甘肃省兰州一中2015届高三数学冲刺模拟试题理

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =( )A .{3,4,5}B .{4,5,6}C .{|36}x x <≤D .{|36}x x ≤<2．已知i 是虚数单位，则i i +-221等于（ ） A ．i - B ．i -54 C ．i 5354- D ．i3．公差不为零的等差数列第2，3， 6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2 个数均为偶数”，则P （B |A ）=( )A ．101 B ．41 C ．52 D ．215.在ABC 中,已知2AD DB =,且13CD CA CB λ=+,则λ=( )A. 23 B . 13 C . 13- D . 23-6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021-B ． 5121-C ． 252(41)3-D ． 262(41)3-7. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ）A . 28+65B. 30+65C. 56+125D. 60+1258．函数 f(x)=ln (x-1x)的图象是( )9. 已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2013)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为( )A ．14026B ．4026πC ．12013D ．2013π10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD =2AB =6,则该球的表面积为( )A ．16πB ．24πC ．48πD ．π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A B C D 12．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ,n )表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_____人.14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．16．观察下列算式：13=1,23 =3+5,33 = 7+9+1143 =13 +15 +17 +19 ，… …若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n = ．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a , b , c , 且2(a 2+b 2-c 2)= 3ab . （Ⅰ）求2sin 2A B +； （Ⅱ）若c =2，求△ABC 面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1中点，BD与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1.(Ⅰ )证明：BC丄AB1；(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22143x y+=的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率； （Ⅱ）记△GFD 的面积为S 1，△OED （O 为原点）的面积为S 2．试问：是否存在直线AB ，使得S 1=S 2？说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC .（Ⅰ）求证：CE ·EB = EF ·EP ；（Ⅱ）若CE :BE = 3:2，DE = 3， EF = 2，求PA 的长.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程。

2015年甘肃省某校高考数学仿真试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1. 设全集为R ，函数f(x)=√1−x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A (−∞, 1) B (1, +∞) C (−∞, 1] D [1, +∞)2. 若复数z =a+i 2i（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 等于( )A 1B −1C 12 D −123. 函数f(x)=ln(x 2+1)的图象大致是( )A B C D4. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y=3−5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y =b x +a必过(x ¯，y ¯)；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 35. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A 若m // α，n // α，则m // nB 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC 若m ⊥α，m ⊥n ，则n // αD 若m // α，m ⊥n ，则n ⊥α6. 一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点Po 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离ℎ(m)与时间f(min)之间的函数关系式是（ ）A ℎ(t)=−8sin π6t +10 B ℎ(t)=−8cos π6t +10 C ℎ(t)=−8sin π6t +8 D ℎ(t)=−8cos π6t +87. 设函数f(x)＝e x +x −2，g(x)＝lnx +x 2−3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（ ）A g(a)<0<f(b)B f(b)<0<g(a)C 0<g(a)<f(b)D f(b)<g(a)<0 8. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A 1B 23C 1321D6109879. 已知抛物线y =−x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）A 3B 4C 3√2D 4√210. 在平面直角坐标平面上，OA →=(1,4)，OB →=(−3,1)，且OA →与OB →在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为（ ） A 43B 52C 25D 3411. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0, b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A 43B 53C 2D 7312. 将边长为2的等边△PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点P(x, y)的轨迹方程是y =f(x)，关于函数y =f(x)的有下列说法：①f(x)的值域为[0, 2]； ②f(x)是周期函数；③f(4.1)<f(π)<f(2014)； ④∫f 60(x)dx =9π2．其中正确的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z =y −x 的最小值为−4，则k 的值为________．14. 已知(x−m)7=a0+a1x+a2x2+...+a7x7的展开式中x4的系数是−35，则m=________；a1+a2+a3+...+a7=________．15. 四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2√2，则该球表面积为________．16. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2<a2+b2+2abcos2C，则∠C的取值范围是________．三、解答题（共5小题，满分60分）17. 已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0, n∈N∗)满足a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n＝0．（1）令c n=a n，求数列{c n}的通项公式；b n（2）若b n＝3n−1，求数列{a n}的前n项和S n．18. M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？(Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．19. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足2AE=EC，2BF=FA1．（1）求证：AB⊥BC；（2）求点E到直线A1B的距离；（3）求二面角F−BE−C的平面角的余弦值．20. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√154，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的周长是8+2√15（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆T ：(x −t)2+y 2=49，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且t ∈(1, 3)时，求EF 的斜率的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x −ax （a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为−1．(1)求a 的值及函数的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0, +∞)时，恒有x 2<ce x ．选考题：本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD̂中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连接CE ．（1）求证：AG ⋅EF ＝CE ⋅GD ； （2）求证：GFAG =EF 2CE 2．23. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =5+√32t,y =12t（t 为参数）． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．24. 设函数f(x)=√|x +1|+|x +2|−a ． (1)当a =5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围．2015年甘肃省某校高考数学仿真试卷（理科）（5月份）答案1. B2. B3. A4. C5. B6. B7. A8. C9. C 10. C 11. B 12. C 13. −1214. 1,1 15. 12π 16. (0, π3)17. ∵ a n b n+1−a n+1b n +2b n+1b n ＝0，c n =a nb n，∴ c n −c n+1+2＝0， ∴ c n+1−c n ＝2，∵ 首项是1的两个数列{a n }，{b n }，∴ 数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴ c n ＝2n −1； ∵ b n ＝3n−1，c n =an b n，∴ a n ＝(2n −1)⋅3n−1，∴ S n ＝1×30+3×31+...+(2n −1)×3n−1， ∴ 3S n ＝1×3+3×32+...+(2n −1)×3n ，∴ −2S n ＝1+2⋅(31+...+3n−1)−(2n −1)⋅3n ， ∴ S n ＝(n −1)3n +1．18. （I ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为820=25，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×25=4人，“乙部门”人选有10×25=4人，用事件A 表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件A ¯表示“没有一名甲部门人被选中”，则P(A)＝1−P(A ¯)＝1−C 43C 83=1−456=1314．