八年级数学上册 第13章《全等三角形》单元综合测试2(新版)华东师大版

第13章 全等三角形一、精心选一选（本大题共有10小题，每题3分，共30分.）1.命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.如图，ABC R t ∆沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF ∆，下列结论中错误的是（ ）A.DEF ABC ∆∆≌B. ︒=∠90DEFC.DF AC =D.CF EC =3. 在ABC ∆和'''C B A ∆中①''B A AB =②''C B BC =③''C A AC =④'A A ∠=∠⑤'B B ∠=∠⑥'C C ∠=∠，则下列哪组条件不能保证ABC ∆≌'''C B A ∆（ ）A ．具备①②④B ．具备①②⑤C ．具备①⑤⑥D ．具备①②③4. 如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，AB PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F ， 下列结论中不正确的是（ ）A.PF PE =B.AF AE = C ．△APE ≌△APF D ．PF PE AP +=5.在□ABCD 中，5=AD ，3=AB ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为（ ）A.2和3B.3和2C.4和1D.1和46. 将长度为20cm 的铁丝折成三边长均为整数的三角形,可以折成不全等的等腰三角形的个数为（ ）A.2B.3C.4D.57.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠一次，则图中全等三角形有（ ）A.2对B. 3对C. 4对D.5对8. 如图 , ∠A =∠D , OD OA = , ︒=∠50DOC ,求DBC ∠的度数为 （ ）A.50°B.30°C.45°D.25°9. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ）A.︒90B.︒60C.︒45D.︒3010.如图，已知ABC ∆中，AC AB =，BAC ∠和ACB ∠的角平分线相交于点D ，︒=∠130ADC ，那么CAB ∠大小是（ ）A.︒80B.︒50C.︒40D.︒20二、细心填一填（本大题有10小题，每题3分，共30分.）1.如图，CD AB =，BC AD 、相交于O ，要使DCO ABO ∆∆≌，应添加的条件是 .2.如图,AD AC =,BD BC =,AB 与CD 相交于O .则AB 与CD 的关系是 .3. 把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果……，那么…….”的形式：如果 ，那么 .4. 为说明命题“如果b a >， 那么b a 11>”是假命题，你举出的反例是 .5. 已知ABC DEF ∆∆≌，AC AB =，且ABC ∆的周长为22cm ，BC =4cm ，则DEF ∆的边=DE cm .6. 在△ABC 中，∠C =90°，BC =4cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且BD ︰DC =5︰3，则D 到AB 的距离为_____________.7.如图，Q P ,是ABC ∆的边BC 上的两点，且AQ AP QC PQ BP ====，则=∠BAC .8.如图,正六边形DEFGHI 的顶点都在边长为4cm 的等边ABC ∆的边上,则这个正六边形的边长是 cm .9.如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .10.如图，把一个等边三角形进行分割，第一步从图（1）到图（2），一个三角形分为4个三角形；第二步从图（2）到图（3），将4个三角形分为13个三角形.按这个规律分割下去，第3步分割完成后共有 个三角形.三、认真答一答（本大题有6小题，每小题6分，共36分.只要你仔细审题，积极思考，一定会解答正确的！）1.如图，在□ABCD 中，F E 、分别是边BC 和AD 上的点.请你补充一个条件，使CDF ABE ∆∆≌，并给予证明.2.“太湖明珠”无锡要建特大城市,有人建议无锡(A )、江阴（B ）、宜兴（C ）三市共建一个国际机场，使飞机场到江阴、宜兴两城市距离相等，且到无锡市的距离最近.请你设计机场的位置（要保留作图痕迹哦！）.3..如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，1==BC AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转角α(0º＜α＜90º)，得到111C B A ∆，连结1BB .设1CB 交AB 于D ，11B A 分别交AB 、AC 于E 、F .(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(ABC ∆与111C B A ∆全等除外)；(2)当D BB 1∆是等腰三角形时，求α；4.如图,在ABC R t ∆中,︒=∠90ACB ,BC AC =,D 为BC 的中点,AD CE ⊥,垂足为点E ,AC BF //交CE 的延长线于点F ，连结DF .求证:AB 垂直平分DF .5.牧童在点A 处放牛，其家在点B 处，B A ,到河岸l 的距离分别为BD AC ,，且m BD AC 300==，测得m CD 800=.（1）牧童从A 处牵牛到河边饮水后再回家，是否有最近的路线可走？若有，请通过作图说明在何处饮水，所走的路线最短，并标出路线.（2）若有最短路线，请求出牧童走的最短路程.6.工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE CG =；②在BC 上取BD CF =；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．如果a b =，则说明∠B 和∠C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？四、实践与探究（本题共2小题，每小题12分，满分24分.开动你的脑筋，只要你勇于探索，大胆实践，你一定会获得成功的！）1.在复习课上，艾斯同学提出了两个问题向同桌请教.假如你是艾斯的同桌，你能为他解决这两个问题吗？那就试试吧！（1）命题“有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题吗？若是，请画出图形，写出已知、求证和证明；如不是，请举出反例.（2）将上述命题中的“中线”改为“高”后，得到的命题是真命题吗？若是，请画出图形，写出已知、求证和证明；如不是，请举出反例.2. 在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.参考答案一、精心选一选1.B2.D3.A4.D5.B6.C7.C8.D9.B 10.D二、细心填一填1.D A ∠=∠或C B ∠=∠或CD AB //2.AB 垂直平分3.一个点在角的平分线上；它到这个角两边的距离相等.4.如：当1,2==b a 时，b a >，但ba 11< 5. 9 6. 5.1 7.︒120 8. 12 9.5 10. 40三、认真答一答1.略2.作BC 的垂直平分线MN ，再过点A 作MN 的垂线，垂足就是机场的位置.3. （1）BDC AFC ∆∆≌，ED B AEF 1≌∆∆，FC B ADC 1≌∆∆ （2）︒304.证明： AC BF //Θ︒=∠+∠∴180ACB FBC ︒=∠90ACB Θ︒=∠=∠∴90ACB FBC AD CF ⊥Θ︒=∠+∠∴90CDA BCF ︒=∠+∠90CDA CAD ΘCAD FBC ∠=∠∴ AC BC =ΘACD CBF ∆∆∴≌CD BF =∴BD CD =ΘBD BF =∴AC BF //Θ︒=∠∴45ABF ︒=∠=∠∴45ABC ABF AB ∴垂直平分DF （三线合一）.5.（1）作点A 关于l 的对称点'A ，连结B A '与l 相交于点P ，点P 就是饮水处.（2）1000m .6.合理.在BDE ∆和CFG ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===FG DE CG BE CF BD ΘCFG BDE ∆∆∴≌C B ∠=∠∴四、实践与探究1.（1）真命题；证明略；（2）假命题.反例：如图，在ABC ∆和ABD ∆中，AB CE ⊥，AB DF ⊥AB AB =，AD AC =，DF CE =，但ABC ∆和ABD ∆不全等.2.（1）证明①︒=∠+∠90BCE ACD Θ︒=∠+∠90ACD DAC BCE DAC ∠=∠∴又︒=∠=∠=90,BEC ADC BC AC CEB ADC ∆∆∴≌.②CEB ADC ∆∆≌ΘCE AD BE CD ==∴，BE AD CD CE DE +=+=∴.（2）CEB ADC ∆∆≌成立，BE AD DE +=不成立，此时应有BE AD DE -=.。

第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H,BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2,则CE=．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F 分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上,∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论:①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．(请写出正确结论的序号)．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D 作DE⊥AF，垂足为点E．(1）求证：DE=AB．(2）以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC=AD．10．如图,AC=DC，BC=EC,∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C，D在线段AE上,AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG,DE ⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由．13．已知:如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD,其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2)OA=OD．14．如图,已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点,AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明;（2）如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是,请说明理由．15．如图,正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上,且AE=DF，连接BE,AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N 分别在AB，AC边上,AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处,BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形"．