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2.2不等式的性质不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)． 注意：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．题型1：利用不等式的性质判定正误1.如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（ ）A ．a ﹣3＜b ﹣3B ．＞C ．a +3＜b +3D ．﹣3a ＞﹣3b【变式1-1】已知a ＜b ，则（ ）A ．a +1＜b +2B ．a ﹣1＞b ﹣2C ．ac ＜bcD ．＞（c ≠0）【变式1-2】以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：小明说：不等式a ＞2a 永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a ，就会出现1＞2这样的错误结论！a b c c>a b c c <题型2：利用不等式确定字母的取值范围2.已知x＞1，x+a＝1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0【变式2-1】若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．题型3：利用不等式的性质将不等式变形3.根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x﹣3；（3）；（4）﹣．【变式3-1】根据要求，回答下列问题：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为．【变式3-2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：（1）x﹣2＜3；（2）4x＞3x﹣5；（3）x＜；（4）﹣8x＜10．题型4：利用不等式的性质比较大小4.若﹣2a＞﹣2b，则a与b的大小关系为．题型5：利用不等式的性质化简不等式5.已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．【变式5-1】已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，试化简：|a﹣1|+|a+2|．【变式5-2】已知x满足不等式组，化简|x+3|+|x﹣2|．题型6：利用不等式的性质求最值6.代数式|x﹣1|﹣|x+4|﹣5的最大值为（）A．0B．﹣10C．﹣5D．3【变式6-1】已知0≤m﹣n≤2，2≤m+n≤4，则当m﹣2n达到最小值时，3m+4n＝．题型7：数轴与不等式7.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜【变式7-1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ab2＞ac2B．ab＜ac C．ab＞ac D．c+b＞a+b【变式7-2】已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．（1）bc＞ab（2）ac＞ab（3）c﹣b＜a﹣b（4）c+b＞a+b（5）a﹣c＞b﹣c（6）a+c＜b+c．题型8：不等式的简单应用8.江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式8-1】如图，一个倾斜的天平两边分别放有2个小立方体和3个砝码，每个砝码的质量都是5克，每个小立方体的质量都是m克，则m的取值范围是（）A．m＜15B．m＞15C．m＞D．m＜【变式8-2】有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上。
不等式的基本性质教材分析不等式的基本性质是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第二章第二节内容，本章主要是研究不等式和不等式组的解法；本节要求理解知识与技能目标：掌握不等式的基本性质。
经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
所以本节的重点是正确理解题意列出不等式。
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。
教学目标【知识与能力目标】（1）知识与技能目标：①掌握不等式的基本性质。
②经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
【过程与方法目标】①能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。
②进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】①尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。
②关注学生对问题的实质性认识与理解。
教学重难点【教学重点】用不等关系解决实际问题。
【教学难点】正确理解题意列出不等式。
课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；教学过程第二环节：活动探究，验证明确结论活动内容： 参照教材与多媒体课件提出问题：还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质1用字母可以表示为：c b c a b a ±=±∴=,Θ，那么不等式的基本性质1是什么？先猜一猜。
如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流。
不等式的基本性质与等式的基本性质类似，对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：c b c a c b c a b a ÷=÷⨯=⨯∴=,,Θ，其中0≠c 。
