实四元数矩阵的行列式

椭圆型交换四元数矩阵的实表示及逆矩阵求法KONG Xiang-qiang【摘要】在引入椭圆型交换四元数的基础上,首先证明了椭圆型交换四元数和实数域上的4阶矩阵是同构的,将对椭圆型交换四元数的研究转化为实数域上4阶矩阵的研究.其次,利用椭圆型交换四元数矩阵的实表示,将对椭圆型交换四元数矩阵的研究转化为实数域上4n阶矩阵的研究,得到了椭圆型交换四元数矩阵实表示的系列重要性质.最后,利用实表示的性质,得到椭圆型交换四元数矩阵特征值存在的充要条件,并给出椭圆型交换四元数矩阵逆矩阵的求法,且利用数值算例验证了结论的有效性.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)005【总页数】7页(P390-395,406)【关键词】椭圆型交换四元数矩阵;实表示;特征值;逆矩阵【作者】KONG Xiang-qiang【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O241.60 引言四元数量子力学是现代量子力学的重要分支，它是建立在非交换四元数代数上的量子力学，与一般的复量子力学不同.四元数代数和分裂四元数代数是两个结合且非交换的四维克利福德代数，与四元数代数不同，分裂四元数代数不是除环，且含有零因子、幂零元和幂等元[1-4].目前，关于分裂四元数的研究成果非常丰富[5-8].文献[9]中，Segre首次研究了满足乘法交换律的交换四元数代数理论，开创了交换四元数理论研究的新领域，使交换四元数代数的应用更加广泛[10-13].文献[14-15]研究了交换四元数的分类，具体有椭圆型、抛物型、双曲型及特殊型等.文献[16]研究了椭圆型交换四元数，得到了复表示下的系列成果.本文研究椭圆型交换四元数的实表示，得到椭圆型交换四元数矩阵实表示的系列性质，进而研究了椭圆型交换四元数矩阵的特征值，并给出求椭圆型交换四元数矩阵逆矩阵的方法.1 椭圆型交换四元数的实表示设H={a=a0+ia1+ja2+ka3}，a0,a1,a2,a3∈R，R为实数域，且满足i2=-1，j2=1，k2=-1，ij=ji=k，jk=kj=i，ki=ik=-j，ijk=-1，称满足条件的交换四元数a 为椭圆型交换四元数[14].定理 1 任意一个椭圆型交换四元数均与实数域上的4阶矩阵同构.证明设a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，a0,a1,a2,a3∈R，定义映射φa∶H→H，φa(b)=ba，∀b∈H，则映射为双射且φa(1)=1a=a0+ia1+ja2+ka3,φa(i)=ia=-a1+ia0-ja3+ka2,φa(j)=ja=a2+ia3+ja0+ka1,φa(k)=ka=-a3+ia2-ja1+ka0.记R4×4=则H和R4×4本质是相同的.实数域上4阶矩阵的性质即为椭圆型交换四元数的性质，故对椭圆型交换四元数的研究可转化为对实数域上4阶矩阵的研究.定义矩阵为椭圆型交换四元数a的实表示形式，记为aR.a的共轭形式主要有3种：a(1)=a0-ia1-ja2+ka3, a(2)=a0+ia1-ja2-ka3,a(3)=a0-ia1+ja2-ka3, 则2 椭圆型交换四元数矩阵的实表示及性质令Hn×n表示椭圆型交换四元数矩阵的集合，Rn×n表示实数域上n阶矩阵的集合.设A=A0+iA1+jA2+kA3∈Hn×n，A0,A1,A2,A3∈Rn×n，定义A的实表示矩阵为记作AR，则AR∈R4n×4n.记R4n×4n=则Hn×n和R4n×4n本质是相同的.实数域上4n阶矩阵的性质即为椭圆型交换四元数矩阵的性质，故对椭圆型交换四元数矩阵的研究可转化为对实数域上4n阶矩阵的研究.对于A=(aij)∈Hn×n，A的共轭矩阵主要有3种：表示A的转置矩阵，A†1,A†2,A†3分别表示A的3种共轭转置矩阵.设A∈Hn×n，AR为A的实表示矩阵，定义A的q-行列式为|A|q=|AR|[16].设A,B∈Hn×n，若AB=BA=In，In为n阶单位矩阵，则称矩阵A可逆，且B为A的逆矩阵[16].性质 1 设A,B∈Hn×n，且满足AB=In，则BA=In.证明A=A0+iA1+jA2+kA3，B=B0+iB1+jB2+kB3，A0,A1,A2,A3∈Rn×n，B0,B1,B2,B3∈Rn×n，AB=In，AB=(A0B0-A1B1+A2B2-A3B3)+i(A0B1+A1B0+A1B0+A2B3+A3B2)+ j(A0B2-A1B3+A2B0-A3B1)+k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0),则A0B0-A1B1+A2B2-A3B3=In,A0B1+A1B0+A2B3+A3B2=0,A0B2-A1B3+A2B0-A3B1=0,A0B3+A1B2+A2B1+A3B0=0,即所以则B0A0-B1A1+B2A2-B3A3=In,B1A0+B0A1+B2A3+B3A2=0,B0A2-B1A3+B2A0-B3A1=0,又BA=(B0A0-B1A1+B2A2-B3A3)+i(B0A1+B1A0+B2A3+B3A2)+j(B0A2-B1A3+B2A0-B3A1)+k(B0A3+B1A2+B2A1+B3A0),故BA=In.注 1 设A,B∈Hn×n，且满足BA=In，则AB=In.性质 2 设A,B∈Hn×n，则1) (A+B)R=AR+BR；2) ARBR=(AB)R；3) 设α∈R，则(αA)R=αAR；4) 若A可逆，则(A-1)R=(AR)-1；5) |AB|q=|A|q|B|q；若A可逆，则证明1) A+B=(A0+B0)+i(A1+B1)+j(A2+B2)+k(A3+B3)，则(A+B)R=AR+BR.2) 令ARBR=则p12=A0B1+A1B0+A2B3+A3B2,p13=A0B2-A1B3+A2B0-A3B1,p14=A0B3+A1B2+A2B1+A3B0,p21=-A1B0-A0B1-A3B2-A2B3,p22=-A1B1+A0B0-A3B3+A2B2,p23=-A1B2-A0B3-A3B0-A2B1,p24=-A1B3+A0B2-A3B1+A2B0,p31=A2B0-A3B1+A0B2-A1B3,p32=A2B1+A3B0+A0B3+A1B2,p33=A2B2-A3B3+A0B0-A1B1,p34=A2B3+A3B2+A0B1+A1B0,p41=-A3B0-A2B1-A1B2-A0B3,p42=-A3B1+A2B0-A1B3+A0B2,p43=-A3B2-A2B3-A1B0-A0B1,p44=-A3B3+A2B2-A1B1+A0B0.