如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O,OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF,AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF,即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE,∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF,∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定,勾股定理等知识点的综合运用,综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点,BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE,再证△ADH≌△CDH,求得∠HAD=∠HCD,推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan ∠EAG=,得到AG=BG，GE=AG,于是得到BG=4EG,故②正确；根据AD∥BC,求出S△BDE=S△CDE,推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD,故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD,故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°,在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∵在△ADH和△CDH中，,∴△ADH≌△CDH(SAS），∴∠HAD=∠HCD,∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE=tan∠EAG=，∴AG=BG,GE=AG,∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC,∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD,∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE,∴∠AHB=∠EHD,故④正确；故选:D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式,解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图,在△ABC中，已知∠1=∠2,BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3,故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E,F 分别是线段AB，AD上的点,连接CE,CF．当∠BCE=∠ACF,且CE=CF 时，AE+AF=．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解:过点F作FG⊥AC于点G,如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=,∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ODA与∠BAE的关系,根据余角的性质,可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解:由ABCD是正方形，得AD=AB,∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E,∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB,∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22。

第13章　全等三角形(90分钟　100分)一、选择题(每小题3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=( )A.2B.3C.4D.52.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是( )A.全等三角形的对应角相等B.对顶角相等C.若x>y,则x-y>0D.若C是线段AB的中点,则AC=BC3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E=( )A.35°B.45°C.55°D.无法计算4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是( )5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是( )A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBCB.若∠DCB=∠EBC,则CD=BEC.若BD=CE,则∠DCB=∠EBCD.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为( )A.8 cmB.12 cmC.12 cm或6 cmD.12 cm或8 cm7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有对( )A.3B.4C.5D.68.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有( )A.①⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题(每小题4分,共24分)9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是.10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是:.11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为.12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是.13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为.14.如图,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=10 cm,动点P从点A出发,沿AB 以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以2 cm/s的速度移动,若点P,Q 同时出发,当△OPQ是等腰三角形时,移动的时间是.三、解答题(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:已知:如图,点P在直线l上.求作:直线PQ,使PQ⊥l.作法:①以点P为圆心,任意长为半径画弧,交直线l于A,B两点,AB长为半径画弧,两弧在直线l上方交于点Q,②分别以A,B为圆心,大于12③作直线PQ.直线PQ即为所求的垂线.(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.()(填推理的依据)17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C 落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.(1)求证:△GEF≌△GBP;(2)若PC=2,求BF的长.18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A 为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连结DE,DF.(1)求证:△ADE≌△ADF;(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.19.(10分)已知,如图,AD为△ABC的角平分线,且AD=AC,E为AD延长线上的一点,AE=AB.(1)求证:△ABD≌△AEC;(2)求证:BE=EC.20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是;(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.【附加题】(10分)(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.第13章　全等三角形(90分钟　100分)一、选择题(每小题3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=(A)A.2B.3C.4D.52.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是(C)A.全等三角形的对应角相等B.对顶角相等C.若x>y,则x-y>0D.若C是线段AB的中点,则AC=BC3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E=(B)A.35°B.45°C.55°D.无法计算4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是(B)5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是(A)A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBCB.若∠DCB=∠EBC,则CD=BEC.若BD=CE,则∠DCB=∠EBCD.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为(C)A.8 cmB.12 cmC.12 cm或6 cmD.12 cm或8 cm7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有 对(B)A.3B.4C.5D.68.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有(D)A.①⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题(每小题4分,共24分)9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是　有两个角互余的三角形是直角三角形　.10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是:　等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合　.11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为　68°　.12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是　85°　.13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE =4,CF =1,则EF 的长度为　3　.14.如图,∠BOC =60°,A 是BO 的延长线上一点,OA =10 cm,动点P 从点A 出发,沿AB 以3 cm/s 的速度移动,动点Q 从点O 出发沿OC 以2 cm/s 的速度移动,若点P ,Q 同时出发,当△OPQ 是等腰三角形时,移动的时间是　2 s 或10 s .三、解答题(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如图,C 是BD 的中点,AB =ED ,AC =EC.求证:△ABC ≌△EDC.【解析】∵C 是BD 的中点,∴BC =DC ,在△ABC 和△EDC 中,AB =ED AC =EC BC =DC,∴△ABC ≌△EDC (S.S.S.).16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:已知:如图,点P 在直线l 上.求作:直线PQ ,使PQ ⊥l.作法:①以点P 为圆心,任意长为半径画弧,交直线l 于A ,B 两点,②分别以A ,B 为圆心,大于12AB 长为半径画弧,两弧在直线l 上方交于点Q ,③作直线PQ.直线PQ即为所求的垂线.