计算方法引论课后答案

《计算方法引论》-徐翠微主编2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h第二章插值法知识点:拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。

实际问题中，时常不能给出f(x)的解析表达式或f(x)解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f(x)的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)。

因之，考虑近似方法成为自然之选。

定义:设f(x)为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn为[a，b]上的互异点，yi=f(xi)。

若存在一个简单函数,(x)，满足(插值条件),(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n。

则称 ,(x)为f(x)插值函数，f(x)为被插函数,点x0,x1,…,xn为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n为插值点。

于是计算f(x)的问题就转换为计算 ,(x)。

构造插值函数需要解决:插值函数是否存在唯一;插值函数如何构造(L插值);插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。

对插值函数 ,(x)类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。

P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式p(x)。

但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多n项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。

p(x)?f(x) n插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日(Lagrange)、牛顿(Newton)等分别给出了不同的解决方法。

拉格朗日插值拉格朗日(Lagrange)插值的基本思想:把插值多项式p(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数l(x)(i=0,1,…,n)的ni构造。

(1)线性插值?构造插值函数已知函数y=f(x)的两个插值点(x,y)，(x,y)，构造多项式y=p(x)，使p(x)=y,p(x)=y。

001111001111 《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版第二章Lagrange插值法2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为, y y 1 0 , , , y y ，， x x p ( x ) + 0 0 1 , x x 1 0变形为 x-x0 x-x1 y 1, ， p(x) y 10 x1-x0 x0-x1记 x-x0 x-x1 , l(x) , l(x) 10 x1-x0 x0-x1则p(x)=l(x)y+l(x)y10011插值完毕～注意性质:l(x)=l(x)=1，l(x)=l(x)=0，p(x)=y，p(x)=y。

第二章数值分析4^92.1 已知多项式通过下列点:1 3答案：q(x) = p(x) -r(x) X5X4X3-3X 1 .2 22.2观测得到二次多项式2的值：表中p2(x)的某一个函数值有错误，试找出并校正它.答案：函数值表中p2(-1)错误，应有p2(-1) = 0 .2.3利用差分的性质证明12■ 22■川，n2=n(n ■ 1)(2n ■ 1)/6.2.4当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[-1,1]近似函数e x时，使用多少个节点能够保证误差不超过丄10-6.2答案：需要143个插值节点.2.5 设被插值函数f (x) • C4[a,b] , H3h)(x)是f (x)关于等距节点b — aa ^Xo :::捲：：：川：::x n=b的分段三次艾尔米特插值多项式，步长h .试估计n ||f(x)-H3h)(x)||：：.答案：||住)-出5)仪川：乞令人4.384第三章函数逼近3.1求f(x)二sinx,x，[0,0.1]在空间门=span{1,x, x2}上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差.答案：f (x) =sin X的二次最佳平方逼近多项式为sin x p2(x) = -0.832 440 7 105 1.000 999 1x - 0.024 985 1x2,二次最佳平方逼近的平方误差为20.12 12■ = 0 (sinx) - P 2(x))2dx =0.989 310 7 10•3.2确定参数a,b 和c ,使得积分1 ---------------------------2 1 I (a,b,c)[ax 2 bx c -1 -x 2]dx 取最小值.J 1 — x 2810答案：a, b = 0, c =3 二3 二3.3 求多项式f (x) =2x 4 x 3 5x 2 1在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多项式p(x)-答案：f (x)的最佳一致逼近多项式为p(x) = X ’ 7x2 3.43.4用幕级数缩合方法，求 f(x)=e x (―1兰XW1)上的3次近似多项式 p 6,3(x)，并估计 || f(X )-P 6,3(X )II ：：.答案：p5,3(x) =0.994 574 65 + 0.997 395 83x+0.542 968 75x 2 十 0.177 083 33x 3, || f (x) - p 6,3 (x) |^<0.006 572 327 71 一3.5 求f (x) -e x ( -1乞x 乞1)上的关于权函数「(X )-的三次最佳平方逼近小-x 2多项式 Q(x)，并估计误差 || f(x)-$(x)||2 和 || f(x)-S 3(x) ||：：.答案：§3(x) =0.994 571 0.997 308x 0.542 991x 20.177 347x 3,|| f (x) -S 3(x) ||2 = 0.006 894 83, || f (x) - §3(x)||严 0.006 442 575.第四章数值积分与数值微分14.1用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分 X n dx (n -1,2,3,4)，并与精确值比较.答案：计算结果如下表所示I 2 0. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 208 333 I 30. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 200 000 精确值0. 50. 333 3330. 250 0000. 200 0004.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度.h(])仁 f (x)dx 止 A_i f (-h) + A f (0) + A f (h)11 (2)J(x)dx： 3【f(-1) 2f(X i ) 3f(X 2)]hh2⑴ of(x)dxVf(O) f(h)「h[f g f(h)]答案：(1)具有三次代数精确度 (2)具有二次代数精确度 (3)具有三次代数精确度. 4.3 设h = % - X 0，确定求积公式r (x - x o ) f (x)dx = h 1 2[ Af (x o ) + Bf (x i )] + h 3[C 「(x o ) + Df^)] + R[ f ]xo中的待定参数 A, B,C, D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式.37 1 if 4)(叮)6答案：A = —, B— ,C —, D — , R[f]=— _) h ，其中 (x o ,xi).202030 20 14404.4设P 2(x)是以0,h,2h 为插值点的f(x)的二次插值多项式，用F 2(x)导出计算积分3h3 4 5If (x)dx 的数值积分公式I h ，并用台劳展开法证明：I - l h h f (0) O(h ).力83h3答案：I h P 2(x)dx h[ f(0) 3f (2h)].0 4(3)取7个节点处的函数值.1sin x4.6用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分Idx .要x1o 1«求用事后误差估计法时，截断误不超过10和 10 .1(1) 运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过丄10」. 2(2) 取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？(3) 要求的截断误差不超过10“ ,若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值? 答案：(1)只需n — 7.5，取9个节点，I : 0.9464.5 给定积分I 二1sin xdx|R n [f]耳一孟宀皿盂日中0.271估2 2答案：使用复化梯形公式时，I T^ 0.946满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，I s4 =0.946 083满足精度要求.4.7 ( 1 )利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式1 323 1 3>5.2用矩阵的直接三角分解法解方程组 广1 0 2 0、「5、0 10 1 X 2312 4 3X 3仃10 1 0 3丿 g<7；答案： &=2 , x 3 = 2 , x 2 = 1, X| = 1 .ba f(x)dx 二 其中余项为b —a(b 「a)2[f(a)f(b)] — ' 丿[f (b)-f (a)] R[f]， 2 12R[f]=U 54!30 f ( 4()),(a,b).其中(2)利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式h 2 f(x)dx :T^—[ f (X N ) - f (x 。