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是1314；（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0，1，2，3， P(X ＝0)=C 60C 43C 103=130，P(X ＝1)=C 61C 42C 103=310，P(X ＝2)=C 62C 41C 103=12，P(X ＝3)=C 63C 40C 103=16．因此，X 的分布列如下：所以X 的数学期望EX ＝0×130+1×930+2×1530+3×530=95．19. （1）证明：如图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1=A 1B ，∴ AD ⊥平面A 1BC ，又∵ BC ⊂平面A 1BC ，∴ AD ⊥BC ．∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ AA 1⊥底面ABC ，∴ AA 1⊥BC ． 又∵ AA 1∩AD =A ，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又∵ AB ⊂侧面A 1ABB 1，∴ AB ⊥BC ．… （2）解：由(I)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，B(0, 0, 0)，A(0, 3, 0)，C(3, 0, 0)，A 1(0, 3, 3)∵ 线段AC 、A 1B 上分别有一点E 、F ，满足2AE =EC ，2BF =FA 1， ∴ E(1, 2, 0)，F(0, 1, 1)，∴ EF →=(−1,−1,1)，BA 1→=(0,3,3)． ∵ EF →⋅BA 1→=0，∴ EF ⊥BA 1，∴ 点E 到直线A 1B 的距离d =|EF|=√3．… （3）解：BE →=(1,2,0)，BF →=(0,1,1)， 设平面BEF 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅BF →=y +z =0˙，取x =2，得n →=(2, −1, 1)，由题意知平面BEC 的法向量m →=(0,0,1)， 设二面角F −BE −C 的平面角为θ，∵ θ是钝角，∴ cosθ=−|cos <m →，n →>|=√6=−√66， ∴ 二面角F −BE −C 的平面角的余弦值为−√66．… 20. 由e =√154，即c a=√154，可知a ＝4b ，c =√15b ，∵ △PF 1F 2的周长是8+2√15，∴ 2a +2c =8+2√15， ∴ a ＝4，b ＝1，所求椭圆方程为x 216+y 2=1；椭圆的上顶点为M(0, 1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y ＝kx +1， 由直线y ＝kx +1与T 相切可知√k 2+1=23，即(9t 2−4)k 2+18tk +5＝0， ∴ k 1+k 2=−18t 9t 2−4,k 1k 2=59t 2−4，由{y =k 1x +1x 216+y 2=1，得(1+16k 12)x 2+32k 1x =0． ∴ x E =−32k11+16k 12，同理x F =−32k 21+16k 22，则k EF =y E −yF x E−x F=(k 1x E +1)−(k 2x F +1)x E −x F=k 1x E −k 2x F x E −x F=k 1+k 21−16k 1k2=6t28−3t 2． 当1<t <3时，f(t)=6t 28−3t2为增函数，故EF 的斜率的范围为(625,18)． 21. (1)解：由f(x)=e x −ax ，得f ′(x)=e x −a ．由题意得f ′(0)=1−a =−1，则a =2． 所以f (x )=e x −2x ，f ′(x )=e x −2． 令f ′(x )=0，得x =ln2．当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x =ln2时，f (x )取得极小值f (ln2)=e ln2−2ln2=2−ln4，f (x )无极大值． 证明：(2)令g (x )=e x −x 2，则g ′(x )=e x −2x ， 由(1)得g ′(x )=f (x )≥f (ln2)>0， 故g (x )在R 上单调递增， 又g (0)=1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x ． (3)对任意给定的正数c ，取x 0=√c，由(2)知，当x >0时，e x >x 2，所以e x =e x 2e x2>(x 2)2(x 2)2，当x >x 0时，e x>(x 2)2(x 2)2>4c (x 2)2=1c x 2，所以对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0,+∞)时，恒有x 2<ce x ． 22. 连接AB ，AC ，∵ AD 为⊙M 的直径，∴ ∠ABD ＝90∘， ∴ AC 为⊙O 的直径，∴ ∠CEF ＝∠AGD ， ∵ ∠DFG ＝∠CFE ，∴ ∠ECF ＝∠GDF ， ∵ G 为弧BD 中点，∴ ∠DAG ＝∠GDF ， ∴ ∠DAG ＝∠ECF ， ∴ △CEF ∽△AGD ， ∴ CEEF =AGGD ，∴ AG ⋅EF ＝CE ⋅GD由（1）知∠DAG ＝∠GDF ， ∠G ＝∠G ，∴ △DFG ∽△ADG ， ∴ DG 2＝AG ⋅GF ， 由（2）知EF 2CE 2=GD 2AG 2，∴GF AG=EF 2CE 2．23. 解：(1)对于C ：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x 2+y 2=4x ； 对于l ：由{x =5+√32t ，y =12t （t 为参数）， 得y =√3−5)，即x −√3y −5=0．(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2, 0)，半径为2， 则弦心距d =√3×0−5|√1+3=32，弦长|PQ|=2√22−(32)2=√7，因此以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S =2d ⋅|PQ|=3√7． 24. 解：(1)由题设知：|x +1|+|x +2|−5≥0，在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x +2|和y =5的图象，由图象知定义域为(−∞, −4]∪[1, +∞)．(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x+2|−a≥0，即|x+1|+|x+2|≥a，又由(1)|x+1|+|x+2|≥1，∴ a≤1．。

甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2D. 1[,1]2【答案】C【解析】由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤ 故答案为：C【考点】函数的定义域与值域 【难度】 12. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为向量(1,2)a =- ,(3,)b m =,R m ∈,所以()2,2a b m +=+，所以//()a a b +()122206m m ⇔-⨯+-⨯=⇔=-， 所以“6m =-”是“//()a a b +”的充要条件，故答案为：A【考点】充分条件与必要条件 【难度】 13. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 【答案】A【解析】因为函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点， 所以函数()2log ,1y x x =≥，与直线y m =-有交点， 所以00m m -≥⇒≤， 故答案为：A【考点】函数零点的意义 【难度】 14．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( ) A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 【答案】C【解析】因为3812910a a a d +=+=， 所以=+753a a ()1141822920a d a d +=+=， 故答案为：C【考点】等差数列 【难度】 15．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； ③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”； ④“0x >”是 “12x x+≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( ) A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④ 【答案】C 【解析】若“p q ∨”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题， 故①不正确；命题②显然正确；“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+<”， 所以③不正确；显然命题④正确.故答案为：C【考点】命题及其关系;全称量词与存在性量词;充分条件与必要条件 【难度】 26．已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( ) A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<< 【答案】B【解析】易得函数f(x)是偶函数， 且()2sin 0f x x x '=+>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数， 所以(0)(0.5)(0.6)f f f <-< 故答案为：B【考点】函数的单调性与最值 【难度】27.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C的对边0aGA bGB +=，则角A = ( )A ．90 B.60 C ．45 D.30 【答案】D【解析】因为G 是ABC ∆的重心，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+, 同理，()()()1112333BG BA BC AB AC AB AC AB =+=-+-=-, ()()11233CG CB CA AB AC =+=-.代入已知等式整理得AB AC = ,又因为,AB AC 不共线，所以360330a ba b c a b ⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+-=⎪⎩⎩，所以222222cos 22b c a A bc +-===， 因为()0,180A ∈,所以A =30 ，故答案为：D【考点】平面向量的线性运算;余弦定理 【难度】 28．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称 B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称 【答案】A【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，sincos44a b b a ππ=-⇒=-，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3()4y f x π=-3sin sin 44x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故答案为：A【考点】三角函数的图像与性质;恒等变换综合 【难度】 2 9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于( ) A ．12πB.4πC ．3πD.6π【答案】D【解析】因为2||AB BC AB =⋅，所以()()0AB BC AB AB BC BA ⋅-=⋅+=,而BC BA BE +=，所以AB BE ⊥(如图)，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠= ,因为点B所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==， 故答案为：D【考点】三角函数的图像与性质;平面向量的几何运算 【难度】 210．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5【答案】B【解析】以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则圆O 的方程为：2225x y +=，A(0,-5),(1,0)AB =,设P(x,y),则(),5AP x y =+，所以()()x,y 51,0AP AB x ⋅=+⋅=[]5,5∈-，所以AP ×AB的取值范围是[]5,5-，故答案为：B【考点】平面向量坐标运算 【难度】 211．