【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

1.2.3 充分条件、必要条件第1课时 充分条件、必要条件(教师独具内容)课程标准:通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系,性质定理与必要条件的关系．教学重点:掌握充分条件与必要条件的意义,会判断条件与结论之间的充分性或必要性．教学难点:判断条件与结论之间的充分性或必要性.【情境导学】(教师独具内容)已知命题p:小华是北京人,命题q:小华是中国人,这两个命题之间有什么关系呢？q 是p 的什么条件呢？这节课我们就来学习这些问题．【知识导学】知识点一 命题的结构 在“如果p,那么q”形式的命题中,p 称为命题的条件,q 称为命题的结论．若“如果p,那么q”是一个真命题,则称由□01p 可以推出□02q,记作p ⇒q,读作“p 推出q”；否则,称由p 不可以推出q,记作p ⇒/ q,读作“p 推不出q”．知识点二 充分条件、必要条件(1)当p ⇒q 时,我们称p 是q 的□01充分条件,q 是p 的□02必要条件；当p ⇒/ q 时,我们称p 不是q 的充分条件,q 不是p 的必要条件．(2)充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解．一般地,如果A ＝{x|p(x)},B ＝{x|q(x)},且A ⊆B(如图所示),那么□03p(x)⇒q(x),因此也就有□04p(x)是□05q(x)的充分条件,□06q(x)是□07p(x)的必要条件． (3)充分条件、必要条件还与数学中的□08判定定理、□09性质定理有关． 【新知拓展】1．p ⇒q 含义(1)“若p,则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p 可以得到结论q ；(3)只要有条件p,就一定有结论q；(4)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(5)为得到结论q,具备条件p就可以推出；(6)一旦q不成立,p一定也不成立；(7)q对于p的成立是必要的．2．对“p ⇒/q”的理解“若p,则q”为假命题时,p推不出q,q不是p的必要条件,p也不是q的充分条件．3．对充分条件、必要条件的理解(1)所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的．“有之必成立,无之未必不成立”．(2)充分条件不是唯一的,如x>2,x>3等都是x>0的充分条件．(3)所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可．“有之未必成立,无之必不成立”．(4)必要条件不是唯一的,如x>0,x>5等都是x>9的必要条件．1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．( )(2)“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分条件．( )(3)若p⇒q,则q是p的必要条件．( )(4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件．( )(5)“x＝1”是“x2＝x”的必要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若p,则q”的形式为________________________．(2)a,b都是偶数________a＋b是偶数．(3)“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件．答案(1)若一个四边形为平行四边形,则这个四边形的对角线互相平分(2)⇒(3)必要题型一命题的结构形式例1 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断由p是否可以推出q.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac>bc时,a>b；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[解](1)若一个数是实数,则它的平方是非负数,是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．(3)若ac>bc,则a>b,是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．(4)若一个点在角的平分线上,则该点到这个角的两边的距离相等,是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．[条件探究] 如果把本例(3)中的“ac>bc”改为“ac>bc,且c>0”,怎样解答呢？解若ac>bc,且c>0,则a>b,是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．金版点睛1．命题改写的相关策略(1)对命题改写时,一定要找准命题的条件和结论,有些命题的形式比较简洁,条件和结论不明显,写命题的条件和结论时需要适当加以补充,例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时,要注意所叙述的条件和结论的完整性,有些命题中,还要注意大前提的写法．例如“在同一平面内,若两条直线都垂直于同一条直线,则这两条直线平行”中,大前提“在同一平面内”是必不可少的．2．判断命题真假的方法(1)反例法:通过构造反例否定一个命题,是判定一个命题为假命题的常用方法．(2)直推法:由条件出发,运用相关的定义、性质、定理等,通过逻辑推理来推断命题的真假性,是判定一个命题为真命题的常规方法．[跟踪训练1]把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断由p是否可以推出q.(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧．解(1)原命题可以写成:若一个数能被6整除,则它既能被3整除也能被2整除,这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．(2)原命题可以写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论.题型二充分条件、必要条件的判断例2 判断下列说法中,p 是q 的充分条件的是________．①p:“x＝1”,q:“x 2－2x ＋1＝0”；②设a,b 是实数,p:“a＋b>0”,q:“ab>0”；③已知a,b 为正实数,p:a>b>1,q:a 2>b 2>0.[解析] ①当x ＝1时,x 2－2x ＋1＝0,故p ⇒q,所以p 是q 的充分条件．②由a ＋b>0不能推出ab>0,故p 不是q 的充分条件．③因为a>b>1⇒a 2>b 2>0,所以p 是q 的充分条件．[答案] ①③金版点睛充分条件的两种判定方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论；②尝试从条件推结论,若由条件能推出结论,则条件是结论的充分条件,否则就不是充分条件．(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件；②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p 不是q 的充分条件,同时q 也不是p 的必要条件．[跟踪训练2] 设A,B 是两个集合,判断“A∩B＝A”是“A ⊆B”的什么条件．解 由题意,得A∩B＝A ⇒A ⊆B,反之,A ⊆B ⇒A∩B＝A,故“A∩B＝A”是“A ⊆B”的充分条件,也是必要条件．例3 在下列各题中,q 是p 的必要条件吗？为什么？(1)p:x －2＝0；q:(x －2)(x －3)＝0；(2)p:两个三角形相似；q:两个三角形全等；(3)p:m<－2；q:方程x 2－x －m ＝0无实根．[解] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0,∴q 是p 的必要条件．(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等,∴q 不是p 的必要条件．(3)∵方程x 2－x －m ＝0无实根,∴Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0,解得m<－14. ∵m<－2⇒m<－14, ∴q 是p 的必要条件．金版点睛必要条件判定方法(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立,最后得出结论．(2)集合法:对于涉及取值范围的判断题,可从集合的角度研究,若两个集合具有包含关系,则小范围⇒大范围,大范围推不出小范围．(3)传递法:由推式的传递性:p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ,则p n 是p 1的必要条件．[跟踪训练3] 在下列各题中,q 是p 的必要条件吗？p 是 q 的必要条件吗？为什么？(1)p:a 2＋b 2＝0,q:a ＋b ＝0；(2)p:a<b,q:a b<1. 解 (1)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0,∴q 是p 的必要条件．∵a ＋b ＝0推不出a 2＋b 2＝0,∴p 不是q 的必要条件．(2)由于a<b,当b<0时,a b >1；当b>0时,a b <1,故a<b 推不出a b<1. ∴q 不是p 的必要条件．当a>0,b>0,a b<1时,可以推出a<b ； 当a<0,b<0,a b<1时,可以推出a>b. ∴p 不是q 的必要条件.题型三 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例4 已知集合A ＝{y|y ＝x 2－3x ＋1,x ∈R},B ＝{x|x ＋2m≥0}；命题p:x ∈A,命题q:x ∈B.(1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若p 是q 的必要条件,求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛ x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y≥－54, B ＝{x|x≥－2m}．(1)若p 是q 的充分条件,则p ⇒q,所以A ⊆B,所以－2m≤－54,所以m≥58,即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞. (2)若p 是q 的必要条件,则q ⇒p,所以B ⊆A,所以－2m≥－54,解得m≤58. 即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，58. 金版点睛利用充分条件、必要条件求参数取值范围的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,先将p,q 等价转化,再根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．[跟踪训练4] 已知p:3－m 2<x<3＋m 2,q:0<x<3. (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若p 是q 的必要条件,求实数m 的取值范围．解 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 3－m 2<x<3＋m 2, B ＝{x|0<x<3}．(1)若p 是q 的充分条件,则A ⊆B.注意到B ＝{x|0<x<3}≠∅,分两种情况讨论:①若A ＝∅,即3－m 2≥3＋m 2,解得m≤0,此时A ⊆B,符合题意． ②若A≠∅,即3－m 2<3＋m 2,解得m>0, 要使A ⊆B,应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，解得0<m≤3.m>0，综上可得,实数m 的取值范围是(－∞,3]．(2)若p 是q 的必要条件,则B ⊆A.分两种情况讨论:①若3－m 2≥3＋m 2,即m≤0时,A ＝∅,此时B⃘A,不符合题意． ②若A≠∅,即3－m 2<3＋m 2,解得m>0. 要使B ⊆A,应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，m>0，解得m≥3.综上可得,实数m 的取值范围是[3,＋∞)．1．若a ∈R,则“a＝2”是“(a－1)(a －2)＝0”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件,也不是必要条件D ．无法判断答案 A解析 因为a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0,而(a －1)(a －2)＝0不能推出a ＝2,故“a＝2”是“(a－1)(a －2)＝0”的充分条件,故选A.2．下列命题中,是真命题的是( )A ．“x 2>0”是“x>0”的充分条件B ．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C ．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D ．“|x|>1”是“x 2不小于1”的必要条件答案 B解析 A 中,x 2>0⇒x>0或x<0,不能推出x>0,而x>0⇒x 2>0,故“x 2>0”是“x>0”的必要条件．B 中,xy ＝0⇒x ＝0或y ＝0,不能推出x ＝0,而x ＝0⇒xy ＝0,故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件．C 中,|a|＝|b|⇒a ＝b 或a ＝－b,不能推出a ＝b,而a ＝b ⇒|a|＝|b|,故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件．D 中,|x|>1⇒x 2不小于1,而x 2不小于1不能推出|x|>1,故“|x|>1”是“x 2不小于1”的充分条件,故选B.3．已知p:5x －1>a,q:x>1,若q 是p 的必要条件,则实数 a 的取值范围是________．答案 a≥4解析 由5x －1>a,得x>a ＋15,要使q 是p 的必要条件,需有a ＋15≥1,解得a≥4.故当a≥4时,q 是p 的必要条件．4．“ac<0”是“ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有实根”的________条件．答案充分解析由ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根,而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分条件．5．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件,求m的取值范围．解记A＝{x|x>2或x<1},B＝{x|x<m}．由题意可得B⊆A,即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m≤1.故m的取值范围为m≤1.。

