衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理

如何进行金融衍生品的定价金融衍生品的定价是金融市场中的核心问题之一，它涉及到金融工具的确定价格，不只是对风险进行定价，同时也涵盖了市场流动性和其他市场因素的考虑。

本文将介绍如何进行金融衍生品的定价。

一、理论定价模型的介绍金融衍生品的定价主要基于理论定价模型，其中最著名的理论定价模型是Black-Scholes模型。

该模型是由Black和Scholes于1973年提出的，被广泛应用于期权的定价。

Black-Scholes模型基于几个关键因素，包括标的资产价格、期权执行价格、剩余期限、无风险利率和标的资产价格波动率等。

二、市场因素的考虑除了理论定价模型所需的基本参数外，金融衍生品的定价还需要考虑市场因素。

这些因素可能包括风险偏好程度、市场流动性、交易成本和市场预期等。

这些因素会对金融衍生品的价格产生影响，需要在定价模型中加以考虑。

三、隐含波动率的估计在金融衍生品的定价中，波动率是一个重要的参数，它反映了标的资产价格的波动程度。

然而，波动率无法直接观测到，需要通过一定的方法进行估计。

其中一种常用的方法是通过市场上相同或类似衍生品的交易价格来反推隐含波动率。

通过对市场上的交易数据进行分析，可以得出相应的隐含波动率估计结果，从而用于金融衍生品的定价。

四、模型的风险管理金融衍生品的定价中需要考虑风险的管理，主要有市场风险和对冲风险。

市场风险是指金融市场波动对金融衍生品价格的影响，而对冲风险是指持有金融衍生品的交易对手方无法履约的风险。

在定价模型中，需要对这些风险进行合理的管理，以保证持有人的权益。

五、实践中的定价方法在金融市场实践中，还存在许多不同的定价方法，如蒙特卡洛模拟、二叉树模型、离散时间模型等。

这些方法可以根据具体情况选择合适的方法进行定价。

同时，还需要根据市场的实际状况和特点进行调整，以使定价结果更加准确和可信。

六、风险管理的重要性在金融衍生品的定价过程中，风险管理起着重要的作用。

合理的风险管理可以降低交易风险，保护个别投资者和市场的稳定。

中证培训——“金融衍生品高级研修班”课堂笔记（四）衍生品定价模型、参数估计与风险管理2015年5月26日至5月31日，中国证券业协会在厦门举办了《金融衍生品高级研修班》。

由国务院学科评议组成员、厦门大学金融学国家重点学科学术带头人、厦门大学证券研究中心主任郑振龙教授和厦门大学金融工程研究中心主任陈蓉教授担任主讲，并邀请了三位业界专家——中证报价系统衍生品业务部高级经理肖华、华泰证券金融创新部副总经理李升东和招商证券衍生投资部期权做市业务负责人邓林进行交流。

来自全国51家证券公司及系统相关单位共计70名学员参加了培训。

培训班为期六天，课程内容包含5个模块：《期权基本原理与期权交易策略》、《奇异期权与结构型产品》、《金融衍生品与金融创新》、《衍生品定价模型、参数估计与风险管理》和《期权交易与做市商实务》。

本部分内容主要为衍生品定价模型、参数估计与风险管理：一、衍生品定价模型对于普通欧式期权，最常使用的就是Black-Scholes模型，而该模型有以下几个假设。

一是股票价格服从几何布朗运动，即dS Sdt Sdzμσ=+，二是允许卖空标的证券，三是假设没有交易费用和税收，所有证券都完全可分，四是衍生证券的有效期内标的证券没有现金收益支付，五是不存在无风险套利机会，六是假设证券交易是连续的，价格变动也是连续的，七是假设无风险利率为常数。

基于以上假设，BSM 偏微分方程的推导，具体如下。

设f 是依赖于股价的衍生证券，根据伊藤引理可得，222212f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ，在中，f 的价值变化满足222212f f f f f S S t S z S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂∆=++∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭，由于假设了股票价格服从几何布朗运动，同时为了消除风险源，因此构建一个包括1单位衍生证券的空头和f S ∂∂单位标的证券的多头组合，令∏代表该组合的价值，则f f S S ∂∏=-+∂，该组合在后组合变化为ff S S ∂∆∏=-∆+∆∂，带入和服从的随机微分方程即可得222212f f S t t S σ⎛⎫∂∂∆∏=--∆ ⎪∂∂⎝⎭，由于消除了风险，组合价值应该获得无风险收益，即r t ∆∏=∏∆，因此可得222212f f f S t r f t t S S σ⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∆=-∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭，化简就有222212f f f S rS rf t S S σ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭，这就是著名的BSM 微分方程，它适用于其价格取决于S 的所有衍生证券的定价。