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( ) A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D【解析】由()()20f x f x ++=(2)(4)0f x f x ⇒+++=()(4)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为4，所以①正确；由(4)()f x f x -=(2)(2)f x f x ⇒-=+， 所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以②正确； 因为函数()f x 的周期是4，且(4)()f x f x -= 所以()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以③正确. 故答案为：D【考点】函数综合 【难度】 312．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015] 【答案】C【解析】设a<b<c 则a,b 的中点是12，所以++a b c =1+c ，因为当01x ≤≤时，[]()0,1f x ∈，(2014)1f =， 又,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c == 令()()()f a f b f c ==k =，则()0,1k ∈， 由图像易得当k 趋向于0时，c 趋向于1， 当k 趋向于1时，c 趋向于2014， 所以++a b c 的取值范围是(2,2015) 故答案为：C【考点】函数综合 【难度】 3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________. 【答案】1ln 2+ 【解析】11(2)1x dx x ++ò()210[ln 1]|ln21x x =++=+ 故答案为：1ln 2+ 【考点】积分 【难度】 214. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________. 【答案】512π 【解析】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位,得sin 2()y x ϕ=-， 由这个函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈， 因为0ϕ>所以当k=-1时，ϕ有最小值512π故答案为：512π【考点】三角函数图像变换 【难度】 2 15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .【答案】334【解析】因为tan 4α=，所以21cos 24sin sin 2++ααα22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====故答案为：334【考点】恒等变换综合 【难度】 216．以下命题：①若⋅=⋅ a b a b ,则// a b ；②向量(1,1)a =- 在(3,4)b = 方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 BC ×20=CA ；④若非零向量a ,b满足+= a b b ,则22>+ b a b .所有真命题的序号是______________. 【答案】①②④【解析】因为⋅=⋅ a b a b ，所以cos ,1a b =± ， 或者,a b中至少有一个零向量，所以// a b ，故①为真命题；因为(1,1)a =- ，(3,4)b =，所以cos ,a b a b a b ⋅==⋅，所以向量(1,1)a =- 在(3,4)b =方向上的投影为1cos ,5a ab == ，故②为真命题；若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为+= a b b ,所以220a a b +⋅=，所以22222240b a b a a b a -+=--⋅=> ，故④为真命题.所以，所有真命题的序号是①②④.故答案为：①②④【考点】平面向量的线性运算 【难度】 3三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==. (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B +==+. （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=， 解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=【考点】正弦定理;余弦定理【难度】318. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若()C A B ⊆⋃，求m 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ） A (1,3)=- ，B [0,1)(2,4]=?，∴A B [0,1)(2,3),⋂=⋃ A B(1,4]?-.（Ⅱ）因为C (1,4]?22mx 10方程x \+-= 小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则f (1)1m 0f (4)4m 310,m 144ìïïï-=-?ïïï=+?íïïïï-<-<ïïî解得31m 1.4-＃【考点】集合的运算 【难度】319. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-．【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ，∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ， ∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ．（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立， ∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ． 【考点】三角函数综合【难度】3 20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+． （Ⅰ）求公差d 的值； （Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ， 化简得：48=d ，解得2=d ． （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ， ∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+ =11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n=11(1)221n -+≥13， 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立 ∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2560--≤m m ， 解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．【考点】数列综合应用 【难度】321．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<m 的取值范围； （Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-． 【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． ①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a∈-+∞上为减函数. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数. 当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数 . (Ⅱ) (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-+成立，令()3h x x e =-，则()1xh x e '=-+，当(0,)x ∈+∞时， 1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数. 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2tt e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-.【考点】导数的综合运用 【难度】4四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. (Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,=== 所以AH 3\=【考点】圆 【难度】323. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. 2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3 C 为直线270x y --=，∴M 到3C的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. 【考点】曲线参数方程【难度】3 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明： （Ⅰ）22213++≥a b c ； （Ⅱ）2221++≥a b c b c a. 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）222,+≥ a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac222222222,∴++≥++a b c ab bc ac222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . 2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ， 2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222a b c a b c b c a ∴++≥++，2221a b c b c a∴++≥.【考点】不等式证明 【难度】3。

甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则MN =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ） A. 1180B.1288 C. 1360 D. 14809.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ）A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A.3 B. 132+ C. 13 D. 1132+11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞ D. ()()31,3,2-∞+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ=，(1)AN AC λ=-，R λ∈，若2BN CM ⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.ABCDP20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；SD A PCB（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23 ； 15. 1255； 16. ()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B-=-， 即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分 （Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+222752sin cos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形ABCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P A B C DV -=，即 311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =，而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDCS PD CD PDC =⋅⋅⋅=， 设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =， ∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .PB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()x xx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x x x x---'=-=>，∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=，∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n = 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n≥，将以上各式相乘，得：111123!nne en ++++≥ ……………………………… 12分22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232，∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分（2）由''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.证明：由已知及均值不等式：33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅31232==⋅ ……………………… 10分NM S DA P CB。

甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （M N ）=A ．{1,4,6,7}B ．{2,4,6,7}C ．{1，2，4，6，7}D ．{1，3，4，6，7}2．i ．z=1一i （i 为虚数单位），则z=A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是A ．p ∨q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．⌝q 是真命题D ．p 是假命题4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=A ．12B ．一12CD 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是A ．33x y >B ．sin sin x y >C ．221(1)1(1)n x n y +>+D ．221111x y >++ 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中点的横坐标为A ．32B ．2C ．52D ．37．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是AB ．13C ．29D8．阅读右侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为A ．S=2*i-2B ．S= 2*i-1C ．S=2*iD ．2*i+49．设F1、F2分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是A ．[一2,1）B ．（—2,1）C ．（一2,1]D ．[—2,1]10．已知长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π且AB ：AD ：AA 11：2，则球O 到平面ABCD 的距离为A ．1B ．CD ．211．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>与函数g （x ）= cos (2)()2x πϕϕ+<的对称轴完全相同，则ϕ=A ．－4πB ．4πC ．2πD ．－2π 12．已知函数31[0,]32()21(,1]12x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对任意1[0,1]x ∈，总存在21[0,]2x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．(,4]-∞-B ．(,6]-∞C ．[4,)-+∞D ．[6,)+∞ 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

兰州一中2015届高三高考冲刺模拟考试试题理科综合注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在三张答题卡上。

2.试卷满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H:1 O:16 Na:23 Fe:56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列与细胞核相关的叙述，错误的是A．核膜为双层膜结构，也属于生物膜系统的组成成分B．细胞核中可以进行DNA复制和转录过程C．核膜在有丝分裂过程中会周期性的消失和出现D．细胞核是细胞代谢的主要场所2．下列关于遗传、变异与进化的叙述中，说法正确的是A．基因突变只发生在细胞分裂的间期B．进化的实质是种群基因型频率的改变C．不同基因型的个体对环境的适应性一定不同D．自然选择直接作用于个体，从而决定种群进化的方向3．下列关于生物学实验的叙述中，正确的是A．达尔文的向光性实验，证明了生长素分布不均匀是植物弯曲生长的原因B．观察根尖染色体加倍的活动程序包括低温诱导、解离、固定、漂洗、染色、制片等C．提取色素的原理是色素在层析液中溶解度越大，在滤纸上扩散速度越快D．探究细胞大小与物质运输效率的关系时，琼脂块体积是自变量，NaOH扩散速度是因变量4．2014年西非地区爆发了埃博拉疫情。

埃博拉病毒(EBV)是一种RNA病毒，侵入人体后发生免疫反应，下列叙述正确的是A．EBV被吞噬细胞特异性识别，产生特异性免疫反应B．EBV刺激T细胞分泌淋巴因子与该病毒结合C．在T细胞和EBV的共同刺激下，B细胞才能增殖、分化为浆细胞D．细胞免疫产生的效应T细胞可识别并破坏被EBV侵染的细胞5．某课题组以南瓜为实验材料，应用赤霉素和生长素进行相关研究，结果如下图，据图分析正确的是A ．该实验的自变量是激素的种类B ．生长素和赤霉素的生理作用表现为拮抗关系C ．南瓜突变体为上述激素不敏感型突变体D ．不同浓度的激素对正常南瓜都有促进作用6．很多植物在进化过程中会产生某些化学物质，用以抵御植食性动物的取食，如芥子油苷就是十字花科植物产生的，芥子油苷及其代谢产物对多数昆虫都是有毒的，但却能吸引菜粉蝶前来产卵，其幼虫（菜青虫）也以十字花科植物的茎叶为食。

2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合P ={x|x ≥0}，Q ={x|x+1x−2≥0}，则P ∩Q =( )A (−∞, 2)B (−∞, −1)C [0, +∞)D (2, +∞)2. 复数z 满足(1+i)z =2i ，则z 在复平面上对应的点位于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 公比不为1等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且−3a 1，−a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 4=( )A −20B 0C 7D 404. 已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，下列四个命题： ①若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α // β；③若m ⊥α，m // n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m // α，α∩β=n ，则m // n ． 其中正确命题的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5. 已知a =∫(π20sinx +cosx)dx ，在(1+ax)6(1+y)4的展开式中，xy 2项的系数为（ ） A 45 B 72 C 60 D 1206. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A 323 B 64 C32√33 D 6437. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+12014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A i ≤2013B i ≤2015C i ≤2017D i ≤2019 8. 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则（ ）A b <a <cB c <a <bC c <b <aD a <c <b9. 过平面区域{x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≤0 内一点P 作圆O:x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，则当α最小时cosα的值为（ ） A √9510 B 1920 C 910 D 1210. 设三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +1的导函数f′(x)=3ax(x −1)，且a >2，则函数f(x)的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311. 已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x −3)2+(y −1)2＝1上的一个动点，N(1, 0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D √2+1 12. 已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x <0log a x(a >0，且a ≠1)，x >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A (0,√55) B (√55，1) C (√33，1) D (0,√33)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 在直角三角形ABC 中，∠C =π2，AB =2，AC =1，若AD →=32AB →，则CD →⋅CB →=________．14. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f(x)=ax 2−bx 在x =1处取得最值的概率是________．15. 若cos(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=________． 16.设等差数列{a n }满足a 5=11，a 12=−3，{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ，则lg M =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ． (1)求角B 的大小；(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB ＝60∘，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、C 1、E 的平面交棱BB 1于点F ，B 1F ＝2BF ．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E−AC1−C的平面角的余弦值．19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20, 25)、第2组[25, 30)、第3组[30, 35)、第4组[35, 40)、第5组[40, 45)，得到的频率分布直方图如图所示：(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．20. 