第24章 投影与视图

初一数学投影与视图试题答案及解析1.下图所示几何体的主视图是【答案】A．【解析】从正面看易得第一层是1个长方形，第二层右边有一个圆．故选A．【考点】简单组合体的三视图．2.若几何体从正面看是圆，从左面和上面看都是长方形，则该几何体是 .【答案】圆柱【解析】几何体从正面看是圆，从左面和上面看都是长方形，符合这个条件的几何体只有圆柱．3.春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是 (写出符合题意的两个图形即可)．【答案】正方形、菱形【解析】依题意知，根据三视图知识点可知，当阳光从正面投射则形成正方形或长方形投影，如果阳光从正方形对角线平行投射，则得菱形。

【考点】三视图点评：本题难度较低，主要考查学生对三视图知识点的掌握。

4.（1）用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下图，问搭成这样的几何体最多要小立方块，最少要小立方块.（2）世园会期间，西安某学校组织教师和学生参观世园会，每位教师的车费为m元，每位学生的车费为n元，学生每满100人可优惠2人的车费，如果该校七年级有教师20人，学生612人，则需要付给汽车公司的总费用为_______ 元.【答案】（1）最多8块；最少7块.（2）（20m+600n）元.【解析】最多用8个，最少7块。

俯视图的列数等于主视图的列数；每列的个数取俯视图最大的列数。

（2）（20m+600n）元【考点】整式的化简求值点评：解答本题的关键是熟练掌握在去括号时，若括号前是“-”号，把括号和括号前的“-”号去掉后，括号里各项的符号均要改变.5.如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体从正面和上面观察到的图形.（1）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值；（2）请你画出当n取最小值时这个几何体从左面观察到的图形.【答案】（1）n=8或9或10（2）【解析】解：（1）n=8或9或10（2）【考点】三视图点评：本题难度中等，主要考查学生对三视图的学习，考查几何体的三视图画法以及立方体中包含正方形的计算6.如图所示的几何体，从上面看所得到的图形是（）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】从上往下看，最上面的跟最下面的正方体重叠，所以最后呈现C选项所现图案【考点】三视图点评：三视图，是考察学生对立体几何的观察，多做此类题目，可以达到举一反三的效果7.（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如左图，请在右图的方格中画出该几何体的主视图和左视图.（2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在（1）的情形一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块.【答案】（1）如图所示；（2）5，7【解析】（1）根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，即可作出图形；（2）先根据俯视图可得第一层有4个，再结合左视图可得第二层的前面一排没有正方形，后面一排最少有1个正方形，最多有3个正方形.（1）如图所示：（2）由题意得这样的几何体最少要5个小立方块，最多要7个小立方块.【考点】几何体的三视图点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握几何体的三视图，即可完成.8.如图，是由四个大小相同的正方体组成的几何体，分别画出从上面和从左面看到的这个几何体的形状图。

