专题八初中数学数形结合思想

专题八：初中数学数形结合思想

九年级数学集备组组员：郑步群、张彩霞、方国财

知识梳理

通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．

典型例题

一、在数与式中的应用

【例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简2aab=_________．

【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．

二、在方程、不等式中的应用

【例3】已知关于x的不等式组020xax的整数解共有2个，则a的取值范围是 ．

【例4】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是( )

A．203210xyxy B．2103210xyxy

C．2103250xyxy D．20210xyxy

【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程ax2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ( )

A．k>3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定

三、在函数中的应用

【例6】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac<0 ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大。正确的说法有_________．(把正确的答案的序号都填在横线上)

【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．

【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，

就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点(2，－10)，最高点的纵点标为23．

(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x时，该运动员距水面高度与5米的关系．

四、在概率统计中的应用

【例8】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：

(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；

(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；

(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．

综合训练

1．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )

A．代入法 B．数形结合 C．换元法 D．分类讨论

2．如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )A．5℃ B．7℃ C．12℃ D．－12℃

3．某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是( )

4．若M112y，，N214y，，312y，三点都在函数kyx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ( )

A．y2>y3>y1 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1

5．关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．若不等式组302741xaxx的解集为x<0，则a的取值范围为 ( )

A．a>0 B．a=0 C．a>4 D．a=4

7．福娃们在一起探讨研究下面的题目：

函数y=x2－x+m(m为常数)的图象如图所示，如果x=a时，y<0；那么x=a－1时，函数值( )

A．y<0 B．0m D．y=m

下面是福娃们的讨论，请你解答该题．

贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0．

晶晶：我发现图象的对称轴为x=12

欢欢：我判断出x1

迎迎：我认为关键要判断a－1的符号．

妮妮：m可以取一个特殊的值．

8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°，OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是

和

9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是____

10．如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为___

___．

11．方程组211yxyx的解是______．

12．如图，为实数a、b在数轴上的位置，化简222abab．

13．(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，

不妨设点A在原点，如图1，ABOBbab；

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边ABOBOAbabaab；

②如图3，点A、B都在原点的左边，ABOBOAbabaab；

③如图4，点A、B在原点的两边，ABOBOAababab．

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是___ ___；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是__ ，如果2AB，那么x为__

③当代数式12xx取最小值时，相应的x的取值范围是_

14．某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据． 根据上述信息，回答下列问题：

(1)该厂第一季度__

月份的产量最高．

(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___ __％．

(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)

15．如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式224129xx的最小值．

16．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．