2.1坐标轴的平移与旋转(1)

坐标平移与旋转坐标平移和旋转是二维坐标系统中常用的操作，无论是在数学、几何还是计算机图形学领域，它们都占据着重要地位。

本文将详细介绍坐标平移和旋转的概念、原理以及实际应用。

一、坐标平移坐标平移是指在二维坐标系中将所有点的坐标向某个方向移动固定的距离，以达到整体平移的效果。

这个过程可以简单地理解为，将整个坐标系沿着某个方向平行移动。

1.1 平移的概念平移可以用向量表示。

设有平面上一点P(x,y)，平移向量为V(a,b)，则平移后的点P'的坐标为P'(x', y')。

平移操作的计算公式如下：x' = x + ay' = y + b其中，x和y是原来点P的坐标，a和b是平移向量的分量。

1.2 平移的原理平移的原理很简单，即将每个点的坐标分别加上平移向量的分量，即可得到平移后的坐标。

通过改变平移向量的数值，可以实现不同方向和距离的平移效果。

1.3 平移的应用平移在实际应用中有着广泛的用途。

例如，在计算机图形学中，平移可以用于实现对象的移动效果，比如将一个图形从一个位置平移到另一个位置；在地图导航系统中，平移可以用于地图的拖动功能，使得用户可以自由地浏览地图。

二、坐标旋转坐标旋转是指围绕某个固定点将二维坐标系中的点按照一定角度进行旋转，以改变它们的位置和方向。

旋转是一种常见的几何变换，有着重要的理论和实际应用。

2.1 旋转的概念旋转可以用矩阵运算来表示。

设有平面上一点P(x,y)，以原点为中心进行旋转，旋转角度为θ，则旋转后的点P'的坐标为P'(x', y')。

旋转操作的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x和y是原来点P的坐标，θ是旋转的角度。

2.2 旋转的原理旋转的原理是利用三角函数的性质，通过改变旋转角度θ的数值，可以实现不同角度和方向的旋转效果。

坐标轴上的点坐标轴上的点是数学中的一个重要概念，用来描述物体在空间中的位置与方向。

在二维坐标系中，坐标轴有两条，横轴与纵轴，它们的交点便是原点(0,0)；而在三维坐标系中，坐标轴有三条，分别为x 轴、y轴、z轴，它们的交点同样为原点(0,0,0)。