《投影与视图》教案教学目标：【知识与技能】掌握本章的重要知识，能灵活解决视图的相关问题.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数学思想，转化思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决问题的过程中，进一步培养学生空间主体思维，激发学习兴趣. 【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】运用三视图的知识解决实际问题.教学过程：一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.在平行投影中，如果三视图与投影面互相垂直，称为“正投影”，当物体面平行于投影面时，这个面的正投影不改变这个面的形状和大小，三视图是根据这个原理来反映物体的形状的.2.有关三视图计算问题的“三步法”三、典例精析，复习新知例1 如图，小亮在广场上乘凉，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立的广场上的灯杆，点P 表示照明灯.(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子.(2)如果灯杆高PO=12m ，小亮的身高AB=1.6m ，小亮与灯杆的距离BO=13m ，请求出小亮影子的长度.【分析】灯P 、点A 与影子的端点在同一直线上.解:(1)如图，线段BC 是小亮在照明灯(P)照射下的影子.(2)在△ABC 和△CPO 中，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠POC=90°，∴△CAB ∽△CPO. ∴AB CB PO CO =. ∴AB BC PO BO BC =+.∴BC=2m.∴小亮的影子的长度为2m.例2 如图是一个几何体的三视图.(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的全面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程.【规范解答】(1)圆锥；(2)全面积S=S扇形+S圆=πrl+πr2=12π+4π=16π(平方厘米）.(3)如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程，由条件得，∠BAB′=120°，C为弧BB′的中点，所以厘米.四、复习训练，巩固提高1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆锥B.圆柱C.正三棱柱D.正三棱锥2.下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）3.将两个长方体如图所示放置，则所构成的几何体的左视图可能是（）4.（山东东营中考）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）5.如图所示，△ABC是一个圆锥的左视图，其中AB=AC=5，BC=8，则这个圆锥的全面积是_______.第5题图第6题图6.一个长方体木块的正中央位置搁着一个乒乓球，已知它的主视图与俯视图如图所示，请补画出它的左视图.7.如图所示，测得电线杆AB落在斜坡CD上的影长CE=4m，又测得平地上的影子BC=10m，坡度为30°，同一时刻垂直于地面的1m长的竹竿影长为2m，请计算此电线杆的高度（结果保留根号）.【教学说明】学生自主完成，教师巡视，引导分析.【答案】1.C 2.D 3.C 4.B 5.36π6.如图所示.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的三视图的知识吗？你能画简单物体的三视图吗？你能由三视图想象出简单物体吗？你还有哪些疑惑？课堂作业1.教材P115~P116第3、4、5题.2.完成同步练习册中本课时的练习.教学反思：本节通过学习归纳本章内容，主要是投影.直棱柱、圆锥的侧面展开图及三视图等知识点，让学生对本章知识有进一步掌握，重点的是三视图的画法及反过来应用.。

人教版九年级数学下册《第二十九章投影与视图》教案一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第二十九章《投影与视图》是学生在学习了平面几何、立体几何的基础上，进一步研究三视图、投影等知识。

这一章节的内容既巩固了学生以前所学的几何知识，又为后续的立体几何学习打下基础。

本章主要包括以下几个知识点：1.投影的概念和分类2.正投影和斜投影3.视图的概念和分类4.一视图、二视图、三视图的画法5.几何体的三视图二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，对几何图形的认知有一定的基础。

但投影与视图的概念对于他们来说比较抽象，需要通过具体的实例和实践活动来理解和掌握。

另外，学生对于空间想象能力的培养还不够，需要在教学过程中加强训练。

三. 教学目标1.让学生理解投影的概念，掌握正投影和斜投影的性质。

2.让学生掌握视图的分类，学会画一视图、二视图、三视图。

3.培养学生空间想象能力，提高他们解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.投影的概念和分类2.正投影和斜投影的性质3.视图的画法4.空间想象能力的培养五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和模型展示投影与视图的概念和性质。

2.采用实践操作法，让学生动手画一视图、二视图、三视图，培养空间想象能力。

3.采用问题驱动法，引导学生思考和探讨，提高他们解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备投影仪、实物、模型等教学道具。

2.准备相关的练习题和测试题。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示实物和模型，引导学生观察和思考，让学生初步认识投影和视图的概念。

2. 呈现（10分钟）教师通过投影仪展示PPT，详细讲解投影的分类、正投影和斜投影的性质，以及视图的分类和画法。

3. 操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个几何体，分别画出它的三视图。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4. 巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检查他们对于投影与视图知识的掌握程度。

