北京市东城区高三一模数学(理)试题及答案

数学 第 1 页（共 13 页）2022北京市东城区高三一模数学试卷2022.4本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1}A x x =≥−，{12}B x x =−<，则A B =U（A ）{13}x x −<< （B ）{1}>−x x （C ）{13}x x −≤< （D ）{1}x x ≥− （2）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（A ）ln y x = （B ）e x y = （C ）3y x = （D ）1y x= （3）已知复数z 满足i =2+i z ，则z 的虚部为（A ）2 （B ）2− （C ）1 （D ）1− （4）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则{}n a 是（A ）公差为2的等差数列 （B ）公差为3的等差数列 （C ）公比为2的等比数列 （D ）公比为3的等比数列（5）已知3sin 5α=，则()sin 2tan ααπ−⋅= （A ）3225 （B ）3225− （C ）1825（D ）1825−（6）已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1， E 为BC 上一点，则三棱锥11B AC E −的体积为（A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）16数学 第 2 页（共 13 页）（7）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首. 北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上 “二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为 （A ）322（B ）18（C ）223（D ）112（8）已知,∈a b R ，则 “222a b +≤”是“11ab −≤≤”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，直线y kx m =+（0k ≠）与x 轴和y 轴分别交于A ，B两点，AB =，若CA CB ⊥，则当k ，m 变化时，点C 到点（1，1）的距离的最大值为（A） （B） （C） （D（10）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t 天后，用户人数()(0)kt A t A e =，其中k 为常数. 已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为 （本题取lg 20.30=） （A ）31（B ）32 （C ）33（D ）34数学 第 3 页（共 13 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共 5小题，每小题5分，共25分。

北北京市东城区2018-2019学年年度第⼆二学期⾼高三综合练习（⼀一）2019.4数学（理理科）本试卷共5⻚页，共150分。

考试时⻓长120分钟。

考⽣生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆无效。

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第⼀一部分（选择题共40分）⼀一、选择题共8⼩小题，每⼩小题5分，共40分。

在每⼩小题列列出的四个选项中，选出符合题⽬目要求的⼀一项。

（1）已知集合则（A ）（B ）（C ）（D ）（2）在复平⾯面内，若复数对应的点在第⼆二象限，则可以为（A ）（B ）（C ）（D ）（3）在平⾯面直⻆角坐标系中，⻆角以为始边，终边经过点，则下列列各式的值⼀一定为负的是(A)(B)(C)(D)（4）正⽅方体被⼀一个平⾯面截去⼀一部分后，所得⼏几何体的三视图如图所示，则该截⾯面图形的形状为（A）等腰三⻆角形（B）直⻆角三⻆角形（C）平⾏行行四边形（D）梯形⾼高三数学（理理）（东城）第1⻚页（共5⻚页）⾼高三数学（理理）（东城）第2⻚页（共5⻚页）（5）若满⾜足则的最⼤大值为（A ）（B ）（C ）（D ）（6）已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的⻓长为(A)(B)(C)(D)（7）南北北朝时代的伟⼤大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理理：“幂势既同，则积不不容异”.其含义是：夹在两个平⾏行行平⾯面之间的两个⼏几何体，被平⾏行行于这两个平⾏行行平⾯面的任意平⾯面所截，如果截得的两个截⾯面的⾯面积总相等，那么这两个⼏几何体的体积相等.如图，夹在两个平⾏行行平⾯面之间的两个⼏几何体的体积分别为被平⾏行行于这两个平⾯面的任意平⾯面截得的两个截⾯面的⾯面积分别为则“相等”是“总相等”的(A)充分⽽而不不必要条件(B)必要⽽而不不充分条件(C)充分必要条件(D)既不不充分也不不必要条件（8）已知数列列满⾜足：，，则下列列关于的判断正确的是（A ）使得（B ）使得（C ）总有（D ）总有第⼆二部分（⾮非选择题共110分）⼆二、填空题共6⼩小题，每⼩小题5分，共30分。