5.1 证明EQ CFG 是不可判定的。

解：只须证明ALL CFG ≤m EQ CFG 即可。

构造CFG G 1，使L(G 1)=∑*。

设计从ALL CFG 到EQ CFG 的归约函数如下： F=“对于输入＜G ＞，其中G 是CFG ：1）输出＜G ,G 1＞。

”若＜G ＞ALL CFG ，则<G ,G 1>EQ CFG 。

若＜G ＞ALL CFG ，则<G , G 1>EQ CFG 。

F 将ALL CFG 归约到EQ CFG 即ALL CFG ≤m EQ CFG∵ALL CFG 是不可判定的，∴EQ CFG 是不可判定的。

5.2证明EQ CFG 是补图灵可识别的。

证明：注意到A CFG ={<G,w>|G 是能派生串w 的CFG}是可判定的。

构造如下TM ： F=“输入<G ,H>，其中G ,H 是CFG ，1) 对于字符串S 1, S 2,，重复如下步骤。

2) 检测S i 是否可以由G 和H 派生。

3) 若G 和H 中有一个能派生w ，而另一个不能，则接受。

”F 识别EQ CFG 的补。

5.3 略。

5.4 如果A m B 且B 是正则语言，这是否蕴涵着A 也是正则语言？为什么？ 解：否。

例如：对非正则语言A={0n 1n |n 0}和正则语言B={0}，可以构造一个可计算函数f 使得：f(w)=⎩⎨⎧≠=n n nn 10w 1,10w 0, 于是w A f(w)B,故A m B 。

5.5 证明A TM 不可映射规约到E TM 。

证明：反证法假设A TM m E TM ， 则有TM m TM E A ≤。

而A TM 的补不是图灵可识别的，从而可知E TM 的补也不是图灵可识别的。

下面构造一个识别E TM 的补的图灵机S ：S=“输入<M>，M 是TM,1) 对i=1,2,…重复下一步。

2) 对S 1,S 2,…,S i 模拟M 运行i 步，若有接受，则接受。

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.10-的近似值是多少？1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,解精确到3故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6931.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字=2，相对误差限（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字=2，相对误差限 =0.0025(3)∵ 9000=0.9000×104, m=4，m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字＝0.000056(4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4，m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到的近似值是多少？解精确到＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2»0.6932.1 用二分法求方程在[1, 2]的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？解：给定误差限e＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝10.2.3 证明方程1 -x–sin x＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f¢(x)=-1－c os x<0 (xÎ[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限e＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为只要取k满足即可，亦即只要取n＝14.。

