高考数学第一轮复习测试——集合和简易逻辑

高考数学一轮总复习：第一章集合与简易逻辑第1课时集合1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案 B2．若A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( ) A．{1，2} B．{0，1}C．{0，3} D．{3}答案 C解析B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0，3，6，9}，所以A∩B＝{0，3}．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝( ) A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．4．若A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1x≤1}，则A∩B＝( )A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．[1，2) 答案 D解析因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1x≤1}＝{x|x≥1或x<0}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}．5．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有( )A．m＋n∈A B．m＋n∈BC．m＋n∈C D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合答案 B解析∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2(a1＋b1)＋1，而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B，故选B.6．已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为( )A．1 B．3C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0，1}，故A∩(∁R B)的真子集的个数为22－1＝3，故选B.7．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3)C．[1，3) D．(1，4)答案 C解析|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)．8．已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A．[2，4] B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．[1，4]答案 B解析由log2x<1，解得0<x<2，故A＝(0，2)，故∁R A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x2＋4≤5x，即x2－5x＋4≤0，解得1≤x≤4，又x∈Z，所以B＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B＝{2，3，4}．故选B.9．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}答案 C解析由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<1}，所以A∩(∁UB)＝{x|0<x<1}．10．已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝RC．(∁U A)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A答案 D解析因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.11．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m，m∈R}且A⊆∁R B，那么m的值可以是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析由B＝{x|x<2m，m∈R}，得∁R B＝{x|x≥2m，m∈R}．因为A⊆∁R B，所以2m≤2，m≤1，故选A.12．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k的值为( )A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5，故选D.13．已知函数f(x)的图像如图所示，设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|x2<4}，则A∩B＝( )A．(－2，－1)∪(0，2) B．(－1，1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，3)答案 C解析 由题意可得A ＝(－∞，－1)∪(1，3)，B ＝(－2，2)，所以A∩B＝(－2，－1)∪(1，2)．14． 集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A∩B＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A∪B＝{x∈N *|lgx<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．16． 已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，(c>0)．若A∪B＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.17．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q；(2)若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|－2≤x<4} (2)(－∞，2]解析 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x|4≤x≤7}，∁R P ＝{x|x<4或x>7}．又Q ＝{x|x 2－3x －10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁R P )∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．(2)由P∪Q＝Q ，得P ⊆Q.当P≠∅时，有⎩⎨⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a＋1，解得0≤a≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a<0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}． (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A∩B＝(1，2)，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)m ＝－1 (3)[0，＋∞)解析(1)由A ⊆B ，得⎩⎨⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m≥3，得m≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (2)由已知，得⎩⎨⎧2m≤1，1－m ＝2⇒⎩⎨⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1.(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m ，即m≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎨⎧m<13，1－m≤1或⎩⎨⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13.综上知m≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件1． 命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x≥1或x≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x>1或x<－1，则x 2>1 D ．若x≥1或x≤－1，则x 2≥1 答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．2．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题既否定条件又否定结论．4．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题D．命题“若a>b，则1a<1b”的逆否命题答案 A解析A中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，由x>|y|≥y可知其是真命题；B中原命题的否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1⇔x>1或x<－1；C中原命题的否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题；D中原命题的逆命题是“若1a≥1b，则a≤b”是假命题，举例：a＝1，b＝－1，故选A.5．若命题p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的( ) A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．p与q是同一命题答案 A解析设p：若A，则B，则p的否命题为若綈A，则綈B，从而命题q为若B，则A，则命题p是命题q的逆命题，故选A.6．设有下面四个命题：p 1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p 4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析对于p1，由1z∈R，即z－z·z－∈R得z－|z|2∈R，∴z－∈R，∴z∈R.故p1为真命题．对于p2，显然i2＝－1，但i∉R.故p2为假命题．对于p3，若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p3为假命题．对于p4，z∈R，则z－∈R.故p4为真命题，故选B.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析p⇒q，而q p，∴选A.8．“α＝π6＋2kπ(k∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2kπ(k∈Z )，知2α＝π3＋4kπ(k∈Z )，则cos2α＝cosπ3＝12成立， 当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6(k∈Z )，故选A.9． “1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1.∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．10． 设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a>b ⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.11． “(m－1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎨⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B.12． 命题“对任意x∈[1，2)，x 2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a>4C ．a ≥1D ．a>1答案 B解析 由题意知a≥x 2，对x∈[1，2)恒成立，当x∈[1，2)时，1≤x 2<4，则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件．13．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，12)D ．(43，＋∞)答案 B解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B.14． 若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a>3B ．a<3C ．a>4D ．a<4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y. (2)题目即判断θ＝π4是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件． 16． 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④17．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 [0，12]解析 2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得(12，1)[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a≤12.第3课时 逻辑联结词与量词1．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lnx<1 D．∃x∈R，tanx＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.2．命题“∃x0∈∁RQ，x3∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．3．命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 D．∃x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”．故选D.4．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B5．下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B6．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉BC．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B答案 D解析因全称命题的否定是特称命题，故命题的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B.故选D.8．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg x－3}，则下列命题中真命题的个数是( )①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.A．4 B．3C．2 D．1答案 C解析因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg x－3}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.9．下列4个命题中，其中的真命题是( )p 1：∃x∈(0，＋∞)，(12)x<(13)xp2：∃x∈(0，1)，log12x>log13xp 3：∀x∈(0，＋∞)，(12)x<log12xp 4：∀x∈(0，13)，(12)x<log13xA．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析 p 1，p 2为存在性命题，所以只要找到符合条件的x 即可．p 1可作出y ＝(12)x ，y ＝(13)x 的图像，通过观察发现找不到符合条件的x ；p 2同样作图可得∀x ∈(0，1)，log 12x>log 13x ，所以p 2正确；p 3通过作图可发现图像中有一部分(12)x <log 12x ，所以p 3错误；在p 4中，可得当x∈(0，13)时，(12)x <(12)0＝1，log 13x>log 13(13)＝1，所以(12)x<1<log 13x ，p 4正确．综上可得：p 2，p 4正确．10．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 02＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．{m|m ≥2}B ．{m|m ≤－2}C ．{m|m ≤－2或m≥2}D ．{m|－2≤m≤2}答案 A解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m<0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m≥0；若q 是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m 的取值范围为{m|m≥2}．故选A.11． 已知命题p ：∃x ∈R ，lnx ＋x －2＝0，命题q ：∀x ∈R ，2x ≥x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p∧qC ．p ∧(綈q)D ．綈p∧(綈q) 答案 C解析 分别判断p ，q 真假，令f(x)＝lnx ＋x －2，可得f(1)f(2)<0.由零点存在性定理可知∃x ∈(1，2)，使得f(x)＝lnx ＋x －2＝0，p 为真；通过作图可判断出当x∈(2，4)时，2x <x 2，故q 为假：结合选项可得：p∧(綈q)为真．12． 不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≥－2； p 2：∃(x ，y)∈D，x ＋2y≥2； p 3：∀(x ，y )∈D，x ＋2y≤3；p 4：∃(x ，y )∈D，x ＋2y≤－1.其中的真命题是( )A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3答案 C解析画出可行域如图所示中阴影部分，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，z取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.13．若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x≤x＋114．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.注：本题若利用綈p：1x2－x－2≤0求解会致误．15．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.16．若命题“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．x－a≥0”，q：“存在x∈R，x2 17．已知p：“对任意的x∈[2，4]，log2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．答案a≤－2或a＝1解析p：a≤1，q：4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.因为p且q是真命题，所以a≤－2或a＝1.。

高三一轮复习培优练习--------集合与简易逻辑1.设全集{}+∈≤=N x x x U ,8|，若{}8,1)(=⋂B C A U ，{}6,2)(=⋂B A C U ， {}7,4)()(=⋂B C A C U U ，则2.已知条件p :x +y ≠-2，条件q :x ≠-1且y ≠-1，则p 是q 的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件3.如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是21＜x ＜23，则实数a 的取值范围是 A.21＜a ＜23 B. 21≤a ≤23 C.a ＞23或a ＜21 D.a ≥23或a ≤21 4.“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p :肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r :肖像不在金盒里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在A.金盒里B.银盒里C.铅盒里D.在哪个盒子里不能确定6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-17.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q xx P x Q -=∈∉，且，如果{}2|l o g 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于 8.(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+⋂≠∅，（1）b 的取值范围是 .（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是9.已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且A ∩C =∅,求a 的值.10.已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.11.已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围. .12.命题甲：“方程221y x m +=是焦点在y 轴上的椭圆”,命题乙：“函数324()2(43)03f x x mx m x m =-+--=在（－∞，＋∞）上单调递增”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围.13.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11y x x =++的值域,集合C 为不等式1()(4)0ax x a-+≤的解集．（Ⅰ）求B A ；（Ⅱ）若R C C A ⊆,求a 的取值范围．14.已知奇函数)(x f 在(,0)(0,)-∞+∞ 上有意义，且在（+∞,0）上是减函数，0)1(=f 又有函数]2,0[,2cos sin )(2πθθθθ∈-+=m m g ，若集合}0)(|{<=θg m M ，集合}.0)]([|{>=θg f m N （Ⅰ）求0)(>x f 的解集； （Ⅱ）求N M ⋂．。

第一轮复习数学集合与简易逻辑检测题一、选择题（每小题6分，共60分）1. 设{}22355M a a =-+，，，{}216103N a a =-+，，，且{}23M N = ，则a 的值是（ ） Ａ．1或2Ｂ．2或4 Ｃ．2 Ｄ．12. 已知集合{}21M y y x x ==-∈R ，，{N x y ==，则M N = （ ）Ａ．()){}Ｂ．1⎡-⎣Ｃ．0⎡⎣Ｄ．∅3. 已知全集U =｛非零整数｝，集合{}24A x x x U =+>∈，，则U A =ð（ ） Ａ．{}654321012------，，，，，，，， Ｂ．{}65432112------，，，，，，， Ｃ．{}5432101-----，，，，，，Ｄ．{}543211-----，，，，， 4. 已知集合{}5A x x =∈N ≤，{}1B x x =∈>N ，那么A B 等于（ ） Ａ．{}12345，，，， Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}234，， Ｄ．{}15x x x <∈R ，≤5. 已知集合{}A B a b c d = ，，，，{}A a b =，，则集合B 的子集最多可能有（ ） Ａ．8个 Ｂ．16个 Ｃ．4个Ｄ．2个6. 下面四个命题正确的是（ ） Ａ．10以内的质数集合是{}0357，，， Ｂ．“个子较高的人”不能构成集合 Ｃ．方程2210x x -+=的解集是{}11，Ｄ．偶数集为{}2x x k k =∈N ，7. 设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21- C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭8. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根； B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；C ．对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 9. 已知函数f(x)=2743kx kx kx +++，若x ∈R ，则k 的取值范围是 （ ）A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤4310. 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A. l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB. γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC. αγβγα⊥⊥⊥m ,,D. αβα⊥⊥⊥m n n ,,12. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误的是（ ） A. p 或q 为真，非q 为假 B. p 或q 为真，p 为假 C. p 且q 为假，非p 为假 D. p 且q 为假，非p 为真集合与简易逻辑（答题卡）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设p ：514x ->；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．14. 命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。

贵定一中2021届高三数学第一轮复习集合与简易逻辑检测题全卷满分是150分 时间是120分钟 2021年8月上旬〔第一卷 选择题一共60分〕一、选择题〔以下各小题的四个答案中仅有一个是正确的，请将正确答案前的字母填入答题卡的表格中，每一小题5分，12小题一共60分〕1．设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =<，那么A M N =∅B M N M =C M N M =D M N R =2．集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，那么 “a M ∈〞是“a N ∈〞的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3．假设关于x 的不等式24(1)4k x k +≤+的解集是M ，那么对于任意实数k ，总有A 2M ∈，0M ∈B 2M ∉，0M ∉C 2M ∈，0M ∉D 2M ∉，0M ∈4．不等式112x <的解集是 A (),2-∞ B ()2,+∞ C ()0,2 D ()(),02,-∞+∞5．集合{|0|1|4}x N x ∈<-<的真子集的个数是A 15B 16C 31D 326．假设0a <，0b >，那么以下不等式中正确的选项是A11a b< B C 22a b < D ||||a b >7．不等式组2|1|2680x x x -≤⎧⎨-+<⎩的解集是 A [)1,4- B ()2,3 C (]2,3 D ()1,4-8．集合{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5,7A =,{}3,4,5B =,那么()()UUA B =A {}1,6B {}4,5C {}2,3,4,5,7D {}1,2,3,6,79．设“〞是R 上的一种运算，A 是R 的非空子集，假设对任意a 、b A ∈，有ab A ∈，那么称A 对运算“〞封闭，以下数集对加法、减法、乘法、除法〔除数不等于零〕四那么运算都封闭的数集是A 自然数集B 整数集C 有理数集D 无理数集10．设p ：2200x x -->，q ：210||2x x -<-，那么p 是q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件11．设集合{}1,2A =，那么满足{}1,2,3AB =的集合B 的个数是A 1B 3C 4D 812．对于任意的两个实数对(),a b 和(),c d ，规定：()(),,a b c d =当且仅当a c =，b d =；运算“⊗〞为：(),a b ⊗()(),,c d ac bd bc ad =-+；运算“⊕〞为：(),a b ⊕(),c d(),a c b d =++；设p 、q ∈R ，假设()()()1,2,5,0p q ⊗=，那么()()1,2,p q ⊕= A ()4,0 B ()2,0 C ()0,2 D ()0,4-〔第二卷 非选择题一共90分〕二、填空题〔将以下各小题的正确答案填在答题卡的横线上，每一小题4分，4小题一共16分〕13．集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m=，假设B A ⊆，那么实数____m =．