1.1.3 集合的基本运算最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中,了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集．(4)能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用．第1课时交集与并集知识点一交集自然语言一般地,给定两个集合A、B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B 的公共元素)组成的集合,称为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言知识点二并集自然语言一般地,给定两个集合A、B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A,或x∈B}(读作“A并B”)图形语言状元随笔 1.两个集合的并集、交集还是一个集合．2．对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合,因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素．3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成．[基础自测]1．已知集合A＝{0,2},B＝{－2,－1,0,1,2},则A∩B＝( )A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2,－1,0,1,2}解析：本题主要考查集合的基本运算．∵A＝{0,2},B＝{－2,－1,0,1,2},∴A∩B＝{0,2},故选A.答案：A2．已知集合M＝{－1,0,1},N＝{0,1,2},则M∪N＝( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合,故M∪N＝{－1,0,1,2}．答案：B3．设集合A＝{1,2},则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1,2},A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C. 答案：C4．设集合A＝{x|2≤x<5},B＝{x|3x－7≥8－2x},则A∩B＝________.解析：∵A＝{x|2≤x<5},B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3},∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}题型一交集的运算[经典例题]例1 (1)已知集合A＝{1,3,5,7},B＝{2,3,4,5},则A∩B＝( )A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}(2)已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}【解析】(1)本题主要考查集合的运算．由题意得A∩B＝{3,5},故选C.找出A、B的公共元素求A∩B.(2)本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1},B＝{0,1,2},∴A∩B＝{1,2},故选C.先求A,再求A∩B.【答案】(1)C (2)C方法归纳求交集的基本思路首先要识别所给集合,其次要化简集合,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果,有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x||x|<2},B＝{－2,0,1,2},则A∩B＝( )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5},B＝{x|x≤－2或x>3},则A∩B＝________.解析：(1)本题主要考查集合的运算．化简A＝{x|－2<x<2},∴A∩B＝{0,1},故选A.先求A再求A∩B.(2)在数轴上表示出集合A与B,如下图．由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．利用数轴求A∩B.答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}题型二并集的运算[教材P17例3]例2 已知区间A＝(－3,1),B＝[－2,3],求A∩B,A∪B.【解析】在数轴上表示出A和B,如图所示．由图可知A∩B＝[－2,1),A∪B＝(－3,3]．状元随笔(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．(2)利用数轴求并集更直观.教材反思(1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次．(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示．跟踪训练 2 (1)已知集合A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________．(2)已知集合P＝{x|－1<x<1},Q＝{x|0<x<2},那么P∪Q＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}解析：(1)∵A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},∴B＝{3,7,9,15},∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．∴集合A∪B中元素的个数为6.(2)因为P＝{x|－1<x<1},Q＝{x|0<x<2},画数轴如图,所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．答案：(1)6 (2)A状元随笔(1)找出集合A,B中出现的所有元素,写出A∪B,求元素个数．(2)画数轴,根据条件确定P∪Q.题型三交集、并集性质的运用[经典例题]例3 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋8＝2},C＝{x|x2＋2x－8＝0},若∅(A∩B),且A∩C＝∅,求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{2,3},C＝{－4,2}．因为∅(A∩B),且A∩C＝∅,那么3∈A,故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3,－5},符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3},不符合A∩C＝∅.综上知,a＝－2.状元随笔审结论 (明解题方向)审条件 (挖解题信息)求a 的值,需建立关于a 的方程 (1)集合A,B,C 是由相应方程的解构成的,先要解方程求B,C.(2)由∅(A∩B),知A∩B≠∅,结合A∩C＝∅,可确定集合A 中的元素,建立关于a 的方程．建关系——找解题突破口∅(A∩B),A∩C＝∅→确定集合A 中的元素→建立关于a 的方程→检验集合中元素的互异性. 方法归纳(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．(2)利用A∩B＝A ⇔A ⊆B,A∪B＝A ⇔B ⊆A 可实现交、并运算与集合间关系的转化． 注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚． (2)关注Venn 图在解决复杂集合关系中的作用．跟踪训练3 已知集合A ＝{x|x<－1或x>4},B ＝{x|2a≤x≤a＋3},若A∩B＝B,求实数a 的取值范围． 解析：①当B ＝∅时,只需2a>a ＋3,即a>3； ②当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2<a≤3.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－4)∪(2,＋∞)． 由A∩B＝B 得B ⊆A,B 分2类,B ＝∅,B≠∅,再利用数轴求．课时作业 3一、选择题1．已知集合M ＝{x|－3<x<1},N ＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( ) A ．{－2,－1,0,1} B ．{－3,－2,－1,0}C．{－2,－1,0} D．{－3,－2,－1}解析：运用集合的运算求解．M∩N＝{－2,－1,0},故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|x≥－3},B＝{x|－5≤x≤2},则A∪B＝( )A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－5≤x≤2}解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．答案：A3．设集合A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},C＝{x∈R|－1≤x<2},则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：本题主要考查集合的运算．由题意得A∪B＝{1,2,3,4,－1,0},∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4,－1,0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.答案：C4．设集合A＝{x|－1≤x<2},B＝{x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：在数轴上表示出集合A,B即可得a的取值范围为a>－1.答案：C二、填空题5．定义A－B＝{x|x∈A,且x∉B},若M＝{1,2,3,4,5},N＝{2,3,6},则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则,N－M＝{x|x∈N,且x∉M},所以N－M＝{6}．答案：{6}6．设集合A＝{1,2,a},B＝{1,a2},若A∩B＝B,则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A,所以a2＝2,a＝±2, 或a2＝a,a＝0或a＝1(舍去),所以a＝±2,0,共3个．答案：37．已知集合A＝{x|x≤1},B＝{x|x≥a},且A∪B＝R,则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R,得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧,或与1重合,故a≤1. 答案：(－∞,1] 三、解答题8．设A ＝{x|－1<x<2},B ＝{x|1<x<3},求A∪B ,A∩B. 解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}． A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．9．已知A ＝{x|a<x≤a＋8},B ＝{x|x<－1,或x>5}．若A∪B＝R,求a 的取值范围． 解析：在数轴上标出集合A,B,如图．要使A∪B＝R,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a<－1，解得－3≤a<－1.综上可知,a 的取值范围为－3≤a<－1. [尖子生题库]10．集合A ＝{x|－1≤x<3},B ＝{x|2x －4≥x－2}． (1)求A∩B；(2)若集合C ＝{x|2x ＋a>0},满足B∪C＝C,求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵B＝{x|x≥2}, ∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>－a2, B∪C＝C ⇒B ⊆C, ∴－a2<2,∴a>－4.即a 的取值范围为a>－4.。

2.2.3 一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准:1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点:1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”,你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念01一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且□02a≠0.一元二次一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为□03“<”“≥”“≤”等．不等式中的不等号也可以是□【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时,若(x－m)(x－n)>0,则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:①关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论:两个不同的实根(Δ>0),两个相同的实根(Δ＝0),无实根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1＝x2,x1<x2.1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)x(x－2)>0的解集为(0,2)．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a是常数)是一元二次不等式．( )(3)不论实数a 取什么值,不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集一定与相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两解为x 1,x 2(x 1<x 2),则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集不可能为{x|x 1<x<x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x|1<x<2},则a ＋b ＝________. 答案 (1)R (2){x|－4<x<1} (3)4题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集:(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)方程可变为(2x ＋1)(x ＋3)>0,从而转化为两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<0，x ＋3<0.因此原不等式的解集为(－∞,－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0, 因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,即(x －3)2＋1<0,因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0,因此原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则用配方法求解．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集: (1)3x 2＋5x －2>0；(2)－9x 2＋6x －1<0； (3)x 2－4x ＋5>0；(4)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0,所以原不等式的解集为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等式可化为(3x －1)2>0,所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(3)原不等式可化为(x －2)2＋1>0,所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78<0,所以原不等式的解集为∅.