16.2坐标轴旋转

Q (x ,0, N (0, y , z )P (x , y , z )OM (x , y ,0)坐标旋转变换如图 1，直角坐标系 XYZ ，P 点的坐标为 (x , y , z ) ，其相应的在 XY 平面，XZ 平面， Y Z 平面分别为 M (x , y ,0) ， Q (x ,0, z ) 和 N (0, y , z ) 。

zz )xy图 1 直角坐标系 XYZ设ϑ表示第 j 轴的旋转角度， R j (ϑ ) 表示绕第 j 轴的旋转，其正方向是沿坐标 轴向原点看去的逆时针方向。

很明显当 j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的 j 分量是不变的。

由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕 z 轴旋转为例推导其旋转 变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。

设图 1 的坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度，新坐标为 X 'Y ' Z '，如图 2 所示：θZ (Z ')N (0, y , z ) | (0, y ', z ') Q (x ,0, z ) | (x ',0, z ')P (x , y , z ) | (x ', y ', z ')X 'OXθM (x , y ,0) | (x ', y ',0)YY '图 2 坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度由于坐标中的 z 分量不变，我们可以简化地在 XY 平面进行分分析，如图 3 所示：YY 'M (x , y ,0) | (x ', y ',0)θ ϕXOθX M X 'X '图 3 坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度的 XY 平面示意图点 M X 和点 M X ' 分别是 M 点在 X 轴和 X ' 轴的投影。

如图 3♣x = OM X ♦♥ y = MM X = OM cos ∠MOM X = OM sin ∠MOM X = OM cos(ϕ - θ )= OM sin(ϕ - θ )♣x ' = OM X ' = OM cos ∠MOM X ' = OM cos ϕ ♦♥ y = MM X ' = OM sin ∠MOM X ' = OM sin ϕ把(1)式按照三角函数展开得：♣x = OM cos ϕ cos θ + OM sin ϕ sin θ ♦♥ y = OM sin ϕ cos θ - OM cos ϕ sin θ把(2)式代入(3)式得：M♠♣x = x 'cos θ + y 'sin θ ♦♥ y = -x 'sin θ + y 'cos θ坐标中的 z 分量不变，即 z = z ' 这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表 示就坐标）：♣x = x 'cos θ + y 'sin θ ♠♦ y = -x 'sin θ + y 'cos θ ♥z = z ' 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵 R Z (θ) 表示可以写成：ϒ x / ϒx '/ ' ∞ ' ∞' y ∞ = R Z (θ)' y '∞ '≤ z ∞ƒ '≤z '∞ƒ ϒcos θ 'sin θ 0/ ∞ R Z (θ) = '- sin θcos θ 0∞ ≤' 01∞ƒ坐标系 X 'Y ' Z ' 是坐标系 XYZ 绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系 XYZ 是坐标系 X 'Y ' Z ' 绕 Z ' 轴逆时针旋转 - θ 角度而来，所以 根据(6)式有（上标 "-1" 表示矩阵的逆）：ϒ x '/ ϒ x / ' ∞ ' ∞ -1' y '∞ = R Z (- θ)' y ∞ ⇒ R Z (θ) = R Z (- θ) '≤ z ' ∞ƒ '≤ z ∞ƒ用同样的分析办法，当绕 X 轴逆时针旋转θ 角度其 Y Z 平面分析如图 4 所示：ZZ 'N (x ,0, z ) | (x ',0, z ')θ ϕYOθYN Y 'Y '图 4 坐标绕 X 轴逆时针旋转θ 角度的 Y Z 平面示意图 其坐标转换关系为：N♠X 'X ♠ Y ∞ ♣ y = y 'cos θ + z 'sin θ ♠♦z = - y 'sin θ + z 'cos θ ♥x = x '(9)ϒ1R (θ) = '0 0 cos θ 0/ sin θ ∞(10)'≤0- sin θcos θ ∞ƒR -1 (θ)= R (- θ) (11)当绕 Y 轴逆时针旋转θ 角度得其 XZ 平面分析如图 5 所示（注意和前面两个角度方向不一样）：Z 'ZQ (0, y , z ) | (0, y ', z ')θϕ θOQ XX 'Q X 'X图 5 坐标绕 Y 轴逆时针旋转θ 角度的 XZ 平面示意图 ♣x = x 'cos θ - z 'sin θ♠♦z = x 'sin θ + z 'cos θ ♥y = y '(12)ϒcos θ '0 - s in θ /∞ R Y (θ) = '01 0 ∞ (13)'≤sin θcos θ ∞ƒR -1(θ)= R (- θ) (14)X Y。