2.2 不等式的基本性质01 基础题知识点1 不等式的基本性质1．若a<b ，则下列各式中一定成立的是(B)A ．－3a<－3bB ．a －3<b －3C ．a ＋c>b ＋cD ．2a>2b2．若－2a ＜－2b ，则a ＞b ，其依据是(C)A ．不等式的基本性质1B ．不等式的基本性质2C ．不等式的基本性质3D ．等式的基本性质23．(梅州中考)若x>y ，则下列式子中错误的是(D)A ．x －3>y －3 B.x 3>y 3C ．x ＋3>y ＋3D ．－3x>－3y4．(德宏中考)若a ＜0，则下列式子错误的是(C)A ．5＋a ＞3＋aB ．5－a ＞3－aC ．5a ＞3a D.a 5>a 35．(乐山中考)下列说法不一定成立的是(C)A ．若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋cB ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6．已知m ＜n ，下列关于m ，n 的命题：①6m ＞6n ；②－3m ＜－3n ；③m －5＜n －5；④2m ＋5＞2n ＋5.其中，所有正确命题的序号是③．7．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里．已知x ＞y ，两边都乘5，得5x ＞5y.①两边都减去5x ，得0＞5y －5x.②即0＞5(y －x)．③两边都除以(y －x)，得0＞5.④解：错在第④步．∵x ＞y ，∴y －x ＜0.不等式两边同时除以负数(y －x)，不等号应改变方向才能成立．知识点2 将不等式化为“x>a ”或“x<a ”的形式8．下列不等式变形正确的是(C)A ．由4x －1≥0得4x ＞1B ．由5x ＞3得x ＞3C ．由y 2＞0得y ＞0 D ．由－2x ＜4得x ＜－29．将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式．(1)x －5<1； (2)2x>x －2；解：x<6. 解：x>－2.(3)12x>－3; (4)－5x<－2. 解：x>－6. 解：x>25.02 中档题10．若点P(x －2，y －2)在第二象限，则x 与y 的关系正确的是(D)A ．x ≥yB ．x ＞yC ．x ≤yD ．x ＜y11．(绵阳中考)设“▲”，“●”，“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列应为(C)A ．■●▲B ．▲■●C ．■▲●D ．●▲■12．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是(A)A ．cb ＞abB ．ac ＞abC ．cb ＜abD ．c ＋b ＞a ＋b13．若不等式(a －2)x>a －2可以变形为x<1，则a 的取值范围为a<2.14．下列变形是怎样得到的？(1)由x ＞y ，得12x －3＞12y －3； 解：两边都除以2，得12x ＞12y. 两边都减去3，得12x －3＞12y －3.(2)由x ＞y ，得12(x －3)＞12(y －3)； 解：两边都减去3，得x －3＞y －3.两边都除以2，得12(x －3)＞12(y －3)．(3)由x ＞y ，得2(3－x)＜2(3－y)．解：两边都除以－1，得－x ＜－y.两边都加上3，得3－x ＜3－y.两边都乘以2，得2(3－x)＜2(3－y)．15．阅读下面的解题过程，再解题．已知a ＞b ，试比较－2 016a ＋1与－2 016b ＋1的大小．解：因为a ＞b ，①所以－2 016a ＞－2 016b.②。
北师大版数学八年级下册2.2《不等式的基本性质》教学设计一. 教材分析《不等式的基本性质》是北师大版数学八年级下册第2.2节的内容，主要包括不等式的性质1、性质2和性质3。
这些性质是不等式的基础，对于学生理解和掌握不等式的解法、应用等具有重要意义。
本节内容的教学设计应注重学生对性质的理解和应用，通过丰富的实例和练习，让学生深入掌握不等式的基本性质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了不等式的概念、解法等基础知识，对于不等式的基本操作有一定的掌握。
但学生在理解和应用不等式的性质方面可能存在一定的困难，因此需要教师通过具体实例和练习，引导学生深入理解和掌握不等式的性质。
三. 教学目标1.理解不等式的性质1、性质2和性质3。
2.学会运用不等式的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解不等式的性质，引导学生理解和掌握。
2.案例分析法：教师通过具体的实例，让学生学会运用不等式的性质解决实际问题。
3.练习法：学生通过多做练习，巩固对不等式性质的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的性质和实例。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的实例，引出不等式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师讲解不等式的性质1、性质2和性质3，引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，教师给出一些练习题，让学生运用不等式的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和巩固，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展题，让学生运用所学知识解决，提高学生的解决问题的能力。
2024北师大版数学八年级下册2.2《不等式的基本性质》教学设计一. 教材分析《不等式的基本性质》是北师大版数学八年级下册第2.2节的内容。
本节内容主要介绍了不等式的性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等式的两边同时乘除同一个正数，以及不等式的两边同时乘除同一个负数时，不等号的方向变化。
这些性质是解决不等式问题的关键，也是进一步学习函数、方程等数学知识的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了不等式的基本概念和简单的解法，对于不等式的性质有一定的认知基础。
但是，对于一些具体的不等式性质，学生可能还不是很清楚，需要通过具体的例子和练习来加深理解。
此外，学生对于解不等式时的符号变化可能还存在困惑，需要通过反复练习和讲解来巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握不等式的基本性质，能够运用性质解不等式。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生发现不等式的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：不等式的基本性质。
2.难点：不等式性质的应用，特别是符号变化的理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探究。
2.用具体的例子和练习来说明不等式的性质，让学生通过实际操作来理解和掌握。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括不等式的性质的讲解和练习题目。
2.准备一些实际问题，让学生解决，以加深对不等式性质的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个不等式的大小关系？”来引导学生思考不等式的性质。