基于Hull-White利率下O-U过程的复合期权定价王向荣;薛瑶瑶【摘要】采用Hull White模型和指数O-U过程来刻画利率和股票价格的变化规律,考虑到标的资产价格和利率的随机性与均值回复性,利用鞅理论和Girsanov定理,研究了股票价格在随机利率下遵循指数OU过程的复合期权定价问题,得到了复合期权的定价公式.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(053)001【总页数】6页(P20-25)【关键词】复合期权;Hull-White利率;指数O-U过程;鞅定价;计价单位转换【作者】王向荣;薛瑶瑶【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学金融工程研究所,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】F830.9随着金融衍生品市场不断发展，复合期权作为一种新型期权成为期权定价研究领域内的热点问题之一.它是指以金融期权合约本身作为标的物的金融期权交易，通常以利率工具或外汇为基础.投资者常在波幅较高的时期内购买复合期权，以减轻因标准期权价格上升而带来的损失.因此，考虑不同模型下的复合期权定价问题具有十分重要的意义.近年来，复合期权的定价问题逐渐被众多学者关注.李翠香研究了随机利率下，股票价格遵循跳-扩散过程的复合期权定价问题，利用鞅方法得到欧式复合期权定价解析公式[1]；杨淑彩等借助保险精算法研究了常利率下股票价格遵循O-U过程的复合期权定价问题并得到其定价公式[2]；徐聪聪等利用保险精算和等价鞅测度下对复合期权进行定价，得到两种不同方法下的欧式复合期权定价公式[3]，进一步推广了Geske的结论.在现实的金融市场中，利率在较短时间内往往表现出一定随机性，从长远看，利率的变化有向其均衡水平靠拢的趋势，资产的价格也常在上升一定高度后有下降的趋势，这种均值回复行为在金融市场是十分普遍的.因此，本文建立在金融市场完备无套利的基础上，考虑了利率和股票价格的随机性及均值回复特征，分别用Hull-White模型和指数O-U过程来对利率和股票价格变化规律进行刻画.利用计价单位转换的方法进行测度变换进而研究Hull-White利率[4]模型下，股票价格遵循指数O-U过程的复合期权定价问题，并得到了其定价公式，拓展了已有文献的结论.1 模型建立1.1 资产价格模型假定标的资产股票价格遵循指数O-U过程，即满足：dS(t)=S(t)μ(t)-αlnS(t)+σ1(t)S(t)dW(t)， S(0)=S0，(1)其中，μ(t)、σ1(t)分别为股票的期望收益率和波动率，二者皆为时间t的确定性函数；α为常数，W(t)为定义在完备概率空间(Ω，F，Ftt≥0，P)上的一维标准Brown运动，Ftt≥0连续、单调递增；记1.2 利率模型在风险中性概率测度Q下，假定利率服从Hull-White模型，即利率r(t)满足如下随机微分方程：dr(t)=θ(t)-ar(t)dt+σ2(t)dW2(t)，(2)其中，θ(t)、σ2(t)为时间t的确定性函数，分别表示利率的长期均衡水平和波动率，当θ(t)为常数时，上式即为Vasicek模型；a为常数， W2(t)为定义在概率测度Q 下的一维标准Brown运动，且与W1(t)的相关系数为ρ.故存在与W1(t)独立的Brown运动W*(t)，使得：(3)2 模型求解引理1[6] 假设股票价格过程满足指数O-U过程(1)，令若则存在唯一等价的测度Q，满足：(4)使得在Q下为鞅，令W1(t)=W(t)+θ(s)ds，则由Girsanov定理知，在Q下W1(t)为Brown运动，且由Ito公式知：S(t)=(5)引理2 若随机利率服从Hull-White模型，即满足(2)式，则有(6)r(s)ds=ζ(s，T)r(0)+θ(s)ζ(s，T)ds+σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)，(7)其中，ζ(s，T)=e-a(u-s)ds.证明根据(2)式可得：d(eatr(t))=eat(θ(t)dt+σ2(s)dW2(t))，上式两边积分，进一步整理得：对等式两边进行积分有：r(s)ds=r(0)e-asds+令m(s，T)=e-a(u-s)ds，则r(s)ds=m(s,T)r(0)+θ(s)m(s,T)ds+σ2(s)m(s，T)dW2(s).引理3[7] 若股票价格S(t)遵循指数O-U过程即满足(1)式，则有：(8)证明零息票债券在t时刻的价格为P(t，T),其中T为零息票债券的到期日，且P(T，T)=1.由鞅理论知，当利率满足(2)式时，P(t，T)=exp-m(s，T)r(0)-且满足随机微分方程dP(t，T)=P(t，T)r(t)dt-σ2(s)m(s，T)dW2(t).由Ito公式得P(t，T)=P(0，T)expr(s)ds-由(5)式有=故引理4[8] 设则对任意实数a、b、c、d、k有(9)E[eXIX≥k1，Y≥k2]=(10)其中,N(·)为标准正态分布的分布函数，复合期权是一种期权的期权，给予持有者在某一约定日期(t=T1)以约定价格买入(卖出)一份在日后t=T2(T2>T1)到期实施敲定价格为K的看涨(看跌)的权利.因此复合期权有两个执行价格和两个到期日.由于受到两个到期日的影响，一个是复合期权的到期日，另一个是标的期权到期日[9].复合期权有4种类型：1) 在t=T1时刻购买看涨期权的期权，记为CC；2) 在t=T1时刻购买看跌期权的期权，记为CP；3) 在t=T1时刻出售看涨期权的期权，记为PC；4) 在t=T1时刻出售看跌期权的期权，记为PP.