坐标轴旋转公式
坐标轴旋转是指把原坐标系的坐标轴旋转到新的坐标系的过程。

它包括两个步骤：一是把坐标轴旋转到新的坐标系，二是把原坐标系中的点经过坐标轴旋转后在旋转后坐标系中的坐标。

旋转坐标轴的公式是：
原坐标点(x,y)旋转θ弧度后的坐标为：
新坐标点(x′,y′)＝(x cosθ±y sinθ, x sinθ±y cosθ)。

其中，把坐标轴旋转θ后，新坐标点(x′,y′)表示旋转后坐标系中的点坐标，而原坐标点(x,y)表示旋转后坐标系中的点坐标。

公式的正负号表示旋转的方向，当正号时，表示顺时针旋转；当负号时，表示逆时针旋转。

这个公式可以应用于二维的坐标轴旋转，学习者也可以利用公式，结合线程旋转的公式，来旋转三维坐标系的坐标轴。

旋转轴和旋转角计算公式一、引言在几何学和物理学中，旋转是一种常见的运动方式。

对于一个物体绕某个轴旋转的情况，我们可以通过旋转轴和旋转角来描述和计算这个旋转过程。

本文将介绍旋转轴和旋转角的概念，并给出相应的计算公式。

二、旋转轴的概念旋转轴是指物体在旋转过程中围绕的一条直线。

这条直线可以是物体的任意一条直线，如物体的对称轴、几何中心轴等。

旋转轴的选取通常取决于具体问题的要求。

三、旋转角的概念旋转角是指物体在旋转过程中所转过的角度。

旋转角可以用弧度或角度来表示，其中弧度是更常用的单位。

旋转角的大小决定了旋转的程度，可以是正数、负数或零。

四、旋转轴和旋转角的计算公式1. 绕坐标轴旋转的公式当物体绕坐标轴旋转时，可以使用以下公式进行计算：- 绕x轴旋转：x' = x, y' = y*cos(θ) - z*sin(θ), z' = y*sin(θ) + z*cos(θ)- 绕y轴旋转：x' = x*cos(θ) + z*sin(θ), y' = y, z' = -x*sin(θ) +z*cos(θ)- 绕z轴旋转：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ), y' = x*sin(θ) + y*cos(θ), z' = z2. 绕任意轴旋转的公式当物体绕任意轴旋转时，可以使用四元数表示旋转，并通过以下公式进行计算：- 旋转后的位置：P' = Q * P * Q^-1- 其中，P为原始位置向量，P'为旋转后的位置向量，Q为旋转四元数，Q^-1为Q的逆四元数。

五、旋转轴和旋转角的应用旋转轴和旋转角的概念和计算公式在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：1. 三维计算机图形学中，旋转轴和旋转角用于描述物体的旋转变换，从而实现物体的旋转效果。