班级 姓名 学号相对原子质量：H ：1 O ：16 C ：12 N ：14 He ：4 S ：32 Cl ：35.5 Na ：23Mg ：24 Ca ：40 Fe ：56一、选择题（每小题只有1个正确答案，各2分，共48分）1、医生建议患甲状腺肿大的病人多食海带，这是由于海带中含有较丰富的A ．铁元素B ．碘元素C ．钾元素D ．锌元素2、据最近报道钬Ho 16667可有效地治疗肝癌，该原子原子核内中子数为A ．32B ．67C ．99D ．1663、下列物质属于纯净物的是A ．漂白粉B ．盐酸C ．碘酒D ．液氯4、下列微粒氧化性最强的是A 、ClB 、Cl 2C 、NaD 、Na +5、下列物质的水溶液能导电，但属于非电解质的是A ．CH 3COOHB ．Cl 2C ．NH 4HCO 3D ．SO 26、盛液溴的试剂瓶中要加入一定量的水，其目的是A ．制得溴水B ．防止液溴挥发C ．将液溴隔绝空气D ．比较水与液溴的密度7、Na 和Na +两种粒子中，不相同的是①核内质子数；②核外电子数③最外层电子数④核外电子层数A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④8、下列有关氯水的叙述，正确的是A 新制氯水可使无色酚酞试纸先变红，后褪色B 新制的氯水只含Cl 2和H 2O 分子C 氯水放置数天后，酸性增强D 光照氯水有气泡逸出，该气体是Cl 29、在盛有碘水的试管中，加入少量四氯化碳后振荡，静置片刻后A ．整个溶液变紫色B ．整个溶液变棕色C ．上层无色，下层紫红色D ．下层无色，上层紫红色10、下列各微粒的半径比大于1的是A ． r （Na ＋）/ r （F －）B ． r （O ）/ r （F ）C ． r （Fe 3＋）/ r （Fe 2＋）D ． r （Cl －）/ r （Br －）11、在碱性溶液中能大量共存且溶液为无色透明的离子组是A. K +、MnO 4-、Na +、Cl - B ．K +、Na +、NO 3-、CO 32-C ．Na +、H +、NO 3-、SO 42-D ．Fe 3+、Na +、Cl - 、SO 42-12、等体积等物质的量浓度的NaHCO 3溶液和Ba(OH)2溶液混合，离子方程式正确的是A．HCO3-+OH-=H2O+CO32-B．2HCO3-+Ba(OH)2=BaCO3↓+2H2O+CO32-C．HCO3-+Ba2++OH-=H2O+BaCO3↓D．2HCO3-+Ba2++2OH-=BaCO3↓+2H2O+CO32-13、下列含有10电子分子组成的物质：①34g NH3②0.800mol HF ③标准状况下体积为11.2L的CH4④4℃时18.0 mL的水。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} 【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为 （A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB -，所以=BC b a -，选C.（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B （C ）2 （D 【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，半径2r =，直线方程为20x y --=，所以圆心到直线的距离为2d ===，选 C.（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116【答案】A【解析】到圆心的距离大于14且小于12的圆环面积为22113()()2416πππ-=，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为331616ππ=，选A.（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50 【答案】C【解析】由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

- 北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B（7）A（8）D（9）B （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(0,1] （12）2±（13）2214y x -= (答案不唯一) （14）111424n -（15 ② ③三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin()3f x x x π=++=1sin sin 2x x x ++=3sin 2x x +6x π+（）所以()f x 的最小正周期为2π ………………6分（Ⅱ）由题设，()()))66y f x f x x x ϕϕππ=-+=+++，由6x π=是该函数零点可知，sin()sin(+)06666ϕππππ+-+=，即sin()32ϕπ+=. 故+=+2,33k k ϕπππ∈Z 或+=+2,33k k ϕπ2ππ∈Z ， 解得2,k k ϕ=π∈Z 或23k ϕπ=+π,k ∈Z . 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π. ………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为413． …3分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.133346C C 1(1)5C P X ===； 223346C C 3(2)5C P X ===； 313346C C 1(3).5C P X === 则随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P153515故随机变量X 的数学期望1311232555EX =⨯+⨯+⨯=． ………11分（Ⅲ）EX EY >． ………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1BB ∥1DD 且11BB DD =， 所以四边形11BB D D 为平行四边形. 所以E 为1BD 的中点，在△1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点， 所以1EFAD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， 所以EF平面11ADD A . ………………6分（II ）选条件①：1CE B D ⊥.(ⅰ)连接1B C .因为长方体中12AA AD ==，所以122B C =在△1CBD 中,因为E 为1B D 的中点，1CE B D ⊥，xyz所以122CD B C ==如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,22CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,22,0)C ，(2,22,0)B ，2,0)F ，12,2)B ，2,1)E . 所以(1,2,1)CE =-，(2,2,0)CF =-，(2,0,0)CB =. 设平面CEF 的法向量为111(,,)x y z =m ，则0,0,CE CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即1111120,220.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 令11x =，则12y =11z =，可得2,1)=m .设平面BCE 的法向量为222(,,)x y z =n ， 则0,0,CE CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即222220,20.x y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令21y =，则20x =，22z =，所以2)=n .设平面CEF 与平面BCE 的夹角为θ ， 则||6cos |cos ,|.||||3θ⋅=<>==m n m n m n所以平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值为63. (ⅱ)因为(0,2,0)AF =， 所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF d ⋅==m m . ………………15分选条件②：1B D 与平面11BCC B 所成角为4π. 连接1B C .因为长方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1CD B C ⊥.所以1DB C ∠为直线1B D 与平面11BCC B 所成角，即14DB C π∠=.所以△1DB C 为等腰直角三角形.因为长方体中12AA AD ==，所以1B C =所以1CD B C == 以下同选条件① .（19）（共15分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞.()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1ex =， 当1(0,)e x ∈时，()0f x '>，当1(,+)ex ∈∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为1(0,)e. ………………5分（Ⅱ）令()()2ln 1h x f x ax x '==--，则121()2ax h x a x x-'=-=. 当e 2a ≥时，令()0h x '=，得12x a =. 当1(0,)2x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1(,)2x a∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以当12x a=时，()h x 最小值为()g a =1()ln(2)2h a a =.当e2a ≥时，ln(2)a 的最小值为1，所以()g a 的最小值为1. ………………11分（III ）由（Ⅱ）知()f x '在11[,]42a a 上单调递减，在13[,]24a a上单调递增, 又313()ln 424f a a'=-，111()ln 424f a a '=--，所以13(ln(2),ln )24M a a =-，11(ln(2),ln )24N a a=--，111331(ln )(ln )ln ln 1ln 310242444a a a a----=--=->， 所以M ⫋N . ………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得a 所以椭圆E 的方程为2213x y +=． ………………5分（Ⅱ）直线BC的方程为1(y k x -=．由221( 33y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩得2222(31)6)90k x k x k +++++=．由22226)4(31)(9)0k k k ∆=+-⨯+⨯+>，得0k <．设1122(,),(,)B x y C x y，则12x x +=，12x x =．直线AB 的方程为1111y y x x -=+．令0y =，得点M的横坐标为111M x x y =-=-．同理可得点N的横坐标为221N x x y =-=-．1M N x x k +=-+1k =-1k =-1k =-=-．因为点D坐标为(，则点D 为线段MN 的中点，所以12MD MN=． ………………14分 （21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以1112a a +的值分别为5，5，6. …………5分（Ⅰ）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数， 不妨设此时数表为1112122222n n n aa a A n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1(1)k a k k n ≤≤为偶数，，使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ， 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1(1)k a k k n ≤≤为偶数，，都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =. ………………10分 （Ⅲ）当n 为偶数时，令2n k =，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 一方面，122214241,22,2()()()(41)(43)(21)k k a a a a a a k k k -+-++--+-+++≤，因此212141,222242,2()()3k k a a a a a a k +++++++≤．①另一方面，211(1351)i i a a i n -=-，，，，≥， 因此11131,2121232,21()()k k a a a a a a k --++++++-≤. ② 记111121,2221222,2,n n S a a a S a a a =+++=+++．由①+②得2123S S k k +-≤.又21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤.构造数表2143415427433231312142638413n k kk k k k k k k k k A k k k k k k k ++-+-+-+-+⎛⎫=⎪++++-⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n nS ++==. 综上可知，当n 为偶数时，11121n a a a +++的最大值为21128n n+. ………………15分。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} 【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，则向量BC uuu r 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB -u u u r u u u r u u u r ，所以=BC b a -u u u r r r，选C.（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B ）2（C ）2 （D ）2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，半径2r =，直线方程为20x y --=，所以圆心到直线的距离为2d ===，选 C.（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116【答案】A【解析】到圆心的距离大于14且小于12的圆环面积为22113()()2416πππ-=，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为331616ππ=，选A.（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50 【答案】C【解析】由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

