专题二临界问题及两种模型的动力学分析方法2课时

单元专项提升Ⅱ动力学连接体问题和临界问题1、动力学中的连接体模型，学会使用整体法与隔离法分析。

2、掌握动力学的临界分析。

一、动力学的连接体问题1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．4．整体法与隔离法的选用求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．二、动力学的临界问题1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．3．临界问题的常见类型及临界条件：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．4．解答临界问题的三种方法(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．题型1动力学的连接体问题[例题1] （2023秋•密云区期末）如图是采用动力学方法测量空间站质量的原理图。

§考点一临界问题分析方法在运用牛顿定律解动力学问题时，常常讨论相互作用的物体是否会发生相对滑动，接触的物体是否会发生分离等，这类问题就是临界问题。

解决临界问题的关键是分析临界状态，例如两物体刚好要发生相对滑动时，接触面上必须出现最大静摩擦力；两物体要发生分离，相互之间的作用力——弹力必定为零。

【例一】：两重叠在一起的滑块，置于固定的倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块Bμ，B与A间的动摩擦A,的质量分别为mM,，A与斜面间的动摩擦因数为1因数为μ，已知两滑块都从斜面由静止以相同的加速度滑下，滑块B受到的摩2擦力（BC）A.等于零B.方向沿斜面向上BC.大小等于θμcosmg A B A1D.大小等于θμcosmgθαC2（例一图）（变式1）【变式1】物体B放在物体A上，A、B的上下表面均与斜面平行，如图所示，当两者以相同的初速度靠惯性沿光滑固定斜面C向上做匀减速运动时（）A.A受到B的摩擦力沿斜面向上B.A受到B的摩擦力沿斜面向下C.A、B之间的摩擦力为零D.A、B之间是否存在摩擦力取决于A、B表面的性质【例二】如图所示，细线的一端固定于倾角为︒45的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴着一个质量为m的小球，当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力为零；当滑块以g=的加速度向左运动时，线中拉力Fa2是多少？F FFN45αP︒a A a a︒45甲mg乙mg解析：假设滑块具有向左的加速度a 时，小球受重力mg 、绳的拉力F 和斜面的支持力N F 作用，如图甲所示，由牛顿第二定律得： 水平方向：ma F F N =-︒︒45cos 45cos 竖直方向：045sin 45sin =-+︒︒mg F F N 由上述两式得 ︒-=45sin 2)(a g m F N ，︒+=45cos 2)(a g m F① 由此两式可以看出，当加速度a 增大时，球所受支持力N F 减小，绳拉力F 增大，当g a a ==ο时，0=N F ,此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为，所以滑块至少以g a a =≥ο向左运动时小球对滑块的压力为零。