计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。

在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。

这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。

2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。

4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。

5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。

begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。

第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中我们取前9项的乘积作为π的近似值,得这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限.解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==. 11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n nx nx x n xn x x xα-===. 12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立y =的二次插值多项式,并用,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建立二次Lagrange 插值函数可得:()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以利用前两个节点建立线性插值函数可得:()111510.7143L ≈=.利用后两个节点建立线性插值可得:()111510.7391L ≈=.利用前后两个节点建立线性插值可得:()111510.6818L ≈=.与,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有 证明 证明: 由于且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510-,问函数表的步长最大能取多少?解: 记插值函数为p(x),则所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ=--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝⎭,所以有 所以0.0538h ≤.5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:牛顿插值: 首先计算差商也可以利用等距节点构造,首先计算差分 可得前插公式 和后插公式6. 确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====. 解: 利用重节点计算差商则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件: 解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n ij ij n i j j ijj h x h x h x h x δδ''====则可由已知条件,可得()()()()2,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;()()()2,,n i i n i h x x x l x '=-.所以可得8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件: 解: 计算重节点的差商马上可得9. 过给定数组(1) 作一分段线性插值函数.(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:其中, ()[][]076 75,76;0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩()[][][]175 75,7677 76,77;0 75,77.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩ (2)把已知节点值带入M 关系式可得: 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x =时,()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ⎛⎫=-+-+--= ⎪⎝⎭当78.3x =时,()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I ll =+=;10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274≈;利用Lagrange 插值计算sin 得sin1.56950.99999917500000≈;利用Lagrange 插值计算cos 得cos1.56950.00129630000000≈;最后利用sin/cos 计算tan 得tan1.5695771.4257309264500≈.出现小除数,误差被放大.11. 求三次样条函数()s x ,已知和边界条件解: 把表中数据带入M 关系式可得由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得:带入M 表达式便可得所求三次样条函数.12. 称n 阶方阵()ij A a =具有严格对角优势,若 (1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为令指标0i 使得00i x x∞=≠,则因此0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫⎪-≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 即000010ni i i j j j i a a =≠-≤∑上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。

第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。

解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。

由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。

由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。

2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。

分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解 利用有效数字与相对误差的关系。

这里n=2,a 1是1到9之间的数字。

%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。

解 a 1是1到9间的数字。

1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。

4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。

分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。

411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。

计算⽅法-刘师少版课后习题答案1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*?≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到⼩数点后第2位. ⼜近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.⽽近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10?50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五⼊得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有⼏位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=??=??=---n r x ε（2）∵－0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000?<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字相对误差限为6110921-??=rε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到⼩数点之后的0，不是可有可⽆的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故⾄少要保留⼩数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 ⽤⼆分法求⽅程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-?⾄少要⼆分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明⽅程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有⼀个根，使⽤⼆分法求误差不超过0.5×10-4的根要⼆分多少次？证明令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.⼜ f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯⼀实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 ⽅程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把⽅程写成四种不同的等价形式，并建⽴相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+（3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取⼀种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。

如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。

k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。

计算方法引论徐萃薇课后题答案徐萃薇(Xu Cuiwei)教授向学生们提出了一个有关计算方法的练习题，这里是课后习题的答案：题目一：定义“计算方法”计算方法是一种数值解决问题的方法，用计算机或者类比设备来完成一系列计算过程，以解决由某一特定问题及其变体而产生的一系列更复杂问题。

它是一种能用有限的资源（如时间、空间、技术等）产生正确结果的计算机程序，他可以安排合理的步骤，使用易于操作的方法来解决指定的问题。

题目二：分析计算方法的优缺点优点：1. 计算方法基于数理模型的明确理论，可以更好地解决问题；2. 相较于其他方法，它使用更简单的计算机程序来实现更复杂的功能；3. 它可以把不容易解决的问题转变为容易解决的形式，这将有助于系统更好地管理和管理空间。

缺点：1. 计算方法有一定的局限性，不一定适用于所有的情景；2. 数学建模常常非常耗时，而且可能有很多假设和过程；3. 数学建模的结果可能有很多偏差，可能不切实际。

题目三：对于复杂问题，需要用到哪些计算方法对于复杂问题，可以用到多种方法来解决，如：1. 动态规划法(DP)：动态规划法可以用来解决最优化问题，如旅行商问题、背包问题等。

2. 概率法：概率法可以跨越归纳和演绎，在可预期结果和把握风险方面有很大的优势。

3. 机器学习：机器学习可以帮助系统自动从数据中获取规律，从而有效地解决规模复杂的问题。

4. 启发式搜索：启发式搜索可以有效地模拟人类的求解思考方法，通过把问题分解为子问题，再变换为其他问题求解的方法，可以有效解决复杂的问题。

5. 分支定界法：分支定界法是一种能获得全局最优解的解决复杂问题的方法，它被广泛应用于思维密集型最优化问题。

总而言之，复杂问题可以用多种计算方法来解决。

正确使用和选择合适的方法是关键，从而能够获得更好的结果。