2. 机器人学中，旋转轴和旋转角用于描述机械臂的旋转关节，以实现机械臂的运动和灵活性。

小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。

本文介绍了图形旋转的变换规则。

2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。

旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。

3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。

- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。

- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。

- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。

4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。

旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。

旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。

5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。

若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。

新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。

通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。

旋转坐标转换公式在数学和计算机图形学领域，旋转是一种常见的变换操作。

通过旋转，我们可以改变对象在平面或空间中的位置和方向。

在进行旋转操作时，需要使用旋转矩阵来进行坐标转换。

本文将介绍旋转坐标转换的公式及其应用。

二维空间的旋转坐标转换在二维空间中，我们通常使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。

假设一个点P在二维直角坐标系中的坐标为(x,y)，我们希望将这个点绕原点O逆时针旋转θ角度，得到新的坐标P’(x’,y’)。

点P经过旋转之后，新的坐标可以通过以下公式计算得出：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。

三维空间的旋转坐标转换在三维空间中，我们同样使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。

假设一个点P在三维直角坐标系中的坐标为(x,y,z)，我们希望将这个点绕坐标轴进行旋转，得到新的坐标P’(x’,y’,z’)。

点P经过旋转之后，新的坐标可以通过旋转矩阵的运算得到：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)z' = z其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。

旋转坐标转换的应用旋转坐标转换在计算机图形学、游戏开发等领域有着广泛的应用。

通过旋转坐标转换，我们可以实现物体的旋转、变换和动画效果。

在3D建模软件中，旋转坐标转换可以用来控制物体的姿态和方向，使得模型呈现出真实的效果。

此外，旋转坐标转换也可以用于机器人运动学中。

通过旋转坐标转换，我们可以计算机器人的末端执行器在运动时相对于基准坐标系的位置和姿态，从而实现精确的运动控制和轨迹规划。

总的来说，旋转坐标转换是一种重要的数学变换，它不仅可以帮助我们理解物体在空间中的位置和方向变化，还可以应用于各种领域，拓展了数学和计算机科学的应用范围。

§2−2 旋轉坐標軸(甲)轉軸公式考慮一個以點F(2,2)為焦點，以直線L ：x +y =0拋物線Γ方程式是Γ ：(x −2)2+(y −2)2 = |x +y |2……..(*)(*)式平方後可化成Γ：x 2−2xy +y 2−8x −8y +16=0…(**)， 但是從(**)很難辨識它是一條拋物線， 是否可以利用適當的坐標變換， 來辨識(**)式為一條拋物線。

我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點 與軸垂直的直線，則此拋物線就成為一條開口 向上的拋物線，方程式也會化成y //=ax //2的形式，因此接下來要考慮坐標軸的旋轉，以化簡Γ的方程式。

(1)推導轉軸公式：將直角坐標系S ≡ )繞原點旋轉一個有向角θ ，得到一個新坐標系S //≡1e 2)，像這種「坐標原點及長度單位都不變，只改變坐標的方向」的坐標變換稱為坐標軸的旋轉，簡稱轉軸。

1=(cos θ，sin θ)=cos i +sin j ，e 2=(cos(θ+π2)，sin(θ+π2))=(−sin θ，cos θ)=(−sin θi +cos θj 設P 點在坐標系S ≡)與S //≡1e 2)下的坐標為(x ,y )、(x //,y //) =i +j =x 1+y=x //( cos i +sin j )+y //((−sin θi +cos θj )=(x //cos θ −y //sin θ+(x //sin θ +y //cos θ ⇒ 這個式子稱為轉軸公式。

[幾何解釋]：如右圖，⎯OQ=⎯OU −⎯QU=⎯OS cos θ −⎯PS sin θ =x ⎩⎨⎧+=−=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x //cos θ −y //sin θ⎯PQ =⎯RS +⎯SU =⎯PS cos θ +⎯OS sin θ =x //sin θ +y //cos θ透過可解得 從另一個角度來看，把新坐標系S ⎩⎨⎧+=−=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x ⎩⎨⎧+−=+=θθθθcos sin sin cos ////y x y y x x //繞原點O 旋轉有向角−θ就可變成原坐標系S ，即(x //,y //)看成原坐標，(x ,y )看成轉軸後的新坐標，那麼由轉軸公式得到 ⎩⎨⎧+−=−+−=+=−−−=θθθθθθθθcos sin )cos()sin(sin cos )sin()cos(////y x y x y y x y x x結論：(1)將直角坐標系的x 、y 軸旋轉θ角度，得到新的坐標軸x //、y //軸 點P 作這兩個坐標下的坐標分別為(x ,y )、(x //,y //)，(x ,y )與(x //,y //)滿足下列關係：。