高二数学 7.2 直线的方程同步辅导教材

7.2 直线的方程一、本讲进度 7.2 直线的方程课本第38页至第44页二、本讲主要内容 直线普通方程的五种形式 三、学习指导1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。

由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。

两点式归根到底又由点斜式确定。

同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。

使用范围及注意事项：（1）在选用点斜式y-y 0=k(x-x 0)（将k 作为待定参数）时，应讨论直线斜率k 不存在的情形，此时直线方程为x=x 0。

斜截式y=kx+b 作为点斜式的特例，也有类似问题。

点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。

（2）两点式是最不常用的一种形式。

教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。

也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线上任取一点P(x ，y)（异于P 1、P 2点），由P 1、P 2、P 三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到：211211y y y y x x x x --=-- …………①或借助于斜率概念，有211P P PP k k =（或12PP PP k k =等），则： 121211x x y y x x y y --=-- …………②方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。

不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x 1(x=x 2)及直线y=y 1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。

若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x 1)(y 1-y 2)=(y-y 1)(x 1-x 2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。

截距式是两点式特例。

当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。

若截距不为零，直线方程形式为x+y=a （a ≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx （k ≠0），此时直线必过原点。

（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A 2+B 2≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。

正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为Ax+By+C=0”简说成“直线Ax+By+C=0”。

应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。

一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。

2、求直线方程，一般用待定系数法。

首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。

3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。

实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。

四、典型例题例1、等腰△ABC 的顶点A （-1，2），AC 边所在直线斜率为3，点B 坐标为（-3，2），求AC 、BC及∠A 平分线所在直线方程。

解题思路分析：首先正确画出示意图，可以发现点C 有两种可能，应分情况求解。

AC 边所在直线方程：y-2=3 (x+1)，即3x-y+2+3=0。

当点C 为点C 1时 ∵ AB ∥x 轴∴ ∠BAC 2=3π，∠BAC 1=π32又 |AB|=|AC 1| ∴ ∠ABC 1=∠AC 1B=6π ∴ 直线BC 方程：y-2=33(x+3) 即3x-3y+6+33=0∵ ∠A 平分线与线段AB 夹角为3π ∴ ∠A 平分线与x 轴正方向形成的角为π32 ∴ ∠A 平分线方程：y-2=-3(x+1) 即3x+y-2+3=0当点C 为点C 2时，△ABC 2为正三角形，BC 2倾斜角为π32，∠A 平分线倾斜角为6π，可求得BC 边所在直线方程为3x+y-2+33=0，∠A 平分线方程为3x-3y+6+3=0。

注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|=21|C 1C 2|，故△C 1BC 2是以B 为顶点的直角三角形。

由AB ∥x 轴得∠BAC 2=3π。

∴△ABC 2为正三角形，∠ABC 1=6π，即为直线BC 1倾斜角。

下求有关直线方程亦相当简单。

在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由BC 1⊥BC 2，求出1BC k 后，立即可以求2BC k ；两种情况下的角A 平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A 平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角A 平分线斜率。

例2、过点P （2，1）作直线分别交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求出△AOB 面积最小时直线的方程。

解题思路分析：从条件分析，因涉及到过定点P ，故可选用点斜式，将斜率k 作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。

从结论分析，这是一个最值问题。

应将△AOB 面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。

思路一：直线的斜率显然存在，设直线：y-1=k(x-2)，由直线的几何位置可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。

由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）△AOB 面积S=21|OA||OB|=]4k1)k 4[(21)k 21)(k 12(21+-+-=--≥k1)k 4(2[21-⋅-+4]=4当且仅当-4k=k1-，k=21±（舍正）时，S min =4，此时直线方程为x+2y-4=0思路二：设直线方程为1bya x =+，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1）∵ P ∈ ∴ 1b1a 1=+ …………① 则△AOB 面积S=ab 21问题转化为在条件①下求二元函数S 的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方法。

由①得b=2a a- S=2a a 212a a a 212-⋅=-⋅令t=a-2，则t>0，S=)4t 4t (21t )2t (212++=+⋅≥4]4t4t 2[21=+⋅⋅ 当且仅当t4t =，2t ±=（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，A （4，0），B （0，2） 注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点P 在AB 中点。