又A B=(A0+iA1+jA2+kA3)·(B0+iB1+jB2+kB3)=(A0B0-A1B1+A2B2-A3B3)+i(A0B1+A1B0+A2B3+A3B2)+j(A0B2-A1B3+A2B0-A3B1)+k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0),令则u11=p11, u12=p12, u13=p13, u14=p14,u21=p21, u22=p22, u23=p23, u24=p24,u31=p31, u32=p32, u33=p33, u34=p34,u41=p41, u42=p42, u43=p43, u44=p44.故ARBR=(AB)R.3)4)由AA-1=A-1A=In，故所以(A-1)R=(AR)-1.5) 由2)知，ARBB=(AB)R，则|AB|q=|(AB)R|=|ARBR|=|AR||BR|=|A|q|B|q；若A 可逆，令B=A-1，有|AA-1|q=|A|q|A-1|q=1，故性质 3 设A=A0+iA1+jA2+kA3∈Hn×n，B=B0+iB1+jB2+kB3∈Hn×n，则1) (AB)†1=B†1A†1，(AB)†2=B†2A†2，(AB)†3=B†3A†3；2) (A(i))T=(AT)(i)，i=1,2,3；3) (AB)(i)=A(i)B(i)，i=1,2,3；4) (AB)T=BTAT；5) 若A, B均可逆，则(AB)-1=B-1A-1；6) 若A可逆，则(A-1)†1=(A†1)-1，(A-1)†2=(A†2)-1，(A-1)†3=(A†3)-1；7) 当i≠j≠k时，(A(i))(j)=A(k)；当i=j时，(A(i))(j)=A，其中i,j,k∈{1,2,3}.证明 2)～7)的结论易证得，这里仅给出1)的证明.令A=S1+jS2, B=T1+jT2,其中S1=A0+iA1, S2=A2+iA3,T1=B0+iB1, T2=B2+iB3.①(AB)†1=[(S1T1)′+(S2T2)′-B†1A†1=故(AB)†1=B†1A†1.②(AB)†2=[S1T1+S2T2-j(S1T2+S2T1)]T=故(AB)†2=B†2A†2.③(AB)†3=[(S1T1)′+(S2T2)′+j((S1T2)′+故(AB)†3=B†3A†3.3 椭圆型交换四元数矩阵的特征值设A∈Hn×n，λ∈H，若Ax=λx，其中x为非零的交换四元数列向量，则称λ为A的特征值.A的特征值的集合称为A的谱集合，记作φ(A)={λ∈H∶Ax=λx,x≠0}[16].定理 2 设A∈Hn×n，λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3∈H，则λ为A的特征值的充分必要条件是存在非零的n维实向量x0,x1,x2,x3，满足证明 A=A0+iA1+jA2+kA3，λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3∈H，λ0,λ1,λ2,λ3∈R，由Ax=λx，则(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=(λ0+iλ1+jλ2+kλ3)(x0+ix1+jx2+kx3),即(A0-λ0In)x0+(-A1+λ1In)x1+(A2-λ2In)x2+(-A3+λ3In)x3=0,(A1-λ1In)x0+(A0-λ0In)x1+(A3-λ3In)x2+(A2-λ2In)x3=0,(A2-λ2In)x0+(-A3+λ3In)x1+(A0-λ0In)x2+(-A1+λ1In)x3=0,(A3-λ3In)+(A2-λ2In)x1+(A1-λ1In)x2+(A0-λ0In)x3=0,所以4 椭圆型交换四元数矩阵的逆矩阵下面定理给出了求椭圆型交换四元数矩阵的逆矩阵的方法.定理 3 设A∈Hn×n，且A的实表示矩阵AR可逆，则A可逆.证明A=A0+iA1+jA2+kA3∈Hn×n，A0,A1,A2,A3∈Rn×n，则不妨设由AR(A-1)R=I4n，则A0Q0-A1Q1+A2Q2-A3Q3=In,A0Q1+A1Q0+A2Q3+A3Q2=0,A0Q2-A1Q3+A2Q0-A3Q1=0,A0Q3+A1Q2+A2Q1+A3Q0=0.令Q=Q0+iQ1+jQ2+kQ3，其中Q0,Q1,Q2,Q3∈Rn×n，则AQ=(A0Q0-A1Q1+A2Q2-A3Q3)+i(A0Q1+A1Q0+A2Q3+A3Q2)+j(A0Q2-A1Q3+A2Q0-A3Q1)+k(A0Q3+A1Q2+A2Q1+A3Q0)=In.由性质1知QA=In，故AQ=QA=In，A-1=Q0+iQ1+jQ2+kQ3.注 2 设A∈Hn×n，由定理3知，以下命题等价1) A可逆；2)方程Ax=0有唯一解；3) AR可逆；4) A没有零特征值.注 3 定理3的证明过程即为求椭圆型交换四元数矩阵A的逆矩阵的过程.定理3提供的求A的逆矩阵的方法可通过计算机编程轻松实现.5 数值算例设则求得(AR)-1为取则A-1=Q0+iQ1+jQ2+kQ3=经检验，AA-1=A-1A=I2，故结论正确.6 结语利用椭圆型交换四元数的实表示，研究了椭圆型交换四元数矩阵实表示的一系列性质，给出了此类矩阵特征值存在的充分必要条件，并得到了求此类矩阵的逆矩阵的方法，且通过算例说明了结论的正确性.在本文基础上，可进一步展开对椭圆型交换四元数矩阵其他问题的研究，如行列式问题、可对角化问题、矩阵的分解问题等.此外，也可进一步展开对其他类型的交换四元数及其矩阵的深入研究.参考文献：【相关文献】[1] Pogoruy A A, Rodriguez-Dagnino R M.Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra[J].Advances in Applied Clifford Algebras, 2010, 20(1)：79-84.[2] Ozdemir M.The roots of split quaternion[J].Applied Mathematics Letters, 2009, 22(2)：258-263.[3] Kula L, Yayl Y.Split quaternions and rotations in semi Euclidean space[J].Journal of the Korean Mathematical Society, 2007, 44(6)：1313-1327.[4] Alagoz Y, Oral K H, Yuce S.Split quaternion matrices[J].Miskolc Mathematical Notes, 2012, 13(2)：223-232.[5] Zhang Z Z, Jiang Z W, Jiang T S.Algebraic methods for least squares problem in split quaternionic mechanics[J].Applied Mathematics and Computation, 2015, 269：618-625. 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旋转矩阵四元数旋转矩阵可以用四元数来表示。

