湖南大学数字信号处理课件

样的有2π/ω2=2=T2/TS，2TS=T2，也就是说2个抽样周
期才使数字信号重复一次。
1.3 序列的运算 序列相加、减
序列相乘
序列移位
序列翻转
序列倍乘
序列尺度变换(抽取与内插)
序列的累加和
序列的差分
Δx(n) = x(n +1) − x(n) ∇x(n) = x(n) − x(n −1)
为N2=8。由于周期N1，N2的具有公倍数为24，综合可 得：y(n)是周期序列，周期为N=24。
连续正弦信号抽样得到正弦序列的周期性。
x(t) = Asin(Ω0t + ϕ)
其角频率Ω0=2πf0，f0为频率，周期为T0=1/f0=2π/Ω0。
对连续信号x(t)以周期(时间间隔)T进行抽样：
x(n)
yn
h1 n h2 n
2.5 线性时不变的因果系统
一个线性时不变系统是因果系统的充要条件：其单 位抽样响应h(n)在n<0时等于零。
h(n) = 0 (n < 0)
对于离散系统而言，因果系统并非是根本性的限制 条件，这是因为数字系统具有存储功能。需要处理的 数据可以预先存储在系统中，然后再进行处理，这时 并非一定要求用因果系统，这是数字系统和模拟系统 的区别，也是数字系统的优势。
=
x(t) t =nT
=
A sin(Ω0 nT
+ ϕ)
=
Asin(ω0n + ϕ)
ω 0
=
Ω0T
=Ω 0
1 fS
= 2π
f0 fs
ω = ΩT
其中Ω为模拟角频率(rad/s)，ω为数字角频率，它是个
相对频率，其单位是rad或认为无量纲。
2π ω
0
=
2π Ω0T=Biblioteka 2π 2π f0T=
1 f0T
= T0 T
因此x(n)的周期N=16。
若2π/ω0不是整数而是有理数时，即2π/ω0=P/Q且P
与Q互为素数，只要取k=Q，则N=P为序列的周期。例
如：x(n)=sin(4π/5)n，显然ω0=4π/5，2π/ω0=5/2，取
k=2，则x(n)的周期N=5。
若2π/ω0是无理数，任何k值都不能使N为正整数， 则序列不是周期的。例如：x(n)=sin(1/4)n，ω0=1/4， 2π/ω0=8π是无理数，则x(n)不是周期序列。
+ x(−n) 2
xo (n)
=
x(n)
− x(−n) 2
1.4 序列的能量与平均功率
序列能量定义
∞
∑ EX = | x(n) |2 = RXX (0) k =−∞
非周期序列的平均功率
∑ PX
= lim 1
K
| x(n) |2
K→∞ 2K +1 n=−K
周期为N的周期序列的平均功率
∑ PX
=
1 N
x(n) = e(σ+ jω)n = eσn (cos ωn + j sin ωn) | x(n) |= abs[x(n)] arg[x(n)] = angle[x(n)]
x(n)
=
cos
ω 0
n,
x(n)
=
sin
ω 0
n
1.2 序列的周期性
若序列x(n)对于所有时间点n存在最小的正整数N， 使得：x(n)=x(n+N)，则称x(n)为周期性序列，且其周 期为N。
2.6 线性时不变的稳定系统 一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是 其单位抽样响应满足绝对可和。
∞
∑ | h(n) | < ∞
n = −∞
综合因果和稳定性，一个线性时不变系统是因果稳
定系统的充分必要条件是其单位抽样响应是因果的且
满足绝对可和。
h(n) = h(n)u(n);
∞
∑ | h(n) | < ∞
第一章
离散时间 信号与系统
第一节
离散时间信号
1.1 典型离散时间信号
δ(n)
=
⎧1, ⎨⎩0,
n=0 n≠0
δ(n
−
k)
=
⎧1, ⎨⎩0,
n=k n≠k
u(n)
=
⎧1, ⎨⎩0,
n≥0 n<0
u(n
−
k
)
=
⎧1, ⎨⎩0,
n≥k n<k
∞
δ(n) = u(n) − u(n −1) u(n) = ∑ δ(n − k) k =0
h(n) = T[δ(n)]
线性时不变系统的零状态响应为单位冲激响应与激 励信号的卷积：
∞
y(n) = x(n) ∗ h(n) = ∑ x(k)h(n − k) k =−∞
2.4 线性时不变系统的性质
交换律： y(n) = x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