2024北京东城高三一模数 学2024.4本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．AB B ．A BC ．()UA B D ．()UA B2．已知,,0a b ab ∈≠R ，且a b <，则（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．33a b < D ．lg lg a b < 3．已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B ．13 C ．3− D ．13− 4．设函数()11ln f x x=+，则（ ） A ．()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．()12f x f x ⎛⎫−=⎪⎝⎭C ．()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，最大值为，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线4x π=−对称B ．关于点,04π⎛⎫−⎪⎝⎭对称C ．关于直线8x π=对称D ．关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481a a a a a ++++=，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．1C ．1−D ．2−7．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm ．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近．（参考数据： 3.14π≈）（ ）A ．30.8mB ．31.4mC ．31.8mD ．32.2m8．设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的中点，O 为ABD △的中心．现将ABD △沿BD 翻折为1A BD △，记1A BD △的中心为1O ，如图2．设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C D 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a−=∈−R ，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈−∞时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市东城区2008—2009学年度综合练习（一）高 三 数 学 （理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若将复数2i i +表示为(..a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则ba的值为 A ．-2 B ．12- C ．2 D ．122．命题甲"sin sin "αβ>，命题乙""αβ>，那么甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设,A B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=4．若非零向量,a b 满足||||a b b +=，则下列不等关系一定成立的是 A ．|2||2|a a b >+ B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b >+D ．|2||2|b a b <+5．已知函数2()f x x bx =的图像在点(1,(1))A f 处的切线与直线320x y -+=平行，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为 A ．20072008B ．20082009C ．20092010D ．201020116．数列{}n a 共有6项，其中三项是1，两项为2，一项是3，则满足上述条件的数列共有 A ．24个 B ．60个 C ．72个 D ．120个7．已知命题：“若,//x y y z ⊥，则x z ⊥”成立，那么字母,,x y z 在空间所表示的几何图形不能A ．都是直线B ．都是平面C ．,x y 只直线，z 是平面D ．.x z 是平面，y 是直线8．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()2f x f x x <-+的解集为A．012x x x ⎧⎫⎪⎪-<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭或2B ．1122x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<-<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．1022x x x ⎧⎪-≤<-<<⎨⎪⎪⎩⎭D ．,022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A为2．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量﹣+﹣﹣=3．（5分）（2013•东城区一模）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，那么该圆圆心到直线（t为参数）的距离为（）（=4．（5分）（2013•东城区一模）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩点到圆心的距离大于且小于的且小于﹣==5．（5分）（2013•东城区一模）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}由题意可得，可得数列，=2=n项和=1+2+ (10)6．（5分）（2013•东城区一模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，如图所示，利用圆的性质可得，由题意可得，∴=7．（5分）（2013•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3 x8．（5分）（2013•东城区一模）已知向量，，O是坐标原点，若||=k||，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称经过一次（θ，k）变换得到．现有向量=（1，1）经过一次（θ1，k1）变换后得到，经过一次（θ2，k2）变换后得到，…，如此下去，经过一次（θn，k n）变换后得到．设=（x，y），，，则y﹣x等于（），）逆倍得到向量=算出逆时针旋转弧度所得向量，从而得到，+1．接下来再对，）变换就是将向量逆时针旋转倍，由=逆时针旋转弧度，所得的向量为，即向量逆时针旋转得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍，=，+1=﹣，+1﹣=时====本题给出向量的旋转和伸缩，求向量二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区一模）复数z=（2﹣i）i的虚部是 2 ．10．（5分）（2013•东城区一模）的展开式中x3的系数是160 ．•x=16011．（5分）（2013•东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2 ．==84，=8412．（5分）（2013•东城区一模）如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，若OC=1，OP=2，则PA= ，PB= ．PA=∴PB=PA=，13．（5分）（2013•东城区一模）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有144 种．成四个元素，自由排列，有有种方法，由分步计数乘法原理得：共有•=14414．（5分）（2013•东城区一模）数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列．（填第几行的第几列）=81．，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区一模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．Ⅰ）因为，由正弦定理求得，由正弦定理可得，所以，因为，当且仅当16．（14分）（2013•东城区一模）如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．．利用三角形的中位线定理可得，ED∥AC，，，，的法向量，由，得，，则．作为平面==17．（13分）（2013•东城区一模）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．种方法，其中抽到的方法有；②两次中有一次取得是==；⑥由（．即可得到分布张有依次所求的概率为：．=；==；）==0 2 4 6 8 10．18．（14分）（2013•东城区一模）已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，（a为常数，e为自然对数的底）．（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x﹣2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．的斜率为，说明曲线的斜率为19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．，得，，的方程为．，的距离，，即．的距离20．（13分）（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足．设数组B m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b m1，b m2，b m3，b m4，且，求A与B m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．（=）满足．及时，得出的对称性，可以只计算，且达到最大值，于是即当，此时）满足．==，的最大值为时，，最大值小于）的最大值为。