题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 求不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)的解集． [解] 若a ＝0,原不等式为－x ＋1<0,解集为(1,＋∞)；若a<0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)； 若a>0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0,(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定,故①当a ＝1时,由(*)式可得解集为∅；②当a>1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1； ③当0<a<1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a . 综上所述,当a<0时,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)；当a ＝0时,解集为(1,＋∞)；当0<a<1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,解集为∅；当a>1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值,则按不含参数的步骤解,再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a,x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知:①当a<0或a>1时,a2>a.解原不等式得x>a2或x<a,不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)．②当0<a<1时,a2<a,解原不等式得x>a或x<a2,不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)．③当a＝0时,原不等式为x2>0,∴x≠0,不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)．(4)当a＝1时,原不等式为(x－1)2>0,∴x≠1,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．综上可知,当a<0或a>1时,原不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)；当0<a<1时,原不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)；当a＝0时,原不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)；当a＝1时,原不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．1．在下列不等式中,解集是∅的是( )A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0答案 D解析A的解集为R；B的解集是(－∞,－2)∪(－2,＋∞)；方程x2＋4x－4＝0的Δ＝42＋4×4>0,故C的解集不为空集,用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞,－2)∪(1,＋∞) D．(－1,2)答案 B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0,∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0,解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为( )A．(－∞,－200) B．(150,＋∞)C．(150,200) D．(－200,150)答案 D解析原不等式可化为x2＋50x－30000<0,(x－150)·(x＋200)<0,所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t>2,则关于x 的不等式(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t B ．(－∞,t)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1t ∪(t,＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t答案 A解析 ∵t>2,∴t>1t ,∴(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t .5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x. 解 由x 2－3x ＋1>1得x 2－3x>0,x(x －3)>0,不等式的解集为(－∞,0)∪(3,＋∞)． 由x 2－3x ＋1<9－x,得x 2－2x －8<0, (x ＋2)(x －4)<0,不等式的解集为(－2,4)．(－∞,0)∪(3,＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4),所以,原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．。

课时分层作业(十四) 不等式及其性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知：a,b,c,d∈R ,则下列命题中必成立的是( )A ．若a ＞b,c ＞b,则a ＞cB ．若a ＞－b,则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b,c ＜d,则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2,则－a ＜－bB [选项A,若a ＝4,b ＝2,c ＝5,显然不成立,选项C 不满足倒数不等式的条件,如a ＞b ＞0,c ＜0＜d 时,不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1,b ＝0时不成立,故选B.]2．已知a<0,b<－1,则下列不等式成立的是( )A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a>a b 2 D.a b >a b 2>a D [取a ＝－2,b ＝－2,则a b ＝1,a b 2＝－12,∴a b >a b 2>a.故选D.] 3．已知a>b,则下列不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a.其中不成立的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3D [虽然已知a>b,但并不知道a,b 的正负,如有2>－3,但22<(－3)2,故①错；2>－3⇒12>－13,②错；若有a ＝1,b ＝－2,则1a －b ＝13,1a＝1,故③错．] 4．若abcd<0,且a>0,b>c,d<0,则( )A ．b<0,c<0B ．b>0,c>0C ．b>0,c<0D ．0<c<b 或c<b<0D [由a>0,d<0,且abcd<0,知bc>0,又∵b>c ,∴0<c<b 或c<b<0.]5．若a,b,c∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB ．a 2＞b 2C.a c 2＋1＞b c 2＋1 D ．a|c|＞b|c|C [对A,若a ＞0＞b,则1a ＞0,1b＜0, 此时1a ＞1b,∴A 不成立； 对B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2＜b 2,∴B 不成立；对C,∵c 2＋1≥1,且a ＞b,∴a c 2＋1＞b c 2＋1恒成立,∴C 正确； 对D,当c ＝0时,a|c|＝b|c|,∴D 不成立．]二、填空题6．给出以下四个命题：①a＞b ⇒a n ＞b n (n∈N *)；②a＞|b|⇒a n ＞b n (n∈N *)；③a＜b ＜0⇒1a ＞1b ；④a＜b ＜0⇒1a －b ＞1a.其中真命题的序号是________．②③ [①中取a ＝－1,b ＝－2,n ＝2,不成立；②a＞|b|,得a ＞0,∴a n ＞b n成立；③a＜b ＜0,得1a ＞1b成立； ④a＜b ＜0,得a －b ＜0,且a －b ＞a,故1a －b ＜1a,④不成立．] 7．设x ＞1,－1＜y ＜0,试将x,y,－y 按从小到大的顺序排列：________.y ＜－y ＜x [∵－1＜y ＜0,∴0＜－y ＜1,∴y＜－y,又x ＞1,∴y＜－y ＜x.]8．若8<x<10,2<y<4,则x y的取值范围是________． (2,5) [∵2<y<4,∴14<1y <12. ∵8<x<10,∴2<x y<5.] 三、解答题9．(1)a<b<0,求证：b a <a b； (2)已知a>b,1a <1b,求证：ab>0. [证明] (1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝(b ＋a )(b －a )ab , ∵a<b<0,∴b＋a<0,b －a>0,ab>0,∴(b ＋a )(b －a )ab <0,故b a <a b. (2)∵1a <1b, ∴1a －1b<0, 即b －a ab<0, 而a>b,∴b－a<0,∴ab>0.10．已知：3＜a ＋b ＜4,0＜b ＜1,求下列各式的取值范围．(1)a ；(2)a －b ；(3)a b. [解] (1)∵3＜a ＋b ＜4,0＜b ＜1,∴－1＜－b ＜0,∴2＜a ＋b ＋(－b)＜4,即2＜a ＜4.(2)∵0＜b ＜1,∴－1＜－b ＜0.又∵2＜a ＜4,∴1＜a －b ＜4.(3)∵0＜b ＜1,∴1b＞1, 又∵2＜a ＜4,∴a b＞2. [等级过关练]1．a ＞b ＞c,且a ＋b ＋c ＝0,下列不等式恒成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞acC ．a|b|＞c|b|D ．a 2＞b 2＞c 2 B [∵a＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c,∴a＞0,c ＜0,∴A 不正确．对于B,ab ＞ac ⇔a(b －c)＞0.又b －c ＞0,a ＞0,故B 正确；由于|b|有可能为0,故C 不正确,若a ＝2,b ＝1,c ＝－3,显然a ＋b ＋c ＝0,但a 2＞b 2且b 2＜c 2,故D 不正确．]2．若α,β满足－π2＜α＜β＜π2,则2α－β的取值范围是( ) A ．－π＜2α－β＜0B ．－π＜2α－β＜πC ．－3π2＜2α－β＜π2D ．0＜2α－β＜πC [∵－π2＜α＜π2,∴－π＜2α＜π.∵－π2＜β＜π2, ∴－π2＜－β＜π2,∴－3π2＜2α－β＜3π2.又α－β＜0,α＜π2,∴2α－β＜π2.故－3π2＜2α－β＜π2.] 3．已知－1≤x＋y≤4,且2≤x－y≤3,则z ＝2x －3y 的取值范围是________．[3,8] [∵z＝－12(x ＋y)＋52(x －y), －2≤－12(x ＋y)≤12,5≤52(x －y)≤152, ∴3≤－12(x ＋y)＋52(x －y)≤8, ∴3≤z≤8.]4．设a,b 为正实数,有下列命题：①若a 2－b 2＝1,则a －b<1；②若1b －1a＝1,则a －b<1； ③若|a －b|＝1,则|a －b|<1；④若|a 3－b 3|＝1,则|a －b|<1.其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)①④ [对于①,由题意a,b 为正实数,则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b>0⇒a>b>0,故a ＋b>a －b>0.若a －b≥1,则1a ＋b≥1⇒a ＋b≤1≤a－b,这与a ＋b>a －b>0矛盾,故a －b<1成立． 对于②,取特殊值,a ＝3,b ＝34,则a －b>1. 对于③,取特殊值,a ＝9,b ＝4时,|a －b|>1.对于④,∵|a 3－b 3|＝1,a>0,b>0,∴a≠b ,不妨设a>b>0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0,∴(a－b)(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b)(a －b)2.即a 3－b 3>(a －b)3>0,∴1＝|a 3－b 3|>(a －b)3>0,∴0<a－b<1,即|a －b|<1.因此④正确．]5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足以下条件：(1)该函数图像过原点；(2)当x ＝－1时,y 的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x ＝1时,y 的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x ＝－2时,y 的取值范围．[解] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像过原点,∴c＝0,∴y＝ax 2＋bx.又∵当x ＝－1时,1≤a－b≤2.①当x ＝1时,3≤a＋b≤4,②∴当x ＝－2时,y ＝4a －2b.设存在实数m,n,使得4a －2b ＝m(a ＋b)＋n(a －b),而4a －2b ＝(m ＋n)a ＋(m －n)b,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得m ＝1,n ＝3,∴4a－2b ＝(a ＋b)＋3(a －b)．由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6,∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.即6≤4a－2b≤10,故当x ＝－2时,y 的取值范围是大于等于6且小于等于10.。

《高中数学·函数》配套练习册目录第1节集合与集合的表示方法 ................................. - 3 - 第2节简单不等式........................................... - 5 - 第3节集合之间的关系和运算 ................................. - 6 - 复习一....................................................... - 8 - 第4节函数的定义.......................................... - 12 - 第5节函数的定义域和值域 .................................. - 13 - 第6节函数的表示方法...................................... - 16 - 第7节函数的性质1 ......................................... - 19 - 阶段测试卷.................................................. - 22 - 第8节函数的性质2 ......................................... - 25 - 第9节函数的性质3 ......................................... - 29 - 第10节一次、二次函数..................................... - 31 - 第11节函数的零点及应用................................... - 38 -复习二 ...................................................... - 41 - 第12节 指数与指数函数 ..................................... - 47 - 第13节 反函数 ............................................. - 51 - 第14节 对数与对数函数 ..................................... - 52 - 第15节 幂函数 ............................................. - 56 - 复习三 ...................................................... - 58 - 综合测试卷 .................................................. - 61 -第1节 集合与集合的表示方法1、下列各组对象中不能构成集合的是（ ）。

