第八章 第六节 椭圆

高中数学第二册第八章第一节《椭圆及其标准方程》说课教案我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（试验修订本.必修）《数学》第二册、第八章《圆锥曲线》、第一节《椭圆及其标准方程》。

一、概说：1、教材分析：椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。

是后继学习的基础和范示。

同时，也是求曲线方程的深化和巩固。

2、教学分析：椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。

本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。

3、学生分析：高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。

但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点是：标准方程的推导。

二、目标说明：根据数学教学大纲要求确立“三位一体”的教学目标。

1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

三、过程说明：依据“一个为本，四个调整”的新的教学理念和上述教学目标设计教学过程。

“以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式”体现如下：（一）对教材的重组与拓展：根据教学目标，选择教学内容，遵循拓展、开放、综合的原则。

第八章 第六节 双曲线一、选择题1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.3x 24－y24＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－4y 23＝1 3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )A. 2B. 3 C ．2D ．34．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ² 2PF的最小值为 ( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．05．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为 ( )A.14 B.13 C.23D ．－136．已知双曲线mx 2－y 2＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )A.12 B ．1 C ．2D ．3二、填空题7．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．8．已知双曲线kx 2－y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．9．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．三、解答题10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．12．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足 OC ＝λ OA ＋ OB，求λ的值．详解答案一、选择题1．解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．答案：A2．解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 24－3y 24＝1. 答案：A3．解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2³b 2a ＝2³2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c a＝ 3.答案：B4．解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y2＝3(x 2－1)， 1PA ² 2PF ＝(－1－x ，－y )²(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时， 1PA ² 2PF 取得最小值－2.答案：A5．解析：由题意可知m －2＝3＋1，解得m ＝6.法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)，F 2(0,2)，联立x 22＋y 26＝1与y 23－x 2＝1组成方程组，解得P (22，322)．所以由两点距离公式计算得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－ 3.又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝13.法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)．F 2(0,2)，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，|F 1F 2|＝4，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：B6．解析：由题意可得，点A 的坐标为(1m，0)，设直线AB 的方程为y ＝tan 45°(x－1m)，即x ＝y ＋1m，与双曲线方程联立可得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1m mx 2－y 2＝1，则(m －1)y 2＋2my＝0，解得y ＝0或y ＝2m 1－m .由题意知y ＝2m 1－m 为B 点的纵坐标，且满足2m1－m >0，即0<m <1，根据选项知．答案：A 二、填空题7．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：28．解析：双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝14，∴双曲线的离心率为 e ＝1k＋11k＝52，渐近线方程为12x ±y ＝0. 答案：52 12x ±y ＝09．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5 三、解答题10．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.11．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b2. ∴s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0. 解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是[52，5]． 12．解：(1)点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设 OC ＝(x 3，y 3)， OC ＝λOA ＋ OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝ －4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.。

