幂零矩阵迹的特征

数学专业毕业论文幂零矩阵迹的特征幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间，-=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf fg和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA=，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量.关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量Features of Nilpotent matrix traceYAN Wen(Department of Mathematics and Statistics,Xiaoganuniversity,Xiaogan,Hubei 432000,China)Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f-=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BAAB=, Verify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public.Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1 引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1 假设V是复数域上n维线性空间（0n>），,f g是V上的线性变换．如果fg gf f-=，证明f的所有特征值都是0，且,f g有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2 设V是有理数域Q上的向量空间，,f g是V上的线性变换，其中g可对角化，且满足fg gf f-=，证明存在正整数k，使得k f是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）由于f的所有特征值都是0⇔f是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换f下不变，最后利用fg gf-的迹为零的结果，间接导出f的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“g 可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明f是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于,f g有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题1[1]若,f g是复数域上n维线性空间V上的线性变换，且fg gf=，则g和f存在公共的特征向量．尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为命题2[2,3]若,A B都是复数域上的n阶方阵，满足rank()1AB BA-≤，则A和B存在公共的特征向量．对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].从以上诸例及相关结论上看，对线性变换,f g 而言，关于h fg gf =-的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵AB BA -的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵AB BA -或线性变换fg gf -的性质；2、对满足fg gf =或fg gf f -=的线性变换,f g ，不仅证明,f g 之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2 性质设,A B 为n 阶矩阵，令C AB BA =-，则AB BA -具有如下基本性质： 性质1 tr()0AB BA -=.证明 设()ij A a =、()ij B b =，则11tr ()nnik ki i k AB a b ===∑∑，111111tr ()()tr n n n n n njt tj tj jt ik ki j t t j i k BA b a a b a b AB ==========∑∑∑∑∑∑.性质2 对任何n 阶矩阵,A B ，AB BA E -≠.证明 反证法 假设AB BA E -=，则由性质1可知()0trE tr AB BA =-=，显然矛盾，所以AB BA E -≠.命题得证.性质3 设A ，B 是n 阶矩阵，令C AB BA =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使 0m C =.证明 因为C 同A ，B 可交换即,AC CA BC CB ==，所以有22()()()C A C CA C AC CA C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证kC （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换. 下证0k trC =（1,2...k n =）.()()()0trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=同理可证：0,1,2...k trC k n ==.下证C 的所有特征值为零.设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以k C 的所有特征值为k n k k λλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.由0ktrC =，12...k=，可得：设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,r s s s 重.则上式可 写成：221222221120101......012.........rr k k krr r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩++++++ 令122221212.....................r rr r r r L λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以上式可写成120...r Ls s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()ni j i j nL λλλλλ≤<≤=⋅-∏，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0m C =.命题得证.注：对于][x P 中的线性变换BA ,，令)()(),()('x xf x Bf x fx Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]3 可换矩阵的公共特征向量12222121200 0.........n nk kk nλλλλλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩++++++命题1 若,n n A B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量. 证明 因为n n A C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间{}n V C A λξξλξ=∈=设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,,i k =.在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.由于12,,,k εεε为V λ的一组基，设1122k kc c c ηεεε=++（1）由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k =.则有ij l C ∈，,1,2,,i j k =，使得11112121212122221122k kk kk k k kk kB l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.1122()k k B B c c c ηεεε=+++1122k k c B c B c B εεε=+++ 1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++1111111()()k k k kk k k l c l c l c l c εε=++++++而112211()()()k k k k c c c c c μημεεεμεμε=+++=++由B ημη=及12,,,k εεε线性无关，得11112211211222221122k k k k k k kk k kl c l c l c c l c l c l c c l c l c l c c μμμ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（2）即111111k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记()ij k kL l ⨯=，即得11k k c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也即()100k c L c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）当0L μE-=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：推论 1 若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.证明 设12,,,r λλλ是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r =，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.推论 2 若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.证明 由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ，作矩阵12(,,,)n P ξξξ=，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例1 求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.300131201A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，121011220B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 容易验证AB BA =，A 的特征多项式为2300131(1)(3)21E A λλλλλλ--=--=----.所以11λ=，233λλ== .对11λ=，由1232001210200x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得10x =，2312x x =-，从而基础解系为1012ε⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，而11121000111122022B εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，定理1中的()1L =-为11⨯矩阵，于是1μ=-，于是公共特征向量为111102c c c ηε⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任一不为零的常数对233λλ==，由1230001010202x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得13x x =，从而基础解系为1101ε⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而1121211201101222012B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2121210201111222002B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由命题1可知2211L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22011L μμμ--E -==--，从而有 (3)0μμ-=，对0μ=，12220110c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得21c c =-，于是公共特征向量为112()c ηεε=-，即111c c c η⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任意不为零的常数.对3μ=，12120120c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得122c c =，于是公共特征向量为212(2)c ηεε=+，即22222c c c η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2c 为任意不为零的常数. 于是所有公共特征向量的形式为：02k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，k k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，22k k k η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k 为任意不为零的常数.4 逆命题 设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C -=证明 若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C -=分两种情况讨论：（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,,i n =.取12n A λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12,,,n λλλ两两互异.取()ij B b =，其中ijij i jc b λλ=-（i j ≠），而ii b (1,2,,)i n =任意，可验证AB BA C -=.（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使11111A B B A P CP --=于是，有11111111()()()()PA P PB P PB P PA P C -----=，令11PA P A -=，11PB P B -=，则AB BA C -=.命题得证.5 一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2] 设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量.在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3] 设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,,0),(0,1,,0),,εε== (0,0,,1)n ε=下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.例1 在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB BA =，A 有特征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量. 6 进一步的讨论结论 1 若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则∃可逆阵P 使得1100n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1100n P BP μμ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.结论 2 已知 A B AB +=，则（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3 若A B AB+=，,A B至少有一个可以对角化，则（1）B一定能表成A的多项式.（2）A每一个特征向量都是B的特征向量.（3）,A B至少有一个公共特征向量.结论4 若A B AB+=，A可对角化，则,A B有n个公共特征向量，且它们线性无关.[参考文献][1] 屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986.[2]Laffey T J .Simultangularization of matrices-low rank cases and the nonderogetory case[J].Lin and Multilin .Alg ,1978 ,6(4):289-305.[3]Choi M P ,Lourie C ,Radjavi H.On commutators and invariant subspaces[J].Lin and Multilin.Alg,1981,10(4):329-340.[4]胡付高.矩阵的弱相似性及其应用[J].信阳师范学院报(自然科学版),2003,16(1):4-6.[5] 王萼芳.高等代数教程（下册）[M].北京: 清华大学出版社，1997.[6] 王萼芳.高等代数辅导与习题解答[M].北京:清华大学出版社，1997.[7] 屠伯埙，徐诚浩,王芬.高等代数[M].上海:上海科学出版社,1987.[8] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.[9] 朱靖红，朱永生.矩阵对角化的相关问题[J].辽宁师范大学学报，2005，28（3）：383-384.[10] 陈绍刚.矩阵对角化的弱可逆矩阵刻画[J].数学的实践与认识，2005，35（9）164-166. [11] 姜晓艳.化方阵为相似对角阵的一个判别条件[J].辽宁师专学报，2004，6（2）2,29. [12] 绍逸民.迹为零的矩阵的性质[J].沈阳师范大学学报，2008，26（4）1-2.[13] 王萼芳等.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社致谢在写论文的过程中，谢谢百忙之中的胡付高老师抽出宝贵的时间来指导，在此衷心感谢胡老师的悉心指导！。

