八个常见函数定义域

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●高考明方向

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一 常见基本初等函数的定义域

注意：

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！

2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)

(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} 2 (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意

义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

（补充）

三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为

{|,,}2xxRxkkZ

如果函数是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域

注意：

值域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为{y|y≥4ac－b24a}；

当a＜0时，值域为{y|y≤4ac－b24a}

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.

（补充）三角函数中

正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为1,1

正切函数y＝tanx值域为R 3 《名师一号》P15

求定义域类型

定义域（Domain）是一个函数中能够接受的输入值的集合。根据函数类型的不同，定义域可能会有不同的类型。

常见的定义域类型包括：

1. 实数集（Real Numbers）：包括所有的有理数和无理数，即可以表示为小数或无限不循环小数的数字。例如，函数y = x²的定义域是所有实数。

2. 整数集（Integer Numbers）：包括所有的整数，包括正整数、负整数和零。例如，函数y = 2x的定义域可以是所有整数。

3. 有理数集（Rational Numbers）：包括所有可以表示为两个整数的比率的数字，即可以写成两个整数的分数形式。例如，函数y = 1/x的定义域可以是所有非零有理数。

4. 自然数集（Natural Numbers）：包括所有的正整数，不包括零。例如，函数y = x²的定义域可以是所有自然数。

5. 正数集（Positive Numbers）：包括所有大于零的实数。例如，函数y = √(x-1)的定义域可以是所有大于1的实数。

6. 负数集（Negative Numbers）：包括所有小于零的实数。例如，函数y = √(-x)的定义域可以是所有小于等于零的实数。

7. 零集（Zero）：只包括零这一个元素。例如，函数y = 0的定义域只有一个元素，就是零。

除了以上常见的定义域类型，也可以存在其他特定的定义域类型，根据具体函数的性质进行定义。

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求函数的定义域 ①分式的分母不能为零。

②偶次方根的被开方数非负，零次幂的底数不能为零。

③对数函数的真数大于零。

④对数函数指数函数的底数大于零且不等于1。 1、 注意定义域用集合表示。

2、 求函数的定义域必须尊重原题（不能化简）。

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求函数的值域 ①直接法（简单函数） 1、必须先考虑定义域。

2、用判别式法时注意对一元二次方程的系数的讨论。 ②配方法（含有二次函数）

③换元 （y=ax+b+dcx）

④逆求法（知道某变量的范围）

⑤判别式法（y=)0(22adfexdxcbxax）

⑥导数法（连续函数）

⑦不等式法（一正二定三相等）

3 恒成立问题 f(x)>g(x)恒成立指f(x)的最小值比g(x)的最大值大。

f(x)〈g(x)恒成立指f(x)的最大值比g(x)的最小值小。

三角函数公式和重要结论

1、圆心角的弧度数：∣∣=rl 其中l代表弧长, r代表圆的半径.

2、弧度=180o, 1弧度=57.30o ， S扇形=lr213、与终边相同的角的公式：k•360o+ 其中kz

4、第一象限的角：2k<<2k+2 其中kz其他象限依此类推。

x轴上的角：= k y轴上的角：= k+2 其中kz

5、任意角的三角函数：点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，

则sin=ry cos=rx tan=xy cot=yx sec=xr csc=yr

6、同角的八式三关系： 倒数关系 tan•cot=1 sin• csc=1 cos• sec=1

商数关系 sin/ cos= tan cos/ sin= cot

平方关系 22sincos1 1+ tan2= sec2 1+ cot2= csc2

7、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。如：)23sin(cos，

有界函数举例10个

以下是十个有界函数的例子：

1.f(x)=x，定义域为实数集R。该函数在全体实数上有界，因为无论x取何值，f(x)的取值始终在[-∞,∞]区间内。

2. f(x) = sin(x)，定义域为实数集R。正弦函数的取值范围在[-1,

1]之间，因此该函数是有界的。

3.f(x)=1/x，定义域为{(x∈R)，x≠0}。这个函数在定义域内是有界的，因为当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于0，而不会取到无穷大。

4.f(x)=2^x，定义域为实数集R。指数函数的取值范围是(0,+∞)，因此该函数是有界的。

5.f(x)=，x，定义域为实数集R。绝对值函数的取值范围是[0,+∞)，因此该函数是有界的。

6.f(x)=e^x，定义域为实数集R。指数函数的取值范围是(0,+∞)，所以该函数是有界的。

7. f(x) = sin(1/x)，定义域为{(x∈R) ， x ≠ 0}。这个函数在0附近的取值范围是[-1, 1]，但在x趋近于0时，函数值会发散。因此，该函数在定义域内不是有界的。

8.f(x)=x^2，定义域为实数集R。二次函数的取值范围是[0,+∞)，因此该函数是有界的。

9.f(x)=1，定义域为实数集R。该函数在全体实数上恒为1，因此是有界的。 10. f(x) = cos(x)，定义域为实数集R。余弦函数的取值范围在[-1,

1]之间，因此该函数是有界的。

这些函数的例子展示了各种类型的有界函数，从简单的线性函数和常函数到三角函数和指数函数等。