定理1 在随机利率下股票价格服从O-U过程，4种不同欧式复合期权在t时刻的鞅定价为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ)-(11)CP*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，-b，-ρ)-P(t，T2)KM(a'，-b'，-ρ)+(12)PC*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，b'，-ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，b，-ρ)+(13)PP*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，-b'，ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，-b，ρ)-(14)其中：证明任一在T时刻的支付为H(T)的资产在时刻t∈0，T的价格为(15)其中，EQ·|Ft指风险中性概率测度Q下的基于Ft的条件期望，为折现过程[10].Geman等提出一种计价单位转换的方法，即如果不支付股息的资产的价格X(t)是一个在任意时刻t∈0，T几乎必然为正的适应随机过程，则存在一个在(Ω，F)上的新的概率测度QX，且任何资产价格与X(t)的比值是一个QX-鞅，X(t)可以看作计价单位.QX满足其中，为概率测度QX对Q的Radon-Nikodym导数[11].以零息票债券的价格P(t，T)作为计价单位，可得到新的概率测度根据定义及(7)式和(9)式，其对Q的Radon-Nikodym导数满足exp-σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)-exp-ρσ2(s)ζ(s，T)dW1(s)-(16)由Girsanov定理知且在下，1(t)=W1(t)+ρσ2(s)ζ(s，T)ds;为Brown运动，从而执行条件ST1>S*等价于：整理为：令则有则ST1>S*⟺X1+Y1>k1，其中，S*是方程的根.执行条件ST2>K等价于：整理为：令则有则ST2>K⟺X2+Y2>k2.由无套利定价的鞅方法可知，基于欧式看涨期权的复合期权价格为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=由引理4分别计算S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ),类似于(11)式，可证式(12)，(13)，(14).3 结束语利率是决定所有衍生产品价格的一个重要因素，也是影响金融市场变化的最基本因子.因此本文考虑了利率的随机性对股票价格的影响，引入Hull-White利率和股票价格服从指数O-U过程的市场模型，利用鞅理论和Girsanov定理的相关理论，得到4种欧式复合期权的定价公式，进一步丰富和拓展了B-S期权定价模型.参考文献：【相关文献】[1] 李翠香. 基于随机利率下跳-扩散过程的复合期权的定价[J].黑龙江大学自然科学学报， 2012，29(4):431-436.LI C X. Pricing compound options under jump-diffusion processes with stochastic interest rates[J].Journal of Natural Science Of Heilongjiang University， 2012， 29(4):431-436．(Ch)．[2] 杨淑彩. 股票价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程的复合期权定价[J].西安工程大学学报， 2014，28(30): 376-380．YANG S C. Compound option pricing under Ornstein-Uhlenbeck process[J].Journal ofXi’an Polytechnic University， 2014， 28 (28): 376-380.(Ch)．[3] 徐聪聪. 股票价格服从指数O-U过程的复合期权定价方法探析[J].湖南师范大学自然科学学报，2015， 38(3):74-79．XU C C. Analysis on pricing methods of compound option when stock price obeys exponential O-U process[J].Journal of Natural Science of Hunan Normal University， 2015，38(30):74-79.(Ch)．[4] HULL J， WHITE A. Valuing derivative securities using the explicit finite difference method[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1990， 25(1):87-100．[5] 闫海峰，刘三阳. 股票价格遵循指数O-U过程的最大值期权定价[J].工程数学学报，2004(3):397-402．YAN H F，LIU S Y. 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衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）你不要把girsanov变换看得那么神秘。

