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不等式sin (0)x x x ≤≥引申出的诸问题王永洪（北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081）在高三数学选修教材中，导数公式(sin )cos x x '=中隐含着重要极限sin lim1x xx→∞=，而导数的极值定理得到不等式sin x x ≤（0x ≥），于是围绕这个形式上简单的不等式及其证明过程引申出诸多的数学问题和思想方法。
其主要是将导数与不等式、极限结合用于分析函数和数列问题，蕴含着实数无穷小分析的基本原理与辨证方法。
以下论述的关于这个不等式延伸的两个问题蕴含典型的分析学原理，这些问题是在已有的一些结果基础上类比猜想，并经过严格证明得到。
在这些问题进行论述之前，有必要将不等式si n x x ≤(0x ≥)的进行深入的推广。
首先，由不等式s i n(0)x x x ≤≥，和2211cos 2sin 22x x x -=≤（0x ≥）利用导数可以证明：3sin 6x x x x -≤≤，接着利用这个不等式，即可证明：335sin (0)66120x x x x x x x -≤≤-+≥(0.1)另外，利用导数可证明的不等式cos sin (0)x x x x π≤≤≤，之所以要引入这些不等式，是因为下面的问题解答是需要求个别函数极限，并且利用这些不等式来证明一些稍复杂的不等式。
例1：（I ）已知sin x ≤对于任意0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的实数x 都成立，0α≥，求α的取值范围．（Ⅱ）设数列{}n y ：101y <<，*1sin ,n n y y n N +=∈．求证：n n =（Ⅰ）解法一：设221()sin 1,(0,]()20,0.x x f x x x πα⎧+-∈⎪=⎨⎪=⎩，不等式等价于()0f x ≤．2322321()()sin 2()sin cos 2sin (1)cos sin .f x x x x x x xx x x x xαα'=-++⎡⎤=+-⎣⎦设2()(1)cos sin g x x x x x α=+-，232222()(1)cos sin 1cos sin 311sin sin ()sin .33g x x x x x x x x x x x x x x x αααα=+-≤-≤-=-以上过程中利用了一个不等式(2.1)：21sin cos sin 3x x x x x ->，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．这个不等式的证明可参看例2（Ⅱ）解答．当103α≤≤时，()0g x ≤，于是()0f x '≤，即()f x 单调递减，于是()(0)0f x f ≤=．当13α>时，3()cos cos sin g x x x x x x α=+-33311cos (cos )33x x x x x ααα≥-=-.以上过程利用了不等式(2.2)：31sin cos 3x x x x -≤0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。
高等数学中两个重要极限的推导方法作者：张春香龚加安来源：《课程教育研究》2019年第49期【摘要】数学教学是数学思维活动的教学，除了掌握基本知识、基本技能外，还要培养学生的思维能力。
不同的推导方法，可以培养学生不同的思维方式。
本文通过高数学中两个重要极限的推导方法来培养学生的发散思维和创新精神，开阔解题思路，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
【关键词】高等数学; 重要极限; 发散思维【基金项目】陕西省教育厅科学研究项目（17JK0962）;商洛职业技术学院2017 年度重大课题（2017JXKT06）。
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）49-0133-01极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
在现代的高等数学教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
在求极限的多种方法中，利用两个重要极限来求极限是非常重要的一种求极限的方法。
关于两个极限的推导几乎所有的教材都是利用夹逼定理证明第一个重要极限，用单调有界数列必有极限和二项式定理证明第二个重要极限。
对两个重要极限除了这些方法外，还可以换一个角度给出另外的证明。
下面归纳总结出两个重要极限的一些推导方法。
1.重要极限=1证法1：该极限的证明，关键是证不等式：sinx<x<tanx （0<x<π/2）。
如图，设单位圆⊙O的渐开线为.若记∠TOA=x，并过T作TH⊥X轴于H，TBC切⊙O且交及X轴分别于B、C，则sinx =TH<AT<=（x）=TB<TC=tanx因扇形面积OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n个等腰△AiOAi-1（i=1，2，…，n，A=A0，T=An），则∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=nsin（x/n）此时，扇形面积OAT=∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=x [sin（x/n）/（x/n）]显然当[sin（x/n）/（x/n）]=1时，扇形面积OAT=x，但令t=x/n，则该极限为要证明的重要极限。
一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。
说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。
2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。
3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限 成立的条件。
例如: , , ；等等。
4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。
说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。
5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念，在解决实际问题和进行理论推导时经常需要用到。
在计算函数极限时，常常使用一些方法和技巧可以简化计算过程。
下面将介绍一些常用的函数极限计算方法和技巧。
一、代数运算法则1. 乘积运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)g(x)]=AB。