专题二：动力学中的临界极值问题1. 当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键.2. 临界或极值条件的标志⑴有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3. 动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T= 0.(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.[例 1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为M= 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为[1 = 0.2，地面光滑，现对斜面体施水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力20.6，cos 37 °= 0.8，g= 10 m/s )F的取值范围. (sin【例2】如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为6 kg，m>= 2 kg，A B之间的动摩擦因数i二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则()A.当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B•两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动A BC•两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动质疑与反思:(1) 、若m=2Kg, m B=6Kg,贝U:(2) 、若F作用于B物体，则:【变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是口2m ■A.质量为2m的木块受到四个力的作用【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m = 4 kg的物块P, Q 为一重物，已知Q 的质量为m = 8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k = 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给 Q 施加一个方向沿斜面向上的力 F ,使它从 静止开始沿斜面向上做匀加速运动， 已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，求：力F 的最大值与最小值.(sin 37°= 0.6 ,g = 10 m/s 2)专题二：动力学中的临界极值问题1.当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点， 这个转折点所对应的 状态B.当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断C •当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断 D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m 和2m 的木块间的摩擦力为F T 【变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦 力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2mB 和C 物体的质量均为m 滑轮光滑，砝码盘中可 以任意加减砝码•在保持 能达到的最大拉力是(A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下, ) 1A. . 2 mgB.卩 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg 【变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为 m = 2 kg 、m = 1 kg 的两物块，t = 0时刻同 时施加两个力，其中F — 2 N 、F 2= (4 — 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(恥 爪7777777777777777777777777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD. 2.5 s叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键.2 •临界或极值条件的标志⑴有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界占；八、、)(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；⑷若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3•动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T= 0.(4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.【例1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为M k 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为卩=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F,要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围.(sin 37°= 0.6 , cos 37°= 0.8 ,2g= 10 m/s )审题指导此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性, 此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下•找准临界状态是求解此题的关键.解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F i,此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为x轴正方向. F ti对物块，£1水平方向有F N sin 0 —^F N COS 0 = ma竖直方向有F N COS 0 + uF©n 0 —mc= 0对M m整体有F i= ( M+ n) a i代入数值得：a i = 4.8 m/s 2, F i= 14.4 N(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为水平方向有F N sin 0 + cos 0 = ma竖直方向有F N cos 0 —U F N' sin 0 —mc= 0对整体有F2= (M+ m)a2代入数值得a2= 11.2 m/s 2, F2= 33.6 NF 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动综上所述可知推力F 的取值范围为：14.4 N < F W 33.6 N答案 14.4 N < F < 33.6 N【例2 如图所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为HA = 6 kg ,2 kg ，A B 之间的动摩擦因数 卩二0.2，开始时F = 10 N ，此后逐渐增加，在增大到 45 N 的过程中，则()A. 当拉力F<12 N 时，物体均保持静止状态B •两物体开始没有相对运动，当拉力超过C •两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动 答案 D解析 当A 、B 间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时， A 、B 才会发生相对 运动.此时对B 有：F fmax = ym A g = 12 N,而F fmax = m B a ，a = 6 m/s ，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s 2,此时对A 、B 整体：F = ( m A + m)a =48 N ，即F>48 N 时，A 、B 才 会开始相对运动，故选项 A B C 错误，D 正确.质疑与反思：【变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 m 2m 和3m 的三个木块，其中质量 为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T .现用水平拉力 12 N 时，开始相对运动A •——7777777777777777777777777(1)、若 m=2Kg, m B =6Kg,贝U:⑵、若F 作用于B 物体，则:A.质量为2m 的木块受到四个力的作用B. 当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断C •当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m 和2m 的木块间的摩擦力为F T 答案 C解析 质量为2m 的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块 m 的压力和摩擦力 五个力作用，选项A 错误；当轻绳达到最大拉力 F T 时，对m 和2m 整体，F T = 3mq 再对 三个木块整体，F = (m^ 2m+ 3m)a ，得到F = 2F T ,选项B 错误，C 正确；对木块 m 由 1F f = ma 得到F f = §F T ，选项D 错误.【变式训练2：如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦 力等于滑动摩擦力),A 物体质量为2m , B 和C 物体的质量均为m 滑轮光滑，砝码盘中可 A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下, )1A.尹 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg答案 B解析 因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC = ma 才能最大.这时，A 、 B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2卩mg 对BC 整体来讲：F AB = 2卩mg= (R B + m e ) a以任意加减砝码•在保持 能达到的最大拉力是(B.卩 mg=2ma a=^g,所以F BC=ma=卩mg选项B正确.【变式训练3】光滑水平面上并排放置质量分别为m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同mi时施加两个力，其中只=2 N、F2= (4 —2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(77771777777777777777^7777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD. 2.5 s答案D解析两物块未分离时，设m与m之间的作用力为F,对m：F—F i= ma；对m：F2—F =ma.两个物块分离时，F= 0,即有：一Fp ma, F2 = ma.代入数据得t = 2.5 s，选项D正确.【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m= 4 kg的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg,弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F,使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin37 °= 0.6 , g= 10 m/s 2)解析从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等.设刚开始时弹簧压缩量为X。

专题二：滑块滑板和临界问题1．模型特点：上、下叠放两个物体，并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动．2．建模指导,解此类题的基本思路：(1)分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；(2)对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程。

特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移。

3.分析滑块—木板模型问题时应掌握的技巧（1）．分析题中滑块、木板的受力情况，求出各自的加速度．（2）．画好运动草图，找出位移、速度、时间等物理量间的关系．（3）．知道每一过程的末速度是下一过程的初速度．（4）．两者发生相对滑动的条件：A.摩擦力为滑动摩擦力．B二者加速度不相等．例1.(2016·江苏泰州期末)如图所示，在光滑平面上有一静止小车，小车质量为M＝5 kg，小车上静止地放置着质量为m＝1 kg的木块，木块和小车间的动摩擦因数为μ＝0.2，用水平恒力F拉动小车，下列关于木块的加速度a m和小车的加速度a M，可能正确的有( )A. a m＝1 m/s2，a M＝1 m/s2B.a m＝1 m/s2，a M＝2 m/s2C.a m＝2 m/s2，a M＝4 m/s2D.a m＝3 m/s2，a M＝5 m/s2例2.(2016·河北省衡水中学调研)如图甲所示，A、B两物体叠放在一起放在光滑的水平面上，B物体从静止开始受到一个水平变力的作用，该力与时间的关系如图乙所示，运动过程中A、B始终保持相对静止。

则在0～2t0时间内，下列说法正确的是( )A.t0时刻， A、B间的静摩擦力最大，加速度最小B.t0时刻，A、B的速度最大C.0时刻和2t0时刻，A、B间的静摩擦力最大D.2t0时刻，A、B离出发点最远，速度为0例3.如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ，现对物块m施加水平向右的恒力F，若恒力F使长木板与物块出现相对滑动，施加力F的最小值为（重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力）（）。