已知圆F1：(x+1)2+y2=r2与圆F2：(x−1)2+y2=(4−r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为1．4（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（3）求△ABM的面积的最大值．−mlnx21. 设函数f(x)=x−1x（1）若函数f(x)在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数ℎ(x)=x−lnx−1，∃x1，x2∈[1, e]使得f(x1)≥ℎ(x2)成立，e求m的范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】 22. 选修4−1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ． (Ⅰ)求证：AB AC=PA PC；(Ⅱ)求AD ⋅AE 的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =1+tcosαy =tsinα （t 是参数）(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，求直线的倾斜角α的值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=92，若a +b ≤m 恒成立，（1）求m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x|≥a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）答案1. D2. A3. A4. D5. B6. D7. B8. B9. C 10. D 11. A 12. A13. 9214. 11215. 7816. 217. 解：(1)由bsinA=√3acosB及正弦定理得：sinBsinA=√3sinAcosB，∵ A为三角形的内角，∴ sinA≠0，∴ sinB=√3cosB，即tanB=√3，又B为三角形的内角，0<B<π，∴ B=π3；(2)由sinC=2sinA及正弦定理得：c=2a①，∵ b=3，cosB=12，∴ 由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：9=a2+c2−ac②，联立①②解得：a=√3，c=2√3．18. 证明：设四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，∵ B1F＝2BF，△B1C1F∽△BEF，∴ BE=a2⋯由∠DAB＝60∘＝∠ABE，∠ABC＝120∘，得AE=√3a2，AC=√3a⋯∵ CE=3a2，∴ AE2+CE2＝AC2，AE⊥CE∵ ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴ C1C⊥AE，∵ CE∩CC1＝C，∴ AE⊥平面BCC1B1∵ AE⊂平面AC1E，∴ 平面AC1E⊥平面BCC1B1过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1＝C1E，CH⊥平面AC1E∴ CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH＝C，∴ AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴ ∠CGH是二面角E−AC1−C的平面角在Rt△ACC1中，AC=√3a，CC1＝a，AC1＝2a，CG=√32a，在Rt△ECC1中，CE=32a，CC1＝a，EC1=√132a，CH=3√1313a，CG=√32a、CH=3√1313a，求得任何一个给，两个全对给GH=√CG2−CH2=√3926a，cos∠CGH=GHCG=√1313．∴ 二面角E −AC 1−C 的平面角的余弦值是√1313．19. 解：(1)由题意可知：第3组的人数为0.06×5×1000=300， 第4组的人数为0.04×5×1000=200， 第5组的人数为0.02×5×1000=100， 第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为： 第3组12600×300=6，第4组12600×200=4， 第5组12600×100=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人.(2)从12名志愿者中抽取3名共有C 123=220种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有C 123−C 83=164种可能， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P =164220=4155.(3)由题意知：ξ的可能取值为：0，1，2，3， 且P(ξ=0)=C 60C 63C 123=20220，P(ξ=1)=C 61C 62C 123=90220，P(ξ=2)=C 62C 61C 123=90220，P(ξ=3)=C 63C 60C 123=20220，所以ξ的分布列为∴ ξ的期望Eξ=0×20220+1×90220+2×90220+3×20220=1.5.20. 解：（1）设⊙F 1，⊙F 2的公共点为Q ，由已知得，|F 1F 2|=2，|QF 1|=r ，|QF 2|=4−r ，故|QF 1|+|QF 2|=4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆，且b 2=a 2−c 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1（2）由曲线E 的方程得，上顶点M(0,√3)，记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0．若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x =x 1， 故y 1=−y 2，且y 12=y 22=3(1−x 124)，因此，k MA ⋅k MB =y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=−y 12−3x 12=34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在 设直线AB:y =kx +m ，代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1⋅x 2=4(m 2−3)3+4k 2又k AM =y 1−√3x 1=kx 1+m−√3x 1，k MB =y 2−√3x 2=kx 2+m−√3x 2由k AM ⋅k BM =14得，4(kx 1+m −√3)(kx 2+m −√3)=x 1x 2，即(4k 2−1)x 1x 2+4k(m −√3)(x 1+x 2)+4(m −√3)2=0，所以4(m 2−3)(4k 2−1)+4k(m −√3)(−8km)+4(m −√3)2(3+4k 2)=0， 化简得m 2−3√3m +6=0， 故m =√3或m =2√3． 结合x 1x 2≠0知m =2√3，即直线AB 恒过定点N(0，2√3)．（3）由△>0且m =2√3得k >32或k <−32又S △ABC =|S △ANM −S △BNM =12|MN|⋅|x 1−x 2||=√32√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32√(−8km 3+4k 2)2−4⋅4(m 2−3)3+4k 2=6√4k 2−93+4k 2=√4k 2−9+12√4k 2−9≤√32当且仅当4k 2−9=12，即k =±√212时，△ABM 的面积最大，最大值为√3221. 解：函数f(x)=x −1x−mlnx(1)定义域上为(0, +∞)， f′(x)=1+1x2−m x=x 2−mx+1x 2，∵ 函数f(x)在定义域上为增函数，∴ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ(x)单调递增， 即x +1x >m 在x >0时恒成立， 根据对钩函数得出m <2，故m 的范围为：m <2．（2）函数ℎ(x)=x −lnx −1e ，∃x 1，x 2∈[1, e]使得f(x 1)≥ℎ(x 2)成，即f(x)的最大值≥ℎ(x)的最小值， ∵ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ′(x)=1−1x >0，x ∈[1, e]，∴ ℎ(x)单调递增，ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−1e ， ∴ 可以转化为e −1e−m ≥1−1e，即m ≤e −1，m 的范围为：m ≤e −1． 22. ( I)∵ PA 为⊙O 的切线， ∴ ∠PAB ＝∠ACP ，又∠P 公用，∴ △PAB ∽△PCA ． ∴AB AC=PA PC．( II)∵ PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线， ∴ PA 2＝PB ⋅PC ．又∵ PA ＝10，PB ＝5，∴ PC ＝20，BC ＝15． 由( I)知，AB AC=PA PC=12，∵ BC 是⊙O 的直径， ∴ ∠CAB ＝90∘．∴ AC 2+AB 2＝BC 2＝225， ∴ AC =6√5,AB =3√5 连接CE ，则∠ABC ＝∠E ， 又∠CAE ＝∠EAB ， ∴ △ACE ∽△ADB ， ∴AB AE=AD AC∴ AD ⋅AE =AB ⋅AC =3√5×6√5=90．23. 解：(1)∵ ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2， ∴ 曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为： ρ2＝4ρcosθ， ∴ x 2+y 2＝4x ， ∴ (x −2)2+y 2＝4．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα 代入圆的方程(x −2)2+y 2＝4得：(tcosα−1)2+(tsinα)2＝4，化简得t 2−2tcosα−3＝0．设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=−3，∴ |AB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2α+12， ∵ |AB|=√14，∴ √4cos 2α+12=√14． ∴ cosα=±√22． ∵ α∈[0, π)， ∴ α=π4或α=34π．∴ 直线的倾斜角α=π4或α=34π．24. 解：（1）∵ a >0，b >0，且a 2+b 2=92，∴ 9=(a 2+b 2)(12+12)≥(a +b)2，∴ a +b ≤3，（当且仅当a 1=b 1，即{a =32b =32时取等号）又∵ a +b ≤m 恒成立，∴ m ≥3． 故m 的最小值为3．…（2）要使2|x −1|+|x|≥a +b 恒成立，须且只须2|x −1|+|x|≥3． ∴ {x ≤0−2x +2−x ≥3或{0<x ≤1−2x +2+x ≥3或{x >12x −2+x ≥3∴ x ≤−13或x ≥53．…。