一个四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为：q = s + xi + yj + zk其中，s为实部，x、y、z为虚部。

旋转矩阵通过四元数的虚部计算得到。

已知一个旋转矩阵R，可以用如下方法将其转换为四元数：1. 计算旋转矩阵的轴向量和角度：计算旋转矩阵的轴向量为(1,2)矩阵R的3行1、3行2，3行3的三个数值计算旋转矩阵的角度为 arccos((tr(R)-1)/2)2. 根据轴向量和角度计算对应的四元数：先将轴向量单位化为长度为1的向量u = (ux, uy, uz)然后将角度除以2得到θ = angle/2最后四元数可以表示为：q = cos(θ) + usin(θ)这样，通过给定的旋转矩阵，就可以计算对应的四元数。

反之，也可以通过给定的四元数计算出对应的旋转矩阵。

具体计算公式如下：1. 根据四元数计算旋转矩阵：给定四元数：q = s + xi + yj + zk可以计算得到对应的旋转矩阵：R = [1-2y^2-2z^2, 2xy-2sz, 2xz+2sy;2xy+2sz, 1-2x^2-2z^2, 2yz-2sx;2xz-2sy, 2yz+2sx, 1-2x^2-2y^2]2. 根据旋转矩阵计算对应的四元数：给定旋转矩阵R = [r11, r12, r13;r21, r22, r23;r31, r32, r33]可以计算得到对应的四元数：s = 0.5 * sqrt(1+r11+r22+r33)x = (r32 - r23) / (4s)y = (r13 - r31) / (4s)z = (r21 - r12) / (4s)四元数提供了一种更加简洁和高效的方式来表示旋转矩阵。

它们可以用于进行旋转变换，同时也可以进行插值和球面插值等操作。

五邑大学硕士学位论文（理学硕士）四元数bius o M变换的分类及四维Clifford 代数方程张 辉二○ 年 月 日I 分类号： O174.5 学校代号： 11349 UDC ： 密级： 学 号： YS0785111五邑大学硕士学位论文（理学硕士）四元数bius o M变换的分类及四维Clifford 代数方程张 辉学 科 门 类： 理学专 业 名 称： 应用数学研 究 方 向： 复分析学 生 所 属 学 院： 数学与计算科学学院指导教师姓名、职称： 曹文胜 教授论 文 答 辩 日 期：五邑大学硕士学位论文独创性声明秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他用途使用过的成果。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明。