点在坐标轴上的位置可以用坐标表示，比如在二维坐标系中，点(x,y)代表横轴上距离原点有x个单位长度，纵轴上距离原点有y个单位长度的点。

这篇文章将围绕坐标轴上的点展开，从以下几个方面进行阐述：坐标表示方法、点的位置关系、点的平移与旋转、点的应用。

一、坐标表示方法坐标表示方法在前面已经简单介绍过了，这里进一步阐述。

如下图所示，点A的坐标为(3,4)，它在横坐标轴上距离原点3个单位长度，在纵坐标轴上距离原点4个单位长度。

二、点的位置关系在坐标系中，点与点的位置关系有很多种。

常见的有以下几种：1.点的坐标相等，则两个点重合。

2.两个点在同一条直线上，则两个点共线。

3.两个点在一条垂直于坐标轴的直线上，则两个点不共线，且横坐标相等。

4.两个点在一条垂直于坐标轴的直线上，则两个点不共线，且纵坐标相等。

5.两个点在同一象限内，则两个点的坐标符号相同。

6.两个点在不同象限内，则两个点的坐标符号不同。

三、点的平移与旋转点的平移指的是将点按照一定的距离和方向移动，新的点与原点之间的距离和方向不变，只是位置移动了。

点的旋转指的是将点绕某个点或者某个轴线旋转一定角度，新的点与原点之间的距离和方向也不变，只是位置发生了变化。

下图展示了点在坐标轴上的平移和旋转过程。

四、点的应用坐标系和坐标轴上的点在很多领域中都有广泛的应用，比如地图、航空、计算机图形学等。

在地图上，经纬度可以用坐标轴上的点表示。

经度代表横轴坐标，纬度代表纵轴坐标，把地图上的点标记出来就可以得到一个完整的地图了。

在航空领域中，坐标系和坐标轴上的点用来表示飞机的航线、目标位置等信息。

在计算机图形学中，坐标系和坐标轴上的点用来表示图像的位置和方向，计算机可以根据点的坐标和旋转角度来生成图像。

三年级下册数学一课一练-2.1轴对称（一）一、单选题1.下面的英文字母，（）不是轴对称图形．A. QB. MC. T2.下面图形中，是轴对称图形的有( )。

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有( )。

①加拿大；②摩洛哥；③澳大利亚；④瑞典A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.下列图形中，不是轴对称图形的是( )。

A. 等腰三角形B. 线段C. 钝角D. 平行四边形二、判断题5.正方形不是轴对称图形。

（）6.圆形只有12条对称轴。

7.同一平面的两个圆组成的图形一定是对称图形。

8.判断对错．左图是五边形，每条边都相等，它有三条对称轴．三、填空题9.这个图形________条对称轴．10.长方形有________条对称轴，正方形有________条对称轴，圆有________条对称轴，等腰三角形有________条对称轴．11.填一填。

①将轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两边的图形________②生活中常见的轴对称图形有________。

③我们用手拧动水龙头属于________现象。

④物体从竿子的顶部滑下来属于________现象。

12.将一张正方形纸沿着某个方向对折，再对折，对折4次后有________条折痕。

四、解答题13.有些汉字的形状也是近似轴对称的，如“日、田”你能再写出这样的汉字吗？（至少至少写5个）14.画出所有的对称轴五、综合题15.看图填空（1）上图中点A和点________到对称轴的距离都是2格。

（2）点B和点B′到对称轴的距离都是________格。

（3）点________和点________到对称轴的距离都是5格六、应用题16.在下面的图形中，你能画出几条对称轴？参考答案一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】选项A，Q不是轴对称图形；选项B，M是轴对称图形；选项C，T是轴对称图形。

故答案为：A.【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；判断一个图形是否是轴对称图形，关键是找它的对称轴，要想象沿着这条线翻折能不能重叠，据此解答.2.【答案】C【解析】【解答】解：因第一个和第二个图形没有对称轴；第三个图形有两条对称轴；第四个图形有一条对称轴，故选C。

仿射变换矩阵求解推导过程仿射变换是计算机图形学中常用的一种变换方式，其可以实现平移、旋转、缩放和剪切等效果。

而求解仿射变换矩阵的推导过程对于理解和实现这些变换非常重要。

本文将详细介绍求解仿射变换矩阵的推导过程。

2. 二维仿射变换2.1 平移变换平移变换是指将图形沿着x轴和y轴方向进行移动。

设平移向量为(Tx, Ty)，则平移变换矩阵为：[ 1 0 Tx ]T = [ 0 1 Ty ]其中，前两列为单位向量，表示x轴和y轴的方向，第三列为平移向量。

2.2 旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个旋转中心点进行旋转，旋转角度为θ。

设旋转中心为(Cx, Cy)，则旋转变换矩阵为：[ cosθ -sinθ Cx(1-cosθ)+Cy*sinθ ] T = [ sinθ cosθ -Cx*sinθ+Cy(1-cosθ) ]其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦和正弦，前两列为旋转后的单位向量，第三列为旋转后的平移向量。