14．不等式102x x +>-的解集是______________． 15．非空集合G 关于运算“Θ〞满足：〔1〕对任意a 、b G ∈，都有a b G Θ∈；〔2〕存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a Θ=Θ=，那么称G 关于运算“Θ〞为“融洽集〞，如今给出以下集合和运算：① {}G =非负整数； “Θ〞为整数的加法； ② {}G =偶数； “Θ〞为整数的乘法；③ {}G =平面向量； “Θ〞为平面向量的加法； ④ {}G =二次三项式； “Θ〞为多项式的加法；其中G 关于运算“Θ〞为“融洽集〞的是_________〔填序号〕．16．假设|1||1|x x a -++>对于任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是_________． 三、解答题〔将以下各小题的解答或者证明过程写在答题卡的相应位置上，6小题一共74分〕 17．〔此题12分〕〔理〕不等式2|||3|5x ax b x +++-≤的解集是[]2,3，务实数a 与b 的值．〔文〕解以下不等式：〔1〕|21|(2)0x x +-≥； 〔2〕1||21x <-．18．〔此题12分〕设集合{}|||2A x x a =-<，21{|1}2x B x x -=<+，假设A B ⊆，务实数a 的取值范围．19．〔此题12分〕{}||32|4A x x =-<，{}2|3280B x x x =--<,求()R A B 和()RAB ．20．〔此题12分〕集合2{|320}A x x x =-+=，2{|20}B x x mx =-+=，假设A B B =，求m 的取值范围．21．〔此题12分〕集合{}2|27150A x x x =+-<，{}2|0B x x ax b =++≤，满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤，求a 与b 的值．22．〔此题12分〕定义运算()()22x y x y *=-+，集合()(){}|110A a a a =-*+<，{}||2|,B y y x x A ==+∈，求：AB 与A B ．[参考答案]一、 选择题〔请将正确答案前的字母填入下面的表格中，每一小题5分，12小题一共60分〕二、填空题〔请将各小题的正确答案填在下面的横线上，每一小题4分，4小题一共16分〕 13．1； 14．{|1x x <-或者}2x >； 15．①③； 16．2a <．三、解答题〔将以下各小题的解答或者证明过程写在答题卡的相应位置上，6小题一共74分〕 17． 解：〔1〕原不等式的解集即为以下不等式组①和②的解集的并集，① |21|020x x +≥⎧⎨-≥⎩ ② |21|020x x +≤⎧⎨-≤⎩……2分解①得2x ≥； 解②得12x=-； ……5分 ∴原不等式的解集为1|22x x x ⎧⎫≥=-⎨⎬⎩⎭或． ……6分解：〔2〕原不等式的解集即为以下不等式组的解集：121121x x ⎧>-⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩ ……7分解①得12x<或者1x >； 解②得1x <或者32x >； ……11分 ∴原不等式的解集为13|22x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或． ……12分18.解：{}{}|||2|22A x x a x a x a =-<=-<<+ ……4分{}213|1|0|2322x x Bx x x x x x --⎧⎫⎧⎫=<=<=-<<⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭……8分 ∵A B ⊆∴ 2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩ ……10分a 的取值范围为{}|01a a ≤≤． ……12分① ②19．解：由题意得2{||32|4}{|2}3A x x x x =-<=-<< ……2分 ∴()2{|3A x x =≤-或者2}x ≥ ……4分 又∵ 24{|3280}{|2}3B x x x x x =--<=-<< ……6分∴ ()4{|3B x x =≤-或者2}x ≥ ……8分∴ ()42{|}33R A B x x =-<≤- ……10分()4{|3R A B x x =≤-或者2}3x >- ……12分20．解：∵A B B =,∴B A ⊆， ……1分∴2{|320}{1,2}A x x x =-+==， ……3分∴ B =∅或者{1}或者{2}或者{1,2}， ……5分 当B =∅时，需280m-<， ∴m -<……7分当{1}B =时，需28030m m ⎧-=⎨-=⎩ 矛盾〔舍去〕 ……8分当{2}B =时，需280620m m ⎧-=⎨-=⎩ 矛盾〔舍去〕 ……9分当{1,2}B=时，需3m = ……11分综上所述，m 的取值范围是{|3m m =或者m -<< ……12分21．解：∵3{|5}2A x x =-<<， ……3分且 ,{52}A B A B x =∅=-<≤ ∴ 3{|2}2B x x =≤≤ ……6分那么32和2是方程20x ax b ++=的两根 ……8分那么322322a b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ 解得 723a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ……12分22．解：(1)(1)(3)(3)0a a a a -*+=-+< ……4分∴ 33a -<< 即{|33}A a a =-<<……6分 ∵x A ∈，∴ 33x -<< (8)分∴ 125x -<+< ，那么0|2|5x ≤+< 即{|05}B y y =≤< ……12分∴{|03}AB x x =≤< {|35}A B x x =-<< ……14分。

高三一轮单元测试01：集合、简易逻辑(时间120分钟 满分150分)一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合P ＝{3，4，5}，Q ＝{4，5，6，7}，定义P ※Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个数为A ．3B ．4C ．7D ．122．设A 、B 是两个集合，定义A －B ＝{x|x ∈A ，且x B}，若M ＝{x||x ＋1|≤2}，N ＝{x|x ＝|sinα|，α∈R}，则M －N ＝A ．[－3，1]B ．[－3，0)C ．[0，1]D ．[－3，0]3．映射f ：A→B ，如果满足集合B 中的任意一个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”．已知集合A 中有4个元素，集合B 中有3个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为A ．24B ．6C ． 36D ．724．若lga ＋lgb ＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a x 与g(x)＝b x 的图象A ．关于直线y ＝x 对B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．若任取x 1、x 2∈[a ，b]，且x 1≠x 2，都有f(x 1＋x 22)＞f(x 1)＋f(x 2)2成立，则称f(x) 是[a ，b]上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为6．若函数f(x)＝x － p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是A ．[－1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1]7．设函数f(x)＝x|x|＋bx ＋c ，给出下列四个命题： ①c ＝0时，f(x)是奇函数 ②b ＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根 ③f(x)的图象关于(0，c)对称 ④方程f(x)＝0至多两个实根其中正确的命题是A ．①④B ．①③C ．①②③D ．①②④8．函数y ＝e x ＋1e x －1，x ∈(0，＋∞)的反函数是A ．y ＝lnx －1x ＋1，x ∈(－∞，1) B ．y ＝lnx ＋1x －1，x ∈(－∞，1)AC ．y ＝lnx －1x ＋1，x ∈(1，＋∞) D ．y ＝lnx ＋1x －1，x ∈(1，＋∞) 9．如果命题P ：{}∅∈∅，命题Q ：{}∅⊂∅，那么下列结论不正确的是 A ．“P 或Q”为真 B ．“P 且Q”为假C ．“非P”为假D ．“非Q”为假10．函数y ＝x 2－2x 在区间[a ，b]上的值域是[－1，3]，则点(a ，b)的轨迹是图中的A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD二、填空题（每小题4分，共20分）11．已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是 ． 12．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800 元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费(扣税前)为 元．13．已知函数f(x)＝,2))((.0,cos 2,0,)(02=⎩⎨⎧<<≤=x f f x x x x x f 若π则x 0＝ ．14．若对于任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是 ．15．如果函数f(x)的定义域为R ，对于m ，n ∈R ，恒有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)是不大于5的正整数，当x>－1时，f(x)>0．那么具有这种性质的函数f(x)＝ ．(注：填上你认为正确的一个函数即可) 三、解答题16．（12分）二次函数f(x)满足f (x ＋1)－f (x)＝2x 且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y ＝f (x)的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围． 17．（12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x ax x a -<-+．⑴当a ＝2时，求A ⋂B ；⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．（14分）已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q”是假命题，求实数a 的取值范围．19．（14分）设函数()221x x f x a -=+⋅-(a 为实数)．⑴若a<0，用函数单调性定义证明：()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数；⑵若a ＝0，()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y ＝x 对称，求函数()y g x = 的解析式．20．（14分）函数xax x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．21．（14分）对于函数)0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．⑴当a ＝2，b ＝－2时，求)(x f 的不动点；⑵若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；⑶在⑵的条件下，若)(x f y =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线1212++=a kx y 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围。

题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案 B2．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1|，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P答案 C解析由题意，得∁R P＝{x|x≥1}，画数轴可知，选项A，B，D错，故选C. 3．(2015·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2答案 D解析由已知得A＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B ＝{8，14}．故选D.4．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析由已知得M＝{0，1}，N＝{x|0<x≤1}，则M∪N＝[0，1]．5．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P答案 C解析依题意得集合P＝{y|y≤1}，Q＝{y|y>0}，∴∁R P＝{y|y>1}，∴∁R P⊆Q，选C.6．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}解析 由已知得A ＝{x|－2≤x≤2}，B ＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}． 7．(2016·湖北宜昌一中模拟)已知集合M ＝{x|(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( ) A ．{0，1，2} B ．{－1，0，1，2} C ．{－1，0，2，3} D ．{0，1，2，3}答案 A解析 不等式(x －1)2<4等价于－2<x －1<2，得－1<x<3，故集合M ＝{x|－1<x<3}，则M∩N ＝{0，1，2}，故选A.8．(2016·山东省实验中学月考)若集合A ＝{x|x 2－2x －16≤0}，B ＝{y|C 5y≤5}，则A∩B 中元素个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 D解析 A ＝[1－17，1＋17]，B ＝{0，1，4，5}，∴A ∩B 中有4个元素．故选D. 9．若集合M ＝{0，1，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．2 答案 C解析 N ＝{(x ，y)|－1≤x－2y≤1，x ，y ∈M}，则N 中元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)．10．(2016·高考调研原创题)已知集合A ＝{1，3，zi}(其中i 为虚数单位)，B ＝{4}，A ∪B ＝A ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案 D解析 由A∪B＝A ，可知B ⊆A ，所以zi ＝4，则z ＝4i ＝－4i ，所以z 的共轭复数为4i ，故选D.11．