2018年 10月 Journal of Science of Teachers′College and University Oct. 2018文章编号：1007-9831（2018）10-0045-03矩阵迹的性质及其应用宿曈（西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730000）摘要：矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征，在数值计算、逼近论和统计估计等方面都有着较为广泛的应用．给出代数学科中３类重要的问题——存在性问题、数量问题和构造性问题的实例，说明矩阵迹在解决实际问题中的广泛应用，以期增强学生探究问题、解决问题、应用数学的意识和能力，增强学生学习数学的自觉性．关键词：矩阵的迹；邻接矩阵；图论中图分类号：O151.21∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.10.013The properties and application of matrix traceSU Tong（School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhuo 730000，China）Abstract：As an important digital feature of matrix，the trace of matrix has been widely used in numerical calculation，approximation theory and statistical estimation．Gives examples of three kinds of important problems in algebraic discipline such as existence problems，quantitative problems and structural problems，illustrates the wide application of matrix trace in solving practical problems，so as to enhance students' consciousness and ability of exploring problems，solving problems and applying mathematics，enhanc students' consciousness of learning mathematics． Key words：trace of matrix；adjacent matrix；graph theory几乎所有高等代数教材[1-3]中，在介绍了矩阵的运算后，都会给出矩阵迹的概念：数域F 上n 阶方阵()ij a =A 的对角线上全体元素的和称为矩阵A 的迹（trace），记为tr()A ，即1tr()nii i a ==åA ，但对于这个概念的性质和应用，教材却不再提及，有些在介绍矩阵的特征多项式时只指出（复数域上）矩阵的全部特征值的和等于矩阵的迹．而有相当多的文献对矩阵的迹及推广做了详细的讨论[4-7]．特征值问题在常微分方程理论中占有一定的份量，而矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征，在数值计算、逼近论和统计估计等方面都有着较为广泛的应用[8-11]．本文给出应用矩阵迹的简单性质解决代数学科中重要的3类问题——存在性问题、数量问题和构造性问题的实例，以期在高等代数课程教学中增加一些趣味性，引起学生对数学概念的重视与关注，使学生树立探究问题、解决问题和应用数学的意识，增强学生学习数学的自觉性． 1 矩阵的迹的性质本文约定在数域F 上有限维空间内讨论问题，依据矩阵迹的定义，显然有性质1~8．收稿日期：2018-05-20基金项目：国家自然科学基金项目（11761059）作者简介：宿曈（1992-），男，甘肃合作人，在读硕士研究生，从事应用数学研究．E-mail：962391696@性质1 ()T tr tr()=A A ，即A 的转置矩阵T A 与A 具有相同的迹．性质2 对于任意, , , ()n k l F M F ÎÎA B ，有tr()tr()tr()k l k l +=+A B A B ．性质3 对于任意 , ()n M F ÎA B ，有tr()tr()=AB BA ．性质4 对于任意()n M F ÎA ，设i l （1, 2, , i n =L ）是矩阵A 的特征根，则1tr()n i i l ==åA ．因为相似的矩阵具有相同的特征多项式，故相似的矩阵具有相同的迹．性质5 设 , ()n M F ÎA B ，若det()0¹B ，则()1tr tr()-=B AB A ．由于幂零矩阵的特征值全为0，幂等矩阵的特征值只能为0和1，对合矩阵特征值只能为1±，故依性质4可得到性质6~8．性质6 设()n M F ÎA ，若0m =A ，m 为正整数，则tr()0=A ．性质7 设()n M F ÎA ，若2=A A ，则tr()rank()A =A ．性质8 设()n M F ÎA ，若2=A I （I 为n 阶单位阵），则tr()n n -££A ． 2 矩阵的迹的应用2.1 存在性问题中的应用如果矩阵A 的迹与阶数n 满足某种关系，则矩阵A 与特殊形状的矩阵相似．命题1 设a b c d æö=ç÷èøA 是一个实矩阵且1ad bc -=，则 （1）如果tr()2>A ，那么存在可逆实矩阵T ，使得1100l l --æö=ç÷èøT AT ，这里l ÎR 且0, 1, 1l ¹-． （2）如果tr()2=A 且¹±A I ，那么存在可逆实矩阵T ，使得11101-æö=ç÷èøT AT 或1101-æöç÷-èø． （3）如果tr()2<A ，那么存在可逆实矩阵T 及q ÎR ，使得1cos sin sin cos q q q q -æö=ç÷-èøT AT ． 分析 因为A 的特征多项式22det()()()tr()1a d ad bc l l l l l -=-++-=-+I A A ，故特征值依判别式大于零、等于零和小于零情况分别有２个不等实根、２个相等实根和２个不等复根．矩阵T 即由特征值相应的特征向量为列向量组成，（3）中的情形复数写成三角形式即可．2.2 数量问题中的应用在图论中讨论道路的数目时，邻接矩阵是一个很有用的工具，它与图形是完全等价的（但邻接矩阵与顶点的次序有关），因而此时矩阵的迹也是有用的．设多重定向图(, )G V E =的阶为||m V =，作m 行m 列的矩阵，其第i 行第j 列的元素ij a 定义为从i v 到j v 的定向边的数目（当i = j 时，定向边变为定向圈），该矩阵称为图G 的邻接矩阵．显然，一个定向图由它的邻接矩阵完全确定[12]．一个图G 中给定２个顶点u ，v ，如果存在顶点与边交错的序列11221k k ue v e v v e v -L ，其中含k 条边，则称12, , , k e e e L 是一条从u 到v 的长度为k 的道路，u 和v 分别称为起点和终点．在定向图中，若序列11221k k ue v e v v e v -L 中各条定向边的方向一致，则称为定向道路，否则称为半道路．起点和终点重合的道路、定向道路、半道路相应地称为闭路、定向闭路和闭半道路．如果道路、定向道路、半道路中没有一条边（或定向边）重复出现，则相应地称为简单的道路、简单的定向道路、简单的半道路．简单的闭路简称环路，简单的定向道路简称定向环路，简单的闭半道路简称环形半道路．如果在定向图G 中，从顶点u 到v 有一条长度为k 的定向道路，则称v 是k 步邻接于u 的，并称该条定向道路为由u 经k 步到达v 的定向道路．命题2[13] 设定向图G 的顶点集为{}12, , , m V v v v =L ，其邻接矩阵为A ，那么由顶点i v 经k 步到达顶点j v 的定向道路的数目恰为n A 中第i 行第j 列的元素．第10期 曈宿：矩阵迹的性质及其应用 47证明 设()()()11121()()()21222()()()12n n n mn n n n m n n n m m mm a a a a a a a a a æöç÷ç÷=ç÷ç÷èøA L L M M M M L ．当n = 2时，(2)1122ij i j i j im mj a a a a a a a =+++L ．对于1k m ££，ik a 表示由i 经１步到k 的定向边的数目；kj a 表示由k 经１步到j 的定向边的数目，所以它们的乘积ik kj a a 表示从i 中间经过k 共2步到j 的定向道路的数目．因此(2)1mij ik kj k a a a ==å表示从i 出发经过2步后到j 的定向道路的数目．对于一般n ，可以用数学归纳法证明． 证毕．推论1 若定向图G 的顶点为12, , , m v v v L ，邻接矩阵为A ，那么G 中长度为n 的定向环路的数目恰为()tr n A ．推论2 设定向图G 的顶点集为{}12, , , m V v v v =L ，其邻接矩阵为()ijm m a ´A =，那么从顶点i v 到顶点j v 的长度为n 的半道路的数目为矩阵()T n D+-A A A 中第i 行第j 列的元素；长度为n 的环形半道路数目为()()T tr n D +-A A A ，其中：()1122diag , , , D mm a a a =A L ．证明 把从i v 到j v 的长度为1的定向半道路数记为ij b ，那么 ij ji ij iia a i jb a i j +¹ì=í=î，于是()1,ij i j m b ££=+AT D -A A ，余下证明类似命题2． 2.3 构造性问题中的应用命题3 如果数域F 上的二阶方阵A ，B 满足-=AB BA A ，则20=A ．证明 由于-=AB BA A ，故A 不可逆．反设A 可逆，用1-A 左乘-=AB BA A 两端，有1--=B A BA I ，从而1-=-A BA B I ．由性质５可知，tr()tr()=-B B I ，而由性质２可知，tr()tr()n =--B B I ，于是产生矛盾，故A 不可逆．因而rank()2<A ．当rank()0=A 时，0=A ，从而20=A ，命题得证；当rank()1=A 时，设a b ka kb æö=ç÷èøA ，由-=AB BA A 可知，tr()tr()a kb -==+AB BA A ．由性质２~３可知，tr()tr()tr()0-=-=A B B A A B B A ，因而0a kb +=，即a kb =-．若0k ¹，则2kb b k b kb -æö=ç÷-èøA ，从而20=A ，命题得证；若0k =，则0a =，于是000b æö=ç÷èøA ，从而20=A ，命题得证． 证毕． 参考文献：[1]张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007：285-297 [2]北京大学数学力学系．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1978 [3]Cohn P M．Algebra[M]．Chichester：John Wiley & Sons，1989：187-191 [4]苏育才，姜翠波，张跃辉．矩阵理论[M]．北京：科学出版社，2006 [5]周其生．矩阵迹的Young 不等式和反向Young 不等式的应用[J]．安庆师范学院学报：自然科学版，2016，22（3）：1-4 [6]帕提古丽·木沙．应用矩阵的迹检验高维协方差矩阵相等[J]．教育教学论坛，2016，32（8）：200-201 [7]宋园，周其生．关于正定Hermite 矩阵迹的不等式[J]．吉首大学学报：自然科学版，2013，34（2）：22-25 [8] FENG Tian-xiang，LIU Hong-xia．Several results on the trace of Hermite positive definite symmetric matrix[J]．Journal of Math，2012，32（2）：263-268[9] 杨楠，刘兴祥，岳育英．矩阵迹的推广[J]．延安大学学报：自然科学版，2012，31（1）：14-15[10] 张秀军，张慧欣．矩阵的迹奇异值和对角元素的不等式[J]．北京师范大学学报：自然科学版，2001，37（4）：11-13 [11] 杨忠鹏，陈智雄．关于用矩阵的迹表示的特征值的界[J]．福建师范大学学报：自然科学版，2002，18（4）：7-11 [12] 邦迪J A，默蒂 U S R．图论及其应用[M]．吴望名，译．北京：科学出版社，1984[13]龚光鲁．有限数学引论[M]．上海：上海科学技术出版社，1982。