2. 商运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B且B≠0，则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A/B。
3. 加法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)+g(x)]=A+B。
4. 减法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)-g(x)]=A-B。
以上的代数运算法则可以简化函数极限的计算过程，通过运用这些法则可以将一个复杂的函数极限问题转化为多个简单的函数极限问题。
二、夹逼准则夹逼准则也是常用的一种函数极限计算方法。
如果存在函数g(x)和h(x)，使得对于x 在a的某个去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim(x->a)g(x)=lim(x->a)h(x)=L，则lim(x->a)f(x)=L。
夹逼准则利用了三个函数之间的大小关系，将复杂的函数极限问题转化为两个较为简单的函数极限问题。
三、分子有理化和分母有理化在计算函数极限时，有时候分子或分母不是有理式，而是含有根号、分数等形式。
这时可以利用分子有理化和分母有理化的方法将其化简为有理式，再进行运算。
当计算lim(x->0)(sinx/x)时，可以将其改写为lim(x->0)(sinx)/(x/x)的形式，然后再利用等式lim(x->0)(sinx)/x=1来计算极限。
首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限时发散的是一般极限的一种）二解决极限的方法如下：1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2 落笔达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，不能直接用）必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0落笔达法则分为3中情况1、0比0、无穷比无穷时候直接用2、0乘以无穷、无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1、中的形式了3、0的0次方、1的无穷次方、无穷的0次方（对于指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候lnX趋近于0）3 泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特别注意！）E的x展开、sina展开、cos展开、ln1+x展开对题目简化有很好帮助4 面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！5 无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法，面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6 夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
也谈两个重要极限的变形作者：杨松林来源：《数学学习与研究》2019年第19期【摘要】本文总结了重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e多种变形，结合实例讨论了这些变形在求极限中的应用，希望有助于提高学生求极限的能力.【关键词】极限;重要极限;无穷小量一、引言函数的极限是微积分学习的重要组成部分，在微积分的体系起着必不可少的纽带作用，也是微积分入门的主要障碍之一.重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e[1]是极限运算的重要组成部分，是高等数学竞赛和研究生入学考试的重要考点.文献[2][3]等给出了重要极限Ⅱ的变形.[2]中给出重要极限Ⅱ的一种变形，这一变形是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对一般的学生掌握有一定的难度.本文从便于学生学习和掌握的角度总结出重要极限的几种变形，一方面，学生在学完第一章[1]极限知识后，就可以直接使用这些变形来求具有一定难度的函数极限;另一方面，可以不用Taylor展开式来处理一类1∞型幂指函数的极限.本文通过多个实例来说明重要极限及其变形的应用和重要极限在微积分学习中的重要性，希望对学生学习和应用重要极限具有指导意义，以提高学生求极限的能力.二、重要极限的变形以下讨论仅给出x→x0的情形，如没特别注明对x→∞的情形，结论也成立.记o（α（x））为α（x）当x→x0时的高阶无穷小.重要极限Ⅰ limx→0sinxx=1[1].重要极限Ⅰ主要用来处理00型的极限.形式一：设limx→x0α（x）=0，则limx→x0sinα（x）α（x）=1.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0β（x）α（x）=k≠0，则limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=k.证明对极限进行变形，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x）），设g（x）=β（x）+o（β（x）），由limx→x0g（x）=0及形式一得limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））=limx→x0sing（x）g（x）=1，limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0β（x）α（x）+β（x）α（x）·o（β（x））β（x）1+o（α（x））α（x）=k，因此，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=1·k=k.文[4]给出重要极限Ⅰ的一个关于多元函数的变形.形式三[4] 设n为正整数，ai（i=1，2，…，n）为常数，则limxi→0i=1，2，…，na1sinx1+a2sinx2+…+ansinxna1x1+a2x2+…+anxn=1.重要极限Ⅱ limx→0（1+x）1x=e或limn→∞1+1nn=e[1].重要极限Ⅱ主要用来处理1∞型幂指函数的极限，其应用比重要极限Ⅰ的应用更为广泛，题型多种多样.形式一：设α（x）是x→x0时的无穷小，则limx→x0（1+α（x））1α（x）=e.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的等阶无穷小，则limx→x0（1+α（x））1β（x）=e.形式三：设limn→∞xn=0，limn→∞yn=0且limn→∞xnyn=k≠0，则limn→∞（1+xn）1yn=ek.