xn
yn
hn
hn
yn
xn
上式说明，若2π/ω0为整数，则连续信号周期T0应为抽 样间隔T的整数倍；若2π/ω0为有理数，则T0与T是互
为素数的整数。
例如：ω0=6π/14，则2π/ω0=14/3=T0/T，14T=3T0，
这说明14个抽样间隔等于3个连续信号的周期。即数
字序列的周期大于连续信号的周期。若2π/ω0=P/Q，
正弦(余弦)序列的周期性判断
x(n) = Asin(nω0 + ϕ)
x(n
+
N)
=
A sin[(n
+
N )ω0
+ ϕ]
=
A sin(nω0
+ϕ
+
N
ω 0
)
若Nω0=2πk且k为正整数时，x(n)为周期性序列，并且
其周期为：
N
=
2πk ω
0
若2π/ω0为整数时，只要k=1，N=2π/ω0就是序列的 周期。例如：x(n)=sin(π/8)n，显然ω0=π/8，2π/ω0=16
因此该系统具有线性。
时不变性。设 x4 (n) = x(n − k) ，则 y4 (n) = x4 (n) sin(2n +1) = x(n − k) sin(2n +1)
而 y(n − k) = x(n − k) sin[2(n − k) +1] ≠ y4 (n)
因此该系统不具有时不变性。
2.3 线性时不变系统的单位冲激响应
则P/Q=T0/T，PT=QT0，这说明P个抽样周期等于连续 信号的Q个周期。
[例1-2] 连续正弦信号分别为
x1(t) = sin(200πt) x2 (t) = sin(500πt)
如果用相同的抽样率对其进行抽样，求最低的抽样频 率fS，写出抽样后离散信号x1(n)，x2(n)表示式，这两 个离散信号的模拟角频率与数字角频率为多少？
比例性(齐次性) a1 y1(n) = a1T[x1(n)] = T[a1x1(n)] a2 y2 (n) = a2T[x2 (n)] = T[a2 x2 (n)]
线性：
N
N
∑ ∑ ak yk (n) = T[ ak xk (n)]
k =1
k =1
2.2 时不变系统
y(n) = T[x(n)], y(n − k) = T[x(n − k)]
判断一个系统是否为线性时不变系统，应对线性和 时不变性分别进行判断，而线性的判断又分为可加性 与齐次性的判断。
从这个角度讲，系统分为线性时不变系统，线性时 变系统，非线性时不变系统，非线性时变系统。本课 程主要讨论的是线性时不变系统。
线性、时不变性、因果性、稳定性等都是系统的重 要特征。
[例1-3] 判断下列系统的线性和时不变性
任意一个序列可以表示为该序列与单位抽样序列卷 积和，这是离散线性系统分析的基础。
作业
1-1，1-3，1-4
第二节
线性时不变系统
x(n) 离散时间系统 T[ ·] y(n)=T[x(n)]
2.1 线性系统
可加性(叠加性) y1(n) = T[x1(n)], y2 (n) = T[x2 (n)] y1(n) + y2 (n) = T[x1(n)] + T[x2 (n)] = T[x1(n) + x2 (n)]
由此可知，x1(n)的模拟角频率Ω1=200πrad/s，模拟 频率f1=100Hz，其数字角频率ω1=0.4π；x2(n)的模拟角 频率Ω2=500πrad/s，模拟频率f2=250Hz，其数字角频 率ω2=π。
进一步分析，对于x1(n)，2π/ω1=5=T1/TS，5TS=T1即
5个抽样周期才使数字信号重复一次；对于x2(n)，同
⎧1, 0 ≤ n ≤ N −1 RN (n) = ⎨⎩0, Oherwise
N −1
∑ RN (n) = u(n) − u(n − N ) = δ(n − k) k =0
R(n)
=
⎧n, ⎨⎩0,
n≥0 = nu(n)
n<0
x(n) = anu(n) (a is a real number)
解：由题意
Ω 1
=
200πrad
/
s,
Ω 2
=
500πrad
/
s
根据抽样定理，最低抽样频率为
Ω S
=
2Ω2
= 1000πrad
/
s
fS
=
Ω S
2π = 500Hz
用此抽样频率对x1(t)，x2(t)抽样后得到离散信号
x1(n) = sin(200πnTS ) = sin(200πn fS ) = sin(0.4πn) x2 (n) = sin(500πnTS ) = sin(500πn fS ) = sin(πn)