本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用学生姓名：白雪学号：1004970231专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：徐颖玲完成日期：年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。

幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。

同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。

关键词：幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrix Jordan canonical form Characteristic T race.目录一、预备知识 (1)（一）概念 (1)（二）引理 (2)二、幂零矩阵的性质 (3)（一）幂零矩阵的特性 (3)（二）矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (4)（三）幂零矩阵和若尔当块 (5)（四）幂零矩阵的其他性质 (7)三、幂零矩阵的应用 (10)（一）幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (10)1．可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (10)2．求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (11)（二）幂零矩阵在其他方面的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。

矩阵迹的若干个性质与应用指导老师：某某摘要：根据矩阵迹的定义，首先给出了矩阵迹的性质，然后依据方阵的F —范数定义Cauchy —Schwarz 不等式，给岀了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法。

矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹矩阵范数特征值1引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。

本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幕矩阵，列矩阵，幕等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2预备知识n定义1 设人二⑻）C nn，则trA a H称为A的迹。

i£定义2 设人=@耳）・C n n，记与向量范数AX 2相容的A的F —范数为：n n21 》aj1 )2i =1 j i(1) A^O二A 尸A O⑵|KA|F =K ||A|F,\7K E C⑶|A +B|F WI A L +||B|F,$A B E C n⑷|AB F乞A F|B F, -A,B C n n(5) |AX〔2 勻A F UI2引理：矩阵迹的性质：1 tr （A 二B）二trA - trB证明：设in i h i hA =(引)佃，B = (b j )代则tr(A)=》an，tr (B)=为0，tr (A ±B)=为佝二0)姓名：某某i=1 i=±i=1i -n i -n i -n又tr(A) 土tr(B)=迟a H±S b H=S 佝+6)7 i 4 i —所以tr(A _B) =tr(A) _tr(B)得证2 tr(kA)二k trA ( k为任意常数)证明：设人=佝人n则tr(A)八a H.k tr(A)二k' a ii；tr(kA)=為(k aj =k' a.tr(kA) = k tr (A)由( 1)与(2) 知tr(mA _nB) = m tr (A) _n tr (B),m, n C3 tr(AB) =tr(BA)证明：设A = (a j )n n, B = (b j )n nk z=n则AB =(c ij)n n，其中c ij - 'a ik b kj 所以有t「(AB) = ' ' a j b jik 二k =nBA=(d j)nn其中d j \ b k Qkj ,所以有tr(AB)八a0口k=1.tr(AB) =tr(BA)得证4 trA = trA证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。

矩阵的迹及其应用唐鹏程(孝感学院数学系,湖北孝感432100)摘要:文章讨论了几类特殊矩阵的迹,给出了它们的一般结果,并举例说明它们在证明相关问题中的应用。

关键词:矩阵的迹;矩阵的秩;相似矩阵;幂等矩阵;幂零矩阵;对合矩阵中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1007-1075(2000)04-0011-03A1B1= (A,0)B0=AB(3)B1A1=B0(A,0) =BA00 0(4)由(3),(4)式,有λI-A1B1 = λI-AB (5)λI-B1A1 =λm-n λI-BA (6)将(5),(6)两式代入(2)式,得λI-AB =λm-n λI-BA即得证(1)式。

其次,设AB的全部特征根为λ1,λ2,…,λm,BA的全部特征根为μ1,μ2,…,μn,则Tr(AB) =λ1+λ2+…+λm(7)Tr(BA) =μ1+μ2+…+μn(8)再由公式(1)知,矩阵AB与BA具有相同的非零特征根,它们之区别仅在于零特征根的重数不同,因此Tr(AB) =Tr(BA)证毕设A∈Mn(F),若A2=A,则称A为幂等矩阵。

定理2若A是幂等矩阵,且rank(A) =r,则Tr(A) =r。

证因为rank(A) =r,所以存在P,Q∈Mn(F),且P,Q皆为可逆矩阵,使得A=PIr00 0Q,设P=P1P2P3P4,Q=Q1Q2Q3Q4于是A=P1Q1P1Q2P3Q1P3Q2又因为A2=A,所以Ir00 0=P-1AQ-1=P-1A·AQ-1=Ir00 0Q·PIr00 0=Q1Q20 0P10P30=Q1P1+Q2P300 0由引理3,引理4和定理1,我们有Tr(A) =Tr(P1Q1) +Tr(P3Q2)=Tr(P1Q1) +Tr(Q2P3)=Tr(Ir) =r证毕设A∈Mn(F),若存在一个自然数m,使得Am= 0,则称矩阵A为幂零矩阵。

定理3若A为幂零矩阵,则Tr(A) = 0。

矩阵迹的性质及其若干应用王振新;吴士林;李群【摘要】矩阵迹在计算数学、经济学及计算机应用中扮演着重要角色.本文给出了一般矩阵和特殊矩阵迹的性质,尤其讨论了Hermite矩阵迹的相关性质.同时,讨论了矩阵迹在计算矩阵特征值、行列式计算及矩阵正定性方面的应用.【期刊名称】《阜阳师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】4页(P8-10,14)【关键词】矩阵;迹;特征值;不等式【作者】王振新;吴士林;李群【作者单位】太和中学,安徽阜阳 236600;宿松九成学校,安徽安庆 246220;阜阳师范学院数学与统计学院,安徽阜阳 236037【正文语种】中文【中图分类】O151矩阵迹是人们研究矩阵特征的重要内容，利用矩阵的迹可以发现矩阵主对角线元素和的特征[1]。

而且通过对矩阵迹的研究，不难发现矩阵特征值和矩阵迹的联系。

但是，许多文献只是介绍了关于矩阵迹的一部分，如文献[2-4]只是介绍了矩阵迹的一般性质。

文献[5]介绍了一些特殊矩阵迹的性质，尤其对对称矩阵和实对称矩阵迹的性质作了一定的研究；文献[6]也只是阐述了矩阵迹的某些应用等。

本文首先介绍了矩阵迹的概念及其性质，然后研究其在几类不等式，及特征值计算等方面的应用。

1 预备知识文中出现的数学符号作如下规定，AH代表矩阵A的共轭转置，Cn×n代表n阶复矩阵空间。

特征值作为矩阵的另一个重要的数量特征，两者有着紧密的联系。

下面对于n阶矩阵A=(aij)来说，把它的特征多项式的行列式形式展开，可得如A有n个特征值λ1λ2…λn,则由上式可得,定义1[7]设存在矩阵A,则其对角线元素之和称为迹，记作tr(A)即定义2[8]所谓幂零矩阵就是对于一个n阶方阵A，若存在一个正整数k，使得Ak=0，也可以等价的说A的所有特征值均为0的矩阵为幂零矩阵。

定义3[9]设A=(aij)m×n∈Cn×n，如果即A=AH或者就称A是Hermite矩阵。

幂零矩阵性质及应用幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。

证明：⇒A为幂零矩阵 k Z +∴∃∈.0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则0,.s t A ααλα∃≠=由引理7知，0k λ为kA 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有0λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒=0*(1)(1)00kkE A A A ∴-=-=-=-⋅=λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。

⇐A的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-= 由引理2知，()0nf A A==所以A 为幂零矩阵。

得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒A为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 kA 的特征值为120k kknλλλ====从而有120k k k k n trA λλλ=+++= ⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,tλλλ为A 的不为0的特征值且iλ互不相同重数为(1,2,,)ini t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)in i t ==即A 没有非零的特征值A∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)ii s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)ii s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===12,,,sJ J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=证明：A为幂零矩阵，k Z +∴∃∈.0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A+-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211nn E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,nλλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A =由引理7，得120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得 0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。