我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。

所以我一再强调，即使对于数学，也要理解其物理含义。

没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。

girsanov变换，本质上就是：前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。

变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随机变量，这应很好理解）。

计算：计算出新随机变量的分布函数B。

从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。

就这么简单。

大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是girsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就是鞅。

然后对方差处理为1。

简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返回去再计算原分布下的数据。

这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。

准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。

呵呵这个名字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。

那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计算出科学关系来——这简直就是神。

其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。

金融衍生品的定价与交易策略研究近年来，金融衍生品作为一种风险管理工具广受关注。

衍生品的定价及交易策略对市场参与者来说至关重要。

在金融市场上，衍生品的定价和交易策略研究一直是热门话题。

因此本文将从何为金融衍生品定价，影响金融衍生品定价因素，及金融衍生品交易策略等方面进行较为全面的讨论。

一、何为金融衍生品定价金融衍生品定价是指根据资产价格的变动情况，利用各种利率、期权、指数、基础资产等信息来估计衍生品合约的公平价值。

相比于其他金融市场，衍生品市场的定价较为复杂。

衍生品交易中最常用的定价方法是模型法，其中最为常用的定价模型是Black-Scholes模型。

Black-Scholes模型除了可以用于期权定价，还可以用于股票指数期货和期权的定价及其他交易产品的定价。

Black-Scholes模型的核心是在为期权或期货找到一个对于该资产的合适的波动率(volatility)。

然后，利用当前股票价格、行权价、剩余期限、无风险利率以及波动率等参数，来计算出期权的公允价格。

Black-Scholes模型的存在，大大方便了人们对期权、期货等金融衍生品的交易与定价。

二、影响金融衍生品定价的因素影响金融衍生品定价的因素主要有以下几个方面：1、基础资产价格的波动率由于伪随机波动幅度的增大，资产波动率作为一个刻画资产价格波动情况的指标，会影响金融衍生品的定价。

在资产价格变动的过程中，若资产价格波动率增加，则该合同的公平价格也会随之增加。

反之，如果资产价格波动率减小，则该合同的公平价格也会随之减小。

因此，掌握基础资产价格的波动率，可以帮助交易者更准确地估计金融衍生品的公平价格。

2、利率的变化利率也是影响金融衍生品定价的重要因素。

在以利率为基础的金融衍生品合同中，如果利率上升，这意味着买方要承担更大的成本，也会导致该金融衍生品的价格下降。

反之，如果利率下降，则期权价格上升。

因此，利率的变化对于金融衍生品的合理定价有着重要影响。

前言本书出自作者在圣路易斯华盛顿大学和维也纳高等研究院给金融专业的硕士研究生和MBA研究生的授课笔记。

以前，期权和期货课程被认为是金融学的高级选修课，而现在几乎成为了所有金融专业的必修课，并且很多非金融专业的学生也来选修这些课程。

在投资学、国际金融、风险管理、投资银行、固定收益等课程中，也会遇到衍生证券的内容。

衍生证券在教学内容中的蔓延，反映出其在公司财务和投资管理中日益增加的重要性。

MBA 课程和本科课程的有关内容，大多将重点放在如何利用衍生证券进行对冲和投机上（这样做也是合适的），对许多学生来说这些内容已经足够，但对于衍生证券的销售者来说，除了解买方的需求之外，还面临定价和对冲的问题。