九年级数学下册《投影与视图》全章教案新人教版第一章：投影的概念与分类教学目标：1. 了解投影的概念，掌握各种投影的分类。

2. 能够运用投影的知识解决实际问题。

教学内容：1. 投影的概念：平行投影、中心投影。

2. 投影的分类：正投影、斜投影。

3. 投影的基本性质。

教学步骤：1. 引入投影的概念，展示各种投影的图片，引导学生观察并思考。

2. 讲解平行投影和中心投影的定义，通过示例让学生理解两种投影的特点。

3. 介绍正投影和斜投影的分类，让学生通过实际例子区分两种投影。

4. 引导学生总结投影的基本性质，如相似性、形状不变等。

5. 布置练习题，让学生巩固所学内容。

教学评价：1. 学生能够准确描述投影的概念和分类。

2. 学生能够运用投影的知识解决实际问题。

第二章：视图的定义与分类教学目标：1. 理解视图的定义，掌握各种视图的分类。

2. 能够运用视图的知识解决实际问题。

教学内容：1. 视图的定义：主视图、左视图、俯视图。

2. 视图的分类：正视图、侧视图、俯视图。

3. 视图的基本性质。

教学步骤：1. 引入视图的概念，展示各种视图的图片，引导学生观察并思考。

2. 讲解主视图、左视图、俯视图的定义，通过示例让学生理解三种视图的特点。

3. 介绍正视图、侧视图、俯视图的分类，让学生通过实际例子区分三种视图。

4. 引导学生总结视图的基本性质，如相互补充、完整性等。

5. 布置练习题，让学生巩固所学内容。

教学评价：1. 学生能够准确描述视图的定义和分类。

2. 学生能够运用视图的知识解决实际问题。

第三章：简单几何体的三视图教学目标：1. 掌握简单几何体的三视图的画法。

2. 能够运用三视图的知识解决实际问题。

教学内容：1. 简单几何体的三视图：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体。

2. 三视图的画法与特点。

教学步骤：1. 讲解正方体、长方体、圆柱体、圆锥体的三视图的画法，通过示例让学生理解各种几何体的三视图特点。

2. 引导学生动手画出各种几何体的三视图，并观察其特点。

投影与视图单元分析学情分析：在本章之前，学生已经接触过“从不同方向看物体”等内容.对视图的认识已有初步的了解，只是感知到三视图之间的度量关系，没有明确，还缺乏归纳总结，感性认识需要上升为理性认识，对投影中的基本概念和基本规律并没有了解，但在日常生活中，阳光形成的影子和灯光形成的影子有初步认识，但对其存在的区别和规律并没有归纳总结。

同时，视图学习过程中，学生需要将立体图形和平面图形之间相互转化，对学生的空间观念，抽象能力和直观思考能力都有一定要求，思维上有维度。

教学目标1、通过具体的活动，积累学生的数学经验，发展学生动手实践能力和数学思考能力，发展学生的空间观念。

2、通过学习和实践活动，激发学生对投影与视图学习的好奇心，体会数学与现实生活的联系。

3、通过实例能够判断简单物体的三种视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型;会画圆柱、圆锥、球的三种视图。

4、通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单的应用。

5、以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质.6、通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力.7、通过制作立体模型的课题学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识。