(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)(填推理的依据)【解析】(1)补全的图形如图所示:【解析】(2)连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C 落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.(1)求证:△GEF≌△GBP;【解析】(1)∵纸片ABCD为长方形,∴∠B=∠C=90°,由折叠的性质得,∠E=∠C,∴∠E=∠B,在△GEF 和△GBP 中,∠E =∠B ∠EGF =∠BGP GF =GP,∴△GEF ≌△GBP (A.A.S.);(2)若PC =2,求BF 的长.【解析】(2)由△GEF ≌△GBP 得GE =GB ,∵GF =GP ,∴BF =GB +GF =GE +GP =PE ,由折叠的性质得,PE =PC =2,∴BF =2.18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线.以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,与AB ,AC 分别交于点E ,F ,连结DE ,DF.(1)求证:△ADE ≌△ADF ;【解析】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD =∠CAD.由作图知:AE =AF.在△ADE 和△ADF 中,AE =AF ∠BAD =∠CAD AD =AD,∴△ADE ≌△ADF (S.A.S.);(2)若∠BAC =80°,求∠BDE 的度数.【解析】(2)∵∠BAC =80°,AD 为△ABC 的角平分线,∴∠EAD =12∠BAC =40°,由作图知:AE =AD ,∴∠AED =∠ADE ,∴∠ADE =12×(180°-40°)=70°,∵AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线,∴AD ⊥BC ,∴∠BDE =90°-∠ADE =20°.19.(10分)已知,如图,AD 为△ABC 的角平分线,且AD =AC ,E 为AD 延长线上的一点,AE =AB.(1)求证:△ABD≌△AEC;【证明】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,在△ABD与△AEC中,AB=AE∠BAD=∠EAC AD=AC,∴△ABD≌△AEC(S.A.S.); (2)求证:BE=EC.【证明】(2)∵AD=AC,AE=AB,∴∠ACD=∠ADC=180°-∠DAC2,∠ABE=∠AEB=180°-∠BAD2,∴∠ACD=∠ADC=∠ABE=∠AEB,∵∠BDE=∠ADC,∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE,∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∴BE=EC.20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是AD=CE;【解析】(1)AD=CE,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.∵点D为AC的中点,∴∠DBC=30°,AD=DC,∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°,∴CD=CE,又∵AD=DC,∴AD=CE.(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)【解析】(2)AD=CE,理由如下:如图,过点D作DF∥BC,交AB于点F,则∠ADF=∠ACB=60°,∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°,∵DF∥BC,∴∠FDB=∠DBE=∠E,在△BFD和△DCE中,∠FDB=∠E∠BFD=∠DCE BD=DE,∴△BFD≌△DCE(A.A.S.),∴DF=EC,又∵AD=DF,∴AD=CE;(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.【解析】(3)结论仍成立,理由如下:如图,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,则∠ABC=∠APD=60°,∠ACB=∠ADP=60°,∵∠A=60°,∴△APD是等边三角形,∴AP=PD=AD,∴∠DCE=∠ACB=∠P,∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC,∴∠PDB=∠DEC,在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠CED ∠P=∠DCE BD=DE,∴△BPD≌△DCE(A.A.S.),∴PD=CE,又∵AD=PD,∴AD=CE.【附加题】(10分)(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;【解析】(1)①∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴BD=BA,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC,即∠DBC=∠ABE,在△DBC和△ABE中,BD=BA∠DBC=∠ABE BC=BE,∴△DBC≌△ABE(S.A.S.),∴∠BCD=∠AEB;②如图,过点E作AD的平行线,交AM的延长线于点F,∵AD∥EF,∴∠DAM=∠AFE=60°,∵AB⊥BC,∴∠EBF=180°-∠ABC-∠CBE=30°,∴∠BEF=90°,在△ABC与△FEB中,∠BAC=∠EFB ∠ABC=∠FEB BC=EB,∴△ABC≌△FEB(A.A.S.),∴AB=EF=AD,在△MAD与△MFE中,∠AMD=∠FME ∠DAM=∠EFM AD=FE,∴△MAD≌△MFE(A.A.S.),∴DM=EM,即点M为DE的中点;(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.【解析】(2)当BF的长最小时,即BG最小,则BG⊥HE,当以BG为边在BG左侧作等边△BGF时,如图所示:可得∠GBE=180°-∠BEH-∠BGE=60°,∵△FBG为等边三角形,∴∠FBG=60°,∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=120°;当以BG为边在BG右侧作等边△BGF时,如图所示:此时点F在BE上,∴∠FBE=0°,综上所述,∠FBE=0°或120°.。

第13章　全等三角形时间:60分钟满分:100分一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列命题的逆命题不成立的是( )A.等边对等角B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等C.全等三角形的对应角相等D.三个角都是60°的三角形是等边三角形2.如图,△ABC≌△DCB,若AC=7,BE=5,则DE的长为( )A.2B.3C.4D.53.若等腰三角形的周长为26 cm,一边长为11 cm,则腰长为( )A.11 cmB.7.5 cmC.4 cm或7.5 cmD.11 cm或7.5 cm4.如图,DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8,AB=10,则△EBC的周长是( )A.18B.16C.14D.135.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取点M,N,且使OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C,连接OC.可知△OMC≌△ONC,OC便是∠AOB的平分线.则△OMC≌△ONC的理由是( )A.H.L.B.S.A.S.C.A.A.S.D.S.S.S.6.如图,已知AB+AC=18,点O 为∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点,且OD ⊥BC 于点D.若OD=3,则四边形ABOC 的面积是( )A.36B.27C.20D.187.如图,已知AD ∥BC,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△CDA 的是( )A.∠B=∠DB.AB ∥DCC.AB=CDD.BC=AD8.如图,△ABC 是边长为1的等边三角形,P 为AB 上一点,过点P 作PE ⊥AC 于点E,作PF ∥BC 交AC 于点F,Q 为BC 延长线上一点,若AP=CQ,连接PQ,交AC 于点D,则DE 的长为 ( )A.13B.12C.23D.不能确定9.如图,OA 平分∠NOP,OB 平分∠MOP,AB ⊥OP 于点E,BC ⊥MN 于点C,AD ⊥MN 于点D,下列结论错误的是 ( )A.AD+BC=ABB.∠CBO=∠BAOC.∠AOB=90°D.O 是CD 的中点10.如图,在△ABC 中,∠B>90°,CD 为∠ACB 的平分线,在边AC 上取点E,使DE =DB,且∠AED>90°.若∠A=α,∠ACB=β,则∠AED= ( )A.180°-α -βB.180°-α -12βC.90°-α+βD.90°+α+12β二、填空题(每小题3分,共18分)11.如图,某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带第 块去.(填序号)12.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,连接BE,则∠CBE 的度数为 .13.如图,在△ABC 中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,CD 的长为 .14.在测量一个小口容器的壁厚时,小明用“x 型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测得AB=5厘米,EF=7厘米,则小口容器的壁厚是 .15.如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线且相交于点P,PE⊥BC于点E,PE=3.若△ABC的周长为14,S△BPC=7.5,则△ABC的面积为 .16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.点D在AB上,且AD=BC,过点D 作DE∥BC,使DE=AB,连接DC,EC,则∠DCE= °.三、解答题(共52分)17.(6分)如图,点C,F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=90°,BC=EF,请添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.(1)根据“A.S.A.”进行判定,需添加的条件是 ;根据“H.L.”进行判定,需添加的条件是 ;(2)请从(1)中选择一种,加以证明.18.(7分)如图,已知△ABC,过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD,AD=AC.(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论.(2)若∠BAC=100°,求∠ACB的度数.19.(8分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.(1)求证:AD垂直平分EF;(2)若AB+AC=10,S△ABC=15,求DE的长.20.(9分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,点E为CD上一点,且DE=AD,连接BE并延长交AC于点F,连接DF.(1)求证:BE=AC;(2)若AB=BC,且BE=2 cm,∠CFE=90°,求CF的长.21.(10分)如图,已知点M是AB的中点,DC是过点M的一条直线,且∠ACM=∠BDM,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F.(1)试说明△AME≌△BMF;(2)猜想MF与CD之间的数量关系,并说明理由.22.