2.1.3 方程组的解集最新课程标准：(1)全用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．(2)能灵活解二元二次方程组.知识点 方程组的解集方程组中,由两个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．状元随笔 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能有无穷多个元素,此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． [基础自测]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝3的解集是( )A ．{2,－1}B ．{(2,－1)}C ．{－2,1}D ．{(－2,1)}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 ①x －y ＝3 ②①＋②得2x ＝4,∴x＝2, 代入①得y ＝－1. 答案：B2．若x,y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8.①②方法一 ②×2－①,得3y ＝9,解得y ＝3. 把y ＝3代入②,得x ＝2. 所以x ＋y ＝2＋3＝5.方法二 由①＋②,得3x ＋3y ＝15. 化简,得x ＋y ＝5.故选A. 答案：A3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x 2＋y 2＝2的解集是( )A ．(±1,±1)B ．{(±1,±1)}C ．{(－1,－1),(1,1)}D ．(－1,－1),(1,1)解析：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x x 2＋y 2＝2①②把①代入②得2x 2＝2,∴x 2＝1 x ＝±1,y ＝±1. 答案：C4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0， ①y ＋z －x ＝7， ②z ＋x －y ＝9 ③的解集为________．解析：①＋②＋③得x ＋y ＋z ＝16 ④ ④－①,得z ＝8； ④－②,得x ＝4.5； ④－③,得y ＝3.5.所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(4.5,3.5,8)}． 答案：{(x,y,z)|(4.5,3.5,8)}题型一 n 元一次方程组[经典例题] 例1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝y 4＝z 5，x －y ＋2z ＝18.①②【解析】 设x 3＝y 4＝z5＝k(k 为常数,k≠0),则x ＝3k,y ＝4k,z ＝5k.将它们代入②中,得3k －4k ＋10k ＝18,解得k ＝2. 所以x ＝6,y ＝8,z ＝10,所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(6,8,10)}．状元随笔 n 元一次方程组主要指二元和三元一次方程组,主要用加减消元法和代入消元法求解．一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，3x ＋5y ＝8的解集为( )A ．{1,1}B ．{(x,y)|x ＝1,y ＝1}C ．{2,－1}D ．{(x,y)|x ＝2,－1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝33x ＋5y ＝8①②①×5－②得7x ＝7,∴x＝1. 代入①得y ＝1. 答案：B2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋7＝06x ＋12y ＋5＝0的解集为( )A ．{－1,2}B ．{(x,y)|(－1,2)}C ．{2,－1}D ．{(x,y)|(2,－1)} 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋7＝06x ＋12y ＋5＝0①②①＋②×4得27x ＋27＝0,得x ＝－1. 代入①得y ＝2. 答案：B3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝13x 2－2x －y 2＝－4的解集为( )A ．{(x,y)|(3,5),(－1,－3)}B ．{(x,y)|(3,5)}C ．{(x,y)|(－1,3)}D ．{(x,y)|(3,5),(3,－1)}解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝13x 2－2x －y 2＝－4①②由①得y ＝2x －1,代入②得 3x 2－2x －(2x －1)2＝－4 整理得x 2－2x －3＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，y －z ＝3，z ＋x ＝1.①②③①＋②,得x －z ＝5,④将③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧z ＋x ＝1，x －z ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－2.把x ＝3代入①,得y ＝1. 故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝－2.代入3x ＋my ＋2z ＝0,得9＋m －4＝0, 解得m ＝－5. 答案：－57．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解集为{(a,b)|(8.3,1.2)},则方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝13，3(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9，的解集为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝8.3，y －1＝1.2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.3，y ＝2.2.答案：{(x,y)|(6.3,2.2)} 三、解答题8．解下列三元一(二)次方程组： (1)⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝y ＋x ，2x －3y ＋2z ＝5，x ＋2y ＋z ＝13.①②③(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋z ＝11，x ＋y ＋z ＝0，3x －y －z ＝－2.①②③(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋xy ＝12，xy ＋y 2＝4.①②解析：(1)将①代入②、③,消去z,得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2,y ＝3代入①,得z ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.所以原方程组的解集为{(x,y)|(4,3),(－4,－3),(4,－3),(－3,4)}．。

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第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

1.2.3 充分条件、必要条件最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.知识点一充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件(sufficient condition),q是p的必要条件(necessary condition)．状元随笔如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p q．此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．知识点二充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p 既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件．状元随笔p与q互为充要条件时,也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．[基础自测]1．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”,所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．设p：x<3,q：－1<x<3,则p是q成立的( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为(－1,3)(－∞,3),所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C3．设A、B是两个集合,则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A、B是两个集合,则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”,由“A⊆B”可得“A∩B＝A”,所以A、B是两个集合,则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.答案：C4．用符号“⇒”与“⇒”填空：(1)x2>1________x>1；(2)a,b都是偶数________a＋b是偶数．解析：(1)命题“若x2>1,则x>1”是假命题,故x2>1⇒x>1.(2)命题“若a,b都是偶数,则a＋b是偶数”是真命题,故a,b都是偶数⇒a＋b是偶数．答案：(1) ⇒(2)⇒题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断[教材P31例1]例1 判断下列各题中,p是否是q的充分条件,q是否是p的必要条件：(1)p：x∈Z,q：x∈R；(2)p：x是长方形；q：x是正方形．【解析】(1)因为整数都是有理数,从而一定也是实数,即p⇒q,因此p是q的充分条件,q是p的必要条件．p⇒q由充分条件的定义来判断．(2)因为长方形不一定是正方形,即pD⇒/q,因此p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．p⇒q由必要条件的定义来判断．[经典例题]例2 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x≥0 B ．x<0或x>2 C. x∈{－1,3,5} D ．x≤－12或x≥3【解析】 由2x 2－5x －3≥0,得x≥3或x≤－12,所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件．【答案】 C先求出满足题意的充要条件――――――→结合集合关系从选项中选出充分不必要条件 方法归纳本题易错的地方是颠倒充分性和必要性,根据{x|x≥3或x≤－12}{x|x>2或x<0},误选 B.事实上,“不等式2x 2－5x －3≥0成立”为结论q,我们只需找到条件p 使p ⇒q 且q⇒p 即可．跟踪训练2 2x 2－5x －3<0的必要不充分条件是( ) A ．－12<x<3B ．0<x<2C ．－1<x<2D ．－12<x<4解析：2x 2－5x －3<0⇒－12<x<3,∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4, ∴－12<x<4是2x 2－5x －3<0的必要不充分条件．答案：D使2x 2－5x －3<0成立的x 为－12<x<3,再求必要不充分条件．题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用[经典例题]例3 已知p ：2x 2－3x －2≥0,q ：x 2－2(a －1)x ＋a(a －2)≥0,若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值范围．【解析】 令M ＝{x|2x 2－3x －2≥0}＝{x|(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x ≥2； N ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋a(a －2)≥0}＝{x|(x －a)[x －(a －2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}, 由已知p ⇒q 且q ⇒p,得MN.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a<2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a≤2，解得32≤a<2或32<a≤2,即32≤a≤2,即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.状元随笔构造集合M ＝{x|p (x )}；N ＝{x|q (x )}―――→求解M 、N 由已知M N ―――→构造a 的不等式解关于a 的不等式组―→结果方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知M ＝{x|(x －a)2<1},N ＝{x|x 2－5x －24<0},若M 是N 的充分条件,求a 的取值范围． 解析：由(x －a)2<1得,x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0, ∴a－1<x<a ＋1. 则M ＝{x|a －1<x<a ＋1}, 又由x 2－5x －24<0得－3<x<8. 则N ＝{x|－3<x<8}． ∵M 是N 的充分条件,∴M ⊆N,∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a≤7.故a 的取值范围是－2≤a≤7.先求M 、N,再利用充分条件得M ⇒N,即M ⊆N 来求a 的取值范围．课时作业 6一、选择题1．已知集合A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},则“a＝3”是“A ⊆B”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因为A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},若a ＝3,则A ＝{1,3},所以A ⊆B,所以a ＝3⇒A ⊆B ；若A ⊆B,则a ＝2或a ＝3,所以A ⊆Ba ＝3,所以“a＝3”是“A ⊆B”的充分而不必要条件．答案：A2．