教学重点1、了解中心投影的概念以及中心投影下线段、平面图形与其投影的关系，利用中心投影解决实际问题。

2、认识平行投影及其特征，能够画简单几何体在水平投影面和竖直投影面上的正投影。

3、从投影的角度加深对三视图的理解，会画简单几何体的三视图，会画三棱柱、四棱柱的三视图，能进行几何体和三视图之间的互相转化。

教学难点画直棱柱的三种视图要明确图中实线的虚线的区别，能根据几何体的俯视图想象其形状和大小并画出主视图和左视图。

教学措施1、重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律。

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的。

九年级数学下册第二十四章投影、视图与展开图同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，该几何体的俯视图是A．B．C．D．2、如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，若这个几何体最多由m个小正方体组成，最少由n个小正方体组成，则2m﹣n＝（）A．10 B．11 C．12 D．133、如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（）A．B．C．D．4、如图，将一个装了一半水的密闭圆柱形玻璃杯水平放置时，水面的形状是（）A．圆B．梯形C．长方形D．椭圆5、如图，图形不是下边哪个图形的展开图（）A．B．C．D．6、如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面用相应的数字或字母表示，若把它围成正方体后，a与它对面的数的积等于1，b与它对面的数的和等于0，c的绝对值与它对面的数的绝对值相等，则()+的值等于（）．a b cA．0 B．6 C．6--D．6或67、下面四个立体图形中，从正面看是三角形的是（）A．B．C．D．8、如图是一个正方体的平面展开图，原正方体中“美”的对面是（）A．榆B．丽C．通D．建9、一个由5个相同的正方体组成的立体图形，如图所示，则这个立体图形的左视图是（）A．B．C．D．10、如图是正方体的平面展开图，则与“云”字相对的字是（）A．爱B．端C．课D．堂第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，一个正方体由64块大小相同的小正方体搭成，现从中取走若干个小立方体块，得到一个新的几何体，新几何体与原几何体的三视图（从正面、从左面、从上面看到的所搭几何体的形状图）相同，最多取走___块小立方体块．2、如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的侧面积是__________2cm．3、把一个正方体纸盒展成一个平面图形，至少需要剪开____条棱．4、用一些完全相同的正方体木块搭几何体，从其正面和上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体所用正方体木块的个数最少为__________．5、如图所示是给出的几何体从三个方向看到的形状，则这个几何体最多由___个小正方体组成．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，是由一些棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体（1）请直接写出该几何体的表面积（含下底面）为（2）从正面看到的平面图形如图所示，请在下面方格中分别画出从左向右、从上向下看到的平面图形2、如图是由六个棱长为1 cm的小正方体组成的几何体．（1）该几何体的表面积是（含下底面） cm2；（2）分别画出该立体图形的三视图．3、我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图是一个由7个相同的小正方体搭成的几何体，请从图的正面、左面和上面看这个几何体，并在所给的图中画出各自的图形．4、如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．（1）填空：=a _____，b =_____，c =_____；（2）先化简，再求值：()2222253234a b a b abc a b abc ⎡⎤---+⎣⎦．5、如图，这是一个由7个小立方体搭成的几何体，请你画出它的三视图．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据俯视图是从物体上面向下面正投影得到的投影图，即可求解．【详解】解：根据题意得：D选项是该几何体的俯视图．故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）主视图：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）左视图：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）俯视图：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．2、B【分析】根据几何体的主视图和俯视图，可得最下面一层有4个正方体，中间一层最多有3个正方体，最少有2个正方体，最上面一层最多有2个正方体，最少有1个正方体．【详解】解：由三视图可知：最下面一层有4个正方体，中间一层最多有3个正方体，最少有2个正方体，最上面一层最多有2个正方体，最少有1个正方体，∴m＝4+3+2＝9，n＝4+2+1＝7，∴2m﹣n＝2×9﹣7＝11．故选B．【点睛】本题主要考查了三视图确定小立方体个数以及代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握根据三视图判断小立方体的个数．3、A【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断即可求解．【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意；B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意；C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了几何体的折叠和展开图形，熟练掌握“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图是解题的关键．4、C【分析】根据水平面与圆柱的底面垂直，可得从上面看，水面的形状为长方形，即可求解．【详解】解：∵水平面与圆柱的底面垂直，∴从上面看，水面的形状为长方形．故选：C【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从前面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从侧面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．5、D【分析】先把展开图的六个面分别用,,,,,A B C D E F 表示，再从相对面与相邻面的空白图形入手，利用排除法可得答案.【详解】解：如图，由正方体的平面展开图可得：,A C 为相对面，,E F 为相对面，,B D 为相对面，,A D 为相邻的两面，而且B 面空白图形的顶点在,E F 面的空白图形的边上，所以选项D 的正方体中B 面空白图形的顶点没有在E 或F 面空白图形的边上，故D 不符合题意，故选D【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握“正方体展开图中相对面与相邻面的特征”是解本题的关键.6、A【分析】由正方体的侧面展开图的特征可得3,3,1a b c ==-=±，然后代入求解即可．