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计算方法引论第三版课程设计
介绍
计算方法引论是计算机科学与技术专业中一门重要的课程。
本门课程主要讲述了计算方法的基本概念、计算误差和数字稳定性、线性方程组的解法、插值与逼近、数值积分、常微分方程数值解等内容。
本次课程设计主要围绕数值积分和常微分方程数值解展开，通过实践操作加深学生对课程内容的理解和掌握。
题目描述
设计一个科学计算工具，能够进行常用的数值积分和常微分方程数值解计算。
具体要求如下：
数值积分
1.实现复合梯形法、复合辛普森法和复合 Gauss-Legendre 积
分的算法；
2.给定被积分函数f(x)，计算积分 $\\int_a^b f(x) dx$ 的近似
值。
至少测试以下积分：
–$\\int_0^{\\pi} \\sin(x) dx$
–$\\int_0^1 e^{-x^2} dx$
常微分方程数值解
1.实现常微分方程初值问题的三种数值解法：欧拉法、改进
欧拉法和四阶龙格库塔法；。
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
《计算方法引论》-徐翠微主编2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h第二章插值法知识点:拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。
实际问题中，时常不能给出f(x)的解析表达式或f(x)解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f(x)的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)。
因之，考虑近似方法成为自然之选。
定义:设f(x)为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn为[a，b]上的互异点，yi=f(xi)。
若存在一个简单函数,(x)，满足(插值条件),(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n。
则称 ,(x)为f(x)插值函数，f(x)为被插函数,点x0,x1,…,xn为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n为插值点。
于是计算f(x)的问题就转换为计算 ,(x)。
构造插值函数需要解决:插值函数是否存在唯一;插值函数如何构造(L插值);插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。
对插值函数 ,(x)类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。
P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式p(x)。
但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多n项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。
p(x)?f(x) n插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日(Lagrange)、牛顿(Newton)等分别给出了不同的解决方法。
拉格朗日插值拉格朗日(Lagrange)插值的基本思想:把插值多项式p(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数l(x)(i=0,1,…,n)的ni构造。
(1)线性插值?构造插值函数已知函数y=f(x)的两个插值点(x,y)，(x,y)，构造多项式y=p(x)，使p(x)=y,p(x)=y。
001111001111 《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版第二章Lagrange插值法2009 ~ 2010学年第一学期计算方法教案计0701-0703 4h由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为, y y 1 0 , , , y y ，， x x p ( x ) + 0 0 1 , x x 1 0变形为 x-x0 x-x1 y 1, ， p(x) y 10 x1-x0 x0-x1记 x-x0 x-x1 , l(x) , l(x) 10 x1-x0 x0-x1则p(x)=l(x)y+l(x)y10011插值完毕～注意性质:l(x)=l(x)=1，l(x)=l(x)=0，p(x)=y，p(x)=y。
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
算学学习法
算学学习法-中华文库初中第一集-余介石-孙克定-中华书局
第一章绪论4（1）算学的重要(完整目录见顶部图片)4（2）算学没有假的6（3）学习算学并非苦事也非(完整目录见顶部图片)）所谓“天性不近算学”9（5）初等算学的两大类—代数和几何11第二章算术和代政的学习法13（6）不要见了数字害怕13（7）演算时首先要认清题目15（8）注意题目的特殊条件17（9(完整目录见顶部图片)伸和变化18（10）练习心算和记忆数字20（11）关于单位的运算23（12）六种基本运算法则25（13）数的系统27（14）代数是普遍化的算术30（15）注意各种运算的特殊性32（16）不要忽视了图解法35第三章几何和三角的学习法37（17）几何定理是否需要记忆37（18）几何定理的归类39（19）几何的证题通法44（20）几何定理与形式逻辑47（21）三角的实用性50（22(完整目录见顶部图片)记忆图51（20）怎样证明三角恒等式55（24）对数的应用58第四章结论61（25）算学各部门的相互连系61（26）算学与艺术63（27）算学游戏65（28）随时随地想出算学问题69（29）学会算学的方法养成推理的习惯70。