2.呈现（10分钟）通过PPT讲解不等式的基本性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等式的两边同时乘除同一个正数，以及不等式的两边同时乘除同一个负数时，不等号的方向变化。
专题2.2 不等式的基本性质重难点题型【北师大版】【题型1 利用不等式的性质判断正误】【例1】（2021•江干区三模）若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．2a ＜2bC ．a3＜b3D ．a 2＜b 2【变式11】（2021春•南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由4x ﹣1≥0得4x ＞1 B ．由5x ＞3得x ＞15C ．由﹣2x ＜4得x ＜﹣2D ．由y2＞0得y ＞0【变式12】（2021春•睢宁县校级月考）若x +y ＞x ﹣y ，y ﹣x ＞y ，那么（1）x +y ＞0，（2）y ﹣x ＜0，（3）xy ≤0，（4）yx ＜0中，正确结论的序号为 ．【变式13】（2021•常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b＜cd，给出下列四个不等式：①aa+b ＜cc+d；②cc+d＜aa+b；③dc+d＜ba+b；④ba+b＜dc+d其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③【题型2 利用不等式性质比较大小】【例2】（2021春•朝阳区期末）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：（1）比较大小：3+√5√10+√5；（填“＜”，“＝”或“＞”）（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．【变式21】（2021•利州区模拟）若x＞y，比较3−25x与3−25y的大小，并说明理由．【变式22】（2021春•武侯区期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，试比较3x﹣4与3y﹣4的大小．【变式23】（2021•佛山）小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．【题型3 利用不等式性质化简不等式】【例3】（2021春•岳麓区校级期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）x +7＞9 （2）6x ＜5x ﹣3 （3）15x ＜25．【变式31】（2021秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）2x +5＞3； （2）﹣6（x ﹣1）＜0．【变式32】（2021秋•滨江区期末）不等式（a ﹣2）x ＞b 的解集是x ＜ba−2，求a 的取值范围．【变式33】（2021春•九江期中）用“＞”或“＜”填空：（1）如果x ﹣2＜3，那么x 5；（2）如果−23x ＜﹣1，那么x23；（3）如果15x ＞﹣2，那么x ﹣10；（4）如果﹣x ＞1，那么x ﹣1； （5）若ax ＞b ，ac 2＜0，则x b a．【题型4 利用不等式性质证明（不）等式】【例4】（2021春•濉溪县期中）已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝0，c ＞0，3a +2b +c ＞0． 求证：（1）a ＞c ；（2）﹣2＜b a＜−1．【变式41】（2021秋•滨江区期末）求证：如果a ＞b ，e ＞f ，c ＞0，那么f ﹣ac ＜e ﹣bc ．【变式42】（2021•利州区模拟）（2021春•泗水县期末）请类比不等式性质：不等式的两边加（或减）同一个整式，不等号的方向不变．完成下列填空：已知 用“＜”或“＞”填空{5＞32＞1 5+2 3+1{−3＞−5−1＞−2﹣3﹣1 ﹣5﹣2{1＜4−2＜11﹣2 4+1一般地，如果{a ＞bc ＞d ，那么a +c b +d ．（选用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？【变式43】（2021•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．【题型5 利用不等式性质求取值范围或最值】【例5】（2021春•海淀区校级期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．解：∵x ﹣y ＝2． ∴x ＝y +2， 又∵x ＞1， ∴y +2＞1． ∴y ＞﹣1． 又∵y ＜0， ∴﹣1＜y ＜0．① ∴﹣1+2＜y +2＜0+2． 即1＜x ＜2．②①+②得﹣1+1＜x +y ＜0+2． ∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y ＝3，且x ＞﹣1，y ＜0，则x 的取值范围是 ；x +y 的取值范围是 ； （2）已知x ﹣y ＝a ，且x ＜﹣b ，y ＞2b ，若根据上述做法得到3x ﹣y 的取值范围是﹣5＜3x ﹣y ＜5，求a 、b 的值．【变式51】（2021•杭州）若a +b ＝﹣2，且a ≥2b ，则（ ） A ．ba有最小值12B ．ba有最大值1C ．ab有最大值2D ．ab有最小值−89【变式52】（2021•利州区模拟）（2017春•十堰期末）已知a，b，c为三个非负实数，且满足{a+b+c=302a+3b+4c=100，令W＝3a+2b+5c，则W的最大值为（）A．90B．130C．150D．180【变式53】（2021春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【题型6 不等关系的简单应用】【例6】（2021春•博野县期末）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米．又前两名的平均身高为c 米，后三名的平均身高为d 米，则（ ） A ．a+b 2＞c+d 2B ．c+d 2＞a+b 2C ．c+d 2=a+b 2D ．以上都不对【变式61】（2021春•内乡县期中）有一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大？【变式62】（2021•雨花区校级开学）江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式63】（2021春•自贡期末）如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．如果有三场比赛的结果是：第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了．问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？。