(2016·衡水调研卷)设集合M ＝{y|y ＝2sinx ，x ∈[－5，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M∩N＝( ) A ．{x|1<x ≤5} B ．{x|－1<x≤0} C ．{x|－2≤x≤0}D ．{x|1<x ≤2}解析∵M＝{y|y＝2sinx，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．12.设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．[－1，0] B．(－1，0)C．(－∞，－1)∪[0，1) D．(－∞，－1]∪(0，1)答案 D解析因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈(0，1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}．所以A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1，0]．故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)，故选D.13．(2016·沧州七校联考)已知集合A＝{－1，0}，B＝{0，1}，则集合∁A∪B(A∩B)＝( ) A．∅B．{0}C．{－1，1} D．{－1，0，1}答案 C解析∵A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，1}，∴∁A∪B(A∩B)＝{－1，1}．14．(2016·天津南开区一模)已知P＝{x|4x－x2≥0}，则集合P∩N中的元素个数是( ) A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析因为P＝{x|4x－x2≥0}＝{x|0≤x≤4}，且N是自然数集，所以集合P∩N中元素的个数是5，故选C.15．(2016·浙江温州二模)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A⊆B，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁B A＝________．答案{0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．16．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．17．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.答案(1)a＝5或a＝－3 (2)a＝－3解析(1)∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A.∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B.∴a＝5或a＝－3.而当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}≠{9}，故a＝5舍去．∴a＝－3.讲评9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9.18．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，试求实数m的值．答案m＝1或m＝2解析易知A＝{－2，－1}．由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A.∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.1．如下图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(A∩B)∩C B．(A∩∁I B)∩CC．(A∩B)∩∁I C D．∁I(B∩A)∩C答案 B解析在集合B外等价于在∁I B内，因此阴影是A，∁I B和C的公共部分．2．满足条件{0，1}∪A＝{0，1}的所有集合A的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析∵{0，1}∪A＝{0，1}，∴A⊆{0，1}，故满足条件的集合A的个数为22. 3．(2016·皖南八校联考)已知集合P＝{x|x2－4<0}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则P∩Q＝( )A．{－1，1} B．[－1，1]C．{－1，－3，1，3} D．{－3，3}答案 A4．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B解析∵A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，∴m＝3或m＝m.∴m＝3或m＝0或m＝1.当m＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B.5．(2014·四川文)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( ) A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}答案 D解析 由二次函数y ＝(x ＋1)(x －2)的图像可以得到不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集A ＝[－1，2]，属于A 的整数只有－1，0，1，2，所以A∩B＝{－1，0，1，2}，故选D.6．已知i 为虚数单位，集合P ＝{－1，1}，Q ＝{i ，i 2}，若P∩Q＝{zi}，则复数z 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 因为Q ＝{i ，i 2}，所以Q ＝{i ，－1}．又P ＝{－1，1}，所以P∩Q＝{－1}，所以zi ＝－1，所以z ＝i ，故选C.7．(2015·天津)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{2，3，5}，集合B ＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁U B)＝( ) A ．{3} B ．{2，5} C ．{1，4，6} D ．{2，3，5}答案 B解析 由题意可得∁U B ＝{2，5}，∴A ∩∁U B ＝{2，5}．故选B.8．(2016·广州综合检测)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为( ) A ．M ∩N B ．(∁U M )∩N C ．M ∩(∁U N) D ．(∁U M )∩(∁U N) 答案 B解析 由题意得M∩N＝{5}，(∁U M)∩N＝{1，2}，M ∩(∁U N)＝{3，4}，(∁U M )∩(∁U N)＝∅，故选B.9．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝{x|(12)x ≤1}，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A∩(∁R B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x≥4} 答案 C解析 由题意可知，集合A ＝{x|x≥0}，B ＝{x|2≤x≤4}，所以∁R B ＝{x|x<2或x>4}，此时A∩(∁R B)＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C.10．已知集合M ＝{2，4，6，8}，N ＝{1，2}，P ＝{x|x ＝ab ，a ∈M ，b ∈N}，则集合P 的真子集的个数是( ) A ．4 B ．6 C ．15D ．63解析 由已知得P ＝{2，1，4，6，3，8}，故集合P 的真子集的个数为26－1＝63.故选D. 11．(2016·浙江嘉兴一中调研)设集合A ＝{3，x 2}，B ＝{x ，y}，若A∩B＝{2}，则y 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．3答案 B解析 由A∩B＝{2}，得x 2＝2，∴x ＝±2，故y ＝2.故选B.12．(2016·安徽合肥八中段考)集合A ＝{x|x 2＋x －6≤0}，B ＝{y|y ＝lnx ，1≤x ≤e 2}，则集合A∩(∁R B)＝( ) A ．[－3，2] B ．[－2，0)∪(0，3] C ．[－3，0] D ．[－3，0)答案 D解析 化简A ＝{x|－3≤x≤2}，B ＝{y|y ＝lnx ，1≤x ≤e 2}＝{y|0≤y≤2}，从而∁R B ＝{x|x<0或x>2}，因此A∩(∁R B)＝{x|－3≤x<0}．故选D.13．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－1，－a}，若M∪P 有三个元素，则M∩P＝( ) A ．{0，1} B ．{0，－1} C ．{0} D ．{－1}答案 C解析 由题意知a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1.①当a ＝0时，M ＝{1，0}，P ＝{－1，0}，M ∪P ＝{－1，0，1}，满足条件，此时M∩P＝{0}； ②当a ＝－1时，a 2＝1，与集合M 中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.14．(2016·山东济宁)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，(c>0)．若A∪B＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，2] D ．[2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2，故选D.15．设集合M ＝{y|y ＝|cos 2x －sin 2x|，x ∈R }，N ＝{x||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M∩N 为( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1)D ．[0，1]解析对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0，1]，所以M＝[0，1]．根据复数模的计算方法得不等式x2＋1<2，即x2<1，所以N＝(－1，1)，则M∩N＝[0，1)．正确选项为C.16．若集合A，B满足A＝{x∈Z|x<3}，B⊆N，则A∩B不可能是( )A．{0，1，2} B．{1，2}C．{－1} D．∅答案 C17．(课本习题改编)已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，用适当的符号填空：－4____A；－4____B；A________B.答案∈∉⊇(或)18．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．①A∪B＝A；②(∁U A)∩B＝∅；③∁U A⊆∁U B；④A∪(∁U B)＝U.答案①②③④解析由韦恩图知①②③④均正确．19．(2016·江苏启东期末)A，B是非空集合，若a∈A，b∈B，且满足|a－b|∈A∪B，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，则集合A，B的“基因元”的对数是________．答案13解析由题意知，2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A，B的“基因元”，共13对．20．(2013·辽宁改编)已知A＝{y|y＝10x－1}，B＝{x|y＝lg(4－x2)}，则(∁U A)∩B＝________．答案(－2，－1]解析∵A＝{y|y>－1}，∴∁U A＝{y|y≤－1}．又B＝{x|－2<x<2}，∴(∁U A)∩B＝(－2，－1]．21.将下面韦恩图中阴影部分用集合A，B，C之间的关系式表示出来________．答案 A∩B∩(∁U C)22．已知有限集A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n≥2，n ∈N )．如果A 中元素a i (i ＝1，2，3，…，n)满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合{－1＋52，－1－52}是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”．其中正确的结论有________．(填上你认为所有正确结论的序号) 答案 ①③解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t<0或t>4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．23．(2016·北京东城区期末)已知数集A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质P ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i≤j≤5，均有a j －a i 属于A ，若a 5＝60，则a 3＝________． 答案 30解析 因为0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，所以a 5－a 1>a 5－a 2>a 5－a 3>a 5－a 4>a 5－a 5，由题意，a 5－a 1，a 5－a 2，a 5－a 3，a 5－a 4，a 5－a 5都属于A ，所以a 5－a 3＝a 3，a 3＝12a 5＝30.24．已知茎叶图(如图)列举了集合U 中的所有元素，设A ＝{3，6，9}，B ＝{3，5，12}，则(∁U A)∩B ＝________．答案 {5，12}解析 ∵U＝{3，5，6，9，12，13}， ∴∁U A ＝{5，12，13}，∴(∁U A )∩B＝{5，12}．25．若数列{a n }是等差数列，公差为d 且d ≠0，a 1、d∈R ，{a n }的前n 项和记为S n ，设集合P ＝{(x ，y)|x 24－y 2＝1，x 、y∈R }，Q ＝{(x ，y)|x ＝a n ，y ＝S n n ，n ∈N *}，给出下列命题：①集合Q 表示的图形是一条直线； ②P ∩Q ＝∅；③P ∩Q 只有一个元素； ④P ∩Q 至多有一个元素．其中正确的命题序号是________．(注：把你认为是正确命题的序号都填上) 答案 ④解析 依题意得y ＝S n n ＝a 1＋a n 2＝12x ＋12a 1，即集合Q 中的元素是直线x －2y ＝－a 1上的一系列点，因此①不正确；注意到直线y ＝12x ＋12a 1与双曲线x 24－y 2＝1的一条渐近线y ＝12x 平行或重合，因此直线y ＝12x ＋12a 1与双曲线x 24－y 2＝1至多有一个公共点，于是集合P∩Q 中最多有一个元素，因此②③都不正确，④正确．。