计算方法引论：微分方程数值解法▪常微分方程初值问题的数值解法▪双曲型方程的差分解法▪抛物型方程的差分解法▪橢圆型方程的差分解法▪有限元方法第十三章抛物型方程差分解法•初值问题和初边值混合问题•微分方程的差分近似•边界条件的差分近似•几种常用的差分格式•差分格式的稳定性•二维热传导方程的交替方向法热传导方程定解问题•热传导方程•初值问题•初边值问题–u (x ,0)=ϕ(x ), 0≤x ≤1 –Ⅰu (0,t )=g 1(t ), Ⅲu (1,t )=g 2(t ), 220, 0, 0<u u Lu b b t T t x ∂∂=-=>≤∂∂(,0)(), u x x x ϕ=<+∞110221()() 0()()x x u t u g t x t T u t u g t x λλ==⎧∂⎛⎫-=⎪ ⎪∂⎝⎭⎪≤≤⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩一些数值微分公式•一阶差商•二阶差商1(,)(,1)(,)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t ττ∂+-''=-∂2(,)(,)(,1)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t ττ∂--''=+∂23(,)(,1)(,1)(,)26ttt k j u u k j u k j u k t t ττ∂+--''=-∂22(4)22(,)(1,)2(,)(1,)(,)12xxxx k j u u k j u k j u k j h u x j x h∂+-+-=-∂微分方程的差分近似•差商代微商h =1/N•近似解满足差分方程–形式1–形式2 s =τ/h 2•截断误差,2(,1)(,)(1,)2(,)(1,)0h u k j u k j u k j u k j u k j b R h ττ+-+-+---=2(4)2,1(,)(,)()212h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+ 022,1,,1,1,=+----++hu u u b u u j k j k j k jk j k τ2(4)2,1(,)(,)()212h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+,1,1,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u ++-=+-+•差分近似二•差分近似三22,1,,11,,=+----+-h u u u b u u j k j k j k j k j k τ0222,1,,11,1,=+----+-+h u u u b u u j k j k j k j k j k τ,,11,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u -+-=+-+2(4)2,2 (,)(,)()212h tt xxxx bh R u k t u x j O h τττ''=--=+,1,11,,1,2(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u +-+-=+-+22(4)22,3 (,)(,)()612httt xxxx bh R u k t u x j O h τττ'''=-=+•差分近似四022221,11,1,121,11,1,1,1,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-------++-++++h u u u h u u u b u u j k j k j k j k j k j k j k j k τ,1,1,1,11,11,,1,(2)(2)22k j k j k j k j k j k j k j k j bs bs u u u u u u u u ++++-++-=+-++-+22222(4)(4)(4)(4),1222(,1)(,)(,)(,) (,)2424161624 =(+)h xxxx xxxx xxtt xxtt ttt h h R b u x j u x j u k u k u k t O h ττττηητ⎛⎫''=-+++++ ⎪⎝⎭边界用数值微分公式•一阶差商•一阶中心差商(0,)(,)(0,) (,)2xx t u u h t u t h u x t x h ∂-''=-∂1(1,)(,)(,) (,)2N N xx t u x t u x t u h u x t x h --∂'=+∂201(0,)21(1,)(,)(,) (,)24(,)(,) (,)24xxx t N N xxx t u x t u x t u h u x t x h u x t u x t u h u x t x h --⎧-∂'''=-⎪∂⎪⎨-∂⎪'''=-⎪∂⎩第三类边界条件的差分近似•近似一R h =O (h )•近似二R h =O (h 2)1,0,1,0,1,,1,2,,2,j j j j j N j N j j N j j u u u g h u u u g h λλ--⎧-=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩0,1,0,1,1,1,,1,,1,2,2,j j j j j j N j N j N j N j j j u u u u g