对衍生证券的购买者来说，掌握定价的有关知识能够在激烈竞争的证券销售市场上受益。

本书的重点是“定价和对冲”，通过学习定价和对冲的基本知识，学生对各种合约本身会有更深刻的理解。

当然，我也希望本书对实际工作者和金融工程专业的研究生具有使用价值，甚至对金融专业的博士生也有帮助。

本书关注的是无摩擦市场上衍生证券的定价和对冲，所谓“无摩擦”是指忽略交易成本（佣金、买卖价差以及交易对价格的影响）、保证金（担保）要求和任何形式的卖空限制。

无摩擦市场的定价和对冲理论来自Black、Scholes[6]和Merton[51]的工作。

这种理论以市场不存在套利机会为基础，已经发展得十分完善，成为有摩擦市场（即现实市场）上定价和对冲的基础。

不过，如果市场摩擦的影响十分显著，在很多重要的方面实际操作和理论会存在差别。

例如，如果交易者的交易对市场产生影响，或者交易者面临担保要求，无摩擦市场的套利机会就不再成为套利机会。

本书不讨论市场摩擦十分明显时如何用无摩擦市场的基础理论来指导实际操作。

本书省略掉的另一个内容是跳过程——本书只讨论二叉树模型和布朗运动模型。

本书主要用于衍生证券的高级课程，内容具有自足性，在第一章给出金融学的基本概念。

不过，本书不包括标准入门读物的内容（例如证券交易所的作用、盈亏图、套利策略等）。

数学与金融衍生品定价在金融市场中，衍生品定价是一项关键任务。

衍生品是一种金融工具，其价值来源于基础资产的变化。

了解和掌握数学定价模型对于正确评估和定价衍生品非常重要。

本文将介绍数学在金融衍生品定价中的应用和相关模型。

一、期权定价模型期权作为一种重要的衍生品，其价格是由多种因素决定的，包括标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等。

经典的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型和它的变体。

布莱克-斯科尔斯模型是一种基于假设的定价模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并且市场不存在无风险套利机会。