《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学文科高效测评卷(一)第一章集合与常用逻辑用语———————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．下列特称命题中真命题的个数为()①存在实数x，使x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．A．0B．1C．2 D．32．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅6．设全集U＝{x∈N＋|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则a∈[6,7)是∁U P＝Q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．“a 2＋b 2≠0”的含义为( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为08．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0或1或－19．已知实数a 、b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．定义：A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为( )A ．3B ．9C ．18D ．2712．已知命题p ：存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题；③命题“¬p 或¬q ”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)) 13．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.14．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.15．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．16．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p 或q ”为真，则“p 且q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)写出下列命题非的形式：(1)p ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有唯一交点； (2)q ：若x ＝3或x ＝4，则方程x 2－7x ＋12＝0. 18．(12分)判断下列命题的真假． (1)任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12.(2)存在α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)任意x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.19.(12分)设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 20．(12分)已知A ＝{x ||x －a |＜4}，B ＝{x ||x －2|＞3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且¬p 是¬q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【解析方法代码108001006】22．(14分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． 答案：卷(一)一、选择题1．B x 2＋2≥2，故①是假命题；任意x ∈R 均有|sin x |≤1，故②是假命题；f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.2．D ∵A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}且B ∪(∁U B )＝U ， ∴A ＝{3,9}，故选D.3．B 结论与条件互换位置，选B.4．A 由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.5．C ∵A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}， B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}＝{x |x ≥0}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．6．C 若a ∈[6,7)，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，则∁U P ＝Q ，若∁U P ＝Q ，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a ＜7，故选C.7．A a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，于是a 2＋b 2≠0就是对a ＝b ＝0，即a ，b 都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a ，b 不全为0”．8．D 由M ∩N ＝N 得N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，M ＝{a }，N＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由N ⊆M 得1a ＝a ，解得a ＝±1.故选D.9．A 当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，充分性成立；当a 2＋b 2≥4时，取a ＝－1，b ＝3，有ab ＝－3＜2，此时ab ≥2不成立，故必要性不成立，故选A.10．B 直线a 垂直于平面α内无数条直线，但直线a 与平面α不一定垂直．如直线a 垂直于平面α内的一组平行线，反过来，直线a 垂直于平面α肯定能推出直线a 垂直于平面α内无数条直线．11．C 当x ＝0，y ＝1时，z ＝0； 当x ＝0，y ＝2时，z ＝0； 当x ＝2，y ＝1时，z ＝4； 当x ＝2，y ＝2时，z ＝5. 所以A ⊗B ＝{0,4,5}，同理可得(A ⊗B )⊗C ＝{0,8,10}．故选C.12．C 由sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎦⎤x －π4∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有∅与{1}两个，命题q 是真命题．所以有命题“p 且¬q ”是假命题，命题“¬p 或¬q ”是真命题，②③正确，选C.二、填空题13．解析： ∵A ∪B ＝{1,2,3,4}， ∴2∈(A ∪B )．∵2∉B ，∴2∈A ， ∴m ＝2.答案： 214．解析： ∵lg x ＜1，∴0＜x ＜10. 又∵x ∈N *，∴U ＝A ∪B ＝{1,2,3，…，9}． 又∵A ∪B ＝U ，∴∁U B ＝A ， ∴A ∩(∁U B )＝∁U B ＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}． 答案： {2,4,6,8}15．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.答案： a ＞416．解析： ①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π.故“x＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p 或q ”为真命题，则“p 且q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案： ①④ 三、解答题17．解析： (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有交点或至少有两个交点． (2)若x ＝3或x ＝4，则x 2－7x ＋12≠0.18．解析： (1)真命题，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34＞12. (2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意． 19．解析： 由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9， 解得x ＝±3或x ＝5. 当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去．当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7，9}．20．解析： (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}． (2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}， B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 故实数a 的取值范围是(1,3)．21．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4，即2＜x ＜3. ∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}， B ＝{x |2＜x ＜3}，∵¬p ⇒¬q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . ∴2＜x ＜3含于集合A ，即2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0， ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．22．解析： (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则S ＝P . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2,10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m,1＋m ]． 要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. ∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则满足S P . 由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10且不同时取等号，∴m ≤3. 综上可知，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．。

第一单元 集合与简易逻辑一.选择题(1) 设集合M =},412|{Z k k x x ∈+=，N =},214|{Z k k x x ∈+=， 则 ( )A.M=NB.M ⊂NC.M ⊃ND.M N=Φ(2) 若集合M=｛y | y =x -3｝，P=｛y | y =33-x ｝， 则M ∩P=（ ）A ｛y | y >1｝B ｛y | y ≥1｝C ｛y | y >0｝D ｛y | y ≥0｝(3) 不等式312≥-xx 的解集为 ( )A.)0,1[-B.),1[∞+-C.]1,(--∞D.),0(]1,(∞+--∞(4) 集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=22|｝, 则 M N = ( )A.{0}B.{2}C. ΦD. {}72|≤≤x x(5)下列四个集合中，是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C. {}|2x x x < D .}01|{2=+-x x x(6)已知集合M=｛a 2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a 2+1｝, 若M ∩N=｛-3｝, 则a 的值是( )A -1B 0C 1D 2(7) 对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是( )A k ≥1B k >1C k ≤1D k <1(8) 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >(9) 设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的( )A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件(10) 函数f(x)=⎩⎨⎧∈-∈,,,,M x x P x x 其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x ∈P}，f(M)={y|y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断：①若P ∩M=∅，则f(P)∩f(M)=∅； ②若P ∩M ≠∅，则f(P)∩f(M) ≠∅；③若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M ≠R ，则f(P) ∪f(M)≠R.其中正确判断有( )A 0个B 1个C 2个D 4个二.填空题(11)若不等式02<-ax x 的解集是{}10<<x x ，则=a ________ (12) 抛物线16)(2+-=x x x f 的对称轴方程是 .(13) 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U ___. (14) 设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于 _____. 三.解答题(15) 用反证法证明：已知R y x ∈,，且2>+y x ，则y x ,中至少有一个大于1。