h h u u u u g h h λλ-----+⎧-=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩显式格式•差分方程•R τ,h =O (τ+h 2)•矩阵形式,1,1,,1,,00,1,2(2) =1,2,,1, 0,1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ++-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩10 0,1,2,,1j j j T j τ+⎧⎡⎤=+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩u Au f u ϕ12 0 0 0 12 0 0 0 0 0 12bs bs bs bs bs bs bs -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A T 1,2,1,T 12T (,,,)((),0,,0,())((),(2),,((1)))j j j N j j u u u bsg j bsg j h h N h ττϕϕϕ-===-u f ϕ隐式格式•差分方程•R τ,h =O (τ+h 2)•矩阵形式,,11,,1,,00,1,2(2) 1,2,,1, 1,2,,() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ-+-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪=-=⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩10 1,2,,j j j T j τ-⎧⎡⎤=+=⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩Bu u f u ϕ12 0 0 0 12 0 0 0 0 0 12bs bs bs bs bs bs bs +-⎛⎫ ⎪-+- ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭BRichardson 格式•差分方程•R τ,h =O (τ2+h 2)•矩阵形式,1,11,,1,,00,1,22(2) 1,2,,1, 1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,1,2,,k j k j k j k j k j k j N j u u bs u u u T k N j u kh k N T u g j u g j j τϕτττ+-+-=+-+⎧⎪⎡⎤⎪=-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤⎪===⎢⎥⎪⎣⎦⎩11012 1,2,,1j j j j T j τ+-⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦=u Cu u f u u ϕ2 1 0 0 01 2 1 0 02 0 0 0 1 2bs -⎛⎫ ⎪-- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭C菱形格式•差分方程•Rτ,h=O(τ2+h2)•矩阵形式,1,11,,1,11,,00,1,22()1,2,,1,1,2,,1() 1,2,,1(),() 0,1,2,, k j k j k j k j k j k jkj N ju u bs u u u uTk N ju kh k NT u g j u g j jτϕτττ+-++--=+--+⎧⎪⎡⎤⎪=-=-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎨==-⎪⎪⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎩⎪⎪111(12)(12)2j j j jbs bs+-+=+-+=u Du u fuuϕ0 1 0 0 0 01 0 1 0 0 020 1 0 1 0 00 0 0 0bs=D1 0⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭六点格式•差分方程•R τ,h=O (τ2+h 2)•矩阵形式,1,1,1,11,11,,1,,00,1,2(2)(2)22 1,2,,1, 0,1,2,,1() 1,2,,1(), () 0,k j k j k j k j k j k j k j k j k j N j bs bs u u u u u u u u T k N j u kh k N u g j u g j j τϕττ++++-++-=+-++-+⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦==-===1,2,,T τ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎩110()() 0,1,2,,1j j j j T j τ++⎧⎡⎤+=+++=-⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=⎩I B u I A u f f u ϕ增长因子与矩阵H 的特征值•误差方程–假定边界值的计算是精确的，在初始层引入误差εk 0.则以后计算的结果中误差εkj 满足对应的齐次方程–取代入误差方程可锝λn .