通过偏微分方程的求解，可以得到期权的理论价格，从而进行定价和风险管理。

二、波动率模型波动率是期权定价中的一个重要参数，反映了市场对标的资产价格的未来波动性的预期。

准确估计波动率是衍生品定价的关键。

常用的波动率模型有历史波动率模型和隐含波动率模型。

历史波动率模型基于过去的价格数据计算波动率，满足市场历史数据的特点。

隐含波动率模型基于期权市场的定价数据计算波动率，反映了市场对未来波动率的预期。

三、衍生品的风险管理在金融市场中，衍生品的定价和风险管理是密切相关的。

通过正确的定价，可以对衍生品进行合理的风险管理。

通过动态对冲策略，投资者可以在期权合约到期之前对风险进行有效管理。

动态对冲策略基于布莱克-斯科尔斯模型，通过持有标的资产和衍生品的组合来实现对冲。

根据标的资产价格的变化，动态调整对冲组合的仓位，以达到降低风险的目的。

四、数学在其他金融衍生品中的应用除了期权之外，数学在其他金融衍生品的定价中也发挥着重要作用。

例如，期货合约是一种衍生品，其价格与标的资产的现货价格之间存在着一种合理的关系。

数学模型可以帮助我们理解期货合约的价格形成机制，并进行定价和风险管理。

另外，利率衍生品和信用衍生品也是金融市场中常见的衍生品。

通过数学定价模型，我们可以对这些衍生品的价格进行合理估计，并采取相应的风险管理措施。

基于随机跳违约强度的可转换债券的定价潘坚;肖庆宪【摘要】在约化模型框架下,研究具有随机跳违约强度的可转换债券定价问题.应用风险中性定价原理建立随机跳跃幅度服从双指数跳扩散过程,股票价格服从时变扩散模型,随机利率服从Hull-White模型且两两相关的定价模型.利用鞅方法得到了此定价模型的解析解,拓展了相关文献的结论.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】9页(P159-167)【关键词】跳违约强度;Hull-White利率模型;约化模型;鞅方法;可转换债券定价【作者】潘坚;肖庆宪【作者单位】上海理工大学管理学院,上海200093;赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西赣州341000;上海理工大学管理学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】O211.63;F830.9作为重要的金融工具之一,可转换债券是一种具有期权特性的公司债券,它赋予投资者可选择将债券持有至到期日,获得本金和利息,也可以在约定的时间将债券转换成公司股票的权利.鉴于此,可转换债券在金融市场受到投资者的追捧.但是,和所有投资工具一样,可转换债券也会使投资者遭到损失.如果发行公司倒闭,那么债券的持有人就会损失投资于债券的资金,可转换债券尤其可能发生这种情况,这是因为可转换债券的地位通常低于公司的其它债券.此外,可转换债券的期限较长,利率的影响变得较为突出,因此,除了违约支付的风险外,可转换债券还存在利率风险.基于违约风险和利率风险的可转换债券的定价,是近几年国内外学者关注的热点.目前,具有违约风险和利率风险的可转债定价模型有两类:一类是基于期权定价理论的结构化模型[1],另一类是基于强度理论的约化模型[1].基于结构化模型研究可转换债券的定价始于Ingersoll[2],他把Black-Scholes的期权定价思想引入到可转换债券定价中,考虑了以公司价值为基础变量的单因素结构化模型; Brennan和Schwartz[3]对Ingersoll的单因素结构化模型进行了扩展,把利率的不确定性引入模型当中,建立了以利率和公司价值为基础变量的双因素模型.目前,以公司价值为基础变量研究可转换债券定价都是以这两个模型为基础.与结构化模型不一样的是,在约化模型中,违约被看成是一个完全不可预测的事件,违约过程用Poisson过程来描述,即第一次发生跳时公司违约.近年来,有不少学者基于约化模型研究可转换债券的定价.Takahashi等[4]在违约强度是股价反比例函数情形下研究了可转换债券的定价;Ayache等[5]在常数违约强度下,把可转换债券的价值作为一个整体研究对象,研究了带违约风险的可转换债券定价模型,此定价模型是一个耦合的偏微分方程组,没有解析解,用有限差分法考虑了数值解;Bielecki等[6]运用鞅测度方法研究了常数违约强度下博弈期权的定价和套期保值,并将其应用到可转换债券的定价和对冲中;Bielecki等[7]在文献[6]的基础上进一步研究了由标的资产股票、可转换债券和有关信用违约互换组成的基本金融市场框架下可转换债券的定价,在此框架下将可转换债券的价格转化为相应变分不等式的粘性解并给出了近似计算的收敛性证明.国内,Huang Jianbo,liu Jian和Rao Yulei[8]利用二叉树方法考虑了常数违约强度下具有利率风险和信用风险的可转换债券的定价;王伟和赵奇杰[9]考虑了常利率情形下带有违约风险的可转换债券的定价,假定市场中可转换债券的随机违约强度服从Vasicek模型,利用鞅方法得到了该模型的解析定价公式.在上述模型中,为了简化计算,违约强度假定为常数或连续的扩散随机过程.实际上,发行公司在可转换债券续存期间可能会受到国家宏观经济调控等外部政策的影响,使公司利润大幅降低,财务风险加大,导致公司出现危机或破产.在约化模型中,这些不可预见的事件可能会导致违约强度发生剧烈的变化,苏小囡和王文胜[10]在随机跳违约强度下研究了欧式期权的定价,随机跳的幅度假定服从正态分布.本文的主要工作和创新点是:基于约化模型研究具有随机跳违约强度的可转换债券定价问题,假设违约强度服从更符合实际的双指数跳扩散过程[11],并假定市场中无风险利率服从一个与标的股票相关的Hull-White模型.利用鞅方法得到可转换债券的解析定价公式,推广了相关文献的结果.最后,借助Matlab软件讨论了跳违约强度对可转换债券价值的影响.结果表明:双指数跳扩散过程下可转换债券的价值走势是下凸的,这表明跳违约强度会影响可转换债券的价值,可转换债券在债券存续期间存在一个临界点,在临界点处公司可能发生违约.下面给出建立模型所需的一些基本假设.1) 考虑一个随机的金融市场,不确定性由完备的概率空间(Ω,F,Q,(Ft)0≤t≤T)来表示,Q为风险中性鞅测度,{Ft}t≥0为公司信息流,满足自然假设,即右连续、单调递增.2) 股票的价格St服从如下时变扩散模型:3) 随机利率rt采用可以根据初始期限结构进行校准的Hull-White模型:4) 定义违约强度λt是具有跳违约强度的随机微分方程[10-11]:dλt=a3[b3(t)-λt]dt+σ3dW3(t)+5) cov[dWi(t),dWj(t)]=ρij(dt), |ρij|<1,i,j=1,2,3,且i≠j,常数ρij表示两个随机源的相关系数.