函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m 2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B. 答案：B4．已知p ：x>1或x<－3,q ：x>a,若q 是p 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A ．[1,＋∞) B ．(－∞,1] C ．[－3,＋∞) D．(－∞,－3]解析：令A ＝{x|x>1或x<－3},B ＝{x|x>a}, ∵q 是p 的充分不必要条件, ∴B A,∴a≥1. 答案：A 二、填空题5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x 2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________； (2)“x<5”是“x<3”的________．解析：(1)设A ＝{x|x 2－1＝0}＝{－1,1},B ＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1},所以A ＝B,即“x 2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A ＝{x|x<5},B ＝{x|x<3},因为AB,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件6．如果命题“若A 则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________条件． 解析：因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A ⇒B,又因否命题为真,所以逆命题为真,即B ⇒A,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分7．函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0,＋∞))是单调函数的充要条件是________． 解析：对称轴x ＝－b2≤0,即b≥0.答案：b≥0 三、解答题8．指出下列各题中,p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中,p ：∠A>∠B ,q ：BC>AC ； (2)对于实数x,y,p ：x ＋y≠8,q ：x≠2或y≠6；(3)已知x,y∈R ,p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0,q ：(x －1)(y －2)＝0. 解析：(1)在△ABC 中,显然有∠A>∠B ⇔BC>AC,所以p 是q 的充要条件． (2)因为p ⇒q,但q⇒p,所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为p ：A ＝{(1,2)},q ：B ＝{(x,y)|x ＝1或y ＝2},AB,所以p 是q 的充分不必要条件．9．已知p ：x 2－8x －20>0,q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m>0),若p 是q 的充分而不必要条件,求正实数m 的取值范围．解析：由命题p 得：x>10或x<－2,由命题q 得：x 2－2x ＋1－m 2>0(m>0)⇔[x －(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m,或x>1＋m(m>0)． 因为p 是q 的充分不必要条件,所以p ⇒q,且q⇒p,{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m 或x>1＋m(m>0)},所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≥－2，1＋m≤10，两等号不能同时成立,解得⎩⎪⎨⎪⎧m≤3，m≤9，即m≤3.所以正实数m 的取值范围为(0,3]． [尖子生题库]10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． 解析：(1)a ＝0时,可得x ＝－12,符合题意．(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,若方程有两个异号的实根, 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a>0，1a<0，解得a<0；若方程有两个负的实根,则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a≥0，解得0<a≤1.综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1. 反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根．因此,关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.。

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定一、基础巩固1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.存在一个无理数,它的平方是有理数B.存在一个无理数,它的平方不是有理数C.任意一个无理数,它的平方不是有理数D.任意一个无理数,它的平方是有理数<2,则命题p的否定为( )2.设命题p:∃x∈(0,+∞),使得x+1x≥2A.∀x∈(0,+∞),x+1x≥2B.∃x∈(0,+∞),使得x+1x>2C.∀x∈(0,+∞),x+1x>2D.∃x∈(0,+∞),使得x+1x3.命题“对任意x∈[3,+∞),都有x2≥9”的否定是( )A.存在x∈[3,+∞),使得x2<9B.存在x∈[3,+∞),使得x2≥9C.对任意的x∈[3,+∞),都有x2<9D.对任意的x∈(-∞,3),都有x2≥94.命题“∀x∈R,∃n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∃x∈R,∃n∈N+,使得n<x2B.∃x∈R,∀n∈N+,使得n<x2C.∀x∈R,∃n∈N+,使得n<x2D.∀x∈R,∀n∈N+,使得n<x25.已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是.6.命题“有的有理数没有倒数”的否定是,否定后的命题是命题.(填“真”“假”之一)7.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)写出命题p的否定.(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真命题?二、能力提升8.命题“∃x∈N,x3<x2”的否定是( )A.∃x∈N,x3≥x2B.∃x∉N,x3<x2C.∀x∈N,x3<x2D.∀x∈N,x3≥x29.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是( )A.r:∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数B.s:对所有实数a,都有|a|>0C.p:所有四边形的内角和都是360°D.q:∃x∈R,x2+2x+2≤010.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+4=0”.若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪{1}D.(-∞,-2]∪[1,2]11.命题“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.12.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为.此命题的否定是,是命题(填“真”或“假”).13.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定,并判断真假.(1)有一个奇数不能被3整除;(2)三角形的三个内角都为60°;(3)∀x∈Z,x2与3的和不等于0;(4)存在一个三角形至少有两个锐角.14.已知命题p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”为真命题,试求实数a的取值范围.15.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.参考答案一、基础巩固1.C2.A3.A4.B 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选B.5.[1,+∞) 因为p 为假命题,所以命题p 的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1.6.任意的有理数都有倒数 假 因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题的否定为:任意的有理数都有倒数.0没有倒数.7.解(1)命题p 的否定:存在实数x,有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p 的否定为真,需要使不等式组{x -a ≤0,x -b >0的解集不为空集,通过画数轴可看出,a,b 应满足的条件是b<a.二、能力提升8.D9.BD10.B 若∀x ∈[1,2],x 2-a≥0,则a≤x 2,∴a≤1.若∃x ∈R ,x 2+2ax+4=0,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.∵命题¬p 和命题q 都是真命题,∴{a >1,a ≤-2或{a >1,a ≥2, ∴a≥2,即a 的取值范围是[2,+∞).11.∀x ∈R ,|2-x|+|x+3|≤412.∃x,y ∈R ,x+y>1 ∀x,y ∈R ,x+y≤1 假此命题用符号表示为∃x,y ∈R ,x+y>1,此命题的否定是∀x,y ∈R ,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.13.解(1)存在量词命题,否定:所有奇数都能被3整除,假命题;(2)全称量词命题,否定:存在一个三角形的三个内角不都为60°,真命题;(3)全称量词命题,否定:∃x ∈Z ,x 2+3=0,假命题;(4)存在量词命题,否定:每个三角形最多有一个锐角,假命题.14.解由题意知,命题p为真命题,即x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,>0.令y=x2+2ax+2-a,所以ymax又因为最大值在x=1或x=2时取到,所以只需x=1或x=2时,y>0即可,所以1+2a+2-a>0或4+4a+2-a>0,解得a>-3或a>-2,即a>-3.15.解因为命题p是假命题,所以¬p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0是真命题.所以当a=0时,-3<0,不合题意;当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x.故a<-3或a>0.综上,a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).故实数a的取值范围为(-3,+∞).。

第2课时全集与补集(教师独具内容)课程标准:1.在具体情境中,了解全集的含义,理解补集的含义,能求(全集的)给定子集的补集.2.能用维恩图表达集合的补集．教学重点:1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“交”“并”“补”混合运算．教学难点:1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“交”“并”“补”的综合问题.【情境导学】(教师独具内容)在平面内,用定长的线段围成一个平面图形,这个图形可以是正方形,也可以是圆,还有别的什么图形吗？看数学家的回答,他用很短的一条线段围住一个点,然后说:“点在外面”．用补集的观点就能理解数学家这句话的含义吗？【知识导学】知识点一全集在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用U表示．注意:可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题不在我们研究的范围以内,这时就有理由将所研究的这个范围视为全集．全集不是固定不变的,是相对于研究的问题而言的,如在整数范围内研究问题,Z是全集；在实数范围内研究问题,R是全集；若只讨论大于0小于5的实数,可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．知识点二补集【新知拓展】1．求补集是集合的一种运算,其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么),这种运算有两个前提,一是必须有全集,二是求补集的这个集合必须是全集的子集．2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比实数集合被减数a 被减集合(全集)A减数b 减集合B差a－b 补集∁A B很明显,同一个集合,由于全集的不同,其补集也不相同(就好像同一个数,由于被减数不同,差也不同一样)．3．根据补集的定义,容易看出的性质∁U A⊆U,∁U U＝∅,∁U∅＝U,A∪(∁U A)＝U,A∩(∁U A)＝∅,∁U(∁U A)＝A.1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)设全集是U,集合A⊆U,若x是U中的任一元素,则要么x∈A,要么x∈∁U A,二者必居其一且只居其一．( )(2)全集没有补集．( )(3)同一个集合,对于不同的全集,其补集也不相同．( )(4)负整数集的补集是自然数集．( )(5)设全集为U,则对于任意集合A,只要A⊆U,则等式“A∪(∁U A)＝U”都成立．答案(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．做一做(1)设集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,2},B＝{2,4},则∁U(A∪B)＝( )A．{2} B．{3}C．{1,2,4} D．{1,4}(2)已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}答案(1)B (2)C题型一求给定集合的补集及集合的混合运算例1 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A＝{2,3,5,6},集合B＝{1,3,4,6,7},则集合A∩(∁U B)＝( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}(2)设全集为R,A＝{x|3≤x<7},B＝{x|2<x<10},则∁R(A∪B)＝________,(∁R A)∩B＝________.[解析](1)∵∁U B＝{2,5,8},∴A∩(∁U B)＝{2,5},故选A.(2)∵A∪B＝{x|2<x<10},∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7},∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．[答案](1)A (2){x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}金版点睛关于集合的运算要牢记法则,仔细分析各集合中的元素:(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解．另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助维恩图来求解,这样处理相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解．