形式四：设limx→x0α（x）=1，limx→x0β（x）=0且limx→x0α（x）-1β（x）=k≠0，则limx→x0（α（x））1β（x）=ek.证明 limx→x0（α（x））1β（x）=limx→x0（1+（α（x）-1））1β（x），其中limx→x0α（x）-1β（x）=k，因此，由形式二得limx→x0（α（x））1β（x）=ek.形式五[2]：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0α（x）β（x）=k≠0，则limx→x0（1+α（x）+o（α（x）））1β（x）+o（β（x））=ek.形式五是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对学生的要求比较高，学生应用起来有一定的难度，不便于对微积分中等要求的学生掌握.三、应用实例例1 求极限limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3.解这是一个00型的极限，通常可以用洛必達法则求其极限.我们利用重要极限Ⅰ的形式二，不需要导数的概念，只要利用等价无穷小.因为，当x→0时，sinx2～x2=o（x），tanx3～x3=o（x），所以，x+sinx2=x+o（x），sin3x+tanx3=sin3x+o（x），因此，limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3=limx→0sinxsin3x=13.例2 求极限limn→∞12+n（n+1-n）n+1+n+1n+1-n.解这是一个幂指函数型的数列极限，通常可以转化为函数的极限，然后用洛必达法则来求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式三，可不用导数的概念直接计算.原式=limn→∞1+n-n+12（n+1+n）n+1+n+1n+1-n，其中limn→∞n-n+12（n+1+n）=0，因为limn→∞n-n+12（n+1+n）1n+1+n+1n+1-n=-12，所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=e-12.例3 求极限limx→01+sinxcosax1+sinxcosbxcot3x（a≠b）.解这是一个1∞型的极限，通常可以用洛必达法则求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式四，只要计算下列极限：l imx→01+sinxcosax1+sinxcosbx-1tan3x=limx→0sinxcosax-sinxcosbxtan3x（1+sinxcosbx）=limx→0cosax-cosbxsin2x=limx→0-2sina+b2xsina-b2xsin2x=12（b2-a2）.因此，原式=e12（b2-a2）.例4 设函数f（x）在x=a处二阶可导，且f（a）≠0，求limn→∞f（a+1n）f（a）n.解这是一个1∞型的数列极限，我们用重要极限Ⅱ的形式三来计算其极限.原式=limn→∞1+fa+1n-f（a）f（a）n，其中limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）=limn→∞f（a+1n）-f（a）1n·1nf（a）=0，因为limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=ef′（a）f（a）.该题也可以重要极限Ⅱ的形式五来计算其极限.因為函数f（x）在x=a处二阶可导，所以由Taylor展开式得fa+1n=f（a）+f′（a）n+o1n2，即有，fa+1n-f（a）f（a）=f′（a）nf（a）+o1n2，因为limn→∞f′（a）nf（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式五得，原式=ef′（a）f（a）.我们也可以用上述变形来处理二元函数的极限.例5 求极限limx→3y→∞1+yyx2x+y.解这是一个1∞型的二元函数极限，我们同样可以利用重要极限Ⅱ的形式四来计算，只要计算下列极限：limx→3y→∞1+yy-1x2x+y=limx→3y→∞x+yx2y=1，因此，原式=e1=e.本文总结了重要极限Ⅰ和Ⅱ的一些重要变形，通过实例探讨了这些变形的应用，希望能给学生在学习极限时有所帮助，提高学生学习微积分的兴趣，对后继知识的学习能起到一个很好的铺垫作用.【参考文献】[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.[2]牛传择，桑波，颜红.第二重要极限的一种简易变形[J].大学数学，2016（5）：105-108.[3]潘花，仇海全，王颖.第二重要极限在函数极限计算中的应用[J].吉林工程技术师范学院学报，2016（32）：94-96.[4]杨东成.两个重要极限的新证法及推广[J].保山学院学报，2012（5）：57-59.。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。
本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。
通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。
我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。
提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。
深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。
【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。
函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。
函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。
只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。
函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。
函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。
微积分中函数极限的重要性不言而喻。
只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。
强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。
对函数极限的研究具有极其重要的意义。
2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。
以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