幂零矩阵的特征值
幂零矩阵是一类特殊的矩阵，它的 k 次幂为零矩阵，即 $A^k=0$。

可以想象，对于任意非零向量 $x$，其经过幂零矩阵的作用后会变为零向量。

因此，幂零矩阵的特征值全为零，下面将对此进行证明。

假设矩阵 $A$ 为一个 $n$ 阶幂零矩阵，则 $A^k=0$，其中 $k$ 为正整数。

设
$x$ 为一个非零向量，则存在常数 $\lambda$ 使得 $Ax=\lambda x$。

我们需要证明$\lambda=0$。

考虑 $A^kx$，由于 $A$ 为幂零矩阵，有 $A^k=0$，因此 $A^kx=0$。

另一方面，根据特征值的定义，$Ax=\lambda x$，则有 $A^2x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda
Ax=\lambda^2 x$，以此类推，$A^kx=\lambda^kx$。

因为 $A^kx=0$，所以
$\lambda^kx=0$，由于 $x$ 非零，这意味着 $\lambda^k=0$，即 $\lambda=0$。

因此，对于任意幂零矩阵 $A$，其特征值均为零。

在实际应用中，幂零矩阵常出现在线性方程组求解和微分方程数值解求解中，因此对其特征值的理解具有重要意义。

本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：2010411676专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录摘要：....................................................................................................................... - 1 - Abstract: . ............................................................................................................... - 1 -一、相关的基本概念............................................................................................... - 2 -二、相关的一些引理............................................................................................... - 2 -三、性质................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用............................................................................. - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆...................................................... - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例...................................................... - 15 - 参考文献：............................................................................................................. - 20 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义.本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用，因此对幂零矩阵的研究很有意义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究过程中，幂零矩阵是非常特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵可以用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的基本概念1、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵.2、 若A 为幂零矩阵，则满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的转置，称111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全体m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.5、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .6、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵.8、 设 A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.9、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n kA A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，.引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使. 由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方法一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方法二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方法三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12 0k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++= (1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（1.2） 由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tt tt t t t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（1.2）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 一定不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值分别为 1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠ 故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++- 21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++- 性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又此时00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkk k s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（1.3）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加得到：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k k r A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A - 解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y xy A x y x ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x yA x y x ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。

幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。

它具有一些很好的性质。

本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。

幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。

在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。

2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。

3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。

其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。

6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。

7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。

满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。

幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1] 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1] 若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义1.3[3] 设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5] 形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5] 设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5] (),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3 设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4 k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0k k J a E -=.定理1.5 ,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6 任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理 1.7[5] n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理1.8[5] 每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质 2.2 幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵.性质2.3 若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.+AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立. 性质2.4 若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m m m m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.+0为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得 ，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭， 12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化， 令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10 若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立. 3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1 ,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1211()nT A B T T A B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2 A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -= C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例3.1.3 ,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵. 3.2 幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1 已知4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -. 解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3 可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3 已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：212211010010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中1000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6] 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6] 若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是000010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质 4.3 σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nn T A T -**⎛⎫ ⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以1000000nn A TT -**⎛⎫⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭.因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质 4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及应用[J]．玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-3[3] 谷国梁．关于幂零矩阵性质的探讨[J]. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-49[4] 姜海勤．幂零矩阵性质的一个应用[J]．泰州职业技术学院学报,2004,4(1)：61-62[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,2003[6] 张素梅、张广慧．线性变换的幂零性[J]．邯郸学院学报，2007,17(3)：30-32 [7] 李师正．高等代数解题方法与技巧[M]．高等教育出版社,2006 [8] 陈国利．高等代数选讲[M]．中国矿业大学出版社,2005[9] 杨子胥．高等代数习题集（上册）[M]．山东科学技术出版社,2004 [10] 王品超．高等代数分析与研究[M] ．山东大学出版社,1994。

摘要矩阵的迹在高等代数的教学过程中只是提及概念，并未做深入的探讨。

然而，矩阵的迹是矩阵的一个重要的数量特征，在理论和实践中都有相关的应用。

本文先简单介绍矩阵的迹的基本性质；然后，分析反对称矩阵、正定矩阵等几类特殊矩阵的迹及其性质；最后，论述矩阵的迹在解有关特征值问题，证明有关否定命题和不等式中的应用。

关键词：矩阵的迹；反对称矩阵；正定矩阵；特征值；否定命题；不等式AbstractMatrix trace just mentioned in the process of higher algebra teaching concept, did not do in-depth discussion. Matrix trace, however, is an important characteristic of Matrix which has relevant application in theory and practice . This paper first simply sums up the basic matrix trace properties; Then, analyzes antisymmetric matrix, trace of positive definite matrix and several kind of special matrix and its properties; Finally, this paper discusses matrix trace in solving the eigenvalue problem, and proves that the application of negative proposition and inequality.Key words:matrix trace; antisymmetric matrix; positive definite matrix;characteristic value; negative proposition; inequality目录1 引言 (1)2 矩阵的迹及其性质 (1)3 特殊矩阵的迹的性质 (1)3.1 反对称矩阵迹的性质 (2)3.2 正定矩阵迹的性质 (2)3.3 其他特殊矩阵的迹及其性质 (4)4 矩阵的迹在解题中的应用 (6)4.1 在解有关特征值问题中的应用 (6)4.2 在证明有关否定命题中的运用 (7)4.3在证明有关不等式中的运用 (9)5 结论 (10)致谢.......................................... 错误!未定义书签。