【详解】解：由题意得：a 与13相对，b 与3相对，c 与-1相对，∵a 与它对面的数的积等于1，b 与它对面的数的和等于0，c 的绝对值与它对面的数的绝对值相等， ∴3,3,1a b c ==-=±，∴()()()3310a b c +=-⨯±=；故选A ．【点睛】本题主要考查正方体的侧面展开图及代数式的值，熟练掌握正方体的侧面展开图及代数式的值是解题的关键．7、C【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可．【详解】解：A 、主视图为正方形，不符合题意；B 、主视图为圆，不符合题意；C 、主视图为三角形，符合题意；D 、主视图为长方形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．8、A【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即可求解．【详解】解：根据题意得：原正方体中“美”的对面是“榆”．故选：A【点睛】本题主要考查了正方体的平面展开图的特征，熟练掌握正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．9、A【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【详解】解：从左面看易得有两列，从左到右小正方形的个数分别为3，1．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．10、B【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】由正方体的平面展开图的特点可知，“我”字与“课”字是相对的字，“爱”字与“堂”字是相对的字，“云”字与“端”字是相对的字，故选：B．【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．二、填空题1、8【分析】由题意得，只需保留原几何的最外层和底层，最中间有8块，即可得．【详解】解：∵新几何体与原几何体的三视图相同，∴只需保留原几何的最外层和底层，⨯⨯=（块），∴最中间有2228故答案为：8．【点睛】本题考查了正方体的三视图，解题的关键是掌握正方体的三视图．2、36【分析】先确定该几何体是三棱柱，再得到底面是边长为4cm的等边三角形，侧棱长为3cm，从而可得答案. 【详解】解：从三视图可得得到：这个几何体是三棱柱，其底面是边长为4cm的等边三角形，侧棱长为3cm，⨯⨯cm2所以这个三棱柱的侧面积为：334=36故答案为：36 cm2【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体，求解三棱柱的侧面积，掌握由三视图还原几何体是解题的关键.3、7【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【详解】解：∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，∴要剪12-5=7条棱，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键．4、7【分析】由主视图和左视图确定左视图的形状，再判断最少的正方体的个数即可．【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且最高两层的有2列，一层的有一列；由俯视图知共5列，所以小正方体的个数最少的几何体为：2+2+1+1+1=7个．故答案为：7．【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．5、11【分析】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：研究该几何体最多由多少个小正方形组成，由俯视图易得最底层小立方块的个数为5，由其他视图可知第二层有5个小立方块，第三层有1个小立方块，即如下图：那么共最多由55111++=个小立方块．故答案为：11．【点睛】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、解答题1、（1）342cm；（2）见解析【分析】（1）先计算出每个小正方体一个面的面积，然后求出一共露在外面的面有多少个即可得到答案；（2）根据三视图的画法作图即可．【详解】解：（1）∵每个小正方体的棱长为1cm，∴每个小正方体的一个面的面积为21cm，∵从上面看露在外面的小正方体的面有6个，从底面看露在外面的面有6个，从正面看，露在外面的面有6个，从后面看，露在外面的面有6个，从左面看，露在外面的面有4个，从右面看，露在外面的面有4个，然后在最下层，第二行第二列的小正方体右边1个面露在外面，第二行第四列的小正方体左边一个面露在外面，∴露在外面的面一共有34个，∴该几个体的表面积为234cm，故答案为：234cm；（2）如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查了简单几何体的表面积和画三视图，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、（1）24；（2）见解析【分析】（1）根据三视图可求出几何体的表面积；（2）主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，1．据此可画出图形．【详解】解：（1）该几何体的表面积是：4×2＋5×2＋3×2＝24（cm2），故答案为： 24；（2）如图所示：【点睛】本题考查几何体的三视图画法以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置，掌握几何体表面积的计算方法．3、见解析【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为1，2，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，1，2．【详解】解：如图所示：【点睛】此题主要考查了作三视图，根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题关键．4、（1）1；-3；2；（2）22abc ，24-【分析】（1）先根据长方体的平面展开图确定a 、b 、c 所对的面的数字，再根据相对的两个面上的数互为相反数，确定a 、b 、c 的值；（2）化简代数式后代入求值．【详解】解：（1）由长方体纸盒的平面展开图知，a 与-1、b 与3、c 与-2是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，所以1a =，3b =-，2c =．故答案为：1；-3；2；（2）原式()2222253624a b a b abc a b abc =--++2222253624a b a b abc a b abc =-+--22abc =，∴原式()2213224=⨯⨯-⨯=-．【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、相反数及代数式的化简求值．解决本题的关键是根据平面展开图确定a 、b 、c 的值．5、图见解析【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，依此画出图形即可．【详解】解：如下图所示，【点睛】此题考查三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．。