2015年高三诊断考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考 生必将自已的姓名、考号填写在答题纸上. 2．本试满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|||1A x x =<，{}|21x B x =>，则A B =∩A .(1,0)-B .(1,1)-C .1(0,)2D .(0,1) 解：因为{}|||1(1,1)A x x ==-<，{}|21(0,)x B x ==+∞>，所以(0,1)∩A B =，选D2.复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是 A .1 B .i C .12 D .12i 解：11111(1)(1)22∵i i i i i +==+--+，∴虚部为123.复数||1a = ，||2b = ，且a ，b 夹角3π，则||2|a b +=A .2B .4C .12D .解：1∵a b ⋅= ，222|2|4444412∴a b a a b b +=+⋅+=++= ，|2|∴a b += 4.从数字1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为A .15 B .25 C .35D .45解：从1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，不同的两位数共有2520A = 个，其中大于40的两位数共有11248C C =，82205∴p == 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =A .18B .36C .54D .72解：4518∵a a =-，4518∴a a +=，又8184()∵S a a =+，818454()4()72∴S a a a a =+=+=6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A .2 B .92C .32D .3 解：如图所示，由三视图知，该几何体是一个四棱锥，底面是直角梯形，高为2，上底是下底的一半，下底为2， 棱锥的高为x ，所以1(12)26V x x =+⨯= 所以3x =.7.如图，程序输出的结果132S =，则判断框中应填A .10i ≥B .11i ≥C .11i ≤D .12i ≥解：因为初值12i =，1s =，所以第一次循环后12s =，11i = 第二次循环后132s =，10i =此时终止循环，输出132s =. 说明条件不成立，故选B8.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥则∥αβ是a b ⊥的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件解：因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭ ，又因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊥⎭，故充分不必要，选Ax正视图侧视图俯视图29.已知不等式组11x yx yy+⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域为D，若直线3y kx=-与平面区域D有公共点，则k的取值范围是A.[3,3]-B.11(,]],)33∪-∞-+∞C.(,3]-∞-11]解：如图，设直线3y kx=-过点(1,0)和(1,0)-时的斜率分别为1k和2k因为直线过定点(0,3)-所以13k=，23k=-又因为直线与区域D有公共点，所以3k≥或3k≤-10.在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：1(0)xy x=>上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A、B两点，则以下结论正确的是A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值3C.△OAB的面积有最大值4D.△OAB的面积的最取值范围是[3,4]解：设1(,)P mm（0m>），1∵xy=，21∴yx'=-，所以切线斜率为21km=-所以切线方程为211()y x mm m-=--，两截距点分别为2(0,)m和(2,0)m所以12222△OABS mm=⨯⨯=，即△OAB的面积为值2；选A.11.已知抛物线1C：22x y=的焦点为F，以F为圆心的圆2C交1C于A、B两点，交1C的准线于C、D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆2CA.221()42x y+-=B.221()42x y-+=C.221()22x y+-=D.221()22x y-+=解：如图，根据题意，圆2C的圆心为1(0,)2因为3)2A，所以22||4r AF==，故圆2C的方程为221()42x y+-=，选A.2y12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A .(2,)-+∞B .(0,)+∞C .(1,)+∞D .(4,)+∞ 解：(2)∵f x +是偶函数，(2)(2)∴f x f x +=-+，()∴f x 关于直线2x =对称， 又(4)1∵f =，(0)1∴f =，令()()xf xg x e =，则2()()()()()x x x xe f x e f x f x f x g x e e''--'== ∵()()f x f x '<，()0∴g x '<，()∴g x 在R 上单调递减，又0(0)(0)1∵f g e== 0∴x >时，()(0)1∴g x g =<，()1∴x f x e<，()∴x f x e <， 即()x f x e <的解集为(0,)+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-=_________________________. 解：(0,)2∵πα∈,4cos 5α=,3sin 5∴α=,3sin()sin 5∴παα-== 14.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为_______________________________.解：2∵x =的焦点为,212∴b =,又12∵e =,224∴a c =,223∴b c =, 24∴c =,216∴a =,故椭圆C 的方程为2211612x y +=. 15.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________________. 解：()(ln )∵f x x x ax =-,()ln 21∴f x x ax '=-+,x >0,令()0∴f x '=,则ln 210x ax -+=ln 12∴x a x +=,令ln 1()x g x x +=,则2ln ()xg x x-'=,(1)0g '= 0∴x <<1时，()0g x '>, ∴x >1时，()0g x '<, max ()(1)1∴g x g ==，又∵x >1时, ()0g x >,021∴a <<时，ln 12x a x+=有两解， 即102a <<时，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点. 16.数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若11010112015b b =，则21a =___.解：1∵n n n a b a +=,11a =,12∴b a =,322a b a =,123b b a =,433∵ab a =,1234∴b b b a =,544∵a b a =12345∴b b b b a =,…, 12341∴n n bb b b b a += ,12342021∴bb b b b a = ,又因为{}n b 为等比数列1101010211234201011()(2015)2015∴a b b b b b b b ==== . 三、解答题：解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、csin cC=（1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围. 解 （1）sin c C =,又sin sin ∵a cA C =,sin ∴a A =sin ∴A A =tan ∴A ,3∴A π=.（2）,63∵A a π==,2∴R = 如图当点A在圆弧上运动时，2∴R = 当6b c ==时，max ()12b c += 所以b c +的取值范围是(6,12]ABCa =660°bc解法二：转化为三角函数问题求取值范围.( 23B C π+=) 18.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C .（1）求证：1AD BC ⊥；（2）若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值.（1）证明:如图，连结1D C ,则1D C ⊥底面ABCD , 1∴BC DC ⊥, ∵ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，60∴ABC ∠=,AC =AC BC ⊥∴BC ⊥平面1ACD , 1∵AD ⊂平面1ACD , ∴BC ⊥1AD ,(2) ∵∥CD AB ,又∵1DD 与AB 所成的角为3π,1∴DD 与DC 所成的角为3π, 13∴D DC π∠=,1∵DC =,12∴DD =,1∴CD∵AC =1BC =1∴AD =12BD =,1∴ABD S =V∴ABC S =V 又因为1∵△ABD 在底面ABCD 上的射影为△ABC 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成角为θ,则1cos ABC ABD S S θ==V V , 故平面11ABC D 与平面ABCDABCD1A1B1C 1D19. （本小题满分12分）为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为45. （1）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；（2）用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望.解：（1）设盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数为m 个，记A = {从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”}，则A ={从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”},4()5∵P A =,1()5∴P A = 22615∴m C C =,3)(2)0∴(m m -+=,3∴m = 即盒中印有“兰州马拉松”标志的小球有3个.(2)由（1）知，盒中分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”小球各有3个， 又因为每位嘉宾最多抽奖3次,所以η取值为1,2,3所以23261(1)5C P C η===,232614(2)(1)525C P C η==-=,1416(3)152525P η==--= 所以η的分布列为:η的期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=.(注：3η=时，分第三次获奖与不获奖两种情形)20. （本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，右焦点F 到直线2a x c=的距离为32.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与曲线C 相交于B 、D 两点，已知(1,0)A ，若1DF BF ⋅=，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.解：（1）由题意知ba =且232a c c -=,222,3,1c b a === 所以双曲线C 的方程为2213y x -= 证明 (2)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,BD 中点为00(,)M x y ,直线l 的方程为y x m =+,0m >解方程组2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222230x mx m ---=,12x x m ∴+=, 21232m x x +=-, 123y y m ∴+=, 2212121233()2m y y x x m x x m -=+++=1DF BF ⋅=,(2,0)F ,(1,0)A ,1212(2)(2)1x x y y ∴--+=12121232()0x x x x y y ∴-+++=,12121232()0x x x x y y ∴-+++=220m m ∴-=,0m ∴=(舍) 或2m =,(1,3)M ∴,又(1,0)A ,MA x ∴⊥轴11221212121,)1,)()0AB AD x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-++= （（所以过,,A B D 三点的圆是以BD 为直径的圆，且与x 轴切于A 点.21. （本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x m x =++.（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++ <成立. 解：（1）2()ln(1)f x x m x =++ ,222()211m x x mf x x x x ++'∴=+=++,且(1,)x ∈-+∞ ()f x 是定义域上的单调函数, ∴对(1,)x ∀∈-+∞,222x x m ++≥0恒成立 112m ∴-+≥0,12m ∴≥,所以实数m 的取值范围是1[,)2+∞(2) 1m =- ,2()ln(1)f x x x ∴=-+,令32()ln(1)g x x x x =-++则3232213213(1)()32111x x x x x g x x x x x x +-++-'=-+==+++ 0x > ,()0g x '∴>,()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0g = ,()0g x ∴> 32ln(1)0x x x ∴-++>,32ln(1)x x x ∴>-+,即3()f x x <.