(3)对于混合运算,要类比实数的加、减运算:谁在前头先算谁,有括号的先算括号里面的．[跟踪训练1](1)已知A,B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集,且A∩B＝{3},(∁U B)∩A＝{9},则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2},则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为( )A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}答案(1)D (2)C解析(1)根据题意易得3∈A,9∈A.若5∈A,则5∉B(否则5∈A∩B),从而5∈∁U B,则5∈(∁U B)∩A,与题中条件矛盾,故5∉A.同理1∉A,7∉A,故A＝{3,9}．(2)借助数轴,如图易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．题型二探究补集的一些运算律例2 试探究∁U(A∩B)与(∁U A)∪(∁U B)之间的关系．[解]先通过具体例子探究它们之间的关系．不妨令U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{1,2,4,7},B＝{1,3,7,8}．易知A∩B＝{1,7},∁U(A∩B)＝{2,3,4,5,6,8}．∁U A＝{3,5,6,8},∁U B＝{2,4,5,6},(∁U A)∪(∁U B)＝{2,3,4,5,6,8},显然有∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．下面给出证明:先证∁U(A∩B)⊆(∁U A)∪(∁U B),设x∈∁U(A∩B),则x∉(A∩B)．分三种情况:①x∈A,且x∉B；②x∉A,且x∈B；③x∉A,且x∉B.从而可以推出:①x∈∁U B；②x∈∁U A；③x∈∁U A或x∈∁U B.综上可知,x∈(∁U A)∪(∁U B),∴∁U(A∩B)⊆(∁U A)∪(∁U B)．再证(∁U A)∪(∁U B)⊆∁U(A∩B),设x∈(∁U A)∪(∁U B),则x∈∁U A或x∈∁U B,从而可推出x∉A或x∉B,即x∉(A∩B),于是x∈∁U(A∩B),∴(∁U A)∪(∁U B)⊆∁U(A∩B)．根据集合相等的定义,从而有∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．金版点睛对于一些探究性问题,可以先通过具体实例发现结论(或寻找探究方向),然后给出证明,这是一种由特殊到一般的推理方法；本例用到证明集合相等的常用方法(即A⊆B,且B⊆A⇔A＝B).[跟踪训练2]试探究∁U(A∪B)与(∁U A)∩(∁U B)之间的关系．解用维恩图表示∁U(A∪B)和(∁U A)∩(∁U B)有:∴∁U (A ∪B)与(∁U A)∩(∁U B)相等． 题型三 利用集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x|2a －2<x<a},B ＝{x|1<x<2},且A ∁R B,求a 的取值范围．[解] ∵∁R B ＝{x|x≤1或x≥2}≠∅,A ∁R B,∴分A ＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅,此时有2a －2≥a , ∴a≥2. ②若A≠∅,则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. [条件探究] 本例中若把“A∁R B”换成“A∩(∁R B)＝∅”,则a 的取值范围是什么？解 ①若A ＝∅,则a≥2满足题意． ②若A≠∅,则需满足⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥1，a≤2，解得32≤a<2,综上所述a≥32.金版点睛利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A ∁R B,对A ＝∅与A≠∅进行分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题．(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集．(3)数轴与维恩图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以在进行集合的交、并、补运算时,常借助数轴求解．[跟踪训练3] 已知集合A ＝{x|x<a},B ＝{x|1<x<3}． (1)若A ∪(∁R B)＝R,求实数a 的取值范围； (2)若A∁R B,求实数a 的取值范围．解 (1)∵B ＝{x|1<x<3},∴∁R B ＝{x|x≤1或x≥3},因而要使A ∪(∁R B)＝R,结合数轴(如图)分析,可得a≥3.(2)∵A ＝{x|x<a},∁R B ＝{x|x≤1或x≥3}．要使A∁R B,结合数轴(如图)分析,可得a≤1.题型四 补集思想的应用例4 已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋2m ＋6＝0,x ∈R},B ＝{x|x<0,x ∈R},若A∩B≠∅,求实数m 的取值范围． [解] ∵A∩B≠∅,∴A ≠∅.设m 取值的全集为U,则U ＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0}＝{m|m≤－1}． 若A∩B＝∅,则方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根x 1,x 2均非负,则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0⇒－3≤m≤－1,∵{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集为{m|m<－3}, ∴实数m 的取值范围为m<－3. 金版点睛对于一些比较复杂、比较抽象,条件和结论之间关系不明确,难以从正面入手的数学问题,在解题时应从问题的反面入手探求已知和未知的关系,这样能化难为易、化隐为显,从而将问题解决,这就是“正难则反”的解题策略,也是处理问题的间接原则的体现.,这种“正难则反”策略运用的就是补集思想,而已知全集U,求子集A,若直接求A 有困难,可先求∁U )A,再由∁U (∁U )A )＝A,求A 即可[跟踪训练4] 已知集合A ＝{x|x 2＋2x ＋3m －5＝0},B ＝{x|x>0),若A∩B≠∅,求实数m 的取值范围． 解 ∵A∩B≠∅,∴A≠∅, 设m 取值的全集为U,则U ＝{m|Δ＝4－4(3m －5)≥0}＝{m |m≤2}, 若方程x 2＋2x ＋3m －5＝0的两根均为非正,则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝－2≤0，x 1x 2＝3m －5≥0⇒53≤m≤2. ∵集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪53≤m≤2在U 中的补集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<53,∴m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<53.1．设集合U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,2,3},B ＝{2,3,4},则∁U (A∩B)等于( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5} D ．{1,5}答案 B解析 集合U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,2,3},B ＝{2,3,4},所以A∩B＝{2,3},∁U (A∩B)＝{1,4,5}．故选B.2．集合A ＝{x|－1≤x≤2},B ＝{x|x<1},则A∩(∁R B)＝( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|1<x≤2} D ．{x|1≤x≤2}答案 D解析 由补集的概念和已知条件可得,∁R B ＝{x|x≥1},又根据交集的定义可知A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2}．故选D.3．已知全集U ＝{1,2,a 2－2a ＋3},A ＝{1,a},∁U A ＝{3},则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2答案 D解析 根据题意,得a 2－2a ＋3＝3,且a ＝2,解得a ＝2.故选D.4．已知M,N 为集合I 的非空真子集,且M,N 不相等,若N∩(∁I M)＝∅,则M ∪N ＝________. 答案 M解析 由N∩(∁I M)＝∅,知N 与∁I M 没有公共元素,依据题意画出维恩图,如图所示,可得N ⊆M,所以M ∪N ＝M.5．已知U ＝R,集合A ＝{x|x 2－x －2＝0},B ＝{x|mx ＋1＝0},B∩(∁U A)＝∅,求实数m 的值． 解 A ＝{－1,2},B∩(∁U A)＝∅等价于B ⊆A. 当m ＝0时,B ＝∅⊆A ；当m≠0时,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m .∴－1m ＝－1或－1m ＝2,即m ＝1或m ＝－12.综上,m 的值为0,1,－12.。

人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题（1）（新人教B必修1）2.1.2《函数表示法》测试题（2）（新人教B必修1）2.1.3《函数的单调性》测试题（新人教B必修1）2.1.4《函数的奇偶性》测试题（新人教B必修1）2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用（Ⅰ）》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法—二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1．下面四个命题正确的是 （ ） A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B ．“个子较高的人”不能构成集合 C ．方程0122=+-x x 的解集是{1，1} D ．1是集合N 中最小的数2．下面的结论正确的是 （ ） A ．若a Q ∈，则N a ∈ B ．若N a ∈，则∈a {自然数} C ．012=-x 的解集是{-1，1} D ．所有的正偶数组成的集合是有限集3．已知集合S ={c b a ,,}中的三个元素可构成∆ABC 的三条边长，那么∆ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．下面四个关系式中，正确的是 ( )A ．φ∈{0}B ．a ∉{a}C ．{a}∈{a,b}D ．a∈{a,b}5．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）不等式4216x <<的解集是有限集，正确的是 （ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上语句都不对 6．下列六个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ∈{φ} ④ 0∉φ ⑤φ≠{0} ⑥φ≠{φ}其中正确的个数 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．若方程20ax x a R +∈+2＝（a ）的解集中有且只有一个元素，则a 的取值集合是 （ ）A ．｛1｝B ．｛－1｝C ．｛0，1｝D ．｛－1，0，1｝8．A={面积为1的矩形}，B=｛面积为1的正三角形｝，则 （ ）A. A ，B 都是有限集B. A ，B 都是无限集C. A 是有限集，B 是无限集D. A 是无限集，B 是有限集9．若{}233,21,1a a a -∈--+，则实数a 的值为 （ ）Ａ．－1 Ｂ．0 Ｃ．－1或0 Ｄ．－1或0或－210．若方程260x x +－5＝和20x x －－2＝的解为元素的集合是M,则M 中元素的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如果方程2150x x +－p ＝的解集是M, 方程20x x q +－5＝的解集是N, 3∈M 且3∈N,那么q +p 等于 ( )A. 14B. 2C. 11D. 712．方程组211y x y x =+⎧⎨=+⎩解集为 （ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,0}D ．{（0,1）}13．用数对(,)a b 的集合表示方程10x y +=的一切正整数解为 ． 14．实数集{}23,,2x x x -中的元素x 应该满足的条件是 ．15．已知数集 A={a+2,(a+1)2,a 2+3a+3}, 且 1∈A , 求实数 a 的值.1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDDCBDDCCAD13．{}(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4),(5,5) ； 14. 103且且x x x ≠-≠≠.15.解： 若 a+d=aq 解之得q=1 a+2d=aq 2当q=1时，有a=aq=aq 2与元素的互异性矛盾。