(12分)在△ABC中,AB=AC,点D是线段CB上的一动点(不与点B,C重合),以AD 为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段CB上,∠BAC=90°时,那么∠DCE= °.(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.①如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;②如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明). 图1 图2 图3参考答案与解析1.C 等边对等角的逆命题是等角对等边,逆命题成立;线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,逆命题成立;全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等,逆命题不成立;三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°,逆命题成立.2.A 3.D 分两种情况:①当底边长为11 cm 时,其三边长分别为11 cm,7.5 cm,7.5 cm,能构成三角形;②当腰长为11 cm 时,三边长分别为11 cm,11 cm,4 cm,能构成三角形.所以腰长为11 cm 或 7.5 cm.4.A ∵DE 是AC 的垂直平分线,∴AE=CE,∴△BCE 的周=BC+BE+CE=BC+BE +AE=BC+AB=8+10=18.5.D 由题意得MC=NC.在△OMC 和△ONC 中,OM =ON,OC =OC,MC =NC,∴△OMC ≌△ONC (S.S.S.).6.B 过点O 分别作OE ⊥AB 于点E,OF ⊥AC 于点F,连接OA.∵点O 为∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点,OD ⊥BC 于点D,OD=3,∴OE=OD=3,OF=OD=3.∵AB +AC=18,∴四边形ABOC 的面积=S △ABO +S △ACO =12×AB×OE+12×AC×OF=12×AB×3+12×AC×3=32×(AB+AC)=32×18=27.7.C ∵AD ∥BC,∴∠DAC=∠BCA.对于选项A,由∠B =∠D,∠BCA =∠DAC,AC =CA,得出△ABC ≌△CDA,故选项A 不符合题意. 对于选项B,∵AB ∥DC,∴∠BAC=∠DCA.由∠BCA =∠DAC,AC =CA,∠BAC =∠DCA,得出△ABC ≌△CDA,故选项B 不符合题意.对于选项C,由AB=CD,AC=CA,∠DAC=∠BCA,无法得出△ABC ≌△CDA,故选项C 符合题意.对于选项D,由BC =AD,∠BCA =∠DAC,AC =CA,得出△ABC ≌△CDA,故选项D 不符合题意.8.B ∵△ABC 是等边三角形,PF ∥BC,∴△APF 是等边三角形,∴AP=PF=AF,∠PFD=∠QCD.∵AP=CQ,∴PF=CQ.在△PFD 和△QCD 中,∵∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠QDC,PF=QC,∴△PFD ≌△QCD,∴FD=CD.∵PE ⊥AC,∴AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=12AC.∵AC=1,∴DE=12.证明两条线段相等的方法一是构建在同一个三角形中,借助等角对等边证明;二是构建在两个三角形中,借助三角形全等证明.9.B ∵OA 平分∠NOP,OB 平分∠MOP,∴∠AOD=∠AOP=12∠DOE,∠COB=∠EOB=12∠COE,∴∠AOB=12(∠COE+∠DOE)=90°,故选项C 不合题意.在△AOD和△AOE 中,∠AOD =∠AOE,∠ADO =∠AEO,AO =AO,∴△AOD ≌△AOE(A.A.S.),∴AE=AD,OE=OD,∠OAE=∠OAD.同理可得BC=BE,CO=OE,∴AB=AE+BE=AD+BC,CO=OE=OD,∴O 是CD 的中点,故选项A,D 不合题意,无法根据已知条件证∠CBO=∠BAO.10.A 如图,在边AC 上截取CF=CB,连接DF.∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∵CD=CD,∴△BDC ≌△FDC,∴∠ABC=∠CFD,DB=DF.∵DE=DB,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE,∴∠AED=∠CFD,∴∠AED=∠DBC=180°-∠A-∠ACB=180°-α -β.11.③　第③块玻璃不仅保留了原来三角形的两个角,还保留了一边,则可以根据“A.S.A.”来配一块完全一样的玻璃,所以最省事的办法是带第③块去.12.30°　∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=180°―∠A 2=70°.∵线段AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.13.2.1　由旋转可知AD=AB.∵∠B=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴BD=AB=1.8.∵BC=3.9,∴CD=BC-BD=3.9-1.8=2.1.14.1厘米　在△AOB 和△DOC 中,OA =OD,∠AOB =∠DOC,OB =OC,∴△AOB ≌△DOC(S.A.S.),∴CD=AB=5厘米.∵EF=7厘米,∴小口容器的壁厚是12×(7-5)=1(厘米).15.6　如图,分别过点P 作PF ⊥AN 于点F,作PG ⊥AM 于点G,连接AP.∵BP,CP 分别是∠GBC 和∠NCB 的平分线,PE ⊥BC,∴PF=PE=PG=3.∵S △BPC =7.5,∴12BC·3=7.5,解得BC=5.∵△ABC 的周长为14,∴AB+AC+BC=14,∴AB+AC=9,∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BCP =12(AB+AC- BC)×3=12×(9-5)×3=6.16.70　如图,连接AE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DE ∥BC,∴∠ADE=∠B. 在△ADE 和△CBA 中,DE =AB,∠ADE =∠B,AD =BC,∴△ADE ≌△CBA(S.A.S.),∴AE=AC=AB=DE,∠AED=∠BAC=20°,∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=12(180°-20°)=80°.∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°,∴△ACE 是等边三角形,∴CE=AC=AE=DE,∠AEC=∠ACE=60°,∴△DCE 是等腰三角形,∴∠CDE=∠DCE.∵∠DEC=∠AEC -∠AED =40°,∴∠DCE=12×(180°-40°)=70°.17.解：(1)∠ACB=∠DFE AC=DF (4分)(2)选择添加条件∠ACB=∠DFE.证明:在△ABC 和△DEF 中,∠ABC =∠DEF,BC =EF,∠ACB =∠DFE,∴△ABC ≌△DEF(A.S.A.). (6分)另解： (2)选择添加条件AC=DF.证明:∵∠ABC=∠DEF=90°,∴在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,AC =DF,BC =EF,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(H.L.).(6分)18.解：(1)△ABC 为等腰三角形.(1分)证明:由题意得,BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AD ∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∵AD=AC,∴AB=AC,∴△ABC 为等腰三角形.(5分)(2)∵∠BAC=100°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=40°.(7分)19.解：(1)证明:∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴DE=DF.(2分)在Rt △AED 和Rt △AFD 中,DE =DF,AD =AD,∴Rt △AED ≌Rt △AFD(H.L.),∴AE=AF.(4分)∵DE=DF,∴AD 垂直平分EF.(5分)(2)∵DE=DF,∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =12AB·DE+12AC·DF=12DE·(AB+AC)=15.(7分)∵AB+AC=10,∴12×10×DE=15,∴DE=3.(8分)20.解：(1)证明:∵CD ⊥AB,∴∠BDC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°,∴△BDC 是等腰直角三角形,∴BD=CD.在△BDE 和△CDA 中,BD =CD,∠BDE =∠CDA,DE =DA,∴△BDE ≌△CDA(S.A.S.),(5分)∴BE=AC.(6分)(2)由(1)得BE=AC.∵AB=BC,∠CFE=90°,∴AC=2CF,(8分)∴BE=2CF,∴CF=1 cm.(9分) 21.解：(1)如图,因为点M是AB的中点,所以AM=BM.因为AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,所以∠AEM=∠BFM=90°.在△AME和△BMF中,∠AEM=∠BFM,∠1=∠2,AM=BM,所以△AME≌△BMF. (4分)(2)2MF=CD.(6分)理由:由(1)可知△AME≌△BMF,所以EM=FM,AE=BF.因为AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,所以∠AEC=∠BFD=90°.在△ACE和△BDF中,∠AEC=∠BFD,∠ACM=∠BDM,AE=BF,所以△ACE≌△BDF,所以CE=DF.(8分)因为CE=EF+CF,DF=CD+CF,所以EF=CD.因为EM=FM,所以2MF=CD.(10分)判断三角形全等的思路分析已知两边找夹角→S.A.S.找第三边→S.S.S.已知一边和一角边为角的对边→找任意一角→A.A.S.边为角的一边找夹边的另一角→A.S.A.找夹角的另一边→S.A.S.找边的对角→A.A.S.已知两角找夹边→A.S.A.找夹边外的一边→A.A.S.22.解：(1)90(4分)∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△BAD△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),∴∠ACE=∠B.∵∠B+∠ACB=90°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.(2)①α+β=180°.(5分)证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.(6分)在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),∴∠B=∠ACE.(8分)∵∠B+∠ACB=180°-α,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α=β,∴α+β=180°.(9分)②如图所示.(10分)α=β.(12分)。