(3)分析：观察要证不等式左边的通项为23n n e -,而（2）中证明的不等式为23ln(1)x x x -<+23ln(1)1xx x e e x -+∴<=+,从而有231nn e n -∴<+,从此想到借助函数不等式的证明.证明： 对(0,)x ∀∈+∞,都有32ln(1)x x x >-+成立，23ln(1)1x x x e e x -+∴<=+231nn e n -∴<+,(*n N ∈)23111(3)(1)(1)22nni i i i n n ei n n n -==+∴<+=++=∑∑ 即21429(1)(3)2n n n n e eee-⨯-⨯-+++++ <成立. 23. （本小题满分12分）选修修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标xoy 中，曲线1C的参数方程为x y siin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.解：（1）因为曲线1C的参数方程为x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以2222cos sin 1y αα+=+=2213x y +=,即曲线1C 普通方程为:2213x y +=.又因为sin()4πρθ+=sin cos 8ρθρθ∴+=,8x y ∴+=即曲线2C 直角坐标方程为：8x y +=(2)设(,)P x y ,则,x y sin αα==,设点P 到2C 上点的距离为d即当()13sin πα+= 时，点P 到2C 上点的距离的最小值为24. （本小题满分12分）选修修4-5：不等式选讲 已函数()|2|f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围.解：（1）()|2|f x x a a =-+ ,()6f x ≤, |2|6x a a ∴-+≤,|2|6x a a ∴-≤- 626a x a a ∴-≤-≤-, 3a x ∴-≤≤3, 32a ∴-=-, 1a ∴= 所以实数a 的值为1.(2)在（1）的条件下1a =,所以()|21|1f x x =-+,若存在实数n ,使()()f n m f n ≤--成立，则()()21212m f n f n n n ≥+-=-+++,又因为212121212n n n n -++≥---=,所以{}min ()()4m f n f n ≥+-=故m 的取值范围是[4,)+∞.2015年高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题7. 解析 ：由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i 的值依次为11，10,由于i 的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B 符合题意11. 解析 ：依题意，抛物线1C ：y x 22=的焦点为1(02F ，1(0)2，∵四边形ABCD 是矩形，且BD 为直径，AC 为直径，F ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，到直线CD 的距离为1p =∴圆2C 的半径2r AF === ∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减 ∵()()()1x x f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)x f x e g x g <⇔< ∴0x >故选B ． 二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+， 令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是1(0,)2.16．解析 11=，得2121a b a a ==． 2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sin sin c aC A==，sin A A = ∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin3a b cA B Cπ====∴b B=，c C=∴b c B C+=+]sin sin()sin sin()3B A B B Bππ⎤=+--=++⎥⎦12sin()6Bπ=+∵5666Bπππ<+<∴612sin()126Bπ<+≤即：(]6,12b c+∈…………12分18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C,则1D C⊥平面ABCD,∴1D C⊥BC在等腰梯形ABCD中,连接AC∵2AB=,1BC CD==AB∥CD∴BC AC⊥∴BC⊥平面1AD C∴1AD BC⊥…………6分(Ⅱ)解法一:∵AB∥CD∴13D DCπ∠=∵1CD=∴1DC=在底面ABCD中作CM AB⊥,连接1D M,则1D M AB⊥,所以1D MC∠为平面11ABC D与平面ABCD所成角的一个平面角在1Rt D CM∆中,2CM=,1DC=∴1D M==∴1cos D CM∠=即平面11ABC D与平面ABCD所成角(锐角)…………12分解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===2211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==1(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20.解：（Ⅰ）依题意有ba =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x +=∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+= ∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径 ∵M 点的横坐标为1 ∴MA x ⊥ ∵12MA BD =∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分（Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<, 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=, 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞) ∴2(1)1n n e n -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++=………12分 证法二:设(3)2n n n S +=则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥ ∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈ 欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e e e n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n 只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。

2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3>0}，集合B＝Z，则(∁R A)∩B＝（）A {−3, −2, −1, 0, 1}B {−1, 0, 1, 2, 3}C {0, 1, 2}D {−2, −1, 0}2. 设i是虚数单位，复数Z＝1+1−i1+i为（）A 1+iB 1−iC C、−1+iD −1−i3. 设a=12∫211xdx，b=13∫311xdx，c=15∫511xdx，则下列关系式成立的是（）A a<b<cB b<a<cC a<c<bD c<a<b4. 函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后与函数y＝cos(2x−π2)的图象重合，则y＝f(x)的解析式为（）A y＝cos(2x−π2) B y＝cos(2x+π6) C y＝sin(2x+π3) D y＝sin(2x−π6)5. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A 21B 22C 23D 246. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A (√32+2)π B (√33+4)π C (√36+2)π D (√33+2)ππ7. 阅读如图所示的程序框图，若输入的n＝10，则该算法的功能是（）A 计算数列{2n−1}的前11项和B 计算数列{2n−1}的前10项和C 计算数列{2n−1}的前11项和D 计算数列{2n−1}的前10项和8. 若x ，y 满足约束条件{2x +2y ≥1x ≥y 2x −y ≤1 ，且向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)，则a →⋅b →的取值范围（ ）A [54, 5] B [72, 5] C [54, 4] D [72, 4]9. 已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，若a 11=a 22=a 33=a 44=k ，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2S k类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每个面的面积分别记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11=S 22=S 33=S 44=K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=( ) A 4VKB 3VKC 2VKD VK10. 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝84，则实数b 的取值范围是（ ）A [2√5, 2√7]B (2√5, 2√7]C [2√6, 2√7]D (2√6, 2√7] 11. 在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A (√6−√22, √5−12) B (√6−√22, 1) C (√5−12, 1) D (0, √5−12) 12. 已知函数f(x)＝xcosπx λ，存在f(x)的零点x 0，(x 0≠0)，满足[f′(x 0)]2<π2(λ2−x 02)，则λ的取值范围是（ ） A (−√3, 0)∪（0, √3,） B (−√33, 0)∪(0, √33) C (−∞, −√3)∪(√3, +∞) D (−∞, −√33)∪(√33, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在(2x −√x 3)8的展开式中，常数项等于________（用数字作答）14. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点在同一个球面上，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝2√6，∠BAC ＝90∘，则球的表面积________． 15. 下面给出的命题中：①m ＝−2”是直线(m +2)x +my +1＝0与“直线(m −2)x +(m +2)）y 一3＝0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f(a)=∫ a0sinxdx ，则f[f(π2)]＝1−cos1；③已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)＝0，4，则P(ξ>2)＝0.2；④已知⊙C 1:x 2+y 2+2x ＝0，⊙C 2:x 2+y 2+2y −1＝0，则这两圆恰有2条公切线； ⑤线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有________．16. 设数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知1S 1+1S 2+⋯+1S n=nn+1，设b n =(12)a n 若对一切n ∈N ∗均有∑∈k=1n bk (1m,m 2−6m +163)，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若bcosA +acosB =−2ccosC ． (1)求角C 的大小；(2)若a +b =6，且△ABC 的面积为2√3，求边c 的长．