2.3 缩放变换缩放变换是指将图形沿着x轴和y轴方向分别进行缩放。

设缩放比例为(Sx, Sy)，则缩放变换矩阵为：[ Sx 0 0 ]T = [ 0 Sy 0 ]其中，Sx和Sy分别为x轴和y轴的缩放比例。

2.4 剪切变换剪切变换是指将图形在坐标平面上按照一定的比例进行拉伸或压缩。

设剪切比例为(Shx, Shy)，则剪切变换矩阵为：[ 1 Shx 0 ]T = [ Shy 1 0 ]其中，Shx和Shy分别为x轴和y轴的剪切比例。

3. 三维仿射变换在三维场景中，仿射变换的推导过程与二维类似。

只是在变换矩阵中需要考虑z轴的变换。

具体的推导过程与二维仿射变换类似，只需将矩阵维度扩展为3x3。

本文详细介绍了仿射变换矩阵的求解推导过程。

通过对平移、旋转、缩放和剪切四种变换进行推导，我们可以得到相应的变换矩阵。

这些变换矩阵可以在计算机图形学中广泛应用，实现各种精美的图形效果。

在实际应用中，可以根据需要灵活组合这些变换矩阵，实现更加复杂的变换效果。

F(2,2)为焦点，以直线L ：x +y =0拋物线Γ方程式是Γ ：(x -2)2+(y -2)2 = |x +y |2(*)式平方后可化成Γ：x 2-2xy +y 2-8x -8y +16=0…(**)， 但是从(**)很难辨识它是一条拋物线， 是否可以利用适当的坐标变换， 来辨识(**)式为一条拋物线。

我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点 与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口 向上的拋物线，方程式也会化成y //=ax //2的形式，因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简Γ的方程式。

(1)推导转轴公式：将直角坐标系 ≡ )绕原点旋转一个有向角θ ，得到一个新坐标系 //≡ 1 , 2)，像这种「坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向」的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。

1=(cos θ，sin θ)=cos +sin ，2=(cos(θ+π2)，sin(θ+π2))=(-sin θ，cos θ)=(-sin θ +cos θ设P 点在坐标系 ≡ )与 //≡ 1 , 2)下的坐标为(x ,y )、(x //,y //)OP = +=x 1+y 2=x //( cos +sin )+y //((-sin θ +cos θ )=(x //cos θ -y //sin θ +(x //sin θ +y //cos θ ⇒⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 这个式子称为转轴公式。

[几何解释]：如右图，−OQ=−OU -−QU=−OS cos θ -−PS sin θ =x //cos θ -y //sin θ−PQ =−RS +−SU =−PS cos θ +−OS sin θ =x //sin θ +y //cos θ透过⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 可解得⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin sin cos ////y x y y x x 从另一个方向来看，把新坐标系 //绕原点O 旋转有向角-θ就可变成原坐标系 ，即(x //,y //)看成原坐标，(x ,y )看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到 ⎩⎨⎧+-=-+-=+=---=θθθθθθθθcos sin )cos()sin(sin cos )sin()cos(////y x y x y y x y x x结论：(1)将直角坐标系的x 、y 轴旋转θ角度，得到新的坐标轴x //、y //轴 点P 作这两个坐标下的坐标分别为(x ,y )、(x //,y //)，(x ,y )与(x //,y //)满足下列关系：⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 。

江苏省新沂中等专业学校教案
一、教师：展示情景图（PPT演示）
提问1：这是两幅意大利比萨斜塔的照片，大家知道为什
么第二幅照片中的斜塔不斜了呢？
提问2：两个同学相对而坐，桌面上写有一个数字，是6？是9？两人答案不一。

由于两人所处的位置不同，对同一事物的描述就不同。

二、探索：
展示PPT：（图示）
只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向和单位长
度的坐标系变换，叫做坐标轴平移。

坐标系x'O'y'是原坐标系xOy平移后得到的一个新坐标
系。

新坐标系原点O'在坐标系xOy中的坐标是(-2,-1)。

1.在坐标系xOy中，A、B、C、D各点的坐标是什么？
点A B C D
坐标（1,0）（-2,1）（0，-1）（-1，-1）
2.在坐标系x'O'y'中，A、B、C、D各点的坐标是什么？点A B C D
坐标（3,1）（0,2）（2，0）（1，0）
分析：以上两个坐标系中的坐标有何关系？
结论：点在xOy中的坐标减去在坐标系x'O'y'的坐标的差都是(-2,-1)，就是新坐标系原点O'在坐标系xOy中的坐标。