本章检测(满分：120分限时：90分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．观察下列几个命题：①相等的角是对顶角；②同位角都相等；③三个角相等的三角形是等边三角形；④两直线平行，内错角相等；⑤若a2＝b2，则a＝b.其中真命题的个数有(C)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：③④是真命题．故选C.2．有下列说法：①如果两个三角形可以依据“A.A.S.”来判定全等，那么一定也可以依据“A.S.A.”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；③要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一组边对应相等．其中，正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：若三角形中已知两组角对应相等，则第三组角一定相等，故①正确；若两个三角形都与第三个三角形全等，则这三个三角形能完全重合，故②正确；全等三角形的判定条件“S.S.S.、S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、H.L.”中至少有一组边对应相等，故③正确．故选D.3．如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB 于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为(C)A．4 cm B．3 cmC．2 cm D．1 cm解析：由角平分线的性质得点P到BC的距离为2 cm.故选C.4．如图所示，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，点E、F 分别在OA、OB上，要使△EOC≌△FOD，添加的一个条件不可能是(C)A．∠OCE＝∠ODFB．∠CEA＝∠DFBC．CE＝DFD．OE＝OF解析：∠OCE＝∠ODF时，可由A.S.A.判定△EOC≌△FOD，故A可以；∠CEA＝∠DFB时，可由A.A.S.判定△EOC≌△FOD，故B可以；CE＝DF时，由S.S.A.不能判定这两个三角形全等，故C 不可以；OE＝OF时，可由S.A.S.判定△EOC≌△FOD，故D可以．故选C.5．若等腰三角形的一个内角是68°，则顶角是(C)A．68° B．44°C．68°或44° D．68°或112°解析：当68°是顶角时，顶角为68°；当68°是底角时，顶角为180°－68°－68°＝44°，故选C.6．到三角形三条边的距离都相等的点是三角形(A)A．三条内角平分线的交点B．三条中线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条高的交点解析：根据角平分线性质定理的逆定理可以判断到三角形三条边的距离都相等的点是三角形三条内角平分线的交点，故选A.7．如图所示，在△ABC中，AB＝BD＝AC，AD＝CD，则∠ADB 的度数是(A)A．72° B．60°C．45° D．36°解析：设∠C＝x°，由AB＝AC知∠B＝∠C＝x°.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝x°.∴∠ADB＝2x°.由AB＝BD知∠BAD＝∠ADB＝2x°.∴∠BAC＝3x°.在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴x＋3x＋x＝180，解得x＝36，∴∠ADB＝72°.故选A.8．如图所示，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AD和AD 的延长线上，且DE＝DF，连结BF、CE.有下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中，正确的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：在△BDF和△CDE中，∵BD＝CD，∠BDF＝∠CDE，DF＝DE，∴△BDF≌△CDE(S.A.S.)，故④正确；由④知，CE＝BF，①正确；由④知，∠BFD＝∠CED，∴BF∥CE，③正确；∵△ABD 与△ACD等底同高．∴△ABD与△ACD的面积相等，故②正确．故选D.9．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(B)A．AD＋BC＝ABB．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点解析：因为点A是∠NOP平分线上的点，AE⊥OP，AD⊥ON，所以AE＝AD，同理可得BE＝BC，所以AB＝AD＋BC，故A正确；因为OA平分∠PON，OB平分∠MOP，∠MON是平角，所以∠AOB ＝90°，故C正确；由已知可得，∠CBO＝∠EBO，∠OAE＝∠OAD，∠BOC＝∠BOE，而∠BOE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，所以∠BOE＝∠OAE，所以与∠CBO互余的角有四个，分别是∠BOC、∠BOE、∠OAE、∠OAD，故B不正确；因为△OBC≌△OBE，△OAD≌△OAE，所以OC＝OE，OE＝OD，所以OC＝OE＝OD，所以点O是CD的中点，故D正确．故选B.10．如图所示，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.其中正确结论的个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：由BC＝AC，∠BCD＝∠ACE＝120°，CD＝CE，得△BCD ≌△ACE，则①AE＝BD是正确的；由△BCD≌△ACE，得∠FBC＝∠GAC，再根据BC＝AC，∠BCF＝∠ACG＝60°，得△BCF≌△ACG，∴②AG＝BF是正确的；由△BCF≌△ACG，得CF＝CG，∵∠FCG ＝60°，∴∠CGF＝∠CFG＝∠FCG＝60°，∴③FG∥BE是正确的；如图，过C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N，易证△BCM≌△ACN，∴CM＝CN，∴④∠BOC＝∠EOC是正确的．故选D.二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图所示，∠C＝60°，AC＝BC＝150 m，则池塘的宽AB＝150_m.解析：因为AC＝BC＝150 m，∠C＝60°，所以AC＝BC＝AB＝150 m.12．“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角互补．解析：由互逆命题的定义可以得到答案．13．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线为AF，AF与CD交于点E，则△CEF是等腰三角形．解析：∵AF平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF.∵∠FEC＝∠AED＝90°－∠EAD，∠EFC＝90°－∠CAF，∴∠EFC＝∠FEC，∴EC＝FC，即△CEF是等腰三角形．14．如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，点O为∠ABC和∠ACB 的平分线的交点，则∠BOC＝130度．解析：在△OBC中，∠O＝180°－(∠OBC＋∠OCB)，又∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×(180°－∠A)＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠O＝180°－50°＝130°.15．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有①②③④(填序号即可)．解析：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；在Rt△APR和Rt△APS中，∵PR＝PS，AP＝AP，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AR＝AS，故②正确；∵AQ＝PQ，∴∠QAP＝∠APQ，又∵∠QAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠APQ，∴QP∥AB，故③正确；在△BRP和△CSP中，∵∠B＝∠C，∠BRP＝∠CSP＝90°，PR＝PS，∴△BRP≌△CSP，故④正确．16．王师傅常用角尺平分一个角，如图所示，学生小明可用三角尺平分一个角，他们在∠AOB两边上分别取OM、ON，使OM＝ON，前者使角尺两边相同刻度分别与M、N重合，角尺顶点为P；后者分别过M、N作OA、OB的垂线，交点为P，则均可得到△OMP≌△ONP，其依据分别是S.S.S.，H.L..解析：①由题意知OM＝ON，OP＝OP，PM＝PN，可用S.S.S.证明△OMP≌△ONP.②由题意知在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(H.L.)．三、解答题(共72分)17．(10分)如图所示，点B、C在∠SAF的两边上，且AB＝AC.(1)请按下列语句用尺规作出图形(不写作法，保留作图痕迹)；①AN⊥BC，垂足为点N；②∠SBC的平分线交AN的延长线于点M；③连结CM.(2)该图中有几对全等三角形？解：(1)如图所示．(2)根据对称性，△ABN≌△ACN，△ABM≌△ACM，△BMN≌△CMN，共3对．18．(10分)如图，在△ABC中，点F是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，FD∥AB交BC于点D，FE∥AC交BC于点E，若BC ＝8，求△FDE的周长．解：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠ABF＝∠BFD，∠CFE＝∠ACF.∵点F是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABF＝∠DBF，∠ECF＝∠ACF，∴∠FBD＝∠BFD，∠CFE＝∠FCE，∴BD＝FD，EF＝EC.∴△FDE的周长＝FD＋DE＋EF＝BD＋DE＋EC＝BC＝8.19．(10分)如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB ＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP.证明：在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵P A＝P A，PB＝PC，∴Rt△ABP≌Rt△ACP(H.L.)，∴∠BPD＝∠CPD.在△PBD和△PCD中，∵PB＝PC，∠BPD＝∠CPD，PD＝PD，∴△PBD≌△PCD(S.A.S.)，∴∠BDP＝∠CDP.20．(12分)如图所示，点B、C、E、F在同一条直线上，且AB ＝AC，AE＝AF.求证：∠BAF＝∠CAE.证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为AE＝AF，所以∠AEF＝∠AFE.在△ABF与△ACE中，∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠AFE＝∠AEF，所以△ABF≌△ACE(A.A.S.)，所以∠BAF＝∠CAE.21．(14分)如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC上的点，连结DE并延长交AC的延长线于点F，若DE＝EF，求证：DB＝CF.证明：如图所示，过点D作DH∥AC交BC于点H，则∠DHB＝∠ACB，∠F＝∠HDE.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DHB＝∠B，∴DB＝DH.在△DHE与△FCE中，∵∠HDE＝∠F，DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴△DHE≌△FCE(A.S.A.)，∴DH＝CF，∴DB＝CF.22．(16分)(1)如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD＋CE；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展与应用：如图③，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连结BD、CE，若∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC，试判断△DEF的形状．解：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB ＝AC，∴△ADB≌△CEA(A.A.S.)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB ＝AC，∴△ADB≌△CEA(A.A.S.)．∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(3)由(2)知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠F AE.∵BF＝AF.在△DBF和△EAF中，∵FB＝F A，∠FBD＝∠F AE，BD＝AE，∴△DBF≌△EAF，∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A＋∠AFE＝∠DF A＋∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．。

