初等模型建模实例

第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。

进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。

§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。

那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。

当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。

首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。

即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。

当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。

这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。

但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。

例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。

且
tn (n 1)T
S
0 n

(n
1)( L

D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到


Sn (0)

Sn
(t
)

Sn
(0)
Sn
(0)

a 2
(t

a 2
(tn

L1 v

L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v

Li1 v
ti1
(ni 1)d v

~ti

Li v

Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！

第二章 初等数学方法建模现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。

本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。

第一节 有关自然数的几个模型1.1鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理，把N 个苹果放入)(N n n < 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。

问题1：如果有N 个人，其中每个人至多认识这群人中的)(N n n <个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。

分析：我们按认识人的个数，将N 个人分为n ,2,1,0 类，其中)0(n k k ≤≤类，表示认识k 个人，这样形成 1+n 个“鸽笼”。

若 1-<N n ，则N 个人分成不超过1-N 类，必有两人属于一类，也即有两个人所认识的人数相等；若1-=N n ，此时注意到0类和N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼”至多为1-N 个，也有结论成立问题2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于5.0.分析：边长为1的正三角形 ABC ∆，分别以C B A ,,为中心，5.0为半径圆弧，将三角形分为四个部分（如图1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于5.0 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于5.0 ，且确实可找到如C B A ,,及三角形中心四个点。

图1—1问题3：能否在88⨯的方格表ABCD 的各个空格中，分别填写3,2,1这三个数中的任一个，使得每行，每列及对角线BD AC ,的各个数的和都不相同？为什么？分析：若从考虑填法的种类入手，情况太复杂；这里我们注意到，方格表中行,列及对角线的总数为18个；而用3,2,1填入表格，每行,列及对角线都是8个数，8个数的和最小为8，最大为24，共有171824=+-种；利用鸽笼原理，18个“鸽”放入17个“鸽笼”，必有两个在一个“鸽笼”，也即必有两个和相同。

进 的方向 称为降雨强度系数。 所以， I rp
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
•顶部的淋雨量
C ( D / v ) w ( pr d sin ) 1
rsin 表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量
D /v 表示在雨中行走的时间 ,wd 表示顶部面积
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
4 3 C 14 . 7 10 m 1 . 47 升 180 情形3 90
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
4
C 6 . 95 10 [( 0 . 8 sin 6 cos ) / v 1 . 5 ]
2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。
2）考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 r （米/秒）
, p 1 雨滴的密度为 p
表示在一定的时刻 在单位体积的空间
雨滴下落 的反方向
w
d
内，由雨滴所占的
2 h 1 . 50 米 , w 0 . 50 米 , d 0 . 20 米 , 即 S 2 . 2 米 。
你在雨中行走的最大速 度 v 6 米 / 每秒，则计算 你在雨中行走了 167 秒，即 2 分 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了
若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以 30 的角
v 4 sin 30 2 m /s 的速度行走 从背后落下，你应该以

市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)

一些经典初等数学模型
1. 走迷宫：在一个有迷宫的场地内，从起点到终点，找到最短的路线。

2. 鸡兔同笼：已知笼子里面有若干只鸡和兔子，总共有头和只脚，求鸡和兔子的数量。

3. 填数字：在一个九宫格里填入数字1到9，每行、每列、每个宫内数字互不重复。

4. 数列求和：给定一个数列，求其中任意连续段的和，或者整个数列的和。

5. 球与盒子：有若干个不同颜色的球和盒子，球可以放入盒子中，求有多少种不同的放法。

6. 求根公式：已知二次方程的系数，求解出这个二次方程的根。

7. 绳子问题：两根不同长度的绳子分别燃烧完的时间不同，如何用这两根绳子在规定时间内测量出一个15分钟的时间。

8. 凸包问题：给定一些点的坐标，如何找到能够包住所有点的最小凸多边形。

9. 最小生成树：给定一个连通的无向图，找到一棵包含所有节点的生成树，使得边的权值之和最小。

10. 铺地砖：已知一个矩形地面，和两种不同形状的砖块，如何将这些砖块拼接在一起，使得地面完全被铺满。

L k1 k 2 ( B k3
2
K k1k 2 k3
2

2 3
) 3 KB 3
2 3
显然，K越大则成绩越好，故可用 L LB 比赛成绩的优劣。
来比较选手
模型4（O’ Carroll公式）
经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可 信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。O’ Carroll模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a<1 k越大成绩越好。因而建议 1 (2) A=k2lb, b<2 根据的大小 L L(B 35) 3 (3) B-Bo =k3l3 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h
1 2
gt
2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv F m mg Kv dt g kt 令k=K/m，解得 v ce
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
1 3 故有： k (B 35) L
β
1 3
ab 3