18. 多面体ABCDE 中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE >1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD ． (Ⅰ)若AE ＝2，求证：AC // 平面BDE ；(Ⅱ)若二面角A 一DE 一B 的余弦值为√55，求AE 的长．19. 某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X （单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立． (Ⅰ)求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；(Ⅱ)供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？20. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)． (1)当时a =−14时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲 22. 选修4−1：几何证明选讲如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ， (Ⅰ)求∠ADF 的值(Ⅱ)若AB ＝AC ，求ACBC 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝asinθ． (Ⅰ)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|2x −1|+|2x +5|，且f(x)≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|x −3|−2x ≤2m −8．2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. B3. D4. C5. C6. C7. A8. A9. B 10. D 11. A 12. D 13. 112 14. 49π 15. ②④16. m <0或m ≥517. 解：(1)由题意知，bcosA +acosB =−2ccosC ， 正弦定理可得sinBcosA +sinAcosB =−2sinCcosC ，sin(A +B)=−2sinCcosC ， 由A ，B ，C 是三角形内角可知， sin(A +B)=sinC ≠0， ∴ cosC =−12，由0<C <π，得C =2π3.(2)∵ a +b =6，∴ a 2+b 2+2ab =36， ∵ △ABC 的面积为2√3， ∴ 12absinC =2√3，即12ab ×√32=2√3，化简得，ab =8，则a 2+b 2=20， 由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =20−2×8×(−12)=28.所以c =2√7．18. （I ）证明：如图所示，分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接MN ，NP ，DP ． 则MN ∥=12AC ，NP // AE ，NP =12AE ＝（1）∵ BD ＝CD ，BD ⊥CD ，M 为BC 的中点，BC＝2，∴ DM ⊥BC ，DM ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ． ∴ DM ⊥平面ABC ， 又AE ⊥平面ABC ， ∴ DM // AE ，∴ 四边形DMNP 为平行四边形，∴ DP // MN ，∴ AC // DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ，∴ AC // 平面BDE ． (II)设AE ＝a ，则E(0,√3,a)，BD →=(−1, 0, 1)，BE →=(−1,√3,a)， 设平面BDE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{BD →⋅n →=−x +z =0BE →⋅n →=−x +√3y +az =0，取n →=(1,1−a √3,1)，取平面ADE 的法向量m →=(1, 0, 0)， 则|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2+(1−a)23=√55，解得a ＝4， 即AE ＝（4）19. （1）依题意可得P 1＝P(20<X <40)=1030=13，P 2＝P(40≤X ≤60)=1530=12，P 3＝P(X >60)=530=16，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P =C 30(1−P 3)3+C 31(1−P 3)2⋅P 3＝(56)3+3×(56)2×16=2527，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为2527；（2）记供水部门的月总利润为Y 元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1， 对应的月利润为Y ＝12000，E(Y)＝12000×1＝12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20<X <40，一处供水站运行，此时Y ＝12000−6000＝6000，P(Y ＝6000)＝P(20<X <40)＝P 1=13，当X ≥40，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2＝24000，因此P(Y ＝24OOO)＝P(X ≥40)＝P 2+P 3=23，由此得Y 的分布列为则E(Y)＝6000×13+24000×23=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20<X <40时，一处供水站运行，此时Y ＝12000−12000＝0，由此 P(Y ＝0)＝P(40<X <80)＝P 1=13，当40≤X ≤60时，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2−6000＝18000， 由此P(Y ＝18000)＝P(40≤X ≤60)＝P 2=12，当X >60时，三处供水站运行，此时Y ＝12000×3＝36000， 由此P(Y ＝36000)＝P(X >60)＝P 3=16， 由此的Y 的分布列为由此E(Y)＝0×13+18000×12+36000×16=15000（元）， 欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站． 20. （I ）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则∵ 椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点， ∴ b =√3,ca=12∵ c 2＝a 2−b 2 ∴ a ＝2，c ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(II)若存在过点P(2, 1)的直线l 满足条件，则l 的斜率存在设方程为y ＝k(x −2)+1，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2−8k(2k −1)x +16k 2−16k −8＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由△＝32(6k +3)>0，可得k >−12 且x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k 2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k 2∵ PA →⋅PB →=54∴ (x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=54∴ [x 1x 2−2(x 1+x 2)+4](1+k 2)=54 ∴ [16k 2−16k−83+4k 2−2×8k(2k−1)3+4k 2+4](1+k 2)=54∴ 4k 2+43+4k 2=54 ∵ k >−12，∴ k =12∴ 存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，其方程为y =12x ．21. 解：(1)当a =−14时，f(x)=−14x 2+ln(x +1)，(x >−1)，f′(x)=−12x +1x +1=−(x+2)(x−1)2(x+1)，(x >−1)，由f′(x)>0解得−1<x <1，由f′(x)<0，解得：x >1，∴ 函数f(x)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, +∞)； (2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0，所表示的平面区域内，即当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立， 即ax 2+ln(x +1)≤x 恒成立，设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x ，(x ≥0)， 只需g(x)max ≤0即可， 由g′(x)=2ax +1x+1−1=x[2ax+(2a−1)](x+1)，当a =0时，g′(x)=−x x+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0成立， 当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)=0，因x ∈[0, +∞)，∴ x =12a −1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间(0, +∞)上，g′(x)>0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时不满足； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0, 12a−1)上单调递减，在区间(12a−1, +∞)上单调递增，同样函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时也不满足；当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在[0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0恒成立，综上：实数a 的取值范围是(−∞, 0]．22. （1）∵ AC 是⊙O 的切线，∴ ∠B ＝∠EAC ． 又∵ DC 是∠ACB 的平分线，∴ ∠ACD ＝∠DCB ，∴ ∠B +∠DCB ＝∠EAC +∠ACD ，∴ ∠ADF ＝∠AFD ． ∵ BE 是⊙O 直径，∴ ∠BAE ＝90∘． ∴ ∠ADF ＝45∘．（2）∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ．由(I)得∠BAE ＝90∘，∴ ∠B +∠AEB ＝∠B +∠ACE +∠EAC ＝3∠B ＝90∘， ∴ ∠B ＝30∘．∵ ∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴ △ACE ∽△BCA ， ∴AC BC=AE AB=tan30∘=√33． 23. （1）当a ＝2时，ρ＝asinθ转化为ρ＝2sinθ 整理成直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1直线的参数方程{x =−35t +2y =45t （t 为参数）．转化成直角坐标方程为：4x +3y −8＝0 （2）圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x 2+(y −a2)2=a 24直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍， 所以：d =|3a2−8|5=12⋅|a|22|3a −16|＝5|a|，利用平方法解得：a ＝32或3211．24. （1）要使f(x)≥m 恒成立，只需m ≤f(x)min ．由绝对值不等式的性质，有|2x −1|+|2x +5|≥|(2x −1)+(2x +5)|＝6， 即f(x)min ＝6，所以m ≤(6)（2）由(Ⅰ)知，m ＝6，所以原不等式化为|x −3|−2x ≤4，即|x −3|≤4+2x ， 得−4−2x ≤x −3≤4+2x ，转化为{−4−2x ≤x −3x −3≤4+2x，化简，得{x ≥−13x ≥−7，所以原不等式的解集为{x|x ≥−13}．。