华东师大版八年级上册数学第13章全等三角形单元测试卷一、选择题(每题5分,共25分)1.若一个三角形每条边上的中线都是这条边上的高,则对该三角形的形状描述最准确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形2.如图1,有两把完全相同的直尺,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠AOB的平分线.”他这样做的依据是()图1A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图2所示,AD为∠BAC的平分线,添加下列一个条件后,仍无法判定△ABD≌△ACD的是()图2A.∠B=∠CB.BD=CDC.∠BDA=∠CDAD.AB=AC4.如图3所示,D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是()图3A.AC>BCB.AC=BCC.∠A>∠ABCD.∠A=∠ABC5.如图4,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线与AC,AD,AB分别交于点E,O,F,则图中全等三角形有()图4A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题(每题5分,共25分)6.命题“如果两个实数相等,那么它们的平方相等”的逆命题是,逆命题是(填“真”或“假”)命题.7.如图5所示,已知点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DFE,且AC与DE是对应边.若BE=14 cm,FC=4 cm,则BC=.图58.如图6,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠A=50°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠CBE=°.图69.如图7,在△ABC中,点D在BC边上,∠B=∠C=∠1,BD=CF=3,BE=2,则BC=.。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第13章综合测试一、选择题（共10小题）1.已知60AOB ∠=︒，其角平分线为OM ，20BOC ∠=︒，其角平分线为ON ，则MON ∠的大小为（）A .20︒B .40︒C .20︒或40︒D .30︒或10︒2.在平面内，90AOB ∠=︒，OC 在AOB ∠的外部，COB ∠是锐角，OP 平分AOC ∠，OQ 平分COB ∠，若COB ∠度数逐渐变大，则POQ ∠变化情况是（）A .变大B .变小C .保持不变D .无法确定3.如图，已知AOB ∠是直角，AOC ∠是锐角，ON 平分AOC ∠，OM 平分BOC ∠，则MON ∠的大小是（）A .45︒B .1452AOC︒+∠C .1602AOC︒-∠D .1902AOC︒-∠4.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC =70°，∠BAE =100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 度数是（）A .15︒B .20︒C .25︒D .30︒5.如图，已知点E 、F 在线段BC 上，BE CF =，DE DF =，AD BC ⊥，垂足为点D ，则图中共有全等三角形（）对.6.如图，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，则ABC DCB △≌△的依据是（）A .HLB .ASAC .AASD .SAS7.如图，在ABC △中，116BAC ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN .则MAN ∠的度数为（）A .52︒B .50︒C .58︒D .64︒8.如图，在ABC △中，90C ∠=︒，以点B 为圆心，以适当长为半径画弧交AB 、BC 于P ，Q 两点，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线BN 交AC 于点D .若10AB =，8AC =，则CD 的长是（）A .2B .2.4C .3D .49.下列命题是真命题的有（）个①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④对顶角相等，邻补角互补10.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A .15B .20C .25D .30二、填空题（共8小题）11.已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，那么EOF ∠的度数为________.12.如图，线段OA 绕点O 逆时针旋转一周，满足EOF ∠始终在AOB ∠的内部且58EOF ∠=︒.线段OM 、ON 分别为AOE ∠和BOF ∠的平分线，在旋转过程中，MON ∠的最大值是________.13.已知40AOB ∠=︒，过点O 引射线OC ，若:2:3AOC COB ∠∠=，且OD 平分AOB ∠.则COD ∠=________.14.如图ABC FED △≌△，30A ∠=︒，80B ∠=︒，则EDF ∠=________.15.如图，在ABC △中，70A ∠=︒，50B ∠=︒.若'''A B C △与ABC △满足''A B AB =，''A C AC =，'B B ∠=∠，则当'''A B C △与ABC △不全等时，'C ∠=________°.16.如图，点1A ，2A ，3A …，n A 在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，…，n C 在y 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在第一象限角平分线OM 上，11213OB B B B B ===…132n n B B a ==﹣，1111A B B C ⊥，2222A B B C ⊥，3333A B B C ⊥，…，n n n n A B B C ⊥，…，则第n 个四边形n n n OA B C 的面积是________.17.“若a b ＞，则22a b ＞”的结论部分是________，此命题是________命题（填“真”或“假”）.18.学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去.老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些；这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去.那么，你认为________（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是________.三、解答题（共8小题）19.如图①，已知线段12cm AB =，点C 为AB 上的一个动点，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点.①②（1）若4cm AC =，求DE 的长.（2）若cm AC a =（不超过12cm ），求DE 的长.（3）知识迁移：如图②，已知120AOB ∠=︒，过角的内部任意一点C 画射线OC ，若OD ，OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠，求DOE ∠的度数.20.如图1，已知线段16cm AB =，点C 为线段AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点.（1）若6cm AC =，则DE 的长为________；（2）试说明不论AC 取何值（不超过16m ），DE 的长不变；（3）知识迁移：如图2，已知AOB x ∠=︒，过角的内部任一点C 画射线OC ，若OD 、OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠，则DOE ∠=________.图1图221.如图所示，::4:5:3AOB BOC COD ∠∠∠=，OM 平分AOD ∠，20BOM ∠=︒，求AOD ∠和MOC ∠.22.如图，已知ACE DBF △≌△，CE BF =，AE DF =，8AD =，2BC =.（1）求AC 的长度；（2）试说明CE BF ∥.23.已知，在ABC △中，B C ∠=∠，12cm AB =，10cm BC =，点D 是AB 的中点，点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上以相同的速度由点C 向点A 运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动.当BPD △和CQP △全等时，求点P 运动的时间.24.证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等.25.如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC 的垂直平分线l ，交AC 于点O ；连接BO 并延长至D ，使得OD OB =；连接DA 、DC （保留作图痕迹，请标明字母）；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由.26.如图，点P 是AOB ∠的边OB 上的一点.（1）过点P 画OA 的垂线，垂足为H .（2）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C .（3）线段PH 的长度是点P 到________的距离.________是点C 到直线OB 的距离.（4）线段PC 、PH 、OC 的大小关系是________（用“＜”号连接）.第13章综合测试一、1.【答案】C【解析】根据题意，画出图形，分两种情况讨论：BOC ∠在AOB ∠内部和外部.图1图2解：BOC ∠在AOB ∠内部，60AOB ∠=︒ ，其角平分线为OM ，30MOB ∴∠=︒，20BOC ∠=︒ ，其角平分线为ON ，10BON ∴∠=︒，301020MON MOB BON ∴∠=∠∠=︒︒=︒--；BOC ∠在AOB ∠外部60AOB ∠=︒ ，其角平分线为OM ，30MOB ∴∠=︒，20BOC ∠=︒ ，其角平分线为ON ，10BON ∴∠=︒，301040MON MOB BON ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.故选：C .2.【答案】C【解析】依据OP 平分AOC ∠，OQ 平分BOC ∠，即可得到12COP AOC ∠=∠，12COQ BOC ∠=∠，再根据POQ COP COQ ∠=∠∠-进行计算，即可得出结论.解：OP 平分AOC ∠，OQ 平分BOC ∠，12COP AOC ∴∠=∠，12COQ BOC ∠=∠，()1111452222POQ COP COQ AOC BOC AOC BOC AOB ∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠=︒---，POQ ∴∠的度数不变.故选：C .3.【答案】A【解析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到MON ∠与AOB ∠的关系，即可求出MON ∠的度数.