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A B =I （A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R答案：C考点：集合的运算，一元二次不等式。

（A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i答案：B考点：复数的运算，复数几何意义。

解析：对于（A ），z ＝2，则(2i)42z i -=-，对应点在第四象限，不符； 对于（B ），z ＝－1，则(2i)2z i -=-+，对应点在第二象限，符合；对于（C ），z ＝i ，则(2i)12z i -=+，对应点在第一象限，不符； 对于（D ），z ＝2＋i ，则(2i)5z -=，对应点在x 轴上，不符； 所以，选B 。

（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα答案：D考点:三角函数的概念。

解析：因为点P 的横坐标为x ＝－1，所以，角α在第二或第三象限， 角α在第二象限时，sin α与tan α异号， 角α在第三象限时，sin α与tan α异号， 所以，sin tan αα一定为负，选D 。

（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形答案：A 考点：三视图、解析：该几何体如下图所示，所以，截面为等腰三角形。

北京市东城区高三理科数学一模试题北京市东城区_年高三总复习练习一数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II 卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)注意事项:1．答第I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:三角函数的和差化积公式,,,,正棱台.圆台的侧面积公式其中c′.c分别表示上.下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式其中S′.S分别表示上.下底面积,h表示高第I卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．数轴上三点A.B.C的坐标分别为2.3.5,则点C分有向线段所成的比为A． B． C． D．2．已知函数y=f(_)的反函数为,则f(1)等于A．0 B．1 C．-1 D．43．若数列的前n项和公式为,则等于A．B．C．D．4．设,则S等于A．B．C． D．5．函数y=arccos(_-1)图象的对称中心的坐标是( )A．B． C．D．6．两圆ρ=sinθ与ρ=1的位置关系是A．相交B．内切 C．外切D．内含7．已知圆台的轴截面是上.下底边长分别为2和4,底角为60°的等腰梯形,则圆台侧面展开图的面积为A．24πB．8πC．6πD．3π8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(_),则图②中的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是A．y=f(_)B．y=f(_) C．y=f(-_) D．y=-f(_)9．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4,侧棱长为2,则它的一条侧棱与截面所成角的正弦值为A．B．C． D．10．已知,,则α+β是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角11．如图,已知多面体ABC-DEFG中,AB.AC.AD两两互相垂直,平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为A．2 B．4C．6 D．812．椭圆(a_gt;b_gt;0)的半焦距为c,若直线y=2_与椭圆一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为A．B．C．D．第II卷(非选择题共90分)注意事项:1．第II卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13．设复数,则在复平面内对应的点位于第__________象限.14．将抛物线绕其焦点按逆时针方向旋转90°后,所得抛物线的方程为____________________.15．空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出了四个三棱锥,则这五个点最多可以确定__________个平面.16．已知集合A.B.C,A={直线},B={平面},C=A∪B,若a∈A,b∈B,c∈C,在下列命题中①②③④正确命题的序号是__________________.(注:把你认为正确的序号都填上).三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知△ABC中,三内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若A.B.C成等比数列,且公比式,求证:.18．(本小题满分12分)已知函数,将y=f(_)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(_)的图象.(I)求y=g(_)的解析式及定义域;(II)求函数F(_)=f(_)-g(_)的最大值.19．(本小题满分12分)在直三棱柱中,∠ABC=90°,BC=2,.D.F.G分别为的中点,EF与相交于H.(I)求证:;(II)求证:平面EGF//平面ABD;(III)求平面EGF与平面ABD的距离.20．(本小题满分12分)已知数列中,且对任意自然数n都有.数列对任意自然数n都有.(I)求证数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(III)设数列前n项的和为,求的值.21．(本小题满分12分)运输一批海鲜,可在汽车.火车.飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为v千米/小时,2v千米/小时,10v千米/小时.每千米的运费分别为a元.b元.c元,且b_lt;a_lt;c.又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时.若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.(题中字母均为正的已知量)22．(本小题满分14分)椭圆(a_gt;b_gt;0)与直线_+y-1=0相交于A.B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).(I)求证:满足上述条件的各椭圆过定点;(II)若椭圆的长轴长的取值范围是,求椭圆离心率的取值范围.参考答案:一.1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D二.13．四14．15．716．②三.17．证明:由已知,,解得则, ………………………………………………………………………3分……………………………………………………5分…………………………………………9分 (11)分…………………………………………………………………………………………12分18．解:(I)由已知,将函数进行坐标变换得,. (__gt;-2) ………………………………………………4分(II) (__gt;-1)…………………………………………6分∵_+1_gt;0……………………………………10分当且仅当,即_=0时取等号.. …………………………………………………………………12分19．(I)证:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面,又由已知,AB⊥BC,∴AB⊥平面.又, ……………………………………………………2分由已知,在Rt△BCD与中可求得则,即.又AB∩BD=B,.……………………………………………………4分(II)证:由,在中,求得.∴EF//BD…………………………………………………………………………………5分而,,∴EF∥平面ABD. ……………………………………………………………………6分∵G.F分别为的中点,∴………………………………………………7分而,,∴GF//平面ABD………………………………………………8分∵,,∴平面EGF//平面ABD ……………………………………………………9分(III)解:∵,平面EGF//平面ABD..则HD为平行平面EGF与平面ABD之间的距离……………………………………10分………………………………………………12分20．(I)证明:,(n=1,2,3,……)∴是公比为的等比数列…………………………………………………………5分(II)..由得.解得………………………………………………………………9分(III) …………………………………………………12分21．解:设运输路程为S(千米),使用汽车.火车.飞机三种运输工具分别运输时各自的总费用分别为(元),(元),(元).则由题意得……………………………………………………………………………3分∵a_gt;b,且各字母均为正值,,即…………………………………………………………………6分那么中的最小值只可能是..令,由c_gt;b及各字母均为正值,解得∴当时,当时,答:当时,用火车运输总费用最省…………………………………………9分当时,用飞机运输总费用最省………………………………………9分22．(I)证明:由方程组,消去y,并整理得由直线与椭圆有两个交点,得解得设A.B两点的坐标分别为.则,①……………………………………2分由OA⊥OB得②…………………………………………………3分由A.B在直线_+y-1=0上,得③④…………………………………………………………………………4分将③④代入②消去,然后再将①代入,并化简得……………………………………………………………………6分,即则椭圆过定点() ……………………………………………………8分(II)解:,则,即..由(I)得.将代入消去,得整理后得…………………………………………11分由已知:,得,,……………………………………………………………………14分。