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□公开□保密（____年____月） (保密的学位论文在解密后适用此授权) 论文作者签名：_______________ 签字日期：_______________指导老师签名：_______________ 签字日期：___________II摘要本文主要研究四元数biusM 变换的性质及分类,以及四元数和四维Cliffordo代数的矩阵表示,元素的相似和合相似,以及方程有解的情况.具体安排如下：第一章主要介绍了复biusM 变换的分类及课题的背景知识.o第二章主要介绍了四元数b iu soM 变换的性质及分类, 以及四元数方程ax+=的解.b xax+cxb=与c第三章主要介绍了酉变换群的分类以及两个非单位元素有一个公共不动点时的情况进行了讨论, 得到: 当F表示复数域时, 其交换子只可能是抛物元素或单位元素; 当F表示四元数除环H时, 给出一种区分抛物元素和椭圆元素的方法, 这些结论是二维biusM 群中相应结论的推广o第四章主要讨论了Clifford代数的性质并利用四维Clifford代数的矩阵表示得到四维Clifford代数方程cxax+=有解的条件.=与cxbax+b关键词：biusoM 变换; 四元数; 合相似; 酉变换群; Clifford代数; 交换子;矩阵表示.IIIAbstractIn this papers，we mainly discuss the classification of quaternionic biusMo transformations, the real matrix representations of quaternion and four-dimensional Clifford algebra. We obtain the necessary and sufficient conditions for the quaternion and four-dimensional Clifford algebra equation c=isax+b xxbax+=and c resolvable .In Chapter 1, we introduce some background of our topic.In Chapter 2, we discuss the classification of quaternionic biusMo transformations , the solution of quaternion equation cax+b x=.=and cxbax+In Chapter 3, we discuss the commutator of two nontrivial elements of )U;2,1(F which share a unique fixed point. When F denotes the field C of complex numbers, the commutator of them is parabolic element or the identity. When F denotes the division ring of real quaternions H, we provide a theorem to distinguish between elliptic and parabolic element. These results are generalizations of counterparts in the setting of biusM groups.oIn Chapter 4, we dicuss the real matrix representations of four-dimensional of Clifford algebra. Using the real matrix reprentations of four-dimensional Clifford numbers, we obtain the conditions of the solvability of four-dimensional Clifford algebra equations cax+=.b xxbax+=and cKeywords: commutator; quaternions; biusoM transformations; Clifford algebra; consimilarity; matrix representation; untitary transformation group.IVV目录摘要 ............................................................... 1 Abstract (IV)第一章 绪论 (1)第二章 四元数体上bius oM 群元素的分类 .............................. 4 §2.1 引言 (4)§2.2 四元数的性质 .............................................. 4 §2.3 四元数方程c xb ax +=与c b x ax +=的解 ...................... 5 §2.4 四元数方程02=++c bx x 的解 . (7)§2.5 四元数体上bius oM 群元素的分类 ............................. 8 §2.6 保单位球不变的四元数bius oM 变换群 (13)第三章 四元数酉群的交换子 (14)§3.1 引言 (14)§3.2 酉变换概念及其作用 ....................................... 14 §3.3 );2,1(F U 中元素的分类及性质 ............................... 15 §3.4 );2,1(C U 交换子的性质 ..................................... 15 §3.5 );2,1(H U 交换子的性质 (17)第四章 Clifford 代数方程 (19)§4.1 引言 (19)§4.2 Clifford 代数基本概念 (19)§4.3 Clifford 代数矩阵 (20)§4.4 四维 Clifford 代数的性质 (21)§4.5 四维Clifford 代数元素的相似和合相似 ...................... 23 结论 (27)参考文献 (29)致谢 (32)1第一章 绪论众所周知, 如果 n n n S R R ≅∞=}{ˆ,则作用在n R ˆ上的bius oM 变换是由偶数个通过球面或双曲面的反射变换复合而成的.于是我们用n μ来表示这样的bius oM 变换.通过Poincare 圆模型1+n B ,作用在1+∂=n n B S 上的每一个元素n μ可以相应找到唯一一个作用在1+n 维双曲空间的保向等距映射.如果2=n ,即作用在扩充复平面2ˆR C =的bius oM 变换群2μ,常被称为b iu s o M 变换,为与四元数bius o M 变换相对应, 我们称之为复bius oM 变换. 对于22⨯阶复矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ,矩阵A 的行列式为 bc ad A -=)det(称A 为非奇异的当且仅当0)det(≠A ,若A 为非奇异矩阵,则存在逆矩阵11)(---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=bc ad a c b d A λλλλλ，. 非奇异的22⨯阶复矩阵关于矩阵的乘法构成一个群，称为一般线性群, 记为),2(C GL .而满足条件1)det(=-=bc ad A 的所有矩阵构成的群称为特殊线性矩阵群, 记为),2(C SL .平面2μ可以由作用在C ˆ到C ˆ的分式线性变换来表示：dcz b az Z ++→, 其中),2(C SL d c b a ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.矩阵A 的迹b a A tr +=)(,简单计算表明)()(BA tr AB tr =.因此有)()()(11A tr B AB tr BAB tr ==--,所以22⨯阶复矩阵A 的迹是共轭变换下的不变量.由于作用在C ˆ上的bius oM 变换或只有一个不动点,或只有两个不动点,或为恒等映射. 这给出了一种相当基本的分法,但我们还可以得到基于3R 中不动点的一种更精细的分类法. 这种分法在共轭变换下不变,即分成共轭类.分类判别1.1 如果)(I g ≠是任意一个复bius oM 变换,则 (1) g 是抛物元素,当且仅当g 有且只有唯一一个不动点在Cˆ. （2）g 是斜驶元素,当且仅当g 在3R 中有两个不动点.2 （3）g 是椭圆元素,当且仅当g 在3R 中有无穷多个不动点.称g 是双曲元素,当g 在Cˆ中保持某一开圆盘（或半平面）不变. 根据矩阵A 的迹b a A tr +=)(是共轭变换下的不变量.则有如下的分类判别：分类判别 1.2 如果)(I g ≠是任意一个bius oM 变换,则 (1) g 是抛物元素,当且仅当4)(2=g tr .(2) g 是椭圆元素,当且仅当)4,0[)(2∈g tr .(3) g 是双曲元素,当且仅当),4()(2+∞∈g tr .(4) g 是斜驶元素,当且仅当),0[)(2+∞∉g tr .关于复bius oM 变换的更多性质可参看文献[1].由于四元数体的非交换性, 所以在讨论四元数bius oM 变换时带来了一定的困难.本文将在第二章对四元数变换群),2(H SL 的元素的分类进行讨论..在任何一个群中,g 和f 的交换子是：)(],[1111----==f fg g f gfg f g .Beardon[1]在复bius oM 群中得到了如下的两则定理: 定理1.3 令g f ,是)(b o M 2R中的非平凡元素, 则f 与g 可交换当且仅当或者它们有相同的不动点, 或者它们是两阶椭圆元素且交换各自的不动点.定理1.4 设g f ,是)(b o M 2R中的非平凡元素, 如果f 与g 有唯一的公共不动点, 则当f 有且只有两个不动点时, f 与g 的交换子11],[--=g fgf g f 是抛物的.定理1.3和1.4在实双曲流形上离散群的讨论有重要作用. 作为实双曲流形上等距群的自然推广, 复双曲空间上的等距群);2,1(F U 有和二维bius oM 群相类似的性质.本文在第三章讨论了这两个定理在酉群);2,1(F U 上的推广.我们知两个四元数b a ,相似当且仅当存在一个四元数0≠u 使得a bu u =-1. 两个四元数b a ,合相似当且仅当存在一个四元数0≠u 使得a bu u =-1.田永革[2,3]在1999年给出了在实Cayley-dickson 代数上元素的相似和合相似并在2000年对八元素的矩阵表示及其应用进行了讨论. βGro ,Trenkler,Troschke[4]在2001年矩阵表示的方法进行了更深一步的讨论,并得到四元数方程cax+=有解得几种情况.黄礼平[5]在同年对四元数矩阵的xb合相似及复数矩阵的复合相似进行了研究,得到了关于四元数矩阵的一系列性质.2002年,曹文胜[6]对一类四元数矩阵方程的可解性进行了研究. 2009年，曹文胜在文献[7]中得到四维Clifford代数中的元素相似或合相似的充分必要条件, 根据四元数及四维Clifford代数的矩阵表示和元素相似或合相似的充分必要条件, 本文在第二章和第四章分别讨论了四元数和四维Clifford代数方程c=和ax+xb方程c=的解。

分类判别 1.2如果 是任意一个 变换,则
(1) 是抛物元素,当且仅当 .
(2) 是椭圆元素,当且仅当 .
(3) 是双曲元素,当且仅当 .
(4) 是斜驶元素,当且仅当 .
关于复 变换的更多性质可参看文献[1].
由于四元数体的非交换性, 所以在讨论四元数 变换时带来了一定的困难.本文将在第二章对四元数变换群 的元素的分类进行讨论..
五邑大学硕士学位论文
（理பைடு நூலகம்硕士）
四元数 变换的分类及四维Clifford代数方程
张 辉
二○年月日
分类号：O174.5学校代号：11349
UDC：密级：学号：YS0785111
五邑大学硕士学位论文
（理学硕士）
四元数 变换的分类及四维Clifford代数方程
张 辉
学 科 门 类：理学
专 业 名 称：应用数学
第四章主要讨论了Clifford代数的性质并利用四维Clifford代数的矩阵表示得到四维Clifford代数方程 与 有解的条件.
关键词： 变换;四元数;合相似;酉变换群;Clifford代数;交换子;矩阵表示.
Abstract
In this papers，we mainly discuss theclassification ofquaternionic transformations,the real matrix representations of quaternion and four-dimensionalClifford algebra. We obtain the necessary and sufficient conditionsfor the quaternion and four-dimensionalClifford algebra equation and is resolvable .