例如显式格式•实际上λp 就是逐层误差的增长因子也是H =A 的特征值N n bs N n bs Nn k N kn N n k bs N kn N kn n j n j n j n j n j n2sin 41)cos 1(21))1(sin sin 2)1(sin (sin sin 21ππλπλπλπλπλπλ-=--==-+-++=+N kn j n kj πλεsin =几种差分格式的稳定性•显式格式–增长因子: –稳定的充要条件bs≤1/2•隐式格式–增长因子:–无条件稳定•Richardson 格式–增长因子:–完全不稳定max│λk ,2│≥1+2bs ≥1(ρ(H )≥1+2bs )214sin , 1,2,,12k k bs k N N λπ=-=-12114sin , 1,2,,12kk bs k N N μ-π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭2224,12224,24sin 16sin 1224sin 16sin 122k k k k bs b s N N k k bs b s N N λλ⎧ππ=-++⎪⎪⎨ππ⎪=--+⎪⎩几种差分格式的稳定性(续) •菱形格式–增长因子:–无条件稳定•六点格式–增长因子:–无条件稳定2212sin2,1,2,,112sin2kbsN k NkbsNπ-=-π+2221 ,12221 ,22cos14sin(12)2cos14sin(12) kkk kbs b s bsN Nk kbs b s bsN Nλλ--⎧⎛⎫ππ=+-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫ππ⎪=--+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩稳定性定义•差分格式统一表示(13.37)–例如显式格式H =A.•误差方程εj =H εj -1 , εj =H j ε0 ε0为初始误差•定义若εj 在一定范数下满足则称差分格式是稳定的，其中c 是与h ,τ无关的常数10j j j -=+⎧⎪⎨=⎪⎩u Hu f u ϕ0, 1j c j ≤≥εε判稳条件•定理–差分格式(13.37)稳定的充分必要条件是存在与h ,τ无关的常数c ，使得对任何j (0< j ≤T /τ)有•定理–差分格式(13.37)稳定的必要条件是这等价于H 是正规矩阵时它们也是充分条件j c≤H ()1()O ρτ≤+H ()(), 0j j T c j ρρτ=≤<≤H H几种差分格式的H 矩阵•隐式格式H =B –1•Richardson 格式(化为二层格式)•菱形格式(化为二层格式)•六点格式H =(I +B )–1(I +A ) ⎛⎫= ⎪⎝⎭C I H I O 12 1212 bs bs bs -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭D I H I O二维问题•二维热传导方程初边值问题–求在区域G ：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤t ≤T 内满足方程和边界条件的函数u (x , y , t ).22221212 01, 01, 0(,,0)(,) 01, 01(0,,)(,)01, 0(1,,)(,) (,0,)(,)01, 0(,1,)(,)u u ux y t T t x y u x y f x y x y u y t y t y t Tu y t y t u x t x t x t T u x t x t ψψϕϕ⎧∂∂∂=+<<<<<<⎪∂∂∂⎪⎪=≤≤≤≤⎪=⎨≤≤≤≤⎪=⎪⎪=≤≤≤≤⎪=⎩二维问题交替方向法•差分格式–一维差分格式原则上可推广应用,但不经济–多用局部一维的隐式格式–P-R –D-R11112222,,1,,1,,1,,122111112,,,1,,1,1,,12222()()22()()j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k j j j j j j j j i ki k i k i k i k i k i k i k u u u u u u u u t x y u u u u u u u u t y y +++++-+-++++++-+-⎧--+-+⎪=+⎪∆∆∆⎪⎨⎪--+-+⎪=-⎪∆∆∆⎩212212121222,,1,,1,,1,,1222221212121222222,,1,,1,,1,,12222()()22()()j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k j j j j j j j j i k i k i k i k i k i k i k i k u u u u u u u u t x y u u u u u u u u t x y +++++-+-+++++++++-+-⎧--+-+=+⎪∆∆∆⎪⎨--+-+⎪=+⎪∆∆∆⎩交替方向法稳定性•增长因子–P-R–D-R•稳定性–二格式恒稳定22212222122214sin 14sin 2214sin 14sin22k t k t M y N x G k k t t N M x yπ∆π∆--∆∆=ππ∆∆++∆∆⋅221212222212116 sin sin22,,14 sin 14 sin 22n m s s t t N M G s s n m x y s s N M ππ+∆∆===ππ⎛⎫⎛⎫∆∆++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭稳定性与收敛性•适定性–微分方程问题是适定的,如果解存在、唯一、连续依赖于数据.•差分格式的相容性Rτ,h , R h→0 (τ, h→0)•收敛性u k,j-u(x k, y j) →0 (τ, h→0)•Lax等价定理适定初边值问题的相容的差分格式是收敛的当且仅当它是稳定的.。