三、新授：学生思考交流
学生回答
学生回答。

图形的平移和旋转教学目标：1. 理解平移和旋转的概念。

2. 学会用平移和旋转的方法来变换图形。

3. 能够判断图形是否发生了平移或旋转。

教学重点：1. 平移和旋转的定义。

2. 平移和旋转的方法。

3. 平移和旋转的性质。

教学难点：1. 理解平移和旋转的本质区别。

2. 学会用平移和旋转的方法来变换复杂图形。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 图形卡片。

3. 练习题。

教学过程：第一章：平移的概念和性质1.1 引入平移的概念教师展示一些平移的实例，如滑滑梯、电梯等，引导学生感受平移的特点。

1.2 学习平移的性质学生通过观察和操作，发现平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

1.3 练习平移学生分组合作，用图形卡片进行平移操作，体会平移的方法。

第二章：旋转的概念和性质2.1 引入旋转的概念教师展示一些旋转的实例，如旋转门、风车等，引导学生感受旋转的特点。

2.2 学习旋转的性质学生通过观察和操作，发现旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。

2.3 练习旋转学生分组合作，用图形卡片进行旋转操作，体会旋转的方法。

第三章：平移和旋转的判定3.1 学习平移的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了平移。

3.2 学习旋转的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了旋转。

3.3 练习判断学生独立完成判断题目，巩固平移和旋转的判定方法。

第四章：平移和旋转的应用4.1 学习用平移和旋转的方法来变换图形学生通过观察和操作，学会用平移和旋转的方法来变换图形。

4.2 练习变换学生独立完成变换题目，巩固平移和旋转的变换方法。

第五章：总结与拓展5.1 总结平移和旋转的概念、性质和判定方法学生通过回顾本节课的内容，总结平移和旋转的概念、性质和判定方法。

5.2 拓展平移和旋转的应用学生分组合作，用平移和旋转的方法来创作有趣的图形图案。

教学评价：1. 通过课堂观察，评价学生对平移和旋转概念的理解程度。

2. 通过练习题，评价学生对平移和旋转性质的掌握程度。

解析几何中的坐标轴旋转与平移操作在解析几何中，坐标轴旋转与平移操作是非常常见且重要的操作。

通过对坐标轴进行旋转和平移，我们可以方便地研究图形的性质和变化，从而解决许多几何问题。

本文将对坐标轴的旋转和平移进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用这些操作。

一、坐标轴的旋转操作坐标轴的旋转操作是指将坐标轴按照一定的角度旋转，从而改变坐标系的方向和位置。

通过旋转操作，我们可以将几何问题转化为更简单的形式，使得计算和分析更加方便。

1. 二维平面坐标轴的旋转在二维平面中，我们通常使用x轴和y轴构成的直角坐标系来描述点的位置。

当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。

（2）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

（3）应用旋转矩阵：根据旋转中心和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。

旋转矩阵的具体形式如下：| cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转角度。

2. 三维空间坐标轴的旋转在三维空间中，我们通常使用x轴、y轴和z轴构成的直角坐标系来描述点的位置。

当我们需要对坐标轴进行旋转时，可以按照以下步骤进行操作：（1）确定旋转中心：旋转中心是指坐标轴旋转的中心点，可以是原点或者其他点。

（2）确定旋转轴：旋转轴是指坐标轴旋转的轴线，可以是x轴、y轴、z轴或者其他直线。

（3）确定旋转角度：旋转角度决定了坐标轴旋转的程度，可以是正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

（4）应用旋转矩阵：根据旋转中心、旋转轴和旋转角度，应用旋转矩阵对坐标轴进行旋转。

旋转矩阵的具体形式与二维平面类似，根据旋转轴的不同而有所区别。

二、坐标轴的平移操作坐标轴的平移操作是指将坐标轴沿着某个方向进行平移，从而改变坐标系的位置。

通过平移操作，我们可以将几何问题转化为更方便计算和分析的形式。