收稿日期:1999-11-26作者简介:张吉玲(1964-),女,工程师1 文章编号:1006-0464(2000)04-0350-06MAX038及函数信号发生器张吉玲1　张　晴2(11江西电子仪器厂,江西南昌　330006;21浙江大学控制系,浙江杭州　310027)摘　要:在介绍MAX038芯片特性的基础上,论述了采用MAX038芯片设计数字函数信号发生器的原理以及整机的结构设计。

对其振荡频率控制、信号输出幅度控制以及频率和幅度数显的实现作了较详细的论述。

该函数信号发生器可输出三角波,方波和正弦波。

输出频率范围为0.1Hz 至10MHz 。

输出幅度的峰峰值为Vp -p =5V ,正弦波非线性失真小于1%。

关键词:函数信号;单片机控制;数字显示中图分类号:O453,O4-9 文献标识码:A1　MAX038芯片的主要特性MAX038是美国MAXIM 公司生产的高频,高精度,低输出电阻,驱动能力强(20mA )的函数信号发生器芯片。

1.1　MAX 038主要电气性能工作频率范围:0.1Hz ～20MHz频率扫描范围:375:1输出电阻:0.1Ω非线性失真:小于0.75%温度系数:200ppm/℃输出波形:正弦波,三角波,锯齿波,方波,脉冲波,占空比可调输出幅度:Vp -p =2V1.2　MAX 038内部工作原理MAX038内部框图如图1所示。

该芯片工作电源采用±5V ,功耗为400mW 。

内部提供2.5V 基准电压,通过外接可调电阻R3,R1向振荡电流发生器的IIN 端和FADJ 端提供频率粗调电流和频率细调电压;通过R2向DADJ 端提供脉冲占空比调节电压。

这三种参数经振荡电流发生器处理后,向振荡器提供充电电流,该电流对外接电容C F 充电,形成振荡,产生三角波信号A ,B ,C 。

信号A 送正弦波形成电路,产生正弦波;信号B ,C 送入比较器1,产生方波。

此两路波形连同A 路输出的三角波同时送入混合器,由A0,A1控制端选择其中的一种波形输出,其逻辑关系如表1所示。

)* 递推法 通过降阶等途径， 建立所求 ’ 阶行列式 " # " 和比 它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系， 并求得 # 的方法叫递推法* 例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递 推法* 例： 计算范得蒙行列式 & ,& +’ $ ,% & …
’ (& ,&
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四元数乘法矩阵形式
我们要找出四元数乘法的矩阵形式。

首先，我们需要了解四元数的基本定义和乘法规则。

四元数是由一个实数和三个虚部的复数组成的，通常表示为 q = w + xi +
yj + zk，其中 w, x, y, z 是实数，i, j, k 是虚部单位，满足 i^2 = j^2 = k^2 = -1。

四元数的乘法规则如下：
1. 实部之间和虚部之间不进行乘法。

2. 虚部单位 i, j, k 之间进行叉积运算。

用数学公式，我们可以表示为：
(w+xi+yj+zk) × (w'+x'i+y'j+z'k) = (ww' - x'x - y'y - z'z) + (w'x + x'w + y'z - z'y)i + (w'y - x'z + x'y + z'w)j + (w'z + x'y - x'z + y'w)k
为了将这个公式转换为矩阵形式，我们可以将每个虚部单位视为一个列向量，并使用矩阵乘法来表示它们之间的叉积。

计算结果为：(2, 2, -2, 2)
所以，四元数乘法的矩阵形式为：
实部：ww' - x'x - y'y - z'z 虚部i：w'x + x'w + y'z - z'y 虚部j：w'y - x'z + x'y + z'w 虚部k：w'z + x'y - x'z + y'w。

实四元数矩阵行列式函数的几点注记
李样明
【期刊名称】《数学研究》
【年(卷),期】2000(033)001
【摘要】分别对实四元数矩阵理论中出现的几种行列式函数在三个初等变换下的改变性作一些讨论,得出几种满足一定性质的行列式函数的不存在性或唯一存在性.【总页数】8页(P93-100)
【作者】李样明
【作者单位】广东教育学院数学系广州510303
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.四元数矩阵的行列式与重行列式的一些性质 [J], 陈宝兴
2.关于"实四元数体上矩阵的Schur乘积"一文的注记 [J], 戴培培;吕洪斌;杨忠鹏
3.实四元数矩阵的行列式 [J], 梁茂辉;李样明
4.四元数矩阵的实值行列式 [J], 黄礼平;蔡永裕
5.实四元数矩阵行列式一个不等式及其应用 [J], 曹重光
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四元数、欧拉角、旋转矩阵四元数、欧拉角和旋转矩阵是三种常用的描述三维空间中物体旋转的方法。

它们在计算机图形学、物理模拟、机器人学等领域发挥着重要作用。

本文将分别介绍这三种描述方法的原理和应用以及它们之间的关系。

首先，我们来介绍四元数。

四元数是一种具有四个实数分量的数学工具，在三维空间中可以用来表示旋转。

一个四元数可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c和d都是实数，且满足单位长度条件a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1。

四元数与旋转的关系可以通过四元数乘法来描述，即两个四元数p和q的乘积pq表示将p所表示的旋转应用到q所表示的向量上。

四元数旋转具有很好的插值性质和无歧义性，因此在计算机图形学等领域得到了广泛应用。

接下来，我们介绍欧拉角。

欧拉角是一种将旋转表示为一系列基本旋转的方法。

在三维空间中，常用的欧拉角包括绕X轴旋转的俯仰角（pitch）、绕Y轴旋转的偏航角（yaw）和绕Z轴旋转的滚转角（roll）。

欧拉角可以通过矩阵乘法来表示旋转，即将三个基本旋转矩阵按顺序相乘。

欧拉角相对直观，易于理解和可视化，但存在万向锁问题，即当某个旋转角接近90度时，会出现无法唯一表示旋转的情况。

最后，我们介绍旋转矩阵。

旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，它通过乘法作用在向量上实现旋转。

旋转矩阵具有正交性和行列式等于1的特点，因此可以保持向量的长度和直角关系。

旋转矩阵也可用于表示三维空间中的旋转，其旋转效果等价于欧拉角表示和四元数表示。

旋转矩阵相对简单，容易计算和处理，但在插值和融合等方面相对复杂。

三种旋转描述方法之间存在着数学上的对应关系。

欧拉角和旋转矩阵可以相互转换，通过旋转矩阵可以计算出对应的欧拉角，反之亦然。

四元数和旋转矩阵也可以相互转换，通过旋转矩阵可以计算出对应的四元数，反之亦然。

尽管存在转换关系，但在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的旋转描述方法。

综上所述，四元数、欧拉角和旋转矩阵是描述三维空间物体旋转的常用方法。

四元数的运算规则四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。

四元数的乘法不符合交换律。

明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。

如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。

复数是由实数加上元素?i?组成，其中相似地，四元数都是由实数加上三个元素?i、j、k?组成，而且它们有如下的关系：每个四元数都是 1、i、j?和?k?的线性组合，即是四元数一般可表示为。