高三数学一轮复习集合和简易逻辑单元测试题姓名_________ 班级_________ 分数_________一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．}{}{1.=1,0,1,=A B x y x A y A -+∈∈已知集合则集合，中元素的个数是（）A.1 B.3 C.5 D.9 }{}{[)(](][)(]22.=21,=3401,,4,41,0,1x A x B x x x <+-≥+∞-∞--∞-+∞已知集合集合，则A B=( )A. B. C. D.222223.,lg(22)0,lg(22)0,lg(22)0,lg(22)0,lg(22)0x R x x x R x x x R x x x R x x x R x x ∃∈++<∃∈++≥∀∉++>∃∉++>∀∈++≥命题“都有”的否定是（ ）A.都有B.都有C.都有D.都有4、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于 （ ）A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 5.0(3)0.x x x A =+=“”是“”的_________充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6、若函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M （ ） A.{}1>x x B.{}1<x x C.{}11<<-x x D.φ7、对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 ( )A k ≥1B k >1C k ≤1D k <18、若不等式312≥-xx 的解集为 ( ) A.)0,1[- B.),1[∞+- C.]1,(--∞ D.),0(]1,(∞+--∞9、一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >10、若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ＜-1B. a ≤1C.a ＜1D. a ≥1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．11、已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U ___.12、命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是____________13、集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是_____ . 14、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

2021年高考数学第一轮复习集合与简易逻辑创作人：荧多莘日期：二O二二年1月17日一、知识构造二、考点目的定位1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；理解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.“或者〞“且〞“非〞的含义；理解四种命题及其互相关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.三、复习方略指南本章内容在高考中以考察空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考察内容.逻辑联结词与充要条件这局部，以充要条件为重点考察内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联络，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.“或者〞“且〞“非〞与集合中的“并〞“交〞“补〞是相关的，二者互相对照可加深对双方的认识和理解.4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题到达理解、掌握逻辑知识的目的.5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯穿.一、集合的概念与运算知识梳理2.元素与集合、集合与集合之间的关系〔1〕元素与集合：“∈〞或者“ 〞.〔2〕集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.〔1〕交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.〔2〕并集：由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或者x∈B}.〔3〕补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集〔即A ⊆S 〕，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集〔或者余集〕，记为SA ，即SA ={x |x ∈S且x ∉A }.点击双基1.集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，那么集合M ∩N 等于 A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}解析：M ={x |x 2＜4}={x |－2＜x ＜2}，N ={x |x 2－2x －3＜0}={x |－1＜x ＜3}，结合数轴，0-1-2231x ∴M ∩N ={x |－1＜x ＜2}. 答案：CA ={x ∈R |x ＜5－2}，B ={1，2，3，4}，那么〔RA 〕∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}解析：RA ={x ∈R |x ≥5－2}，而5－2∈〔3，4〕，∴〔RA 〕∩B ={4}.答案：DP ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R |2≤x ≤6}，那么以下结论正确的选项是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P解析：P ∩Q ={2，3，4，5，6}，∴P ∩Q P . 答案：DU 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，假设求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，那么这个运算表达式可以是_______________.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，那么〔U Q〕=｛3｝，〔U P〕={2，3}，易见〔U Q〕∩P=∅.答案：〔U Q〕∩PA＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x⊆A｝，那么A、B、C之间的关系是___________________.解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛∅，｛1｝，｛0｝，AA、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是附属关系.答案：B A，A∈C，B∈C典例剖析【例1】函数f 〔x 〕=⎩⎨⎧∈-∈,,M x xP x x其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f 〔P 〕={y |y =f 〔x 〕，x ∈P }，f 〔M 〕={y |y =f 〔x 〕，x ∈M }.给出以下四个判断，其中正确判断有①假设P ∩M =∅，那么f 〔P 〕∩f 〔M 〕=∅ ②假设P ∩M ≠∅，那么f 〔P 〕∩f 〔M 〕≠∅ ③假设P ∪M =R ，那么f 〔P 〕∪f 〔M 〕=R ④假设P ∪M ≠R ，那么f 〔P 〕∪f 〔M 〕≠R剖析：由题意知函数f 〔P 〕、f 〔M 〕的图象如以下图所示.设P =［x 2，+∞〕，M =〔－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f 〔P 〕=［f 〔x 2〕，+∞〕，f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕，那么P ∩M =∅.而f 〔P 〕∩f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕≠∅，故①②P =［x 1，+∞〕，M =〔－∞，x 2］，∵|x 2|＜|x 1|，那么P ∪M =R .f 〔P 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕，f 〔M 〕=［f 〔x 2〕，+∞〕， f 〔P 〕∪f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕≠R ，故③④正确.答案：B【例2】 A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.解：A ={x |－2＜x ＜－1或者x ＞0}，设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =〔0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0， ①由A ∪B =〔－2，+∞〕知－2≤x 1≤－1.②由①②知x 1＝－1，x 2＝2，∴a ＝－〔x 1＋x 2〕＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.评述：此题应熟悉集合的交与并的涵义，纯熟掌握在数轴上表示区间〔集合〕的交与并的方法.【例3】记函数f 〔x 〕=132++-x x 的定义域为A ，g 〔x 〕=lg ［〔x －a －1〕〔2a －x 〕］〔a ＜1＝的定义域为B . 〔1〕求A ；〔2〕假设B ⊆A ，务实数a 的取值范围. 提示：〔1〕由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或者x ≥1，即A =〔－∞，－1〕∪［1，+∞］ 〔2〕由〔x －a －1〕〔2a －x 〕＞0，得〔x －a －1〕〔x －2a 〕＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =〔2a ，a +1〕. ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或者a +1≤－1，即a ≥21或者a ≤－2. 而a ＜1，∴21≤a ＜1或者a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是〔－∞，－2〕∪［21，1］. 【例4】设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下关系中成立的是QPC.P=Q∩Q=Q剖析：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=〔4m 〕2－4×m ×〔－4〕＜0，解得m ＜0. 综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0}. 答案：A评述：此题容易忽略对m =0的讨论，应引起大家足够的重视.【例5】 集合A ={〔x ，y 〕|x 2+mx －y +2=0}，B ={〔x ，y 〕|x －y +1=0，0≤x ≤2}，假如A ∩B ≠∅，务实数m 的取值范围.剖析：假如目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在此题中只起了一种“化装品〞的作用，它的实际背景是“抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0〔0≤x ≤2〕有公一共点，务实数m 的取值范围〞.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+),20(01,022x y x y mx x 得x 2+〔m －1〕x +1=0.①∵A ∩B ≠∅，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ=〔m －1〕2－4≥0，得m ≥3或者m ≤－1.当m ≥3时，由x 1+x 2=－〔m －1〕＜0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求； 当m ≤－1时，由x 1+x 2=－〔m －1〕＞0及x 1x 2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间〔0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.综上所述，所求m 的取值范围是〔－∞，－1〕.x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0〔0≤x ≤2〕的公一共点在线段上，此题也可以利用公一共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m 的不等式来解.【例6】设m ∈R ，A ={〔x ，y 〕|y =－3x +m }，B ={〔x ，y 〕|x =cos θ，y =sin θ，0＜θ＜2π＝，且A ∩B ={〔cos θ1，sin θ1〕，〔cos θ2，sin θ2〕}〔θ1≠θ2〕，求m 的取值范围.提示：根据题意，直线y =－3x +m 与圆x 2+y 2=1〔x ≠1〕交于两点，22)3(1||-+m ＜1且0≠－3×1+m .∴－2＜m ＜2且m ≠3. 答案：－2＜m ＜2且m ≠3.【例7】 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N ={x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －〔M －N 〕等于A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M解析：M －N ={x |x ∈M 且x ∉N }是指图〔1〕中的阴影局部.(1) (2)同样M －〔M －N 〕是指图〔2〕中的阴影局部. 答案：B【例8】 设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，P =Q ，求1+a 2+b 2的值.解：∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,b b a a①或者⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a②解①得a =0或者a =1，b =0或者b =1.〔舍去〕 由②得a =b 2=a 4，∴a =1或者a 3=1.a =1不合题意，∴a 3=1〔a ≠1〕.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0. 练习测试A ={〔x ，y 〕|x +y =0}，B ={〔x ，y 〕|x －y =2}，那么A ∩B 是A.〔1，－1〕B.⎩⎨⎧-==11y xC.{〔1，－1〕}D.{1，－1}A ={5，log 2〔a +3〕}，集合B ={a ，b }.