2 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤， β

对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.
模型构成：
CLV(恒定线速度)光盘
数据容量 C CLV LCLV ρ：线密度, LCLV ：信道总长度 R1：光盘环形区域内圆半径, R2 ：外圆半径, d ：信道 间距
LCLV
(xt, yt) Rt (xl, yl) Rl Rr (x , y ) r r
• 连接三根圆杆的中心获 得一个三角形，用a,b,c 表示对应的三条边 • a = Rl + Rt • b = Rr + Rt
xt = xl + acos(+) = xl + a(coscos - sinsin) yt = yl + asin(+) = yl + a(sincos + cossin) • cos = d/c • sin=e/c • c = (d 2 + e 2)1/2 • d = xr – xl
• 则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆 算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆 坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标
2.1.2. 光盘的数据容量
• 问题: CD的数据容量: 单层 650MB (兆字节)
DVD的数据容量: 单层 4.7GB (千兆字节) 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎样确 定的？在一定条件下怎样使其最大化？
k1 k2
16,
Q Q

1 8h 1
,h
L d
若取最保守的估计,有
k1 k2
16,
Q Q

1 8h 1
,h
L d
• Q/Q’ 是仅与h有关的函数. 可以从图形来考察它的取值情况！

1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
Q值方法 分配结果
Q1最大，第20席给甲系 Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
进一步深入考虑
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 反应时间 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
11
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
17
常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则 不同 反 司机 制动系统 反应时间 应 状况 灵活性 距 车速 离 常数
刹 车 距 离
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 最大制动力与车质量成正比， 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。

模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =

= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。

2 2
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即

kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB

2 (r wi) vt,
代入m=kn并求和得 2rkn wkn(kn 1) vt
i 1
m
由于w r , 故上式可化成 2rk wk 2 2 t n n an bn v v
2
参数估计 利用此录像带测试若干数据进行拟合.就可 用最小二乘法估计出a,b,并代入模型中(单位: 分).
n1 1 p1 n1 p1

n2 p2
p2
( 3)
对B不公平,
(n 1 1)p 2 rB (n 1 1, n 2 ) 1 n 2p1
(2)若给B增加1席,可能出现两种情况: n n 1 此时仍然对B不公平, 所以 (i ) , p p 此席位当然应该给B.
1 1 2 2
y1 y2 O
M M1 p ·1
p ·3
p2 N1
·
x1 x2
N
x0 x
如图,对甲而言, p1与 p2同在曲线MN上,所 以这两种交换方案 具有同样的满意程 度. 而p3在另一条 满意程度更高的曲 线M1N1上.
y y0 y1 y2 x1 M M1 p ·1 p ·3
·
x2
p2
N1 N
O
x0 x
这样,甲有无数条无差异曲线,且互不相交.不妨将 这族曲线记作: f (x,y) = c1 (1) 其中c1 称为满意度.随着的增加,曲线向右上方移动.
n1 n2 1 （2 ）又设 p1 800, p2 1000, n1 40, n2 25, 则 ＝ . p1 p2 40
我们看到，两种情形下，分配席位都对B不公平，其绝 对不公平程度是一样的。但是，我们看到，后一种情形 下，人员数扩大10倍的情形下，吃亏的一方席位的扩大 倍数还低于另一方，更加不公平了。

y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
分析 模型 x<y, y= y0+(1-s)x
x=y, y=y0/s
x=a y,
y
y0 sa
y0 sx/ y
y
x=y
x=2y
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 s
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
1. 双层玻璃窗的功效
室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层
内 T1
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm , ym )
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.
乙安全线y=f(x)不变 y
甲方残存率变大
威慑值x 0不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率
利用微积分知识可知 y是一条上凸的曲线，且
y=f(x)
y0 0
• y0变大，曲线上移、变陡. • s变大，y减小，曲线变平.
x
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.
乙方威慑值 y0变大 （其他因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移

实验报告实验一初等模型建模实验目的：熟悉初等数学建模方法，掌握建立经验公式，即数据拟合的方法。

实验原理：最小二乘原理实验内容：人口增长预测下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）：>> t=[1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968]t =Columns 1 through 61960 1961 1962 1963 1964 1965 Columns 7 through 91966 1967 1968>> x=[29.73 30.61 31.5132.34 32.85 33.56 34.20 34.83] 32.13x=Columns 1 through 829.7300 30.6100 31.5100 32.1300 32.3400 32.8500 33.5600 34.2000 Column 934.8300散点图如下：根据已有数据，进行数据拟合:考虑分段函数，对1960-1963进行数据拟合：t=[0 1 2 3]x1=[29.72 30.61 31.51 32.13]p=polyfit(t,x1,1)t=[5 6 7 8]x2=[32.85 33.56 34.20 34.83]z=x1.*(t<=3)+x2.*(t>=4)p=polyfit(t,x2,1)t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]x=[29.73 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83]plot(t,x1,'g+',t,x2,'g.',t,z,'b-');hold onplot(t,x,'r*')图如下：（2）用你建立的经验模型试计算：以1960年为基准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到100亿？对t=0:120通过给出的模型进行运算估值，得到：Columns 37 through 5453.2710 53.9290 54.587055.2450 55.9030 56.5610可知以1960年为基准，人口增长一倍需要39年。