，0）到直线的距离d＝．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长L＝2＝2＝．故选：D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．∴最长的棱为PD，PD＝＝3．故选：C．7．（5分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞0），可得：c＝6，2a＝|PF1|+|PF2|＝+＝6，解得a＝3．∴b＝＝＝3．∴椭圆的短轴长为6．故选：B．8．（5分）已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，与2夹角为．平面区域D由所有满足＝λ1+μ2的点P组成，其中1，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则＝（1，0），＝（cos，sin）＝（，），又＝λ+μ＝（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设＝（x，y），则（x，y）＝（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S＝×1×＝．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x3的系数值为20．（用数字作答）【解答】解：T r+1＝（2x）5﹣r＝25﹣3r x5﹣2r．令5﹣2r＝3，解得r＝1．∴T4＝x3＝20x3．故答案为：20．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝2，a3•a4＝32，那么a8的值为128．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝2，a3•a4＝32，∴a1q＝2，＝32，解得a1＝1，q＝2．那么a8＝27＝128．故答案为：128．11．（5分）如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP＝AC，则∠COA＝；AP＝．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP＝AC，∴∠P＝∠CAP，∵∠P+∠AOP＝∠CAP+∠OAC，∴∠AOP＝∠OAC，∴AC＝OC，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA＝，∵OA＝1∴AP＝故答案为：，12．（5分）若，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵＝（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα＝＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α＝，∴sin2α＝．故答案为：．13．（5分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为62．【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z＝8x+10y作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝8x+10y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z＝8×4+10×3＝32+30＝62，故答案为：6214．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0＝1时，c的取值范围是[﹣1，0]；当时，c的值是﹣2．【解答】解：∵函数f（x）＝|lnx|，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣lnx，f′（x）＝﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x）＝∈（0，1），①当x0＝1时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）当0＜x＜1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≤c，则c≥﹣1，当x＞1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≥c，则c≤0，故c∈[﹣1，0]；②当x0＝时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（）≥c（x﹣）当0＜x＜时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≤c，则c≥f′（）＝﹣2，当＜x＜1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤f′（）＝﹣2，当x＞1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤1，故c＝﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，AC＝2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）＝sin（2x+C），求y＝f（x）与直线相邻交点间的最小距离．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C＝45°．∵，AC＝2，∴＝4，∴AB＝2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1＝k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．16．（14分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，A1A＝1，，AC＝2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC∴AC⊥AA1．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB．又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1．∵A1B⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1B．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示：则A1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF与A1B所成的角为45°．（Ⅲ），，．＝（0，0，1）．设平面GEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴令，则．∴cos＜＞＝＝．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A为AA1与平面EFG所成的角的余角，∴cos∠HA1A＝|cos＜＞|＝．∴∠HA1A＝．17．（13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1＝20+25＝45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2＝20+35＝55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3＝20+25＝45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4＝35+25＝60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5＝35+20＝55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6＝35+25＝60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．（14分）设函数f（x）＝ae x﹣x﹣1，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当x∈（0，+∞）时，．【解答】解：（1）当a＝1时，则f（x）＝e x﹣x﹣1，f'（x）＝e x﹣1；令f'（x）＝0，得x＝0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a＝1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为[0，+∞）；（2）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于a＞恒成立；设g（x）＝，x∈（0，+∞），g′（x）＝﹣；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）＝1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（3）证明：等价于设，∴，由（2）知x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，所以，∴恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，因此x∈（0，+∞）时，有．19．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB （不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得x1x2＝4．由，化为，其中△＝（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2＝，x1x2＝．∴p＝4，抛物线C：y2＝8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2＝8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴．20．（13分）数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i＝1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）＝a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n＝1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）【解答】解（Ⅰ），a1＝﹣1，a2＝1，a3＝﹣1，a4＝1，a5＝﹣1，V（5）＝丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨＝2+2+2+2＝8，V（5）＝8．…（2分）（Ⅱ）充分性：若数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，此时有：＝（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+（a3﹣a4）+…+（a m﹣1﹣a m）＝a1﹣a m＝a﹣b．必要性：反证法，若数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，那么：＝丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i﹣a1丨+（a i+1﹣a i）+丨a m﹣a i+1丨，＝丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i），＝丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+（a i+1﹣a i），由于a i+1＞a i，a＞b，∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b．与已知矛盾．…（9分）（III）最小值为0．此时{a n}为常数列．…（10分）最大值为，当m＝2时的最大值：此时a1+a2＝4，（a1，a2≥0），…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|＝4．当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4＝m2．由|x﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n}的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值．不妨设：a i+1≤a i，i为奇数，a i+1≥a i，i为偶数．当m为奇数时有：，＝a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m﹣1，＝a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i＝2m2，当m为偶数时同理可证．…（13分）。