假设A ∩B ={2}，那么A ∪B =______________. A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，假设A B ，那么a 的取值范围是___________________. A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0，a ∈R }只有一个元素，那么a 的值是__________________. A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，那么以下各式中错误的选项是．．．．．．A.〔IA 〕∪B =IB.〔IA 〕∪〔IB 〕=I C.A ∩〔IB 〕=∅D.〔I A 〕∩〔IB 〕=IB6.记函数f 〔x 〕=log 2〔2x －3〕的定义域为集合M ，函数g 〔x 〕= )1)(3(--x x 的定义域为集合N .求：〔1〕集合M 、N ； 〔2〕集合M ∩N 、M ∪N .7.A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}= ，务实数p 的取值范围.8.P ={〔x ，y 〕|〔x +2〕2+〔y －3〕2≤4}，Q ={〔x ，y 〕|〔x +1〕2+〔y －m 〕2＜41}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－〔a +a 2〕x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合〔数集、点集或者某类图形〕，然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进展运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯穿.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合〔数集、点集或者某类图形〕，然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯穿.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.二、逻辑联结词与四种命题知识梳理〔1〕命题：可以判断真假的语句叫做命题.〔2〕逻辑联结词：“或者〞“且〞“非〞这些词叫做逻辑联结词.〔3〕简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.〔4〕真值表：表示命题真假的表叫真值表.〔1〕四种命题原命题：假如p，那么q〔或者假设p那么q〕；逆命题：假设q那么p；否命题：假设⌝p那么⌝q；逆否命题：假设⌝q那么⌝p.〔2〕四种命题之间的互相关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.点击双基“p:8+7=16，q:π＞3”构成的复合命题，以下判断正确的选项是A.p或者q为真，p且q为假，非p为真B.p或者q为假，p且q为假，非p为真C.p或者q为真，p且q为假，非p为假D.p或者q为假，p且q为真，非p为真解析：因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或者q为真，p且q为假，非p 为真.答案：Ap :假设a 、b ∈R ，那么|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1］∪［3，+∞〕，那么 A.“p 或者q 〞为假B.“p 且q 〞为真C. p 真q 假D. p 假q 真解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，假设|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假. 又由函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，即|x －1|≥2，即x －1≥2或者x －1≤－2.故有x ∈〔－∞，－1］∪［3，+∞〕. ∴q 为真命题. 答案：Df 〔x 〕的定义域为R ，有以下三个命题：①假设存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f 〔x 〕≤M ，那么M 是函数f 〔x 〕的最大值； ②假设存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f 〔x 〕＜f 〔x 0〕，那么f 〔x 0〕是函数f 〔x 〕的最大值；③假设存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f 〔x 〕≤f 〔x 0〕，那么f 〔x 0〕是函数f 〔x 〕的最大值.这些命题中，真命题的个数是 A.0B.1C.2解析：①错.原因：可能“=〞不能取到.②③都正确.答案：C“假设m＞0，那么关于x的方程x2+x－m=0有实数根〞与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.答案：2p:函数y=log a〔ax+2a〕〔a＞0且a≠1〕的图象必过定点〔－1，1〕；命题q:假如函数y=f〔x－3〕的图象关于原点对称，那么函数y=f〔x〕的图象关于点〔3，A.“p且q〞为真B.“p或者q〞为假C. p真q假D. p假q真解析：解决此题的关键是断定p、qp真，q假〔可举反例y=x+3〕，因此正确答案为C.答案：C典例剖析【例1】给出命题“a、b、c、d是实数，假设a=b，c=d，那么a+c=b+d〞，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有剖析：原命题和逆否命题为真.答案：B【例2】假设a、b、c∈R，写出命题“假设ac＜0，那么ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.解：逆命题“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕有两个不相等的实数根，那么ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.否命题“假设ac≥0，那么方程ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕没有两个不相等的实数根〞是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.逆否命题“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕没有两个不相等的实数根，那么ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.【例3】指出以下复合命题的形式及其构成.〔1〕假设α是一个三角形的最小内角，那么α不大于60°；〔2〕一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；〔3〕有一个内角为60°的三角形是正三角形或者直角三角形.解：〔1〕是非p形式的复合命题，其中p:假设α是一个三角形的最小内角，那么α＞60°.〔2〕是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.〔3〕是p或者q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.【例4】写出命题“当abc=0时，a=0或者b=0或者c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.剖析：把原命题改造成“假设p那么q〞形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.解：原命题：假设abc=0，那么a=0或者b=0或者c=0，是真命题.逆命题：假设a=0或者b=0或者c=0，那么abc=0，是真命题.否命题：假设abc≠0，那么a≠0且b≠0且c≠0，是真命题.逆否命题：假设a≠0且b≠0且c≠0，那么abc≠0，是真命题.【例5】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内〞，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内〞，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内〞.假如三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果终究在哪个盒子里？解：假设苹果在A盒内，那么A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.假设苹果在B盒内，那么A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，假设苹果在C盒内，那么B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.练习测试“p且q〞形式，那么否命题的结论形式为A.⌝p且⌝qB.⌝p或者⌝qC.⌝p或者⌝qD.⌝q 或者⌝p①“假设xy=1，那么x、y互为倒数〞的逆命题②“面积相等的三角形全等〞的否命题③“假设m≤1，那么方程x2－2x+m=0有实根〞的逆否命题④“假设A∩B=B，那么A⊆B〞的逆否命题A.①②B.②③C.①②③D.③④“p或者q〞“p且q〞“非p〞填空.〔1〕命题“15能被3和5整除〞是___________________形式；〔2〕命题“16的平方根是4或者－4”是______________形式；〔3〕命题“李强是高一学生，也是一共青团员〞是___________________形式.“假设ab=0，那么a、b中至少有一个为零〞的逆否命题是_______________.5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机〞，命题p2“第二次射击击中飞机〞，试用p1、p2及联结词“或者〞“且〞“非〞表示以下命题：〔1〕两次都击中飞机；〔2〕两次都没击中飞机；〔3〕恰有一次击中飞机；〔4〕至少有一次击中飞机.A、B为两个集合.以下四个命题：①A B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x ∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______________.〔把符合要求的命题序号都填上〕7.命题：a、b为实数，假设x2＋ax＋b≤0有非空解集，那么a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.8.写出以下命题非的形式：〔1〕p:函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；〔2〕q:假设x=3或者x=4，那么方程x2－7x+12=0.9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜想.甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛完毕以后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？10、写出以下各命题的否认及其否命题，并判断它们的真假.〔1〕假设x、y都是奇数，那么x+y是偶数；〔2〕假设xy=0，那么x=0或者y=0；〔3〕假设一个数是质数，那么这个数是奇数.小结“p或者q〞与“p且q〞形式的复合命题语句中，字面上未出现“或者〞与“且〞字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或者q〞还是“p且q〞形式.一般地，假设两个命题属于同时都要满足的为“且〞，属于并列的为“或者〞.2.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断〔或者推证〕，我们可通过对与它同真假的〔具有逆否关系的〕命题来判断〔或者推证〕.教学点睛“p或者q〞与“p且q〞形式的复合命题语句中，字面上未出现“或者〞与“且〞字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或者q〞还是“p且q〞形式.一般地，假设两个命题属于同时都要满足的为“且〞，属于并列的为“或者〞.2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系.三、充要条件与反证法知识梳理1.充分条件：假如p⇒q，那么p叫q的充分条件，原命题〔或者逆否命题〕成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.2.必要条件：假如q⇒p，那么p叫q的必要条件，逆命题〔或者否命题〕成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.3.充要条件：假如既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，那么p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题〔或者逆否命题和否命题〕都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.点击双基1.ac2＞bc2是a＞b成立的解析：a＞b ac2＞bc2，如c=0.答案：A2.a、b、c为非零的平面向量.甲：a·b=a·c，乙：b=c，那么解析：命题甲:a ·b =a ·c ⇒a ·〔b －c 〕=0⇒a =0或者b =c . 命题乙:b =c ，因此乙⇒甲，但甲乙.故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B△ABC 中，“A ＞30°〞是“sin A ＞21〞的解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°〞是“sin A ＞21〞的必要不充分条件. 答案：Bp :a ＞4，q :5＜a ＜6，那么p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6.答案：必要不充分条件a 、b 、c 是常数，那么“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的解析：假设a ＞0且b 2－4ac ＜0，那么对任意x ∈R ，有ax 2+bx +ca =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A 典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A.x ＜0 B.x ≥0 C.x ∈{－1，3，5}D.x ≤－21或者x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或者x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证. 答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0. 