当前位置：文档之家 › 函数定义域

函数定义域

  • 格式：doc
  • 大小：497.61 KB
  • 文档页数：7

高中数学基础知识与训练

第 1 页 共 1 页 函数的定义域

一、基础知识：

1、函数的定义域：

（1）概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围；

（2）解析式法表示函数，其定义域的主要类型：

① 解析式含分式，其分母不能为0； ②解析式含根式，其偶次方根的被开方数为非负；

③函数含指数式，零为底时，指数不能为0或负数； ④ 函数含对数式，其底数必须大于0且不等式1，真数必须为正数；⑤实际问题中的函数定义域要根据自变量的实际意义确定。

二、基本问题类型

函数定义域问题：

1、列表法表示的函数定义域

2、解析法表示的函数定义域

3、图像法表示的函数定义域

4、抽象函数的定义域

5、含参数问题

三、典型题例

例1、求下列函数的定义域：

12(1)log(32)yx； （2）01(1)2xyx

解析：（1）由0230)23(log21xx13232123xxx

所以函数的定义域为]1,32(

（2）110101xxxx且所以函数的定义域为}11|{xxx且

例2、已知函数)1(xfy的定义域是[-2，3]，则f(t)定义域是 . )12(xf定义域是 .

解析：函数)1(xfy定义域是[-2，3]，即32x，411x，

故f(t)定义域是[-1，4]

从而：4121x，250x，

所以)12(xf定义域是]25,0[. 高中数学基础知识与训练

第 2 页 共 2 页 例3、已知函数2lg(2)yxxm的定义域为R，则实数m的取值范围为____________；

解析：由函数2lg(2)yxxm的定义域为R，可化为：02,2mxRxx恒成立，

从而：1,044mm，实数m的取值范围为),1(

例4、已知函数2()(0,)fxxbxcbcR，是否存在函数()fx，满足()fx的定义域和值域都是1,0？若存在，求出()fx的表达式；若不存在，请说明理由。

解析：二次函数2()(0,)fxxbxcbcR的图象开口向上，

对称轴为：2bx，（02b）

抛物线与y轴交点为（0，c）；

若函数()fx的定义域和值域都是1,0，则

当212bb，即时，

有0)0(1)1(ff0,2011cbccb，

所以xxfx2)(2

当2012bb，即时，

有0)1(0)0(1)2(ffbf（1）或0)0(0)1(1)2(ffbf（2）

（1）无解，由（2）可解得:1,0cb,所以1)(2xxf

综上：存在函数()fx，函数xxfx2)(2或1)(2xxf

高中数学基础知识与训练

第 3 页 共 3 页 四、基础训练

1、已知函数y=f(x)，其因变量y与自变量x之间的函数关系如下：

则函数y=f(x)的定义域为 ；值域为 ；若f(x)=1，则x= ；

2、已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的定义域为： ；值域为： ；

不等式0

3、函数1yxx的定义域为

4、函数xxy1的定义域为

5、函数xxy1的定义域为

6、函数()1xfxx的定义域为

7、函数1()11fxxx的定义域是_________________

8、函数2211yxx的定义域为_______；

9、已知函数234()xxfxx的定义域是________________

10、函数f(x)=1lgxx的定义域是

x -2 -1 0 1

2

y 0 1 0 1 0

图

F

O 1.8 y=f(x)

-2 2 2 高中数学基础知识与训练

第 4 页 共 4 页 11、函数2164log(43)xyx的定义域为_______；

12、函数f(x)=xxx229)2lg(的定义域是 ；

*13、（2015湖北高考）函数)(xf=365lg||42xxxx的定义域是（ ）；

A.（2，3） B.（2，4] C.（2，3）（3，4] D.（-1，3）（3，6]

含参数问题

14、若函数2yx的定义域为,ab，值域为[0，4]，则ba的最大值为_______

15、若函数2yxa的定义域为R，则a的取值范围_______；

*16、若函数222(1)(1)1yaxaxa的定义域为R，求实数a的取值范围。

*17、已知223()43xfxkxkx，

（1）若()fx得定义域为R，求实数k的取值范围；

（2）若()fx的定义域为(6,2)，求实数k的值。

抽象函数定义域问题

18、若函数f(x)的定义域是[0，3]，则)32(xf定义域是 . )1(2xf定义域是 .

19、若函数)1(2xf的定义域是[0，3]，则f(x)定义域是 . )32(xf定义域是 .

20、若函数)1(xf的定义域是[0，3]，则 )12(xf定义域是 .

21、若函数)(xfy的定义域是[0,2],则函数(2)()1fxgxx的定义域是

22、若函数)(xf的定义域是[-1，1]，则)210(),()(aaxfaxf的定义域是 .

