函数定义域的类型

函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

s=（50-x）

故函数关系式为：s=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量

的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：s=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥ 故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又∵f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

∴函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

函数定义域的写法通常包括以下几种情况：

1. 整式形式：如果函数表达式是整式，那么定义域为全体实数。例如，对于函数y=x^2+2x+1，其定义域为全体实数。

2. 分式形式：如果函数表达式是分式，那么定义域为使得分式有意义的x的取值范围。例如，对于函数y=1/x，其定义域为除去0以外的所有实数。

3. 根式形式：如果函数表达式中含有根式，那么定义域为使得根式有意义的x的取值范围。例如，对于函数y=√x，其定义域为非负实数。

4. 复合函数形式：如果函数表达式是两个或多个函数的复合，那么定义域为各个函数定义域的交集。例如，对于函数y=log(x+1)，其定义域为除去负数以外的所有实数。

此外，在特殊情况下，函数的定义域还可能受到其他条件的限制。例如，在三角函数中，函数的定义域通常受到角度范围的限制；在反三角函数中，函数的定义域通常受到角度范围的限制等等。

归纳来说，函数的定义域需要根据具体的函数表达式和问题背景来确定。在确定函数的定义域时，需要注意各种情况下的限制条件，以确保函数的正确性和完整性。

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1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

求定义域类型

定义域（Domain）是一个函数中能够接受的输入值的集合。根据函数类型的不同，定义域可能会有不同的类型。

常见的定义域类型包括：

1. 实数集（Real Numbers）：包括所有的有理数和无理数，即可以表示为小数或无限不循环小数的数字。例如，函数y = x²的定义域是所有实数。

2. 整数集（Integer Numbers）：包括所有的整数，包括正整数、负整数和零。例如，函数y = 2x的定义域可以是所有整数。

3. 有理数集（Rational Numbers）：包括所有可以表示为两个整数的比率的数字，即可以写成两个整数的分数形式。例如，函数y = 1/x的定义域可以是所有非零有理数。

4. 自然数集（Natural Numbers）：包括所有的正整数，不包括零。例如，函数y = x²的定义域可以是所有自然数。

5. 正数集（Positive Numbers）：包括所有大于零的实数。例如，函数y = √(x-1)的定义域可以是所有大于1的实数。

6. 负数集（Negative Numbers）：包括所有小于零的实数。例如，函数y = √(-x)的定义域可以是所有小于等于零的实数。

7. 零集（Zero）：只包括零这一个元素。例如，函数y = 0的定义域只有一个元素，就是零。

除了以上常见的定义域类型，也可以存在其他特定的定义域类型，根据具体函数的性质进行定义。