土木工程测量_第5章_测量误差的基本知识

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土木工程测量
(1) 用计算的方法加以改正。如钢尺的温度改正、倾斜改正等。 (2) 用合适的观测方法加以削弱。如在水准测量中，测站上采用“后—前—前—后” 的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；在水平角测量时，采用盘左、盘右观测 值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。 (3) 将系统误差限制在一定的允许范围之内。有些系统误差既不便于计算改正，又不 能采用一定的观测方法加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准尺倾斜对读数的影 响。对于这类误差，则必须严格遵守操作规程，对仪器进行精确检校，使其影响减少到允 许范围之内。
值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度，
这是因为观测误差与观测值的大小无关。
3. 容许误差
由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限度。根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度的观测中，绝对值大于 2 倍 中误差的偶然误差出现的可能性约为 5%；绝对值大于 3 倍中误差的偶然误差出现的可能 性约为 0.3%。因此，在观测次数不多的情况下，可以认为大于 3 倍中误差的偶然误差是不 可能出现的。故通常以 3 倍中误差作为偶然误差的极限误差，即
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(4) 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋近
于 0，即
lim [Δ ] = 0 n→∞ n
(5-3)
式中，［Δ］=Δ1+Δ2+…+Δ n，n 为观测次数。
在测量学中以“[·]”表示取括号中变量的代数和，即[Δ]=∑Δ。
偶然误差的第(4)个特性由第(3)个特性导出，说明偶然性误差具有抵偿性。
3. 偶然误差

5.2.1、中误差 、
设对某一未知量进行了n次等精度观 设对某一未知量进行了 次等精度观 未知量的真值 真值为 ，其观测值为l 测，未知量的真值为X，其观测值为 1、 l2、……、ln，相应的真误差为： 相应的真误差 真误差为 、
郑州大学土木工程学院 宋建学
∆ 1 = l1 − X
∆ n = ln − X … …
K=
D往 − D返 D平均
从实质上看，上式的计算结果是“较差率” 而非“ 从实质上看，上式的计算结果是“较差率”，而非“相 对误差” 但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 对误差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 特别需要指出的是， 特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度 不能用相对误差来评定测角精度。 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。
郑州大学土木工程学院 宋建学
2
5.1 测量误差分类
测量误差（ 仪器不可能绝 测量误差（error）的产生，主要是由于仪器不可能绝 ）的产生，主要是由于仪器 的鉴别能力有限， 对准确，观测者的鉴别能力有限 观测是在一定的外界条 对准确，观测者的鉴别能力有限，观测是在一定的外界条 如风力，温度、气压、照度等) 进行的。通常把仪器 仪器、 件(如风力 ，温度、 气压、照度等)下进行的。通常把仪器、 观测者和外界条件三个方面综合起来 称为观测条件 三个方面综合起来， 观测条件。 观测者和外界条件三个方面综合起来， 称为观测条件。 观 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同， 称为 等 精度观测（ 精度观测 （ equal observations） ， 观测条件不同的各次观 ） 测称为非等精度观测 非等精度观测。 测称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误 例如， 在观测结果中，有时还会出现错误。例如，读数错误 错误。 或记录错误等，统称为粗差 粗差。 或记录错误等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许 出现的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外， 出现的。 为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取 检核措施 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量， 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量，对角度 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。 系统误差和偶然误差。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差

结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24

将N个关系式平方后再 总和得
f f f [ΔZ ] [ ] [ ] ... [ ] Δx Δx Δx x x x 1 2 n f f f f 2 [Δx Δx ] 2 [Δx Δx ] x x x x 1 1
2
[Δx
2
2 2
f ] ... x n m
2
[Δx
2
2 n
]
两边除以N得 当N 时 m
2 Z
f x m 1
Z
2 x1
f x 2
2 2 x1
2 x2
f ... x n
从B到C得高差 5.747m, 中误差 0.009m, 求A, C两点间 hBC BC
2 2 x2
2 xn
或m

f x m 1
f x 2
m
f ... x n
m
2
2 xn
求任意函数中误差的步骤
列函数关系式 全微分 求出中误差关系式
例题一：设在三角形ABC中,直接观测∠A和∠B，其 中误差分别为mA=±3”和mB=±4”，试求由∠A和∠B 计算∠C的中误差mC 。 解：函数关系式为： ∠C= 1800-∠A-∠B
f 1 A
2 C
f 1 B
2 2 A 2 2 2 2 B 2
m ( 1 ) m ( 1 ) m 3 4 5
m 5 C
常用函数的中误差公式
1.倍数函数Z kx m Z km x 2.和差函数Z x m 1 x 2 m Z m

通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Km x
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；
(有界性)
*
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的
概率大； (趋* 向性) 称性)（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；*(对
（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均
值，随着观测次数n的无限增大而趋于零， (抵偿性)即
(e)
对K个(e)式取总和：
n
2
f12 x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
fi f j xix j
(f)
i, j1
i j
n
2
f12 x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
fi f j xix j (f)
i, j1
(f)式两边除以K，得(g)式：
i j
<<前面各项
式中
lim 0 n n
[Δ]
——偶然误差的代数和，
1
2
n
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。

特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出
现的频率小。(绝对值大小)
特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号)
特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，
即(抵偿性)
lim 12 n
n
n
lim
n
n
0
(5-3) (5-3)
本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即
∑Δ工i=程[Δ测] 量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
工程测量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177 0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.00
工程测量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识
系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。
在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有： ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统 误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后 视视距差等。

1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
（2）偶然误差的示例：
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数： 1590
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.02m，D2=200m，m2=±0.02m， 求： K1, K2
解：
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍，即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现，测量结果不可避免 的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差： 观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 （1）误差——真值与观测值之差（严格：真误差）
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次 独立观测，观测值为：L1、L2、…、Ln；其相应的真误差为 Δ1，Δ2，……，Δn；则定义该组观测值的

二、非线性函数的中误差
设非线性函数 F f ( x1 , x2 , , xn ) F F F 取全微分：dF dx1 dx2 dxn x1 x2 xn F F F 则真误差关系式为： F x1 x2 xn x1 x2 xn F 2 2 F 2 2 F 2 2 此式子是一线性表达式 ：m ( ) mx1 ( ) m x2 ( ) m xn x1 x2 xn
同样可以推导出 F x1 x 2 x n
2 2 2 其函数中误差公式为： mF mx m m 1 x2 xn
3、线性函数的中误差
线性函数：F k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 其函数中误差公式为： mF k12 mx k m k 1 2 x2 n mxn
三、测量精度分析
1、有关水准测量的精度分析 1）在水准尺上读一个数的中误差 ①水准仪置平的误差 由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的0.15 S 倍，其影响在水准尺上的读数为： m 0.15 ②瞄准误差 人眼把两点的视角小于1′的情况看做为一点。用放大倍 30 数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 60 2v v 30 S 照准精度在水准尺上的影响为： m v ③读数误差 读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺， 读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为： m m m m
第五章 误差的基本知识
测量误差=观测值－真值（理论值）
第一节 测量误差产生的原因及其分类
测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造 成。其可以分为系统误差和偶然误差两大类。粗差是错 误，不是误差。

重复性
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
2023 WORK SUMMARY
工程测量第五篇(测量 误差的基本知识)课件
REPORTING
CATALOGUE
• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。