编号：***********xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008- 01学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幂零矩阵的相关概念 (1)1.2幂零矩阵的基本性质 (1)2 主要结论 (4)3 应用 (6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11)参考文献 (13)Abstract (14)幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1设A是n阶矩阵,若存在一个自然数k,使0kA=,则A为幂零矩阵.定义2设A是幂零矩阵,满足0kA=的最小自然数k称为A的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.第 1 页（共14页）第 2 页（共 14 页）性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵. 性质2 A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0. 在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A 为幂零矩阵的充要条件是k Z +∀∈,0k trA =. 证明 必要性 因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值全为0, 即120n λλλ====,所以kA 的特征值为120n k k k λλλ====.从而有120n k k k ktrA λλλ=+=++.充分性 由已知,对k Z +∀∈,120nk k k k trA λλλ=+=++. ①令12,,,t λλλ为A 的不为零的特征值,且i λ互不相同,重数为i n （1,2,,i t =）. 由①式,得方程组112121211222222333121200t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ ② 由于方程组②的系数行列式为121212122221212111ttttt tt tt tttB λλλλλλλλλλλλλλλλλλ==()121t i j j i tλλλλλ≤<≤=∏- 又()1,2,,i i t λ=互不相同且不为0,所以0B ≠,从而知方程②只有0解,即0i n =(1,2,,i t =）.因此A 的特征值全为0,即A 为幂零矩阵.推论2 若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆且有1,1A E E A +=-=. 证明 由于A 为幂零矩阵,所以存在k Z +∈,使得0k A =,因此有00kk A A A ==⇒=,所以A 一定不可逆.第 3 页（共 14 页）由性质2,得A 的特征值120n λλλ====,所以A E +,E A -的特征值分别是12'''011n λλλ=+====, 12"""101n λλλ=-====,且有12'''11n n A E λλλ+===,12"""11n n E A λλλ-===.即1,1A E E A +=-=.推论3 若A E +为幂零矩阵,则A 非退化. 证明 令12,,,n λλλ为A 的特征值.若A 退化,则有120n A λλλ==,所以至少存在00i λ=为A 的特征值,从而有0110i λ+=≠为A E +的一特征值,这与A E +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的n 阶1n -次幂零矩阵都相似.证明 令A 为n 阶1n -次幂零矩阵,即10n A-=,()001k k n A ≠≤<-,因此A 的最小多项式1()()n A n m d λλλ-==；又A 是幂零矩阵,所以A 的特征值全为0,因此A 的特征多项式为()()n n f E A D λλλλ=-==,又11()()()n n n n D d D λλλλ--==, 所以1()n D λλ-=；又第 4 页（共 14 页）12()()()()()n n n f E A d d d D λλλλλλλ=-===,从而有1()n d λλ-=,221()()()1n d d d λλλ-====,所以所有n 阶1n -次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n λλ-.所以所有n 阶1n -次幂零矩阵都相似. 利用此法也可以得到：推论4 所有n 阶n 次幂零矩阵都相似.注 但是当幂零矩阵的幂零指数2k n ≤-,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设A 为非零幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则E ,A ,2A ,,1k A-线性无关.证明 利用反证法.假设12,,,,k A E A A -线性相关,则一定存在一组不全为0的0c ,1c ,,1k c -,使2101210k k E A c c c c A A --++++=, ①两端右乘1k A -,得100k c A -=,而10k A -≠,因此00c =.再对①式两端右乘2k A-,可得10c =.同理可得2310k c c c -====.所以0110k c c c -====,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,k E A A A -线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零 矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设A 为幂零矩阵,且k 是A 的幂零指数,则 （1）E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++ . （2）()()11212311111k k kmE A E A A Am mm m---+-+=-++.(0)m ≠第 5 页（共 14 页）证明 （1） 由于A 为幂零矩阵,所以0k A =,从而k k k E E A E A =-=-()21()k E A E A A A -=-++++,即()121k E A E A A A ---=++++.（2）对任意0m ≠,121231111()()(1)k k kmE A E A A A m m mm--+-+++-121211111(1)k k k E A A A Am m m m---=-++++- 212121111(1)(1)k k k k k k AAA mmm-----+++--E =所以()1121231111()k k kE A mE A A Am m mm---=-+++-+ .结论2 若A 为幂零矩阵,则A 的若尔当标准形J 的若尔当块为 幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0.证明 A 为幂零矩阵,由性质2知,A 的特征值全为0； 又在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J J T A TJ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中11iiiiiJ nn λλ⨯=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1,2,,i t =,第 6 页（共 14 页）则(1,2,,)i i t λ=为J 的特征值；又A 与J 相似,所以A 与J 有相同的特 征值,所以0i λ= (1,2,,)i t =,即J 的主对角线上的元素全为0;所以有01010i J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则i J 为幂零矩阵,其幂零指数为i n (1,2,,)i t =,所以12,,,S J J J 为幂零矩阵.所以A 的若尔当标准形J 的若尔当块12,,,S J J J 为幂零若尔当块,且J 的主对角线上的元素为0. 由此结论可以得到：推论5 n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n ，且幂零指数等于其 若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一n 阶方阵A 都可写成的A D N =+形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵,而且DN ND =.证明 因为在复数域上,存在可逆矩阵T ,使得121S J J A T T J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦① 其中11iiiiiJ n nλλ=⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i t =第 7 页（共 14 页）于是00101i ii i i i J N D λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1,2,,)i t =. ②其中ii i D λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵,0101i N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为幂零矩阵. 