在与本题相仿的条件下，记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。

思路三：对于本题中的直线，在过点P 的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系（束），k 为变量。

k 与倾斜角θ是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。

分析图形特征，当绕点P 绕转时，点P 与坐标轴围成矩形面积OMPN 为常数，引起的是两Rt △BNP 、Rt △PMA 的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。

设∠BAO=θ，θ∈（0，2π） 则A PM PM O N BPN O A B S S S S ∆∆∆++=矩212+=(4tan θ+cot θ) ≥θ⋅θ⋅+cot tan 42212=4当且仅当4tan θ=cot θ，tan θ=21，θ=arctan 21时，S min =4，此时直线方程：x+2y-4=0。

例3、对于直线上任意点（x ，y ），点（4x+2y ，x+3y ）仍在直线上，求直线方程。

解题思路分析：法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。

为了保证两点（x ，y ），（4x+2y ，x+3y ）同时在直线上，令 ⎩⎨⎧+=+=y 3x y y 2x 4x解之得 ⎩⎨⎧==0y 0x可知直线过原点，其方程特征为Ax+By=0（即常数项为0），下面再确定参数A 、B 。

∵ 点（4x+2y ，x+3y ）在直线上 ∴ A （4x+2y ）+B(x+3y)=0 ∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0∴B B3A 2A B A 4+=+ ∴ 2A 2-AB-B 2=0 ∴ A=B ，或B=-2A∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0法二：若用待定系数法，只能选用两个参数 设：y=kx+b 则 x+3y=k(4x+2y)+b∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k 2+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x ∈R∴ ⎩⎨⎧=-=-+0b )1k (201k k 22∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==b 21k 或⎩⎨⎧=-=0b 1k ∴ 直线：x-2y=0，或x+y=0例4、已知△ABC 中，A(1，3），AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求△ABC 各边所在直线方程。

解题思路分析：尽可能画出准确的示意图。

设AB 、AC 中点分别为E 、F显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC 的顶点坐标。

由已知两点的几何条件求直线方程。

∵ C ∈CE ，CE 方程为x-2y+1=0 ∴ 可设点C(2y 0-1，y 0)，则点F(y 0，23y 0+) ∵ F ∈BC ，BF 方程y-1=0∴0123y 0=-+ ∴ y 0=-1∴ C(-3，-1) 同理可求得B （5，1） ∴ △ABC 三边所在直线方程为 AB ：x+2y-7=0 BC ：x-4y-1=0 AC ：x-y+2=0 五、同步练习 （一）选择题1、直线：14y3x =+的倾斜角是 A 、34arctan B 、)34arctan(- C 、)34arctan(-+π D 、)34arctan(--π2、a 、b ∈N ，则过不同三点（a ，0），（0，b ），（1，3）的直线条数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、多于33、点A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则(xy)max 为A 、3B 、3C 、43 D 、491444、已知点A （3，3）、B （-1，5）、直线： y=kx+1与线段AB 有公共点，则k 取值范围是 A 、(∞，-21)∪(-21,+∞) B 、[-4，-21)∪(-]32,21 C 、[-4，32] D 、（-∞，-4]∪[32，+∞）5、直线：Ax+By+C=0过第一、二、三象限，则 A 、⎩⎨⎧>>0BC 0AB B 、⎩⎨⎧<>0BC 0AB C 、⎩⎨⎧><0BC 0AB D 、⎩⎨⎧<<0BC 0AB6、直线：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x 轴上截距为3，则m 等于A 、6B 、-6C 、56 D 、56- 7、直线2x-y-4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转450所得直线方程是 A 、x-3y-2=0 B 、3x-y+6=0 C 、x-y-2=0 D 、3x+y-6=08、等腰△AOB 中，AO=AB ，点O （0，0），A （1，3），点B 在x 轴正半轴上，则直线AB 方程为 A 、y-1=3(x-3) B 、y-1=-3(x-3) C 、y-3=3(x-1) D 、y-3=-3(x-1) （二）填空题9、过点（2，1），且倾斜角α满足sin α=54的直线方程是______________________。