1.1.1 集合及其表示方法最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一 集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧元素：通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示.2．元素与集合的关系关系 语言描述 记法 示例a 属于集合Aa 是集合 A 中的元素 a∈A若A 表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉Aa 不属于集合Aa 不是集合 A 中的元素a ∉A状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．集合中元素的特征特征 含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现 无序性 集合中的元素无先后顺序之分4.空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.5．几种常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.6．集合的分类集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．知识点三集合的表示1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a} (a，＋∞){x|x≤b} (－∞，b]{x|x<b} (－∞，b)状元随笔关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[基础自测]1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案：B3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0 B．1C ．－1D ．0或1或－1解析：由已知条件1∈{a，a ＋1，a 2}知有三种情况，若a ＝1，则a ＋1＝2，a 2＝1.则a ＝a 2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a ＋1＝1，即a ＝0，则a 2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0. 若a 2＝1，即a ＝±1，当a ＝－1时，符合题意．综上知a ＝－1. 答案：C4．用区间表示下列集合：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x<5＝________； (2){x|x<1或2<x≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12≤x<5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5.(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]题型一 集合的概念[经典例题] 例1 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生B ．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C ．全体很大的自然数D ．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A ，C 不能构成集合；B 中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D 满足集合的三要素，因此选D.【答案】 D构成集合的元素具有确定性． 方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．课时作业 1一、选择题1．已知集合A 中元素x 满足－5≤x≤5，且x∈N *，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈A D ．1∈A解析：x∈N *，且－5≤x≤5，所以x ＝1,2.所以1∈A. 答案：D2．将集合⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案：B3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0解析：集合A 含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a ＝2∈A,6－a ＝4∈A， 所以a ＝2，或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A，所以a ＝4， 综上所述，a ＝2或4.故选B. 答案：B4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B ．不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选项A 中应是xy ＜0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了[尖子生题库]10．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解析：(1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图像知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．1.1.2 集合的基本关系最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A 都能推出x∈B.知识点二真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．状元随笔在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点三集合相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.知识点四子集、真子集的性质根据子集、真子集的定义可知：(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.[基础自测]1．集合{0,1}的子集有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.答案：1题型一集合间关系的判断[经典例题]例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N 不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B (2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )A．M T B．M TC．M＝T D．MT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A (2)见解析学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆C.题型二子集、真子集及个数问题[教材P11例1]例2 写出集合A＝{6,7,8}的所有子集和真子集．【解析】如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3.可依下列步骤来完成此题：(1)写出元素个数为0的子集，即∅；(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；(3)写出元素个数为2的子集，即{6,7}，{6,8}，{7,8}；(4)写出元素个数为3的子集，即{6,7,8}．集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}．在上述子集中，除去集合A本身，即{6,7,8}，剩下的都是A的真子集．状元随笔写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身.教材反思1．求集合子集、真子集个数的三个步骤2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )A．－2 B．4C．0 D．以上答案都不是解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x 2＝a 只有一个解，必有a ＝0. 答案：(1)B (2)C状元随笔 (1)先用列举法表示集合A ，B ，然后根据A C B 确定集合C.(2)先确定关于x 的方程x 2＝a 解的个数，然后求a 的值． 题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]例3 已知集合A ＝{x|1<ax<2}，B ＝{x|－1<x<1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝0时，① A ＝∅，满足A ⊆B.(2)当a>0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x<2a . 又∵B＝{x|－1<x<1}，且A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1.②∴a≥2.(3) 当a<0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x<1a .③ ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1.∴a≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a|a ＝0，或a≥2，或a≤－2}．状元随笔 ①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a ，而a 的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a 分a ＝0，a>0，a<0进行讨论．②A ⊆B 用数轴表示如图所示：(a>0时)由图易知，1a 和2a 需在－1与1之间．当1a ＝－1，或2a＝1时，说明A 与B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<1，x 取不到1. ③a<0时，不等式两端除以a ，不等号的方向改变. 方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3 设集合A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系．(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时，由ax －1＝0得x ＝5.所以B＝{5}，所以B A.(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.状元随笔 (1)解方程x 2－8x ＋15＝0，求出A ，当a ＝15时，求出B ，由此能判定集合A 与B 的关系．(2)分以下两种情况讨论，求实数a 的取值集合． ①B＝∅，此时a ＝0； ②B≠∅，此时a≠0.易错点 忽略空集的特殊性致误例 设M ＝{x|x 2－2x －3＝0}，N ＝{x|ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的取值集合． 【错解】 由N ⊆M ，M ＝{x|x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝{－1}或{3}．当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13.【正解】 由N ⊆M ，M ＝{x|x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，即a ＝0. 当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13. 【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N ＝∅这种情况 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业 2一、选择题1．能正确表示集合M ＝{x|x∈R 且0≤x≤1}和集合N ＝{x∈R|x 2＝x}关系的Venn 图是( )解析：N ＝{x∈R|x 2＝x}＝{0,1}，M ＝{x|x∈R 且0≤x≤1}，∴N M. 答案：B2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0解析：由A ＝B 得x 2＝1，所以x ＝±1，故选C. 答案：C3．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个． 答案：B4．设A ＝{x|2<x<3}，B ＝{x|x<m}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是( ) A ．m>3 B ．m≥3C ．m<3D ．m≤3解析：因为A ＝{x|2<x<3}，B ＝{x|x<m}，A ⊆B ， 将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.答案：B 二、填空题5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a ＋2<x<a}；(5){x|x 2＋2x ＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m ，不是空集；在集合(4)中，不论a 取何值，a ＋2总是大于a ，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x 2＋2x ＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：(4)(5)6．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．解析：集合A 的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A 中的每个元素出现在A 的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：36 7．若集合A{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1,3}． 答案：5 三、解答题 8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.解析：∵{1,2}⊆A ，∴1∈A,2∈A. 又∵A {1,2,3,4}，∴集合A 中还可以有3,4中的一个， 即集合A 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．9．已知M ＝{2，a ，b}，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解析：方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.[尖子生题库]10．已知集合A ＝{x|－3≤x≤4}，B ＝{x|2m －1<x<m ＋1}，且B ⊆A.求实数m 的取值范围． 解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m－1， 解得m≥2. (2)当B≠∅时， 有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m－1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m<2. 综上得m≥－1.即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．1.1.3 集合的基本运算最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中，了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(4)能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．第1课时交集与并集知识点一交集自然语言一般地，给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A 和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言知识点二并集自然语言一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”)图形语言状元随笔 1.两个集合的并集、交集还是一个集合．2．对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．[基础自测]1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：本题主要考查集合的基本运算．∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A.答案：A2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．答案：B3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C. 答案：C4．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}题型一交集的运算[经典例题]例1 (1)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}【解析】(1)本题主要考查集合的运算．由题意得A∩B＝{3,5}，故选C.找出A、B的公共元素求A∩B.(2)本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.先求A，再求A∩B.