第八章 第六节 椭圆1.(2009·陕西高考)“y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之， 若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C2．(2009·广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________． 解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y29 1.答案：x 236＋y 29＝13．(2009·北京高考)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7. 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6， ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.又|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°4.(2010·郑州模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( ) A.－1＋52B ．1－22 C.2－1 D.22解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2，∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－12. 答案：A5．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶 点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是 ( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D6．(2009·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B (－c ，±b 2a )．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵A P ＝2PB ，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D7．(2009·重庆高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，∵a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，∴|PF 2||PF 1|＝a c ＝1e，即|PF 1|＝e |PF 2|. ① 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 将①代入得|PF 2|＝2ae ＋1(a －c ，a ＋c )，同除以a 得，1－e ＜2e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1.答案：(2－1,1)8.过椭圆x 26＋y25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则22112222165165x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53.∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A9．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12解析：设直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程， 得(1＋221k )x 2＋821k x ＋821k －2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2121812k k +，∴y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝22x ， ∴P (－2121412k k +，121212k k +)，∴k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.答案：D10.(2010·广州调研)设椭圆C ：a 2＋b 21(a >b >0)的离心率为e ＝22，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上一动点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解：(1)依题意知，2a ＝4，∴a ＝2. ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎨⎧y 0－y1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得：x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05. ∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点P (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，则－10≤－5x 0≤10. ∴3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．11．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F (4,0)，长轴端点到较近焦点的距离为1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)为椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的方程；(2)若x 1＋x 2＝8，在x 轴上是否存在一点D ，使|D A |＝|D B|？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题设知c ＝4，a －c ＝1，∴a ＝5，b ＝3. ∴所求方程为x 225＋y 29＝1.(2)假设存在点D (x 0,0)，由|D A |＝|D B|，则点D 在线段AB 的中垂线上， 又线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，∴线段AB 的中垂线方程为： y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)． ① 又2125x ＋219y ＝1，2225x ＋229y ＝1，∴22221212259x x y y --+＝0.∴x 1－x 2y 1－y 2＝－259·y 1＋y 28. 在①中令y ＝0，∴－y 1＋y 22＝25(y 1＋y 2)72(x 0－4)． ∴x 0＝6425，∴存在点D 为⎝⎛⎭⎫6425，0.12．(理)(2009·山东高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 x 2＋y 2＝R 2，其中0＜R ＜2.设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时， 令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， ①将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.②因为OA ⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③把①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 联立②得m 2＝83(1＋k 2)．④因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k2，由④得R ＝263，所以存在圆x 2＋y 2＝83当切线AB 的斜率不存在时，易得21x ＝22x ＝83，由椭圆E 的方程得21y ＝22y ＝83，显然OA ⊥OB .综上所述，存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2(－4km 2k 2＋1)2－4×2m 2－82k 2＋1 ＝4 2k 2＋12k 2＋11－23×k 2＋12k 2＋1.令t ＝k 2＋12k 2＋1，则12＜t ≤1，因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －34)2＋12.所以323≤|AB |2≤12， 即463≤|AB |≤2 3. 当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝463，所以463≤|AB |≤2 3. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点， 设∠OAB ＝θ，则θ为锐角，且|AD |＝263tan θ，|BD |＝263tan θ.所以|AB |＝263(tan θ＋1tan θ)．因为2≤|OA |≤22，所以22≤tan θ≤ 2. 令x ＝tan θ，易证：当x ∈[22，1]时， |AB |＝263(x ＋1x)单调递减．当x ∈[1，2]时，|AB |＝263(x ＋1x )单调递增．所以463≤|AB |≤2 3.。

第八篇解析几何第六节双曲线考纲要求：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.基础知识回顾1．双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的2．双曲线的标准方程和几何性质自我检测1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn<0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越大．()(5)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．()2．(2014·忻州联考)已知双曲线x2n－y24－n＝1的离心率为2，则n的值为()A．2 B.43C．1 D.523．(2014·大庆质检)双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的方程是()A.x24－y22＝1 B.x24－y28＝1 C.y28－x24＝1 D.x22－y24＝14．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为()A.43 B.53 C.54 D.414考点互动探究考点1.双曲线的定义例1. (1)(2014·大纲卷)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14 B.13 C.24 D.23(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．(3)(2014·辽宁大连一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是()A ．|OA |>|OB B ．|OA |<|OB |C ．|OA |＝|OB |D ．|OA |与|OB |大小关系不确定对点训练1.(1)若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2 B.m －a C.12(m －a ) D ．m －a(2)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 210＝1(x >0) C ．x 2－y 28＝1(x >0) D ．x 2－y210＝1(x >1)小结：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点则设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 考点2.双曲线的标准方程例2. (1)(2014·北京卷)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．(2)(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 【拓展探究】(1)(2014·辽宁沈阳一模)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程 _________________．(2)本例(2)中若双曲线方程改为y 2a 2－x 2b 2＝1其余不变．考点3.双曲线的几何性质考点3.例3(1)(2014·山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0(2)(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3对点训练3.(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m(2)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．名师讲坛：审题程序：运用双曲线的标准方程及性质解题(2014·浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【练题】如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3。