知行力教育辅导教案学员姓名：钟湘婷年级：第课时课程类型：辅导科目:数学教师：朱老师课题第一讲投影与视图专题授课时间：2018 07月19日16:00--17:00备课时间：2018 07月15 日教学目标1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.重点、难点1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；考点及考试要求.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；教学内容第一讲投影与视图专题一、【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.要点诠释：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.要点五、三视图1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.要点六、画几何体的三视图画图方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.要点七、由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.二、【典型例题】类型一、投影的作图问题1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．类型二、投影的应用2．如图所示，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC＝30m，由地面向上依次为第一层，第二层，…，第十层，每层高度为3 m，假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC＝h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?【答案与解析】(1)过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示，在Rt△BEF中，∠BEF＝α，BF＝(30－h)(米)，EF＝AC＝30(米)，∴tanBFBEFEF∠=，∴30tan30hα-=，解得3030tanhα=-．(2)当30α=°时，h＝30-30tan30°≈12.68(米)．∵每层楼的高度为3米，∴ 12.68÷3≈4.23，故当30α=°时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第五层．当h ＝0时，3030tan 0α-=，tan 1α=，∴ 45α=°．∴ 4530115t -==°°°． ∴ 从此时起1小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．【总结升华】(1)过E 点作EF ⊥AB ，垂足为F ，显然解Rt △BEF 即可；(2)把α＝30°代入(1)中的结论即可求出h的值，从而得出所求的结论．要使甲楼的影子刚好不影响乙楼采光，即阳光刚好充分照进底楼，此时h ＝0，从而计算α的度数，然后根据α每小时增加15°，即可求出时间．在解答与投影有关的问题时，常转化为解直角三角形或相似三角形进行求解．类型三、由三视图描述物体的形状3．在图中，根据下列主视图和俯视图(大致形状)，找出对应的物体．【答案与解析】(1)D ；(2)A ；(3)B ；(4)C【总结升华】此类问题要求能正确描述基本几何体的三种视图与实物原形之间的相互转换过程，并在平面图形与几何体的相互转换中发展空间观念．类型四、三视图的有关计算4．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【答案与解析】长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图所示)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(单位：mm)．【答案】由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(1)所示)．密封罐的高为50mm，底面正六边形的对角线为100mm，边长为50 mm，如图(2)所示．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为S＝6×50×50+2×6×12×50×50×sin60°＝6×50°×312⎛⎫+⎪⎪⎝⎭≈27990(mm2)．三、【思维导图】四、【课堂练习】一、选择题1. 如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是( )A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米【答案】C；【解析】由题意得，ACAB=该学生的身高旗杆的高度，即1.62.08.0 2.0=+旗杆高，∴旗杆的高度为8.0米．2．如图下列物体的影子，不正确的是（）【答案】B；【解析】太阳光线是平行的，故影长与物体高度成正比例，所以A正确．太阳光线画得不平行，所以B错．因为物体在光源两侧，故影子方向不同，所以C正确．因灯光是发散的，故影长与物体高度不成比例且物体在光源同侧，影子方向相同，所以D正确．规律：(1)太阳光线是平行的，故太阳光下的影子都与物体高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物高不一定成比例．(2)同一时刻，太阳光下的影子总是在同一方向；而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．3．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为( )A．3 B．7 C．8 D．11【答案】B；【解析】可在一小正方体各个面上按图示要求标上数字，也可发挥空间分析与想象力作出判断，a＝3，b＝4，∴ a+b＝7．4．如图所示是一个几何体的实物图，则其主视图是 ( )【答案】C；【解析】观察一个物体，主视图是从正面看到的图形，本题中物体由上下两个部分组成，上面的物体从正面看到的是一个等腰梯形，下面是一个长方体，从正面看到的是一个长方形，再由上面的物体放置的位置特征可知选C．5．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于( )A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【答案】B；【解析】如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∴ GC∥AB．