2020年高三一模数学（理）北京东城区试题Word 版（无解析）【一】本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为〔A 〕{3} 〔B 〕 {3,4} 〔C 〕{1,2} 〔D 〕{2,3} 〔2〕ABCD 为平行四边形，假设向量AB =a ，AC =b ，那么向量BC 为〔A 〕-a b 〔B 〕a +b〔C 〕-b a 〔D 〕--a b〔3〕圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕的距离为〔A 〕〔B 〔C 〔D 〔4〕某游戏规那么如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，假设飞标到圆心的距离大于12，那么成绩为及格；假设飞标到圆心的距离小于14，那么成绩为优秀；假设飞标到圆心的距离大于14且小于12，那么成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为〔A 〕316 〔B 〕14 〔C 〕34 〔D 〕116〔5〕数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 〔A 〕130 〔B 〕120 〔C 〕55 〔D 〕50〔6〕1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为〔A 〔B 〔C 〕2 〔D 1〔7〕定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.假设函数()f x 在区间(1,)k k -〔k ∈Z 〕上有零点，那么k 的值为〔A 〕2或7- 〔B 〕2或8- 〔C 〕1或7- 〔D 〕1或8-〔8〕向量OA ，AB ，O 是坐标原点，假设AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，那么称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n n k θ=，那么y x -等于〔A 〕1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔B 〕1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- 〔C 〕1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔D 〕1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27-（B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A ）16（B ）18（C ）24（D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-（B ）3±（C）-（D）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5 （8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）60 （10）34π （11）3 （12）60（13）(0,1) (答案不唯一) （14）0 A B R =ð三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-214cos cos )2cos 2cos 2cos 21x x x x x xx x =-=-=-- 2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π. ............................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. ............................13分（16）（共13分）解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增1加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ............................10分 （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分（17）（共14分） 解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点， 所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB AB =所以四边形11A ABB 为正方形......................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系Oxyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ， (E F ．xx所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ． 又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1ACD 没有公共点，即EF ∥平面1ACD ． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠．因为10(,0)A D y =，1(A C =． 设111(,,)x y z =n 为平面1ACD 的法向量， 则110,0.A DA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即101110,0.y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是(1,,1)=n .若EF ∥平面1ACD ，0EF ⋅=n .又3(EF =，0=，解得0y =． 此时EF⊄平面1ACD ， 所以AD = ，1DB =所以112AD DB =． ......................14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C的离心率为. ............................5分 （Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),A A -设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.PP x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014x y +=，得2224()414P PP x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. ............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）1=2c 2=1c 3=2c 4=1.c ............................3分（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L c c c L ，，，均不为零. 必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c c t L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n ++=⋅=；L ；12()Lc c c t L L n+++=⋅L . 通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立.充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=. 所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3h t L n =⋅=；L ；()Lht L L L n=⋅=.所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立. ............................9分（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L .不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，，其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；L ；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. . ...........................14分。