要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。

至于乘法则可跟随以下的乘数表：四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群，。

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如四元数是除法环的一个例子。

除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。

特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。

四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的?n-阶多项式能有多于?n?个不同的根。

例如方程式?就有无数多个解。

只要是符合?的实数，那么?就是一个解。

一个四元数?的共轭值定义为：而它的绝对值则是非负实数，定义为：注意，一般状况下不等于。

四元数的乘逆可以算得。

透过使用距离函数?，四元数便可成为同胚于?的度量空间，并且有连续的算术运算。

另外，对于所有四元数和皆有?。

若以绝对值为模，则四元数可组成一实数?巴拿赫空间。

如四元数和空间转动条目所释，非零四元数的乘法群在R3的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。

单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。

四元数的优点是：表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）比矩阵更简炼（也更快速）单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

抛物型交换四元数矩阵的性质及其逆矩阵求法孔祥强【摘要】以抛物型交换四元数及其矩阵的概念为基础,首先,利用矩阵的计算理论得到了抛物型交换四元数及其实表示的系列性质.其次,推导了抛物型交换四元数矩阵的性质,通过引入矩阵的实表示形式,得到求抛物型交换四元数矩阵逆矩阵的新方法,为进一步研究抛物型交换四元数矩阵的其余问题提供了理论支撑.最后,通过数值例子验证了结论的有效性和正确性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】12页(P183-194)【关键词】抛物型交换四元数矩阵;实表示;逆矩阵;性质【作者】孔祥强【作者单位】菏泽学院数学与统计学院,山东菏泽274015【正文语种】中文【中图分类】O151.11 引言四元数量子力学是现代量子力学的重要分支,它是建立在非交换的四元数代数上的量子力学,与一般的复量子力学不同,其相应粒子的波函数及其振幅是由四元数来表示.1849年,James Cockle提出了非交换的分裂四元数,其形式为:且满足分裂四元数代数H不是除环,且含有零因子、幂零元和幂等元[1-4].对分裂四元数的研究得到了系列成果,见文献[5-6]等.文献[7]中首次研究了乘法满足交换性的新代数系统,即由交换四元数构成的系统,该系统和分裂四元数系统一样也是四维代数系统,但交换四元数代数含有零因子和同位元.近年来,对交换四元数代数理论的研究逐步引起学者们的重视,且研究成果在数学和物理学等学科中均有很好的应用[8-10],因此对交换四元数理论的研究显得十分必要.文献[11]介绍了交换四元数的分类情况,具体包括椭圆型交换四元数、抛物型交换四元数和双曲型交换四元数等,但对每一类交换四元数并没有做深入研究.文献[12]研究了椭圆型交换四元数及其矩阵,得到此类交换四元数的性质,给出了此类交换四元数矩阵的复表示形式.相比较而言,学者对抛物型交换四元数和双曲型交换四元数的研究很少.与文献[12]不同,本文研究的是抛物型交换四元数及其矩阵,利用矩阵的实表示,得到此类交换四元数及其矩阵的重要性质,并给出了求抛物型交换四元数矩阵逆矩阵的新方法,且该方法可通过计算机得以轻松实现.在本文结果的基础上,可进一步深入探讨抛物型交换四元数矩阵的特征值问题、可对角化问题、行列式问题、盖尔圆盘定理的推广问题等;在本文思路的基础上,还可展开对双曲型交换四元数及其矩阵的深入研究.2 抛物型交换四元数设R为实数域,且满足称满足条件的四元数a为抛物型交换四元数[11].若ai=bi(i=0,1,2,3),称a与b相等.定义加法和乘法如下:抛物型交换四元数的共轭分三种形式,分别记为:则性质 2.1设a,b∈HR,s∈R,则(1)si=is;sj=js;sk=ks;(2)a=a(1)⇔a∈C;C为复数域;(3)ab=ba.证明由乘法定义知(1)成立.(2)由则(3)因故3 抛物型交换四元数的实表示定理 3.1任何一个抛物型交换四元数都可以表示成实数域上的4阶矩阵. 证明设定义映射则映射为双射且由此映射,可定义抛物型交换四元数集合为4×4实矩阵集合:的子集合,HR和M4×4(R)本质是相同的.故对抛物型交换四元数的研究可转化为R 上4×4矩阵的研究.R上4×4矩阵的性质即为HR上抛物型交换四元数的性质.称为a的实表示,记为aR.性质 3.1 设a,b∈HR,ξ1,ξ2∈R,tr(aR)为aR的迹,则(1)(ab)R=aRbR;(2)(ξ1a+ ξ2b)R= ξ1aR+ ξ2bR;(3)tr(aR)=a+a(1)+a(2)+a(3). 证明 (1)则故(2)与(1)中类似的方法可得特别地,当ξ1=ξ2=1时,(3)由共轭及实表示定义4 抛物型交换四元数矩阵及其性质设称A为一般的抛物型交换四元数矩阵.Ā表示A的共轭,AT表示A的转置,AH表示A的共轭转置.Mn×n(C)表示n阶复矩阵集合.对于B∈Mn×s(HR),a,b∈HR,有若则称A为可逆矩阵,且性质 4.1 设A,B∈Mn×n(HR),则(1)(AB)T=BTAT;(2)若A,B 均可逆,则(AB)−1=B−1A−1;(3)(AB)H=BHAH.证明设其中(1)(2)由故 AB 可逆,且(AB)−1=B−1A−1.(3)对A∈Mm×n(HR)而言,其共轭矩阵有三种形式:要证的结论即为:① (AB)H=(B′)T(A′)T; ② (AB)H=(B′′)T(A′′)T; ③ (AB)H=(B′′′)T(A′′′)T.证明如下：①故故③故5 抛物型交换四元数矩阵的逆矩阵定理 5.1 设A,B∈Mn×n(HR),且满足BA=In,则AB=In.证明因为则故即则所以又则设定义A的实表示矩阵为:记为AR.则Mn×n(HR)和M4n×4n(R)本质上是相同的,故对抛物型交换四元数矩阵的研究可转化为R上4n×4n矩阵的研究.R上4n×4n矩阵的性质即为HR上抛物型交换四元数矩阵的性质.性质 5.1 设A,B∈Mn×n(HR),则(1)InR=I4n;(2)(A+B)R=AR+BR;(3)(AB)R=ARBR;(4)若 A 可逆,则(A−1)R=(AR)−1.证明 (1)由取由实表示的定义,InR=I4n.(2)由则(3)利用与(2)类似的方法证得,(4)由A−1存在,则故所以定理 5.2 设A∈Mn×n(HR),AR可逆,且(AR)−1∈M4n×4n(R),则 A 可逆. 证明由则由于取则由定理5.1知,则注 5.1定理5.2给出了求抛物型交换四元数矩阵A的逆矩阵的方法.具体可总结为以下几步:①写出A的实表示AR;②求出AR的逆矩阵(AR)−1;③令则该方法使得利用计算机求抛物型交换四元数矩阵的逆矩阵成为可能.6 算例设则求得所以故经检验所得结论正确.7 结语本文推导了抛物型交换四元数及其矩阵的重要性质;通过抛物型交换四元数矩阵的实表示,得到求该类矩阵逆矩阵的新方法,为进一步研究抛物型交换四元数矩阵的行列式问题、可对角化问题,及特征值等问题提供了重要理论支撑.对交换四元数及交换四元数矩阵的研究已逐渐成为四元数研究领域的热点问题.另外,在本文的基础上,还可展开对其他类型交换四元数及其矩阵性质的研究.参考文献[1]Alagoz Y,Oral K H,Yuce S.Split quaternion matrices[J].MiskolcMath.Notes,2012,13(2):223-232.[2]Pogoruy A,Rodriguez Dagnino R M.Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra[J].Adv.Appl.Cli ff ordAlgebra,2010,20(1):79-84.[3]Ozdemir M.The roots of splitquaternion[J].Appl.Math.Lette.,2009,22(2):258-263.[4]Kula L,Yayli Y.Split quaternions and rotations in semi Euclideanspace[J].J.Korean Math.Soc.,2007,44(6):1313-1327.[5]Ozdemir M.On complex split quqternion matrices[J].Adv.Appl.Cli ff ord Algebra,2013,23(3):625-638.[6]Ozdemir M.On eigenvalues of split quaternion matrix[J].Adv.Appl.Cli ff ord Algebra,2013,23(3):615-623.[7]Segre C.The real representations of complex elements and extension to bicomplex systems[J].Math.Ann.,1892,40:413-467.[8]Pinotsis D A.Segre Quaternions,Spectral Analysis and a Four-Dimensional Laplace Equation,in Progress in Analysis and ItsApplications[M].Singapore:World Scienti fic,2010.[9]Catoni F,Cannata R,Nichelatti E,et mutative hypercomplex numbers and functions of hypercomplex variable:a matrixstudy[J].Adv.Appl.Cli ff ord Algebra,2005,15(2):183-213.[10]Pei Soochang,Chang Jahan,Ding mutative reduced biquaternions and their fourier transform for signal and image processing applications[J].IEEE Transactions on Sinal Processing,2004,52(7):2012-2031.[11]Catoni F,Cannata R,Zampetti P.An introduction to commutative quaternions[J].Adv.Appl.Cli ff ord Algebra,2006,16(1):1-28.[12]Kosal H H,Tosun mutative quaternion matrices[J].Adv.Appl.Cli ff ord Algebra,2014,16(3):769-799.。