∴△GCD∽△ABD，∴DC GC DB AB=．设BC＝x，则1 1.51x AB=+．同理，得2 1.55x AB=+．∴ x＝3．∴1 1.5 31AB=+．∴ AB＝6．第5题第6题6．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如图所示，则n的最大值是( )A．18 13．19 C．20 D．21【答案】A；【解析】这道题在俯视图上操作，参照主视图从左到右，最左边一列有3层，每个方格上最大标上3，中间一列有2层，每个方格上最大标上2，最右边一列有3层，每个方格上最大标上3，共计18，即n的最大值是18(如图所示)．二、填空题7．如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米．【答案】6；【解析】△AED∽△ABC，∴BC EDAC AD=，即1.8 1.51AD AD=+．∴ AD＝5．∴ AC＝CD+AD＝6.第7题第8题8．如图所示，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m ．【答案】4；【解析】首先将实际问题转化为几何模型，如图所示，已知∠EDF ＝90°，DG ⊥EF 于G ，EG ＝2，GF ＝8，求DG ．易证△DEG ∽△FDG ，∴ DG GF EG DG=． 即DG 2＝2×8＝16∴ DG ＝4(m)．9．一个圆柱体的轴截面平行于投影面，圆柱体的正投影是边长为4的正方形，则圆柱的表面积为 ；体积为 ．【答案】24π；16π【解析】由题意得底面半径422r ==，母线4l =，∴ 222416S rl πππ==⨯⨯=侧， ∴ 22162216824S S S πππππ=+⨯=+⨯⨯=+=侧全底，222416V r l πππ==⨯⨯=g ．10．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．【答案】5；【解析】将主视图与左视图反映在俯视图中可能的情况为．11.下图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，计算出这个立体图形的表面积是________mm 2．【答案】200；【解析】由三视图可知立体图形由上下两个长方体构成，上面长方体长4、宽2、高4，下面长方体长6，宽8、高2，去掉重合部分，表面积为：6×8×2+8×2×2+6×2×2+4×4×2+4×2×2＝200．12．如图所法，圆锥的母线长为3，底面半径为1，A 为底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短路线长为 .【答案】33；【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，如图所示．由题意扇形的弧长即为圆锥底面周长212ππ⨯=，由弧长公式180n R l π=知32180n ππ⨯=，∴ n ＝120°．即∠AOA ′＝120°，过O 作OH ⊥AA ′于H ，则∠AOH ＝60°，在Rt △AOH 中，333sin 322AH AO AOH =∠=⨯=g ， ∴ 233AA AH '==．三、解答题13．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图所示，在同一时间，身高为1.6 m 的小明(AB)的影子BC 长是3m ，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H 点，并测得HB ＝6m ．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G ；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH ；(3)如果小明沿线段BH 向小颖(点H)走去，当小明走到BH 中点B 1处时，求其影子B 1C 1的长；当小明继续走剩下的路程的13到B 2处时，求其影子B 2C 2的长；当小明继续走剩下路程的14到B 3处时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的11n+到nB处时，其影子n nB C的长为________m(直接用含n的代数式表示)．【答案与解析】(1)如图所示：(2)由题意得△ABC∽△GHC，∴AB BCGH HC=，∴1.6363GH=+，∴ GH＝4.8m．即路灯灯泡的垂直高度为4.8 m．(3)∵△A1B1C1∽△GHC1，∴11111A B B CGH HC=．设B1C1长为x m，则1.64.83xx=+，解得32x=，即1132B C=m．同理22221.64.82B CB C=+，解得B2C2＝1m；…；由此可得当小明走剩下路程的11n+到nB处时，其影子的长为31n nB Cn=+m．求物体正投影的影长或某个面的正投影的面积．14. 已知一纸板的形状为正方形ABCD(如图所示)，其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．【答案与解析】如图所示，过A作AH⊥BB1于H，∵ ∠ABB 1＝45°，∴ △ABH 是等腰直角三角形，∴ AH ＝22AB ＝52厘米，∴ A 1B 1＝AH ＝52厘米． ∵ A 1D 1＝AD ＝10厘米，∴ 矩形A 1B 1C 1D 1的面积＝A 1B 1·A 1D 1＝52×10＝502(平方厘米)．答：投影面A 1B 1C 1D 1的面积是502平方厘米．15．如图所示是—个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D ，请你求出这个线路的最短的路程．【答案与解析】(1)圆锥；(2)表面积212416S S S rl r πππππ=+=+=+=圆扇形(cm 2)． (3)如图所示，将圆锥侧面展开，线段BD 为所求的最短路程，由条件得，∠BAB ′＝120°，C 为¼BB'的中点，∴ AD BB '⊥， 在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠BAD ＝60°，∴ BD ＝6×sin60°＝33(cm)．七、【学生评价】○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：八、【教师评定】1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：教学审批：时间：。