因为n i O N =,将②式带入①式得111s s N D A T TN D -+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1111s s N D T T T T N D --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D N =+ ③其中11s D D T T D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵,且 1111nn n s s N N T T O N N T T N N --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 即N 为幂零矩阵,于是111s s N D DN T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ④ 类似的,有第 8 页（共 14 页）111s s N D ND T T N D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ⑤ 但()i i i i i i E N N N D λλ==, ()i i i i i i E N N N D λλ==.所以i i i i N N D D = ,(1,2,,)i s = ⑥由④⑤⑥,即证 DN ND =.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设11111011110011101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A -. 解 记n J 为n 阶若尔当矩阵,则0nn J =,而21n n n n A E J J J -=++++,由结论1有1121()n n n nn E E J A J J J ---==-++++1100001100000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.第 9 页（共 14 页）3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法. 例2 (中山大学) A ,B ,C 为n 阶方阵,且AC CA =,BC CB =,C AB BA =-,证:存在自然数k n ≤,使得0k C =.分析 本题即证C 为幂零矩阵,只需证C 的特征值全为0.而C AB BA =-,容易联想需要用C 的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.证明 只需证C 的特征值12,,,n λλλ全为0即可. 事实上,()()0tr C tr AB BA =-=,即有10ni i λ==∑；又2()()()AB BA CAB CBA AC B B AC C C =-=-=-,所以()2210ni tr C i λ===∑;同理可得()3310nii trC λ===∑,()10nss ii trC λ===∑；假设C 存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得11222221122112200s s s s s s s s s k k k k k k k k k λλλλλλλλλ=⎧+++⎪+=++⎪⎨⎪⎪+=++⎩,（12,,,s λλλ各不相同）.方程组有非0解,故系数行列式：第 10 页（共 14 页）1222212120ss s s s sλλλλλλλλλ=（i λ各不相同）,但是()1222212121120sss i j j i ss s s sλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=≠∏-, 得出矛盾,所以假设错误,即有C 不存在非零的特征值,C 的特征值全为0,所以存在自然数k n ≤,使得0k C =.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3（上海交通大学） A ,B 为n 阶方阵,B 为幂零矩阵,AB BA =,则有A B A +=.分析 在复数域上,每个n 级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似, 幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明 由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,T 使得121*n AT T λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121*n BT T μμμ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又B 为幂零矩阵,所以B 的特征值全为0,即100*0BT T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,第 11 页（共 14 页）()121111*n A B T AT BT T T T T T λλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以()12111*nA B TA B T T TT T λλλ---+=+=.又因为T 可逆,所以0T ≠,1212*n nA B λλλλλλ+==,因为121*n AT Tλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此12,,,n λλλ为A 的特征值,所以12n A λλλ=,从而得证21n A A B λλλ=+=.3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的 特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学） 设V 为数域F 上的n 阶方阵构成的线性空间,A 为F 上一个固定的n 阶方阵,定义()TB AB BA =-,其中B 为V 中任一向量,证明(1)T 为线性变换；(2)若A 为幂零矩阵,则T 为幂零线性变换.第 12 页（共 14 页）分析 （1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由()T B AB BA =-,有下述结论:A 的特征值之差都是T 的特征值.以下要证此结论.证明 （1）任取,B C V ∈,k F ∀∈,则有：()()()()()T B C A B C B C A AB BA AC CA T B T C +=+-+=-+-=+,()()()()T kB A kB kB A kAB kBA kT B =-=-=,所以T 为线性变换.（2）先做如下断言：()T B AB BA =-⇒A 的特征值之差都是T 的特 征值.事实上,()n y F M ∀∈,取()n F M 的一组基ij E （,1,2,,i j n =）,设A 的若尔当标准形为1*s J λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则存在可逆矩阵()n P F M ∈,使得11*s AP J P λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以1A PJ P -=.又P 可逆,所以1ij P E P -也是()n F M 的一组基. 又111()()()ij ij ij T A A PE P PE P PE P ---=- 1111()()()()ij ij PJ PJ P PE P PE P P ----=- 1()ij ij J J P E E P -=-10*0i jP P λλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()()ij i j PE P λλ-=-第 13 页（共 14 页）所以T 在基11111111211,,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P PE P -----下的矩阵为121212110*0nnn n n λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦------所以A 的特征值之差都是T 的特征值.断言成立.因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征值0i λ= ,所以T 的特征值全为0,从而T 为幂零线性变换.参 考 文 献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 杨子胥.高等代数习题解（下册）[M].济南:山东科技出版社,1982:836-866. [3] 邹本强.幂零矩阵的性质[J].science information,2007,(12):150-155. [4] 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用[J].玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3.[5] 江明星.幂零矩阵的若干性质[J].安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79. [6] 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用[J].泰州职业技术学院学报,2004, 4(1):54-57.[7] 樊正恩.幂零矩阵的若干注记[J].甘肃高师学报,2011,16(2):3-4. [8] 赵廷芳.幂零矩阵的性质[J].周口师专学报,1994,11(1):27-30.[9] 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨[J].铜陵财经专科学校学报,2001,(4):49-63.[10]吴险峰.n 阶幂零矩阵的判别与构建[J].齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract:This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard form;characteristic root第14 页（共14页）。