1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章 矩阵2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章 向量空间3.1 n 维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章 线性方程组4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章 特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章 实二次型6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵… … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。

从考试大纲来看。

虽然只占13%左右。

但在其他章。

的试题中都有必须用到行列式计算的内容。

故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。

1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式 例1.求二元一次方程组的解。

解：应用消元法得当时。

得同理得定义 称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式 考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。

在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2）例5 当x 取何值时，？为将此结果推广到n 元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n 阶行列式。

—
Ｖ０． ５ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｊｎ ２ ０ ｕ ． ０７
四 元数 矩 阵与 域 上 矩 阵 的 几 点 差 异
刘 丁酉 ， 黄 莉
（ 武汉大学 数学与统计学院， 湖北 武汉 ４０ ７ ） ３０ ２
摘要：、 秩和迹等 几个方 面的差异 ， 同时给 出了四元数矩 阵左、 右特征值相等 的一个充分条件．
＝
（ ） 为其 共轭 转 置． ’
１ 特 征值
由文献［ ］ ４ 知道 ， 对于域上的矩阵 Ａ， 其特征值是无所谓左右之分的 ， 由于四元数矩阵乘法不满足交换 但 律， 使得 四元数矩 阵的特征值存在左右之分． 定义 ｌ 设 Ａ∈ “若存在 Ａ∈ Ｑ ， Ｑ及 Ｑ ∈Ｑ ， ≠ “使得 Ａ （ Ａ Ａ ， ＝ 或 ＝ ）则称 Ａ为 Ａ的右（ 或左 ） 特征值 ， 而称 ａ为 Ａ的属于右（ 或左 ） 特征值 Ａ的特征向量 ， 如果 Ａ既是 Ａ的右特征值 ， 又是 Ａ的左 特征值 ， 则称 Ａ为 Ａ的特征值． 说明 ① 四元数矩阵 Ａ的右特征值不一定是左特征值 ， 反之 ， 左特征值也不一定是右特征值． ： 如
四元数 矩阵 的研 究取 得 了很 多重 要 的成果 ． 设 为实数 域 ， 复数 域 ， ： Ｃ为 记 Ｑ ＝ ｛ ｑ∈ Ｒ＋ ＋ ＋ 后 ＝一 ＝ ｋ ＝ ＝ｋ ｑ Ｉ ， ， ＝一ｌ ｝ 为 实 四元数体 ， 称 四元 数体． “ 示 Ｑ上所 有 ／阶矩 阵 （ ／阶 四元 数 矩 阵 ） 设 Ａ＝（ 简 Ｑ 表 ７ ， 即 ７ ， ， ｎ ）∈Ｑ ， Ａ “则 “
种： 实数域、 复数域及 四元数体． 由于四元数 的乘法不满足交换律 ， 使得对它 的研究要 比对实数、 复数的研究 困难得 多 ， 大概 也是 四元数 和 四元数 矩 阵理 论长期 发 展较 慢 的原 因之一 ． ２ 这 近 ０多年 来 ， 四元数 和 四元数 矩 阵理论的研究再次形成为代数学领域的一个研究热点． ２ 世纪 ８ 在 ０ ０年代初 ， 文献 ［ ］ １ 给出了四元数矩阵行 列式的一种新 的定义 ， 四元数矩阵的研究做 了很多开创性工作． 对 特别是 ２ 世纪 ９ ０ ｏ年代以来 ， 文献 ［ ］ ２ 用 群论 的观点给出了四元数矩阵行列式的另一种定义 ， 文献［ ］ ３ 引入 了四元数矩阵的重行列式的定义 ， 从而使