拼搏图解法分析动力学临界问题湖北省恩施高中 陈恩谱动力学临界问题的产生机制和常规解决方法，笔者已经在《动力学临界问题的类型与解题技巧》里进行了详细的举例和分析，这次要介绍的是该文所述三种方法之外的更加直观和迅速的图解法，其精髓是根据力的多边形定则将物体受力按顺序首尾相接形成力的多边形，然后根据物体间保持相对静止时力允许的变化范围，确定加速度或者其他条件的允许范围。

具体如下： 一、弹力类临界问题1、轻绳类临界问题轻绳有两类临界问题——绷紧和绷断，绷紧要求F T ＞0，不绷断要求F T ≤F T m 。

合起来即0≤F T ≤F T m 。

【例1】如图所示，绳AC 、BC 一端拴在竖直杆上，另一端拴着一个质量为m 的小球，其中AC 杆长度为l.当竖直杆以某一角速度ω转动时，绳AC 、BC 均处于绷直状态，此时AC 绳与竖直方向夹角为30°，BC 绳与竖直方向夹角为45°。

试求ω的取值范围。

已知重力加速度为g .【解析】若两绳中均有张力，则小球受力如图所示，将F T1、F T2合成为一个力F 合，由平行四边形定则易知F 合方向只能在CA 和CB 之间，将mg 、F 合按顺序首尾相接，与二者的合力ma 形成如图所示三角形，其中mg 不变，ma 方向水平指向圆心，则由F 合的方向允许的范围，即可由图轻松求出ma允许的范围：45tan 30tan mg ma mg ≤≤其中30sin 2l a ω=，代入上式，得：lgl g 2332≤≤ω 【例2】如图所示，物体的质量为2 kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，AC 水平，AB 与水平方向成θ＝60°角，在物体上另施加一个方向与水平方向也成θ＝60°角的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围.（重力加速度g 取10m/s 2）【解析】小球受力如左图所示，由平行四边形定则易知，绳中张力F T1、F T2的合力方向只可能在两绳所夹范围内；则由平衡条件可知，重力mg 与拉力F 的合力方向也就只能在两绳反向延长线所夹范围内。

动力学专题：临界问题一、有关弹力的临界问题——明确弹力变化的特点1. 如图所示，在斜面体上用平行于斜面的轻绳挂一小球，小球质量为m，斜面体倾角为 ，置于光滑水平面上 (g取10m/s2)，求：（1）当斜面体向右匀速直线运动时，轻绳拉力为多大；（2）当斜面体向左加速运动时，使小球对斜面体的压力为零时，斜面体加速度为多大？（3）要使小球对细绳无拉力,求斜面体运动的加速度范围,并说明其方向.（4）若已知α=60°,m=2kg,当斜面体以a=10m/s2向左做匀加速运动时,绳对小球拉力多大?(g取10m/s2) （5）为使小球不相对斜面滑动，斜面体水平向右运动的加速度应不大于______．2.如图示，α=370，β=530，小球质量为m，g=10m/s2:(1)要使三角形ABC不变形，且要使AC中无张力，则系统的加速度是？此时BC中的张力多大？(2)要使三角形ABC不变形，且要使BC中无张力，则系统的加速度是？此时AC中的张力多大？(3)如果小车的加速度水平向左，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(4)如果小车的加速度水平向右，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(5)如果小车的加速度竖直向上，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(6)如果小车的加速度竖直向下，大小为2g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？3.如图所示，车厢内光滑的墙壁上，用线拴住一个重球．车静止时，线的拉力为T，墙对球的支持力为N．车向右作加速运动时，线的拉力为T′，墙对球的支持力为N′，则这四个力的关系应为：T′ T；N′ N．（填>、<或＝）若墙对球的支持力为0，则物体的运动状态可能是或4.一斜面体固定在水平放置的平板车上，斜面倾角为 ，质量为m的小球处于竖直挡板和斜面之间，当小车以加速度a向右加速度运动时，小球对斜面的压力和对竖直挡板的压力各是多少？（如下图所示）5.如图所示，光滑的圆球恰好放存木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成α角.球的质量为m，木块的质量为M，M所处的平面是水平的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计.则释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，P物的质量的最大值是多少?二、有关斜面上摩擦力的临界问题——物体在斜面上滑动的条件6.如图所示，物体A放存固定的斜面B上，在A上施加一个竖直向下的恒力F，下列说法中正确的有( )(A)若A原来是静止的，则施加力F后，A仍保持静止(B)若A原来是静止的，则施加力F后，A将加速下滑(C)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度不变(D)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度将增大7.（09·北京·18）如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固定斜面上。