【答案】(1)C (2)C方法归纳求交集的基本思路首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x>3}，则A∩B＝________.解析：(1)本题主要考查集合的运算．化简A＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}，故选A.先求A再求A∩B.(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．利用数轴求A∩B.答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}题型二并集的运算[教材P17例3]例2 已知区间A＝(－3,1)，B＝[－2,3]，求A∩B，A∪B.【解析】在数轴上表示出A和B，如图所示．由图可知A∩B＝[－2,1)，A∪B＝(－3,3]．状元随笔(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．(2)利用数轴求并集更直观.教材反思(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪训练 2 (1)已知集合A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________．(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}解析：(1)∵A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，∴B＝{3,7,9,15}，∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．∴集合A∪B中元素的个数为6.(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．答案：(1)6 (2)A状元随笔(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B，求元素个数．(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.题型三交集、并集性质的运用[经典例题]例3 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.状元随笔审结论 (明解题方向)审条件 (挖解题信息)求a 的值，需建立关于a 的方程 (1)集合A ，B ，C 是由相应方程的解构成的，先要解方程求B ，C.(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A 中的元素，建立关于a 的方程．建关系——找解题突破口∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A 中的元素→建立关于a 的方程→检验集合中元素的互异性. 方法归纳(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．(2)利用A∩B＝A ⇔A ⊆B ，A∪B＝A ⇔B ⊆A 可实现交、并运算与集合间关系的转化． 注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚． (2)关注Venn 图在解决复杂集合关系中的作用．跟踪训练3 已知集合A ＝{x|x<－1或x>4}，B ＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B ，求实数a 的取值范围．解析：①当B ＝∅时，只需2a>a ＋3，即a>3； ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 由A∩B＝B 得B ⊆A ，B 分2类，B ＝∅，B≠∅，再利用数轴求．课时作业 3一、选择题1．已知集合M ＝{x|－3<x<1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝( )A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：运用集合的运算求解．M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝( )A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－5≤x≤2}解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．答案：A3．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：本题主要考查集合的运算．由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.答案：C4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a>－1.答案：C二、填空题5．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．答案：{6}6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：37．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题8．设A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B. 解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}． A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．9．已知A ＝{x|a<x≤a＋8}，B ＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R ，求a 的取值范围． 解析：在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A∪B＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a<－1，解得－3≤a<－1.综上可知，a 的取值范围为－3≤a<－1. [尖子生题库]10．集合A ＝{x|－1≤x<3}，B ＝{x|2x －4≥x－2}． (1)求A∩B；(2)若集合C ＝{x|2x ＋a>0}，满足B∪C＝C ，求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵B＝{x|x≥2}， ∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>－a2， B∪C＝C ⇒B ⊆C ， ∴－a2<2，∴a>－4.即a 的取值范围为a>－4.第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．2．补集状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A ⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．[基础自测]1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁U P等于( )A．{x|x<－2或x≥3}B．{x|x<－2或x>3}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁U P＝{x|x<－2或x≥3}．答案：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析：∵∁U B＝{1,5,6}，∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．答案：B3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D4．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：先计算∁U A，再计算(∁U A)∩B.∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}题型一补集的运算[教材P18例5]例1 已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求∁R A，∁R B.【解析】在数轴上表示出A和B，如图所示．由图可知∁R A＝(－∞，－1]，∁R B＝(2，＋∞).教材反思求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．跟踪训练1 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}(2)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A.{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2}D ．{x|0<x<2}解析：(1)本小题考查集合的运算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，∴∁U A ＝{2,4,5}． 利用补集定义直接求．(2)本题主要考查集合的基本运算． 由B ＝{x|x≥1}，得∁R B ＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.利用数轴表示集合A 、B ，结合数轴求出结果． 答案：(1)C (2)B题型二 集合交、并、补的综合运算[经典例题]例2 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4≤x<2}，B ＝{x|－1<x≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52，求A∩B，(∁U B)∪P，(A∩B)∩(∁U P)．【解析】 (1)因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}， 所以A∩(∁U B)＝{2,5}． 先求∁U B ，再求A∩∁U B.(2)将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x|－4≤x<2}，B ＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁U B ＝{x|x≤－1或x>3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52， 所以(∁U B)∪P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52，所以(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1<x<2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52＝{x|0<x<2}． 根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．【答案】 (1)A (2)见解析 方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2 已知全集U ＝{x|x≤4}，集合A ＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|－3<x≤3}．求∁U A ，A∩B，∁U (A∩B)，(∁U A)∩B.解析：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如下：由图可知，∁U A ＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U (A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x ＝3}． 借助数轴求出∁U A ，∁U B 再运算． 题型三 补集思想的应用[经典例题]例3 已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m 的取值范围． 【解析】 先求A∩B＝∅时m 的取值范围． (1)当A ＝∅时，①方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)＜0，解得m ＞－1. (2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的根为非负实根．② 设方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根为x 1，x 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，③即⎩⎪⎨⎪⎧m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1，综上，当A∩B＝∅时， m 的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U ＝R ，④ 所以当A∩B≠∅时，m 的取值范围是∁R {m|m≥－3}＝{m|m<－3}． 所以，A∩B≠∅时， m 的取值范围是{m|m<－3}．状元随笔 ①A∩B＝∅，对于集合A 而言，分A ＝∅与A≠∅两种情况. A ＝∅表示方程无实根． ②B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x 1＋x 2≥0与x 1x 2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，而不是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>2，x 1x 2>1.④由于A∩B≠∅，故方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U ＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集也是{m|m<－3}，结果相同.方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法： ①否定已知条件，考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．跟踪训练3 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m|,6}，∁U A ＝{5}，求实数m. 解析：因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 但5∉A ， 所以m 2－m －1＝5，解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}，满足∁U A ＝{5}； 当m ＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上，可知m ＝3.根据补集的定义，得到关于m 的方程m 2－m －1＝5，解得m 的值后还需检验．课时作业 4一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．答案：D3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁U M)，又∵∁U M＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁U M)＝{x|1<x≤2}．答案：C4．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是( )A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D。