北京市高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜43．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B． C．3 D．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．128．已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答）10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为______．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA=______；AP=______．12．若，且，则sin2α的值为______．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20 10 8乙10 20 10运输限制110 100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______．14．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是______；当时，c的值是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值．【解答】解：∵i•（1+ai）=﹣a+i为纯虚数，∴﹣a=0，即a=0．故选：B．2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2﹣5x＜0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B=（0，5），∵A∩B=B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×=9，中级职称人数为30×=18，初级职称人数为30×=3．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=1，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，故S=2，k=4，当k=4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别得出直角坐标方程，求出圆心（0，0）到直线的距离d．即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程：x﹣y+1=0．曲线ρ=1即x2+y2=1．∴圆心（0，0）到直线的距离d=．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B． C．3 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．∴最长的棱为PD，PD==3．故选：C．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=．【解答】解：设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|=+=6，解得a=3．∴b===3．∴椭圆的短轴长为6．故选：B．8．已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，写出、的坐标，根据=λ+μ写出的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可．【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=λ+μ=（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设=（x，y），则（x，y）=（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为20 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：T r+1=（2x）5﹣r=25﹣3r x5﹣2r．令5﹣2r=3，解得r=1．∴T4=x3=20x3．故答案为：20．10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为128 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a3•a4=32，∴a1q=2，=32，解得a1=1，q=2．那么a8=27=128．故答案为：128．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA= ；AP= ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△OAC是等边三角形，得到∠COA=，利用OA=1，可求AP．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC，∴∠AOP=∠OAC，∴AC=OC，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA=，∵OA=1∴AP=故答案为：，12．若，且，则sin2α的值为．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可解得sin2α的值．【解答】解：∵=（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα=＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴sin2α=．故答案为：．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20 10 8乙10 20 10运输限制110 100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为62 ．【考点】简单线性规划．【分析】运送甲x件，乙y件，利润为z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z=8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x+10y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z=8×4+10×3=32+30=62，故答案为：6214．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是[﹣1，1] ；当时，c的值是﹣2 ．【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质．【分析】当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=∈（0，1），进而将x0=1和代入，结果斜率公式分类讨论可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=|lnx|，当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=∈（0，1），=1时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）①当x当0＜x＜1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≤c，则c≥﹣1，当x＞1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≥c，则c≤1，故c∈[﹣1，1]；=时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（）≥c（x﹣）②当x当0＜x＜时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≤c，则c≥f′（）=﹣2，当＜x＜1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤f′（）=﹣2，当x＞1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤1，故c=﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的长度．（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C=45°．∵，AC=2，∴=4，∴AB=2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1=k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（I）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；（II）以A为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算cos＜＞即可得出直线EF 与A1B所成的角；（III）求出和平面EFG的法向量，则sin∠HA1A=|cos＜，＞|．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1．∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB=A，∴AC⊥平面A1ABB1．∵A1B⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1B．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示：则A1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF与A1B所成的角为45°．（Ⅲ），，．=（0，0，1）．设平面GEF的法向量为=（x，y，z），则，∴令，则．∴cos＜＞==．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角，∴sin∠HA1A=|cos＜＞|=．∴∠HA1A=．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【考点】计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=e x﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a的取值范围；（Ⅲ）容易得到等价于e x﹣xe x﹣1＞0，可设h（x）=e x﹣xe x﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=e x﹣x﹣1，f'（x）=e x﹣1；令f'（x）=0，得x=0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；（Ⅱ）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于恒成立；设，x∈（0，+∞），；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，等价于e x﹣xe x﹣1＞0；设h（x）=e x﹣xe x﹣1，x∈（0，+∞），；由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立；∴；∴h′（x）＞0；∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；因此当x∈（0，+∞）时，．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即．可得：x1x2=4．利用根与系数的关系即可得出．（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得x1x2=4．由，化为，其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2=，x1x2=．∴p=4，抛物线C：y2=8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由数列{a n}通项公式分别气的前5项，代入即可求得V（5），（Ⅱ）充分性：由，数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，去掉绝对值求得V（m）=a﹣b，再证明必要性，采用反证法，假设数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，求得=|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b，与已知矛盾，即可证明V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）由当丨a i+1﹣a i丨=0时，即数列{a n}为常数列，V（m）=0，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4，当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．【解答】解（Ⅰ），a1=﹣1，a2=1，a3=﹣1，a4=1，a5=﹣1，V（5）=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8，V（5）=8．…（Ⅱ）充分性：若数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，此时有：=（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+（a3﹣a4）+…+（a m﹣1﹣a m）=a1﹣a m=a ﹣b．必要性：反证法，若数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，那么：=丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i﹣a1丨+（a i+1﹣a i）+丨a m﹣a i+1丨，=丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i），=丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+（a i+1﹣a i），由于a i+1＞a i，a＞b，∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b．与已知矛盾．…（III）最小值为0．此时{a n}为常数列．…最大值为，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，（a1，a2≥0），…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4．当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．由|x﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n}的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值．不妨设：a i+1≤a i，i为奇数，a i+1≥a i，i为偶数．当m为奇数时有：，=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m﹣1，=a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i=2m2，当m为偶数时同理可证．…。