高中数学基础知识与训练

第 5 页 共 5 页 五、基础训练解析部分

1、解：函数y=f(x)的定义域为｛-2，-1，0，1，2｝；值域为｛0，1｝；若f(x)=1，则x=-1或1

2、解：由图象可知：函数y=f(x)的定义域为：[-2，2]；值域为：[0,2]；

不等式0

3、解：10001xxx，定义域为[0，1]

4、解：10001xxx，定义域为：（0，1]

5、解：0101xxxx或，定义域为：),1[)0,(

6、解：0010xxx，定义域为：),0[

7、解：1,10101xxxx，定义域为：]1,1()1,(

8、解：11010101222xxxxx或，定义域为：｛-1，1｝

9、解：01400432xxxxx且，定义域为：]1,0()0,4[

10、解：1001xxxx或，定义域为：),0()1,(

11、解：2340340164xxx，定义域为：]2,34(

12、解：32,03090222xxxxx或，定义域为：)3,2()0,3(

13、解：43,3203650||42xxxxxx或，定义域为：]4,3()3,2(，故选C

14、解：由题设可知：

当0a时，2,0ba

当0b时，0,2ba

当ba0时，2,2ba或

所以42ab则ba的最大值为4 高中数学基础知识与训练

第 6 页 共 6 页 15、解：由题设可知：02ax，对任意Rx恒成立，从而0a，则a的取值范围为),0[

16、解：由函数222(1)(1)1yaxaxa的定义域为R，

则012)1()1(,22axaRxxa恒成立，

当1012aa时，上述条件成立

当012a时，则91012)1(401222)1(aaaaa

综上：实数a的取值范围为：[1，9]

17、解：（1）由()fx得定义域为R，则034,2kxkRxx，

所以0k或0340)4(2kkk

所以430k

（2）因为()fx的定义域为(6,2)，

所以，不等式0342kxkx（0k）的解集为(6,2)，

从而034262kxxxkx是方程或的两实数根，可求得k=41

18、解:∵)(xf的定义域为[0，3]，∴函数)32(xf应满足：3320x，∴323x，

即)32(xf定义域是[23，3]；

函数)1(2xf应满足：3102x，∴12212||1xxx或，

即)1(2xf定义域是[-2，-1][1，2]；

19、解:∵)1(2xf的定义域为[0，3]，∴30x，∴8112x，令12xt，

则)(tf定义域是[-1，8]，即)(xf定义域是[-1，8]；

函数)32(xf应满足：21118321xx；

即)32(xf定义域是]211,1[；

高中数学基础知识与训练

第 7 页 共 7 页 20、解：∵)1(xf的定义域为[0，3]，∴30x，∴211x，

令1xt，则)(tf定义域是[-1，2]，

从而：函数)12(xf应满足：2112121xx；

即)12(xf定义域是]21,1[；

21、解:∵02x∴02210xx∴01x.

22、解析:∵)(xf的定义域为[01]，

∴函数()()fxafxa应满足：

1111axaxaxaaxa1111

而102aaaaaa1111,021，故axa11

则)210(),()(aaxfaxf的定义域是]1,1[aa

合集下载

函数定义域应用

函数定义域应用

函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

s=（50-x）

故函数关系式为：s=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量

的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：s=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥ 故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又∵f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

∴函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

函数定义域、值域经典讲义

函数定义域、值域经典讲义

中学1对1课外辅导专家

成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

高中数学函数定义域的求法

高中数学函数定义域的求法

高中数学函数定义域的求法

求函数定义域的方法有以下几种：

1. 根据函数的解析式确定：

- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得有理式的分母不为零的实数值。

- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得无理式的被开方数不小于零的实数值。

- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。

2. 根据函数的图象确定：

- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就是曲线所覆盖的所有实数值。

- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就是这些点的横坐标所组成的集合。

3. 根据问题的实际意义确定：

- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。

需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。

函数的定义域和常见求解方法

函数的定义域和常见求解方法

函数的定义域和常见求解方法

一、函数的定义域

在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。

当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。

二、常见的求解方法

1.方程求解法

方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。常见的方程求解法包括代数法和计算法。代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。

举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。通过解这个方程，可以得到$x \neq

3$，即函数的定义域为整个实数集合除去3

2.不等式求解法

不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。 对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。

对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。

3.图像法

图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。

例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。由于$x^2-4 \geq 0$，所以需要解方程$x^2-4 \geq 0$，即求$x^2 \geq 4$的解集。通过分析可以得到函数的定义域为$x \geq -2$或$x \leq 2$。