幂零矩阵公式在矩阵理论中，幂零矩阵是一种特殊的矩阵，它的幂次方可以趋近于零。

幂零矩阵公式是描述幂零矩阵的一种数学表达式。

本文将介绍幂零矩阵的定义、性质和应用，并给出幂零矩阵公式的详细解释。

一、幂零矩阵的定义幂零矩阵是指一个矩阵的所有幂次方都趋近于零矩阵。

具体地说，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正整数k，使得A^k=0，则称A 为幂零矩阵。

二、幂零矩阵的性质1. 幂零矩阵的特征值都为零。

由于A^k=0，那么矩阵A的任意特征值λ满足λ^k=0，即λ=0。

因此，幂零矩阵的所有特征值都是零。

2. 幂零矩阵的行列式为零。

根据矩阵特征值与行列式的关系，幂零矩阵的行列式为特征值的乘积，即det(A)=λ1*λ2*...*λn=0。

3. 幂零矩阵的秩小于等于n-k，其中n为矩阵的阶数，k为A^k=0的最小正整数。

由于A^k=0，矩阵A的列空间被A的k次幂的零空间所包含，因此矩阵A的秩小于等于n-k。

三、幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 幂零矩阵可以用来描述线性系统的稳定性。

在控制理论中，稳定性是一个重要的概念。

如果一个线性系统的状态矩阵是幂零矩阵，那么该系统是稳定的。

2. 幂零矩阵可以用来表示微分方程的解。

对于一些特殊的微分方程，可以通过幂零矩阵的幂次方来表示其解析解。

3. 幂零矩阵可以用来描述图的连通性。

在图论中，连通性是一个重要的性质。

通过幂零矩阵的幂次方，可以得到图的连通性矩阵，进而分析图的连通性。

四、幂零矩阵公式的解释幂零矩阵公式是一种数学表达式，用来计算幂零矩阵的幂次方。

具体地说，幂零矩阵A的k次幂可以通过以下公式计算：A^k = (B1 + B2 + ... + Bk) / k!其中，Bi表示幂零矩阵A的i次幂，k!表示k的阶乘。