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A为（）A．{3} B．{3，4} C．{1，2} D．{2，3}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A={3，4}．故选B．点评：本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用．2．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣﹣考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用向量的减法法则即可得出．解答：解：如图所示，由向量的减法法则可得：==．故选C．点评：熟练掌握向量的减法法则是解题的关键．3．（5分）（2013•东城区一模）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，那么该圆圆心到直线（t为参数）的距离为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心和半径，把直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离．解答：解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（1，2），把直线（t为参数）消去参数t，化为直角坐标方程为 x﹣y﹣2=0，故圆心到直线的距离为=，故选C．点评：本题主要考查圆的标准方程、把直线的参数方程化为直角坐标方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．4．（5分）（2013•东城区一模）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，成绩为良好时，点到圆心的距离大于且小于的面积，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于且小于的面积为π﹣π=π，由几何概型得在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为P==故选A．点评：本小题主要考查几何概型等基础知识，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．属于中档题．5．（5分）（2013•东城区一模）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130 B．120 C．55 D．50考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，可得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到a n，利用对数的运算法则即可得到b n，再利用等差数列的前n 项公式即可得出．解答：解：在数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，即，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{b n}的前10项和=1+2+…+10==55．故选C．点评：熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n 项公式即可得出．6．（5分）（2013•东城区一模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，利用圆的性质可得，再利用2∠PF1F2=∠PF2F1，得到．利用直角三角形的边角关系即可得到|PF 2|=c，．再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解答：解：如图所示，由题意可得，又2∠PF1F2=∠PF2F1，∴．好∴|PF 2|=c，．好由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a，∴，解得=．故选D．点评：熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键．7．（5分）（2013•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．解答：解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f（2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），则k的值为2或﹣7．故选A．点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．8．（5分）（2013•东城区一模）已知向量，，O是坐标原点，若||=k||，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称经过一次（θ，k）变换得到．现有向量=（1，1）经过一次（θ1，k1）变换后得到，经过一次（θ2，k2）变换后得到，…，如此下去，经过一次（θn，k n）变换后得到．设=（x，y），，，则y﹣x等于（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，可得（θ1，k1）=（1，），即当n=1时，一次（θ1，k1）变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当=（1，1）时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），从而得到=（x，y）=（1﹣，+1），所以y﹣x=．接下来再对A、B、C、D各项在n=1时的情况进行计算，对照所得结果可得只有B项是正确的选项．解答：解：根据题意，，∴一次（θ1，k1）变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，即由逆时针旋转1弧度而得，且=设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为=（x'，y'）则有•=，∴，即向量逆时针旋转1弧度，得到向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），再将的模长度伸长为原来的倍，得到=（cos1﹣sin1，sin1+cos1）=（1﹣，+1）因此当n=1时，=（x，y）=（1﹣，+1）即，由此可得y﹣x=+1﹣（1﹣）=对于A，当n=1时===2，与计算结果不相等，故A不正确；对于B，当n=1时==，与计算结果相等，故B正确；对于C，当n=1时==，与计算结果不相等，故C不正确；对于D，当n=1时===2，与计算结果不相等，故D不正确综上所述，可得只有B项符合题意故选：B点评：本题给出向量的旋转和伸缩，求向量=（1，1）经过n变换（θn，k n）后得到的向量坐标，着重考查了向量的线性运算、用矩阵解决向量旋转问题和数列的通项公式等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区一模）复数z=（2﹣i）i的虚部是 2 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出．解答：解：∵复数z=（2﹣i）i=1+2i，∴它的虚部为2．故答案为2．点评：熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键．10．（5分）（2013•东城区一模）的展开式中x3的系数是160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为 T r+1=•x12﹣2r•2r•x﹣r=2r••x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得 r=3，故展开式中x3的系数是 23•=160，故答案为 160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）（2013•东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2 ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据，再根据中位数和平均数的求法进行运算即得．解答：解：由图可知，甲，乙两人共有5次测试成绩，分别是：甲：76、83、84、87、90乙：79、80、82、88、91则甲、乙两人5次体育测试成绩的中位数分别为84、82，平均数分别为==84，==84故乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 2．故答案为：84，2．点评：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．12．（5分）（2013•东城区一模）如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，若OC=1，OP=2，则PA= ，PB= ．考点：与圆有关的比例线段．分析：由切割线定理可得PA2=PE•PF，即可得出PA，再根据圆的切线的性质、互余角的关系及对顶角即可得出∠PAB=∠ABP，从而求出PB．解答：解：设OP与⊙O相较于点E，并延长PO交⊙O于点F，由PA与圆O相切于A，根据切割线定理可得PA2=PE•PF，∴PA2=（2﹣1）×（2+1），解得PA=．连接OA，则∠PAO=90°，∵∠OAB+∠PAB=90°，∠OBC+∠OCA=90°，∠OAC=∠OCB，∠ABP=∠OBC，∴∠PAB=∠ABP．∴PB=PA=．故答案分别为，．点评：熟练掌握切割线定理、圆的切线的性质、互余角的关系及对顶角的性质是解题的关键．13．（5分）（2013•东城区一模）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有144 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：依题意，甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑；丙不排在两头，可对丙插空，最后对甲、乙松绑即可．解答：解：∵甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有种方法；最后再对甲、乙松绑，有种方法，由分步计数乘法原理得：共有••=144种．故答案为：144．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，着重考查“捆绑法”与“插空法”的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•东城区一模）数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列．（填第几行的第几列）考点：数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：①由于每行的所有数的个数形成等差数列，故可得到前9行的数的个数，从而得出答案；②由①可知前k行所有a i的个数为b1+b2+…b k=1+3+…（2k﹣1）=k2．解出（k﹣1）2≤2013即可得出答案．解答：解：①设每行的数的个数为数列{b n}，则此数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．于是前9行所有a n的个数为b1+b2+…+b9==81．