此外,Nt,y与W1(t),W2(t),W3(t)相互独立.6) 在实际的可转换债券市场中,可转换债券的种类繁多.根据林海和郑振龙的研究结果[12],可转换债券在国内债券市场上一般不会被提前执行.因此,假定可转换债券的转换只发生在到期日T,即在T时刻债券持有者有权利选择是持有股票还是持有债券.如果在到期日,用债券转换股票后的价值超过债券的价值,那么债券持有者可选择转换.相反,如果在到期日,用债券转换股票后的价值不超过债券的价值,债券持有者则不选择转换.令φ(T)表示可转换债券在到期日的收益,则有7) 市场不存在套利机会、无交易费和税收,但债券存在违约风险,即当可转换债券的发行方发生违约时,在T时刻可转换债券的持有者仅收到先前承诺支付的一部分,即hφ(T),0≤h≤1,其中,h是回收率且为常数;如果可转换债券的发行方不发生违约,则债券的持有者在T时刻接受先前承诺的支付φ(T).为建立随机利率模型下具有跳违约风险的可转换债券的定价模型,引入带滤流的概率空间(Ω,G,(Gt)0≤t≤T,Q),总的域流是Gt=Ft∨Ht,其中,Ft=σ(Su,0≤u≤t)∨σ(ru,0≤u≤t)∨σ(λu,0≤u≤t)反映市场上除了公司违约信息之外的信息,而Ht=σ(I{τ≤u},0≤u≤t)反映公司的违约信息.由Jarrow和Yu有关条件概率的知识[13],可以得到:V(S,r,λ,t)=下面利用条件数学期望的平滑性[14-15]以及Bielecki和Rutkowski的结论[1]消去(6)中的违约时间τ,于是有下面利用鞅方法的测度变换计算I1和I2.引理ds是标准正态分布的累积分布函数.证明由于利率是随机的,引入远期鞅测度QT,即定义关于QT的Radon-Nikodym 导数:是QT的标准布朗运动.I11+I12.下面计算,由Ito公式,(1)和(8),可以得到记X(t,T)=EQT(ST),于是由(11)可以得到.为了计算引进新的Radon-Nikodym导数:根据Girsanov定理,可以得到同样由标准正态分布的性质:在概率测度下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:引理,证明为了从I2中分离随机项,引入鞅测度Qλ,即定义如下Radon-Nikodym导数: 由Ito公式,(3)和(8),可以得到φ由(18)和(19)可以得到是3个标准的布朗运动且j.因此,根据Bayes法则,I2在鞅测度Qλ下为:下面计算,由Ito公式,(1)和(8),可以得到:此外,由标准正态分布的性质:在概率测度Qλ下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:E[logST]=logSt-logB(t,T)-,为了计算,引进新的Radon-Nikodym导数:根据Girsanov定理,可以得到由标准正态分布的性质:在概率测度QS下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:E[logST]=logSt-logB(t,T)+,由引理1和引理2,可以得到如下定理1,定理1Hull-White利率模型下具有随机跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为: φ1(t,T)N(d3)+由定理1,可以得到常利率下具有违约风险的可转换债券在t时刻的值,只需在定理中令a2=0,b2=0,σ2=0,ρ12=ρ23=0,于是有推论1常利率下具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为:,在推论1中如果令η=0,可以得到常利率下不具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值,即推论2常利率下不具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为:推论2中的参数见推论1.为了评价模型的性能,下面将利用数值化的方法来凸显跳违约强度(双指数跳扩散过程)和随机利率对可转换债券价值的影响.基本参数如下表1.下面利用Matlab软件编程分别计算了不同跳强度,不同跳跃幅度(包括向上和向下)和不同跳跃概率下的可转换债券的价值,如表2～表4所示.从表2～表4可以看出: 1)双指数跳扩散过程下可转换债券的期限结构都是先减后增,这表明在可转换债券的续存期限内存在拐点,可转换债券在对应的拐点上可能违约; 2)跳强度η=0表示违约过程是连续过程,即违约风险没有跳风险,此时的定价公式(28)是Hull-White利率模型下不具有跳违约风险的可转换债券的定价公式.随着跳强度η的增大,基本参数下同期可转换债券的价值变的更高,其金融意义是跳强度的增大意味着可转换债券极有可能发生违约; 3)同期可转换债券的价值随着向上(或下)跳跃幅度(跳跃概率)的增大而增加(或减少),其金融意义也是显然的,即向上跳跃幅度(跳跃概率)的增大,表明可转换债券发行方发生违约的可能性在增加,是对投资者愿意承担风险的一种补偿,反之则相反.下面同时考虑随机利率和跳风险对可转换债券价值的影响,利用Matlab软件,得到了3种情形下可转换债券的期限结构关系图.从图1可以看到: 1)双指数跳扩散过程下可转换债券的价值走势是下凸的,这意味着随着时间的推移,可转换债券存在拐点,在拐点处可能发生违约; 2)常利率情形下不具有跳违约风险的可转换债券价值的期限结构随时间的临近到期而增大,这是因为随着可转换债券的到期,由于票面利率的原因,持有债券的投资者能得到更多的利息.此外,由于可转换债券兼具了期权的性质,可转换债券所隐含的期权的价值也在逐渐增加; 3)具有随机跳违约风险和利率风险下可转换债券的价值高于常数利率且不具有跳风险情形下可转换债券的价值,主要是跳风险提升了可转换债券的价值,也是对投资者承担跳风险和利率风险的一种补偿.利率风险和违约风险是可转换债券定价中不可忽视的风险,但在现有的可转换债券定价模型中很少一起涉及,特别是涉及跳违约风险,大都是涉及转换条款.在宏观经济中,利率应该是随机的,利率的升高会导致公司融资成本的提高进而影响公司的经营,导致公司违约率的上升.本文在约化模型框架下考虑了具有随机跳违约风险和利率风险的可转换债券的定价,综合利用风险中性定价原理和测度变换方法得到了可转换债券的解析定价公式,推广了相关文献的结果.基于合理的可转换债券定价,公司可转换债券的发行,投资者投资组合的优化和风险规避才更为切实可行.因此,本文的研究结果对可转换债券的定价具有重要的参考价值.。