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变 数的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条 以矢量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。
双曲正切:
反双曲函数
反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切:
反三角函数
将这些被放到最后，是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。 反正弦函数: 反余弦函数: 反正切函数:
广义化
若 F 是一个域，且 a、b 为 F 的元素，那么就可在 F 上定义一个四维单一结合代数，而它的产生是由符合 i2 = a、j2 = b 和 ij = -ji 的 i、j 而起。 这些代数不是与 F 的二阶矩阵代数同型，就是 F 的除法代数。它们称为“四元数代数”。
幂和对数
因为四元数有除法，所以幂和对数可以定义。 自然幂： 自然对数： 幂：
三角函数
正弦： 余弦：
正切：
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
5/7
2015/7/17
双曲函数
双曲正弦: 双曲余弦:
四元数 ­ 维基百科，自由的百科全书
第二种则是以四阶实数矩阵表示：
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
四元数运算
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容 易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8

实反称矩阵的行列式摘要：1.引言2.实反称矩阵的定义3.实反称矩阵的性质4.实反称矩阵的行列式计算方法5.结论正文：1.引言在数学领域，矩阵是研究线性代数和线性变换的重要工具。

矩阵的行列式是衡量其性质的一个重要指标，而实反称矩阵作为一种特殊的矩阵，行列式的计算方法有着独特的规律。

本文将探讨实反称矩阵的性质以及行列式的计算方法。

2.实反称矩阵的定义实反称矩阵是指一个实数矩阵，其转置等于其逆矩阵，即满足公式A^T = A^-1 的矩阵。

其中，A^T 表示矩阵A 的转置，A^-1 表示矩阵A 的逆矩阵。

实反称矩阵在物理学、计算机科学等领域有广泛的应用。

3.实反称矩阵的性质实反称矩阵具有以下性质：(1) 实反称矩阵是方阵，即其行数等于列数。

(2) 实反称矩阵的元素满足交换对称性，即矩阵的第i 行第j 列元素等于第j 行第i 列元素的相反数，用数学表示为a_{ij} = -a_{ji}。

(3) 实反称矩阵的行列式为0，即det(A) = 0。

4.实反称矩阵的行列式计算方法根据实反称矩阵的定义，我们知道A^T = A^-1，所以|A| = det(A) = det(A^T) = det(A^-1)。

由于实反称矩阵的行列式为0，即det(A) = 0，所以|A^-1| = 0。

根据行列式的性质，一个矩阵的行列式为0，当且仅当该矩阵是奇异的，即不存在逆矩阵。

因此，实反称矩阵不存在逆矩阵，也就无法通过计算逆矩阵来求解实反称矩阵的行列式。

5.结论实反称矩阵作为一种特殊的矩阵，具有独特的性质和行列式计算方法。

虽然实反称矩阵的行列式为0，但这并不影响其在实际应用中的重要性。

实反称矩阵的行列式实反称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将讨论实反称矩阵的定义、行列式计算方法、行列式的性质以及实反称矩阵在工程和实践中的应用。

一、实反称矩阵的定义实反称矩阵是一个具有如下性质的实矩阵：对于矩阵A的任意两个元素a_{ij}和a_{ji}，都有a_{ij} = -a_{ji}。

换句话说，实反称矩阵的转置等于其负数倍。

实反称矩阵的主要特点是行和列的元素满足对称关系。

二、实反称矩阵的行列式计算方法对于一个n阶实反称矩阵A，其行列式可以通过以下公式计算：|A| = Σ[(-1)^(k+1)a_{ik}a_{ik}^T]，其中k从1到n其中，a_{ik}表示矩阵A的第i行第k列元素，a_{ik}^T表示a_{ik}的转置。

三、实反称矩阵行列式的性质1.实反称矩阵的行列式永远是非负的。

2.实反称矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

3.实反称矩阵的行列式与矩阵的主对角线元素有关，主对角线上的元素全为1或全为-1时，行列式为1或-1。

4.实反称矩阵的行列式与矩阵的迹相等。

四、实反称矩阵在工程和实践中的应用1.实反称矩阵在结构力学中的应用：实反称矩阵可以用来描述结构系统的刚度矩阵，从而分析结构系统的动态特性。

2.实反称矩阵在控制工程中的应用：实反称矩阵可以用来描述系统的矩阵，从而分析系统的稳定性。

3.实反称矩阵在信号处理中的应用：实反称矩阵可以用来表示系统的传递函数，从而分析系统的频率响应。

4.实反称矩阵在优化算法中的应用：实反称矩阵可以用来构建收敛速度快的迭代算法。

总之，实反称矩阵是一个重要的数学概念，其在工程和实践中的应用具有重要意义。

实反称矩阵的行列式摘要：一、实反称矩阵的定义二、实反称矩阵的性质1.行列式为02.转置运算3.逆矩阵存在三、实反称矩阵的应用1.线性变换2.量子力学正文：实反称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些独特的性质，并在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将主要介绍实反称矩阵的定义、性质及应用。

首先，我们来定义实反称矩阵。

一个n 阶实矩阵A，如果它的转置矩阵与自身相等，即A^T = A，则称A 为实反称矩阵。

例如，对于一个2x2 的实反称矩阵A，我们有A = [[a, b], [c, d]]，其中a^2 + b^2 = c^2 +d^2。

实反称矩阵具有一些重要的性质。

首先，实反称矩阵的行列式为0。

这是因为，根据行列式的定义，我们有|A| = det(A) = a*d - b*c，而由实反称矩阵的定义可知a^2 + b^2 = c^2 + d^2，所以a*d - b*c = 0，即行列式为0。

其次，实反称矩阵的转置运算。

由于实反称矩阵的转置等于其本身，所以A^T = A，这意味着实反称矩阵的转置运算可以简化。

最后，实反称矩阵的逆矩阵存在。

对于一个实对称矩阵，如果我们能够找到它的逆矩阵，那么这个逆矩阵也是实反称矩阵。

这是因为，如果A 是实反称矩阵，那么A^T = A，那么(A^T)^T = A^T，所以(A^T)^T = A，即A 的逆矩阵也是实反称矩阵。

实反称矩阵在许多领域都有着广泛的应用。

例如，在量子力学中，薛定谔方程的解通常是一个实反称矩阵。

此外，实反称矩阵也常用于描述线性变换，例如在图像处理中，实反称矩阵可以用于描述图像的旋转和翻转。