∴位于第10行的第8列的项等于a81+8=．②由①可知：前k行所有a i的个数为b1+b2+…b k=1+3+…（2k﹣1）=k2．由（k﹣1）2＜2013，解得，而442＜2013＜452，∴k＜1+44=45．∴前44行的所有数a i的个数为442=1936．而1936+77=2013，∴a2013在图中位于第45行的第77 列．故答案分别为a89，第45行的第77 列．点评：正确理解每行的所有数的个数形成等差数列，利用等差数列的通项公式和前可知前k 行所有a i的个数为b1+b2+…b k=1+3+…（2k﹣1）=k2是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区一模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）因为，由正弦定理求得，从而求得B的值．（Ⅱ）由余弦定理求得12=a2+c2﹣ac，再利用基本不等式求得ac的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得．因为在△ABC中，sinA≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（Ⅱ）由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB，因为，，所以12=a2+c2﹣ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当时，ac取得最大值12．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．16．（14分）（2013•东城区一模）如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得出二面角等是解题的关键．17．（13分）（2013•东城区一模）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10．从6张卡片依次不放回的抽取2张有种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有种．利用古典概型的概率计算公式即可得出；（II）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．①两次取得都是奇数，则P（X=0）=；②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=；③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=；④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=；⑤两次取得是2和6，P（X=8）=；⑥由（I）可得P（X=10）=．即可得到分布列．再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10，从6张卡片依次不放回的抽取2张有种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有种．依次所求的概率为：．（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．①两次取得都是奇数，则P（X=0）==；②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=；③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）==；④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）==；⑤两次取得是2和6，P（X=8）=；⑥由（I）可得P（X=10）=．于是可得X的分布列如下：X 0 2 4 6 8 10p所以．点评：熟练掌握古典概型的意义及概率计算公式、分类讨论的思想方法、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．18．（14分）（2013•东城区一模）已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，（a为常数，e为自然对数的底）．（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x﹣2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算；（Ⅱ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2﹣a，分2﹣a=0、2﹣a＞0、2﹣a＜0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的条件，能够得到x=2﹣a是f（x）的极大值点，求出f（2﹣a），得到g（x），两次求导得到函数g（x）的导数值小于1，而直线3x﹣2y+m=0的斜率为，说明曲线y=g（x）与直线3x﹣2y+m=0不可能相切．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e﹣x，f'（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=xe﹣x（2﹣x）．所以f'（2）=0．（Ⅱ）f'（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]=﹣e﹣x•x[x﹣（2﹣a）]．令f'（x）=0，得x=0或x=2﹣a．若2﹣a=0，即a=2时，f'（x）=﹣x2e﹣x≤0恒成立，此时f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，没有极小值；当2﹣a＞0，即a＜2时，若x＜0，则f'（x）＜0．若0＜x＜2﹣a，则f'（x）＞0．所以x=0是函数f（x）的极小值点．当2﹣a＜0，即a＞2时，若x＞0，则f'（x）＜0．若2﹣a＜x＜0，则f'（x）＞0．此时x=0是函数f（x）的极大值点．综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＜2，且x＞2﹣a时，f'（x）＜0，因此x=2﹣a是f（x）的极大值点，极大值为f（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2．所以g（x）=（4﹣x）e x﹣2（x＜2）．g'（x）=﹣e x﹣2+e x﹣2（4﹣x）=（3﹣x）e x﹣2．令h（x）=（3﹣x）e x﹣2（x＜2）．则h'（x）=（2﹣x）e x﹣2＞0恒成立，即h（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数．所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3﹣2）e2﹣2=1，即恒有g'（x）＜1．又直线3x﹣2y+m=0的斜率为，所以曲线y=g（x）不能与直线3x﹣2y+m=0相切．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数模型的选择，考查了函数存在极值点的条件，需要注意的是，函数在极值点处的导数一定等于0，但导数为0的点不一定是极值点，此题有一定难度．19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由△MNF2的周长为8，得4a=8，由，得，从而可求得b；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B （x0，﹣x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．解答：解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2．因为，所以，所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，﹣x0）．又A，B两点在椭圆C上，所以，．所以点O到直线AB的距离．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．所以．整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．所以点O到直线AB的距离为定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．20．（13分）（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足．设数组B m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b m1，b m2，b m3，b m4，且，求A与B m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依据题意中“元”的含义，可知当S=（﹣1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．（Ⅱ）对0是不是S中的“元”进行分类讨论：①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a，b，c三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C（A，S）=（a+b）的最大值，②当0不是S中的“元”时，只须计算C（A，S）=（a+b+c）的最大值即可，最后综上即可得出C（A，S）的最大值．（Ⅲ）由于B m=（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．及b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．下面分情况讨论：当b m1=0时，当时，得出a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值的情况．最后综合得出C（A，B m）的最大值即可．解答：解：（Ⅰ）依据题意，当S=（﹣1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a，b，c三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中a2+b2+c2=1．由（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）=2，得．当且仅当c=0，且时，a+b 达到最大值，于是．②当0不是S 中的“元”时，计算的最大值，由于a2+b2+c2=1，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．≤3（a2+b2+c2）=3，当且仅当a=b=c时，等号成立．即当时，a+b+c 取得最大值，此时．综上所述，C（A，S）的最大值为1．（Ⅲ）因为B m=（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．当b m1=0时，有．==．即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为．当时，，得a1b m2+a2b m3+a3b m4最大值小于．所以C（A，B m ）的最大值为（m=1，2，3，…，n）．点评：本小题主要考查函数与方程的综合运用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．。