解：OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，12MOC BOC ∴∠=∠，12NOC AOC ∠=∠，()12MON MOC NOC BOC AOC ∴∠=∠∠=∠∠--，()12BOA AOC AOC =∠+∠-∠，12BOA =∠，45=︒.故选：A .4.【答案】A【解析】先根据全等三角形对应角相等求出B D ∠=∠，BAC DAE ∠=∠，所以BAD CAE ∠=∠，然后求出BAD ∠的度数，再根据ABG △和FDG △的内角和都等于180︒，所以DFB BAD ∠=∠.解：ABC ADE △≌△，B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，又BAD BAC CAD ∠=∠-∠，CAE DAE CAD ∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠，70DAC ∠=︒ ，100BAE ∠=︒，()110070152BAD BAE DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（），在ABG △和FDG △中，B D ∠=∠ ，AGB FGD ∠=∠，15DFB BAD ∴∠=∠=︒.故选：A .5.【答案】C【解析】依据AD AD 垂直平分BC BC ，AD AD 垂直平分EF EF ，即可得出AB =AC AB AC =，AE =AF AE AF =，依据SSS SSS 即可得出图形中共有全等三角形4对.解：BE CF = ，DE DF =，AD BC ⊥，AD ∴垂直平分BC ，AD 垂直平分EF ，AB AC ∴=，AE AF =，又AD AD = ，()ABD ACD SSS ∴△≌△，()AED AFD SSS △≌△，BE CF = ，DE DF =，BF CE ∴=，又AB AC = ，AE AF =，()ABF ACE SSS ∴△≌△，AB AC = ，AE AF =，BE CF =，()ABE ACF SSS ∴△≌△，∴图形中共有全等三角形4对，故选：C .6.【答案】A【解析】已知90A D ∠=∠=︒，题中隐含BC BC =，根据HL 即可推出ABC DCB △≌△.解：HL ，理由是：90A D ∠=∠=︒ ，∴在Rt ABC △和Rt DCB △中AC BDBC BC =⎧⎨=⎩，()Rt Rt ABC DCB HL ∴△≌△，故选：A .7.【答案】【解析】利用线段的垂直平分线的性质得到B BAM ∠=∠，C CAN ∠=∠，即可得到MAN ∠的度数.解：DE 和PQ 分别垂直平分AB 和AC ，MB MA ∴=，NA NC =，B MAB ∴∠=∠，C NAC ∠=∠，在ABC △中，116BAC ∠=︒，180********B C BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒即64MAB NAC ∠+∠=︒，则()1166452MAN BAC MAB NAC ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒.故选：A .8.【答案】C【解析】作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质得到DE DC =，设DE DC x ==，根据三角形ABD 的面积公式列方程计算即可.解：如图，作DE AB ⊥于E ，10AB = ，8AC =，90C ∠=︒，6BC ∴=，由基本尺规作图可知，BD 是ABC △的角平分线，90C ∠=︒ ，DE AB ⊥，∴可设DE DC x ==，ABD ∴△的面积1122AB DE AD BC =⨯⨯=⨯⨯，即()11108622x x ⨯⨯=⨯-⨯，解得3x =，即3CD =，故选：C .9.【答案】A【解析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可.解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；故选：A .10.【答案】B【解析】设容易题有x 道，中档题有y 道，难题有z 道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解.解：设容易题有x 道，中档题有y 道，难题有z 道，由题意得，10032360x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①②，2⨯-①②得，20z x -=，所以，难题比容易题多20道.故选：B .二、11.【答案】5︒135︒【解析】解答此题首先进行分类讨论，当OC 是AOB ∠里的一条射线时，根据题干条件求出一个值，当OC 是AOB ∠外的一条射线时，根据平分线的知识可以得到角之间的关系，进而求得EOF ∠的大小.解：如右图所示：①OC 在AOB ∠内部，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，12COE AOC ∴∠=∠，12COF BOC ∠=∠，1122COE COF AOC BOC ∴∠+∠=∠+∠，即12EOF AOB ∠=∠，又90AOB ∠=︒ ，45EOF ∴∠=︒；②如图，当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，12AOE EOC AOC ∴∠=∠=∠，12BOF FOC BOC ∠=∠=∠，()360902EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=︒-︒÷，135EOF ∴∠=︒，综上所述：45EOF ∠=︒或135︒.故答案为：45︒或135︒.12.【答案】119︒【解析】由OM 、ON 分别为AOE ∠和BOF ∠的平分线，可得12MOE AOE ∠=∠，12FON BOF ∠=∠，所以()12MON EOF AOE BOF ∠=∠+∠+∠，因为∠EOF 是定值，所以当AOE BOF ∠+∠最大时，MON ∠最大，即当AOB ∠最大时，MON ∠最大，当180AOB ∠=︒时，MON ∠最大，根据角平分线定义可得结论.解：当180AOB ∠=︒时，MON ∠最大，58EOF ∠=︒ ，18058122AOE BOF AOB EOF ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，OM 、ON 分别为AOE ∠和BOF ∠的平分线，12MOE AOE ∴∠=∠，12FON BOF ∠=∠，111226122MOE FON AOE BOF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，5861119MON EOF MOE FON ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，即MON ∠N 的最大值是119︒；故答案为：119︒.13.【答案】4︒或100︒【解析】分射线OC 在AOB ∠的内部、射线OC 在AOB ∠的外部两种情况进行解答，当射线OC 在AOB ∠的内部时，设AOC ∠、COB ∠的度数分别为2x 、3x ，计算出x 的值，进而计算出AOC ∠、AOD ∠的度数，从而得出结论.当射线OC 在AOB ∠的外部时，AOC ∠、COB ∠的度数分别为2x 、3x ，则AOB x ∠=，得x 的值，进而计算出AOC ∠与AOD ∠的度数，然后得出结论.解：如图（1）射线OC 在AOB ∠的内部，（2）射线OC 在AOB ∠的外部（1）设AOC ∠、COB ∠的度数分别为2x 、3x ，则2340x x +=︒，8x ∴=︒，216AOC x ∠==︒，140202AOD ∠=⨯︒=︒，20164COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）设AOC ∠、COB ∠的度数分别为2x 、3x ，则3240AOB x x x ∠=-==︒，280AOC x ∴∠==︒，20AOD ∠=︒，8020100COD AOC AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.故答案为4︒或100︒.14.【答案】70︒【解析】根据三角形内角和定理求出ACB ∠，根据全等三角形的性质解答.解：30A ∠=︒ ，80B ∠=︒，180308070ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，ABC FED △≌△，70EDF ACB ∴∠=∠=︒.故答案为：70°.15.【答案】120【解析】作''A B C ABC "△≌△''A B C ABC "△≌△，以'A 为圆心，'A C "为半径画弧，交'B C "于'C ，连接''A C ，则A 'B '=AB ''A B AB =，''A C AC =''A C AC =，'B B ∠=∠'B B ∠=∠，但ABC △与'''A B C △不全等，进而得出'C ∠的度数.解：如图所示，作''A B C ABC "△≌△，以'A 为圆心，'A C "为半径画弧，交'B C "于'C ，连接''A C ，则''A B AB =，''A C AC =，'B B ∠=∠，但ABC △与'''A B C △不全等，60C C ∠=∠"=︒ ，'''A C A C ="，''60A C C C ∴∠"=∠"=︒，'''120A C B ∴∠=︒，故答案为：120︒.16.【答案】2238n a 【解析】过点1C 作11C E OB ⊥于点E ，过点1A 作11A F OB ⊥于点F ，过点1B 分别作11B H OC ⊥于点H ，11B N OA ⊥于点N ，先证明：()1111B HC B NA AAS △≌△，再证明：()1111B C E A B F AAS △≌△，即可证得：1111C E A F B F OF OB +=+=，进而可得：11111112 38OB C OB A OA B C S S S a =+=△△四边形，同理可得：222223 28OA B C S a =⋅四边形，333223 38OA B C S a =⋅四边形，…，22223838n n n OA B C a a n n S ==⋅四边形.解：如图，过点1C 作11C E OB ⊥于点E E ，过点1A 作11A F OB ⊥于点F F ，过点1B 分别作11B H OC ⊥于点H ，11B N OA ⊥于点N ，1111B OC B OA ∠=∠ ，11B H B N ∴=，11190HB N C BA ∠=∠=︒ ，1111HB C NB A ∴∠=∠，1111HB C NB A ∴∠=∠，111190B HC B NA ∠=∠=︒ ，()1111B HC B NA AAS ∴△≌△，1111B C B A ∴=，111190C B F A B F ∠+∠=︒ ，1190A B F ∠=︒，1111C B F B A F ∴∠=∠，111190C EB B FA ∠=∠=︒ ，()1111B C E A B F AAS ∴△≌△，11C E B F ∴=，1145B OA ∠=︒ ，145FAO ∴∠=︒，1A F OF ∴=，1111C E A F B F OF OB ∴+=+=，()111111122211111111 1111133 2222228OB C OB A OA B C S S S C E OB A F OB C E A F OB a ⎛⎫=+=⋅+⋅=+=== ⎪ ⎪⎝⎭△△四边形，同理，222222221133222228A O B C S OB a ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭四边形，3332222311333228A O B C S OB a ⎫===⋅⎪⎪⎝⎭四边形，…，222222113322288n n n n A O B C n a S n a n ⎫==⋅=⋅=⎪⎪⎝⎭四边形.故答案为：2238n a .17.【答案】22a b ＞假【解析】根据命题的概念、真假命题的判断方法解答.解：“若a b ＞，则22a b ＞”的结论部分是22a b ＞，12--＞，()()2212--＜，此命题是假命题，故答案为：22a b ＞；假.18.【答案】老师老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等.【解析】根据题意求出老师的办法中，每人抽取的概率（都是13）；再求出小华的办法中，每人抽取的概率，看三人的概率是否相等即可.