幂零矩阵公式的解释如下：将幂零矩阵A进行分解，利用幂零矩阵的性质，可以将A的k次幂表示为B1、B2、...、Bk的和，其中Bi 表示A的i次幂。

幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间，-=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf fg和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA=，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量.关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量Features of Nilpotent matrix traceYAN Wen(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei432000,China)Abstract：2009National College Mathematics Competition Problems(3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation,and satisfies fg gf f-=,Then all the eigenvalues of f are0,Between f and g there are the same feature vector(not necessarily equal the corresponding eigenvalue).AB=, We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA Verify:A and B have public feature vectors,and eigenvectors obtained the public.Key words：Nilpotent matrix;Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1假设V是复数域上n维线性空间（0n>），,f g是V上的线性变换．如果fg gf f-=，证明f的所有特征值都是0，且,f g有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2设V是有理数域Q上的向量空间，,f g是V上的线性变换，其中g可对角化，且满足fg gf f-=，证明存在正整数k，使得k f是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）由于f的所有特征值都是0⇔f是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换f下不变，最后利用fg gf-的迹为零的结果，间接导出f的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“g 可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明f是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于,f g有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题1[1]若,f g是复数域上n维线性空间V上的线性变换，且fg gf=，则g和f存在公共的特征向量．尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为命题2[2,3]若,A B都是复数域上的n阶方阵，满足rank()1AB BA-≤，则A和B存在公共的特征向量．对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].从以上诸例及相关结论上看，对线性变换,f g 而言，关于h fg gf =-的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵AB BA -的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵AB BA -或线性变换fg gf -的性质；2、对满足fg gf =或fg gf f -=的线性变换,f g ，不仅证明,f g 之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2性质设,A B 为n 阶矩阵，令C AB BA =-，则AB BA -具有如下基本性质：性质1tr()0AB BA -=.证明设()ij A a =、()ij B b =，则11tr ()n n ik ki i k AB a b ===∑∑，111111tr ()()tr n n n n n n jt tj tj jt ik ki j t t j i k BA b a a b a b AB ==========∑∑∑∑∑∑.性质2对任何n 阶矩阵,A B ，AB BA E -≠.证明反证法假设AB BA E -=，则由性质1可知()0trE tr AB BA =-=，显然矛盾，所以AB BA E -≠.命题得证.性质3设A ，B 是n 阶矩阵，令C AB BA =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使0m C =.证明因为C 同A ，B 可交换即,AC CA BC CB ==，所以有22()()()C A C CA C AC CA C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证k C （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换.下证0k trC =（1,2...k n =）.()()()0trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=同理可证：0,1,2...k trC k n ==.下证C 的所有特征值为零.设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以k C 的所有特征值为k n k k λλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.由0k trC =，12...k =，可得：设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,r s s s 重.则上式可写成：221222221120101......012.........r r k k k rr r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩++++++令122221212.....................r r r r r r L λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以上式可写成120...r L s s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()n i j i j n L λλλλλ≤<≤=⋅-∏，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0m C =.命题得证.注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('x xf x Bf x f x Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]3可换矩阵的公共特征向量12222121200 0.........n n k k k n λλλλλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩++++++命题1若,n n A B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量.证明因为n n A C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间{}n V C A λξξλξ=∈=设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε 为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,,i k = .在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.由于12,,,k εεε 为V λ的一组基，设1122k k c c c ηεεε=++ （1）由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k = .则有ij l C ∈，,1,2,,i j k = ，使得11112121212122221122k k k k k k k kk kB l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.1122()k k B B c c c ηεεε=+++ 1122k kc B c B c B εεε=+++ 1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++ 1111111()()k k k kk k kl c l c l c l c εε=++++++ 而112211()()()k k k kc c c c c μημεεεμεμε=+++=++ 由B ημη=及12,,,k εεε 线性无关，得11112211211222221122k k k k k k kk k k l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c c μμμ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）即111111k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记()ij k k L l ⨯=，即得11k k c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即()100k c L c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）当0L μE -=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出，对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：推论1若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.证明设12,,,r λλλ 是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r = ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ 是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.推论2若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.证明由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ ，作矩阵12(,,,)n P ξξξ= ，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例1求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.300131201A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，121011220B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解容易验证AB BA =，A 的特征多项式为2300131(1)(3)201E A λλλλλλ--=--=----.所以11λ=，233λλ==.对11λ=，由1232001210200x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得10x =，2312x x =-，从而基础解系为1012ε⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，而11121000111122022B εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，定理1中的()1L =-为11⨯矩阵，于是1μ=-，于是公共特征向量为111102c c c ηε⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任一不为零的常数对233λλ==，由1230001010202x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，得13x x =，从而基础解系为1101ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而1121211201101222012B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2121210201111222002B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由命题1可知2211L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22011L μμμ--E -==--，从而有(3)0μμ-=，对0μ=，12220110c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得21c c =-，于是公共特征向量为112()c ηεε=-，即111c c c η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任意不为零的常数.对3μ=，12120120c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得122c c =，于是公共特征向量为212(2)c ηεε=+，即22222c c c η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2c 为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：02k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，k k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，22k k k η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k 为任意不为零的常数.4逆命题设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C-=证明若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使AB BA C-=分两种情况讨论：（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,,i n = .取12n A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12,,,n λλλ 两两互异.取()ij B b =，其中ij ij i j c b λλ=-（i j ≠），而ii b (1,2,,)i n = 任意，可验证AB BA C -=.（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使11111A B B A P CP--=于是，有11111111()()()()PA P PB P PB P PA P C -----=，令11PA P A -=，11PB P B -=，则AB BA C -=.命题得证.5一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2]设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量.在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3]设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,,0),(0,1,,0),,εε== (0,0,,1)n ε= 下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.例1在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB BA =，A 有特征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量.6进一步的讨论结论1若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则∃可逆阵P 使得1100n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1100n P BP μμ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.结论2已知A B AB +=，则（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3若A B AB +=，,A B 至少有一个可以对角化，则（1）B 一定能表成A 的多项式.（2）A每一个特征向量都是B的特征向量.（3）,A B至少有一个公共特征向量.结论4若A B AB+=，A可对角化，则,A B有n个公共特征向量，且它们线性无关.[参考文献][1]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986.[2]Laffey T J.Simultangularization of matrices-low rank cases and the nonderogetory case[J].Lin and Multilin.Alg,1978,6(4):289-305.[3]Choi M P,Lourie C,Radjavi H.On commutators and invariant subspaces[J].Lin and Multilin.Alg,1981,10(4):329-340.[4]胡付高.矩阵的弱相似性及其应用[J].信阳师范学院报(自然科学版),2003,16(1):4-6.[5]王萼芳.高等代数教程（下册）[M].北京:清华大学出版社，1997.[6]王萼芳.高等代数辅导与习题解答[M].北京:清华大学出版社，1997.[7]屠伯埙，徐诚浩,王芬.高等代数[M].上海:上海科学出版社,1987.[8]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.[9]朱靖红，朱永生.矩阵对角化的相关问题[J].辽宁师范大学学报，2005，28（3）：383-384.[10]陈绍刚.矩阵对角化的弱可逆矩阵刻画[J].数学的实践与认识，2005，35（9）164-166.[11]姜晓艳.化方阵为相似对角阵的一个判别条件[J].辽宁师专学报，2004，6（2）2,29.[12]绍逸民.迹为零的矩阵的性质[J].沈阳师范大学学报，2008，26（4）1-2.[13]王萼芳等.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社致谢在写论文的过程中，谢谢百忙之中的胡付高老师抽出宝贵的时间来指导，在此衷心感谢胡老师的悉心指导！。