证明：〔1〕必要性，即“假设x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，那么a +b +c =0”. ∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12+b ·1+c =0，即a +b +c =0. 〔2〕充分性，即“假设a +b +c =0，那么x =1是方程ax 2+bx +c =0的根〞.把x =1代入方程的左边，得a ·12+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合〔1〕〔2〕知命题成立.【例3】求ax 2+2x +1=0〔a ≠0〕至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：〔1〕方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=014421a x x a Δa ＜0. 〔2〕方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044a a a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或者0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤a ＜0或者0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或者0＜a ≤1.【例4】 以下说法对不对?假如不对，分析错误的原因. 〔1〕x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； 〔2〕x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：〔1〕x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒〞不成立，因为x =－1时，“⇒〞左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的〔请同学补充说明详细错在哪里〕.〔2〕x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒〞不成立，因为x =0时，“⇒〞左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的〔请同学补充说明详细错在哪里〕.评述：此题的解答比拟注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以〔1〕〔2〕两个结论都不对.【例5】 指出以下命题中，p 是q 的什么条件. 〔1〕p :0＜x ＜3，q :|x －1|＜2； 〔2〕p :〔x －2〕〔x －3〕=0，q :x =2； 〔3〕p :c =0，q :抛物线y =ax 2+bx +c 过原点. 解：〔1〕p :0＜x ＜3，q :－1＜x ＜3.p 是q 的充分但不必要条件.〔2〕pq ，q ⇒p .p 是q 的必要但不充分条件.〔3〕p 是q 的充要条件.评述：依集合的观点看，假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；假设A =B ，那么A 是B 的充要条件.练习测试1.p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的2. “cos2α=－23〞是“α=k π+12π5，k ∈Z 〞的△ABC 中，“A ＞B 〞是“cos A ＜cos B 〞的A ：两曲线F 〔x ，y 〕＝0和G 〔x ，y 〕=0相交于点P 〔x 0，y 0〕，命题B ：曲线F 〔x ，y 〕+λG 〔x ，y 〕＝0〔λ为常数〕过点P 〔x 0，y 0〕，那么A 是B 的__________条件.f 〔x 〕=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈〔－∞，1］B.a ∈［2，+∞〕C.α∈［1，2］D.a ∈〔－∞，1］∪［2，+∞〕6.数列{a n }的前n 项和S n =p n+q 〔p ≠0且p ≠1〕，求数列{a n }成等比数列的充要条件.U =｛〔x ，y 〕｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛〔x ，y 〕|2x －y +m ＞0｝，B =｛〔x ，y 〕|x +y －n ≤0｝，那么点P 〔2，3〕∈A ∩〔UB 〕的充要条件是A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5 x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0， ① x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件. 9.a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，那么a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.小结“结论否认形式〞，如“至少有一个〞“至多有一个〞“都是〞的否认形式是“一个也没有〞“至少有两个〞“不都是〞.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明. 教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个〞“至多有一个〞等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证. 练习测试解答一、集合的概念与运算1、解析：⎩⎨⎧=-=+20y x y x ⇒⎩⎨⎧-==.1,1y x答案：C2、解析：∵A ∩B ={2}，∴log 2〔a +3〕=2.∴a =1.∴b =2.∴A ={5，2}，B ={1，2}.∴A ∪B ={1，2，5}. 答案：{1，2，5}3、解析：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴〔如以下图〕可知a ≤1.a 1 2答案：a ≤14、解析：假设a =0，那么x =－21. 假设a ≠0，Δ=4－4a =0，得a =1. 答案：a =0或者a =15、解析一：∵A 、B 、I 满足A ⊆B ⊆I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都是正确的.B AI解析二：设非空集合A 、B 、I 分别为A ={1}，B ={1，2}，I ={1，2，3}且满足A ⊆B ⊆I .根据设出的三个特殊的集合A 、B 、I 可判断出A 、C 、D 都是正确的.答案：B6、解：〔1〕M ={x |2x －3＞0}={x |x ＞23}； N ={x |〔x －3〕〔x －1〕≥0}={x |x ≥3或者x ≤1}.〔2〕M ∩N ={x |x ≥3}；M ∪N ={x |x ≤1或者x ＞23}.7、解：∵A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，∴〔1〕假设A =∅，那么Δ=4－4p ＜0，得p ＞1； 〔2〕假设A ≠∅，那么A ={x |x ≤0}， 即方程x 2+2x +p =0的根都小于或者等于0. 设两根为x 1、x 2，那么⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤-=+≥-=.0,02,0442121p x x x x p Δ ∴0≤p ≤1. 综上所述，p ≥0.8、解：点集P 表示平面上以O 1〔－2，3〕为圆心，2为半径的圆所围成的区域〔包括圆周〕；点集Q 表示平面上以O 2〔－1，m 〕为圆心，21P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或者内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤〔R 1－R 2〕2，即〔－1＋2〕2＋〔m －3〕2≤〔2－21〕2.解得3－25≤m ≤3＋25.评述：此题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题. 9、解：∵B ={x |1＜x ＜2}，假设存在实数a ，使A ∩B =A ，那么A ={x |〔x －a 〕〔x －a 2〕＜0}.〔1〕假设a =a 2，即a =0或者a =1时，此时A ={x |〔x －a 〕2＜0}=∅，满足A ∩B =A ，∴a =0或者a =1.〔2〕假设a 2＞a ，即a ＞1或者a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，那么⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤2.〔3〕假设a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，那么⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a≤2，∴a∈∅.综上所述，当1≤a≤2或者a=0时满足A∩B=A，即存在实数a，使A={x|x2－〔a+a2〕x+a3＜0＝且A∩B=A成立.二、逻辑联结词与四种命题1、解析：p且q的否认为⌝p或者⌝q.答案：B2、解析：写出满足条件的命题再进展判断.答案：C3、答案：〔1〕p且q〔2〕p或者q〔3〕p且q4、解：〔1〕两次都击中飞机是p1且p2；〔2〕两次都没击中飞机是⌝p1且⌝p2；〔3〕恰有一次击中飞机是p1且⌝p2，或者p2且⌝p1；〔4〕至少有一次击中飞机是p1或者p2.5、答案：假设a≠0且b≠0，那么ab≠06、解析：A B⇔存在x∈A，有x∉B，故①错误；②错误；④正确.亦或者如以下图所示.B A∩A B③反例如以下图所示.ABA B⇒A B.反之，同理.答案：④7、分析：原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集〔即不等式有解〕，结论是a2－4b≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题.解：逆命题：a、b为实数，假设a2－4b≥0，那么x2+ax+b≤0有非空解集.否命题：a、b为实数，假设x2+ax+b≤0没有非空解集，那么a2－4b＜0.逆否命题：a、b为实数，假设a2－4b＜0，那么x2+ax+b≤0没有非空解集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.8、解：〔1〕函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或者至少有两个交点.〔2〕假设x=3或者x=4，那么x2－7x+12≠0.9、解：〔1〕假设小李得了第三名，那么甲全猜对，乙全猜错，显然与题目条件相矛盾，故假设不可能.〔2〕假设小李得了第二名，那么甲猜对一半，乙猜对一半，也与条件矛盾，故假设不可能.〔3〕假设小李得了第一名，那么甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.综合〔1〕〔2〕〔3〕知小李得了第一名.10、解：〔1〕命题的否认：x、y都是奇数，那么x+y不是偶数，为假命题.原命题的否命题：假设x、y不都是奇数，那么x+y不是偶数，是假命题.〔2〕命题的否认：xy=0那么x≠0且y≠0，为假命题.原命题的否命题：假设xy≠0，那么x≠0且y≠0，是真命题.〔3〕命题的否认：一个数是质数，那么这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：假设一个数不是质数，那么这个数不是奇数，为假命题.三、充要条件与反证法1、解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于rp ，∴qp .答案：A 2、解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3、解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B 〔余弦函数单调性〕.答案：C 4、答案：充分不必要5、解析：∵f 〔x 〕=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f 〔x 〕在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆〔－∞，a ］或者［1，2］⊆［a ，+∞〕，即a ≥2或者a ≤1.答案：D6、分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ； 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=〔p －1〕·pn －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }〔n ∈N *〕是等比数列，那么12a a =p ，即〔p －1〕·p =p 〔p +q 〕，∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n－1，a n =〔p －1〕·p n －1，1-n na a =p 〔n ≥2〕， ∴{a n }是等比数列. 7、解析：∵UB =｛〔x ，y 〕｜n ＜x +y ｝，将P 〔2，3〕分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8、解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=〔－4〕2－16m ≥0，即m ≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ2=〔4m 〕2－4〔4m 2－4m －5〕≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1. 9、证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，那么Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0， 〔a －b 〕2+〔b －c 〕2+〔c －a 〕2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.10、解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，那么a +b +c ≤0. 而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=〔x －1〕2+〔y －1〕2+〔z －1〕2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数， 〔x －1〕2+〔y －1〕2+〔z －1〕2≥0，∴a +b +ca +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0.。