解：老师，因为老师的办法，不管谁先抽均有13的机会；而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，小明和小英的机会各占14，而小华的机会占21=42，即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等.三、19.【答案】解：（1）12cm AB = ，4cm AC =，8cm BC ∴=，又D ，E 分别是AC 和BC 的中点，2cm CD ∴=，4cm CE =，6cm DE ∴=；（2）12cm AB = ，cm AC a =，()12cm BC a ∴=-，又D ，E 分别是AC 和BC 的中点，cm 2a CD ∴=，()112cm 2CE a =-，1166cm 22DE a a ∴=+-=；（3）OD 、OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠，11()22DOE DOC COE AOC COB AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，120AOB ∠=︒ ，60DOE ∴∠=︒.【解析】（1）依据D ，E 分别是AC 和BC 的中点，即可得到2cm CD =，4cm CE =进而得出6cm DE =；（2）依据D ，E 分别是AC 和BC 的中点，即可得到cm 2a CD =，()112cm 2CE a =-，进而得出1166cm 22DE a a =+-=；（3）由OD 、OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠，即可推出11()22DOE DOC COE AOC COB AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠.20.【答案】（1）8cm（2）解： 点D ，E 分别是AC 和 BC 的中点，12DC AC ∴=，12CE BC =，()1122DE DC CE AC BC AB ∴=+=+=，∴不论AC 取何值（不超过16cm ），DE 的长不变；（3）12x ︒【解析】（1）根据中点的性质求出AC 、BC 的长，根据线段中点的定义计算即可；解：16cm AB = ，6cm AC =，10cm BC ∴=，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，13cm 2DC AC ∴==，15cm 2CE CB ==，8cm DE DC CE ∴=+=.故答案为：8cm ；（2）根据中点的性质求出AC 、BC 的长，根据线段中点的定义计算即可说明结论，具体解答过程见答案；（3）根据角平分线的定义得到12DOC AOC ∠=∠，12EOC BOC ∠=，结合图形计算即可.解：OD ，OE 分别平分AOC ∠和BOC ∠.12DOC AOC ∴∠=∠，12EOC BOC ∠=∠.()12DOE DOC EOC AOC BOC AOB x ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.故答案为：12x ︒.21.【答案】解：设4AOB x ∠=，5BOC x ∠=，3COD x ∠=，12AOD x ∴∠=，OM 平分AOD ∠，162AOM AOD x ∴∠=∠=，由题意得，6420x x -=︒，解得，10x =︒，12120AOD x ∴∠==︒，550BOC x ∠==︒，30MOC BOC BOM ∴∠=∠-∠=︒.【解析】设4AOB x ∠=，5BOC x ∠=，3COD x ∠=，得到12AOD x ∠=，根据角平分线的定义得到162AOM AOD x ∠=∠=，根据题意列出方程，解方程即可.22.【答案】（1）解：ACE DBF △≌△，AC BD ∴=，11()(82)522AC AD BC ∴=+=⨯+=；（2）证明：ACE DBF △≌△，ACE DBF ∴∠=∠，CE BF ∴∥.23.【答案】解：AB AC = ，B C ∴∠=∠，设点P 、Q 的运动时间为t ，则2BP t =，2CQ t =，12cm AB = ，10cm BC =，点D 为AB 的中点，1126cm 2BD ∴=⨯=，()102cm PC t =-，①BD 、PC 是对应边时，BPD △与CQP △全等，BD PC ∴=，BP CQ =，6102t ∴=-且22t t =，解得2t =；②BD 与CQ 是对应边时，BPD △与CQP △全等，BD CQ ∴=，BP PC =，62t ∴=，2102t t =-，解得3t =且52t =（舍去），综上所述，BPD △与CQP △全等时，点P 运动的时间为2秒.【解析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AC BD =，然后根据()12AC AD BC =+代入数据计算即可得解；（2）根据全等三角形对应角相等可得ACE DBF ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行证明即可.24.【答案】证明：AH BC ⊥ ，DK EF ⊥，90AHB DKE ∴∠=∠=︒，在Rt ABH △和Rt DEK △中，AH DK AB DE =⎧⎨=⎩，()Rt Rt ABH DEK HL ∴△≌△，B E ∠=∠，在ABC △和DEF △中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF SAS ∴△≌△.【解析】由HL 证明Rt Rt ABH DEK △≌△得B E ∠=∠，再用边角边证明ABC DEF △≌△.25.【答案】解：（1）如图所示：（2）四边形ABCD 是矩形，理由：Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BO 是AC 边上的中线，12BO AC ∴=，BO DO = ，AO CO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，又90ABC ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形.【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出l ；利用射线的作法得出D 点位置；连接DA 、DC 即可；（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系得出BO DO =，AO CO =，可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据90ABC ∠=︒，即可得到四边形ABCD 是矩形.26.【答案】解：（1）如图，直线PH 即为所求：（2）如图，直线PC 即为所求：（3）直线OA 线段PC 的长度（4）PH PC OC＜＜【解析】（1）利用方格线画垂线即可；（2）利用方格线画垂线即可；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH 的长度是点P 到OA 的距离，线段OP 的长是点C 到直线OB 的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC PH ＞，CO CP ＞，即可得到线段PC 、PH 、OC 的大小关系.。

华东师大版八年级数学上册《第十三章全等三角形》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共12个小题 每小题4分 共48分。

） 1、下列命题中，是假命题的是（ ） A 、对顶角相等B 、两点之间 线段最短C 、全等三角形的对应角相等D 、同位角相等2、如图 已知AC AE = C E ∠=∠下列条件中 无法判定ADE ABC ∆≅∆的是（ ） A 、D B ∠=∠ B 、DE BC = C 、21∠=∠ D 、AD AB =3、如图所示 某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是带（ ）去A 、①B 、②C 、③D 、①和②4、如图 AD BE 是ABC ∆的高线 AD 与BE 相交于点F .若6==BD AD 且ACD ∆的面积为12 则AF 的长度为（ ）A 、1B 、23C 、2D 、3 5、如图 在ABC ∆中 CP 平分ACB ∠ CP AP ⊥于点P 已知ABC ∆的面积为122cm 则阴影部分的面积为（ ）A 、62cmB 、82cmC 、102cmD 、2cm6、如图 已知方格纸中是4个相同的小正方形 则21∠+∠的度数为（ ）° A 、70B 、80C 、90D 、1007、如图 D 是AB 上一点 DF 交AC 于点E DE=FE CF//AB 若BD=1 CF=3 则AB 的长是（ ）P第5题图A1第6题图2CD第7题图BEA FED 第8题图BCA2D第2题图BEAC1③①第3题图②F D 第4题图BE ACA 、1B 、2C 、3D 、48、如图 AD 是ABC ∆的中线 AB CE //交AD 的延长于点E AB=5 AC=7 则AD 的取值可能是（ ）A 、12B 、8C 、6D 、49、如图 在ABC ∆中 I 是三条角平分线的交点。

第13章全等三角形单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 下列命题是真命题的是（）A.在同一平面内，两条直线的位置只有平行和垂直两种B.两直线平行，同旁内角相等C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.平行于同一条直线的两直线平行2. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE.若AC=5，BC=3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53. 甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，他们相约在每个星期天相互交换读完的书．经过数次交换后，他们都读完了这3本书．若乙读的第三本书是丙读的第二本书，则乙读的第一本书是甲读的（）A.第一本书B.第二本书C.第三本书D.不能确定4. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确5. 已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有()个(1)DA平分∠EDF；(2)△EBD≅△FCD；(3)△AED≅△AFD；(4)AD垂直BC．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS7. 已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5cm，BD＝3cm，则ED的长为（）A.2cmB.3cmC.5cmD.8cmBC的长为半径8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点B和点C为圆心，大于12作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF．若AC= 2，∠FCG=30∘，则△BCF的面积为( )．A.√3B.√3C.2D.2√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，DE垂直平分AB，∠CBE:∠A=1:2，则∠AED=________∘．10. 如图是标准跷跷板的示意图．横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA=90∘，∠CAO=25∘，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为________．11. 如图所示的是一个尺规作图，已知∠AOB=35∘，根据作图痕迹可知∠A′O′B′的度数为________.12. 如果两个直角三角形，满足斜边和一条直角边相等，那么这两个直角三角形________（填“是”或“不是”）全等三角形．13. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k=________．14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=________．15. 如图，为等边三角形，,，，且。