第五章二项树定价模型这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型，这一模型为理解衍生证券的定价和套期保值提供了简单但有力的饿方法。

至今为止，有三种不同的期权定价模型。

第一种模型是Black和Scholes（1973）建立的。

在市场无摩擦、存在可连续交易的假设下，由持有股票的多头头寸，和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸，形成一个无风险的套期保值证券组合。

这种思路是解决期权定价问题的关键。

第二种模型是从Harrison和Kreps（1979）开始的。

在市场无摩擦和完备的假设下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度，市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。

第三种是比较直观的模型。

这种模型采用二项分布，是由Cox，Ross和Rubinstern（1979），Rendleman和Bartter （1979）独立得到的。

前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数学工具。

除了容易理解外，第三种模型——二项树定价模型。

不仅为欧式看涨期权提供闭形式的解，而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时，这种方法也能提供解。

所以，我们先在这一章里介绍第三种模型——二项树定价模型。

该模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展。

尽管最初提出二项树定价模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。

关于后两种模型，我们在以后的章节中讨论。

在应用二项树定价模型时，最重要的是合成构造（synthetic construction）或者套期保值(hedging) 的概念。

为了给看涨期权定价，利用股票和债券去复制期权的值。

这个证券组合称为合成看涨期权。

由无套利原理，这个证券组合的成本等于期权的价格。

合成构造的程序不仅给出了期权的定价方式，也给出了套期保值的方法。