常见函数的自然定义域

高中常见的四种函数的定义域求法

定义域的范围是指使得函数有意义的x的范围，如果一个函数是由若干个基本函数构成，只需要把每个基本函数有意义的时候x范围求解出来，最终求这几个基本函数的x的范围的交集即可，高中常见的四种函数的定义域求法一一讲解下。

一、母版题

（1）求 xy的定义域范围.

解题思路：平方根具有双重非负性，所以定义域范围x≥0.

（2）求 x1y的定义域范围.

解题思路：分母等于0时，式子无意义，故分母不等于0，所以定义域范围x≠0.

（3）求 0xy）（的定义域范围.

解题思路：00无意义，所以定义域范围x≠0.

（4）求 log xay的定义域范围.

解题思路：对数函数真数必须大于0，所以定义域范围x＞0.

以上四种是最常见的定义域求解题目，主要可以归纳为四句话：

1. 平方根具有双重非负性.

2. 分数分母不等于0.

3. 0的0次方无意义.

4. 对数函数真数务必大于0.

二、子版题（母版题＋形式变化）

主要是整体化原则的应用，xy、x1y、0xy）（、log xay这四个基本函数里的x是一个整体，可以为任意函数，只需要这个整体满足：平方根具有双重非负性，分数分母不

等于0，0的0次方无意义.对数函数真数务必大于0.

1. 二次根式型函数xy求定义域

（1）求 x-1y的定义域范围.

解题思路：只需要把1-x当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要1-x≥0（按照一元一次不等式思路求x范围）.求出x范围即为定义域范围。

（2）求 23y2xx的定义域范围.

解题思路：只需要把232xx当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要232xx≥0（按照一元二次不等式的解题思路，求x范围）.求出x范围即为定义域范围。

2. 反比例型函数分数型函数x1y求定义域

（1）求 1-x1y的定义域范围.

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●高考明方向

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一 常见基本初等函数的定义域

注意：

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！

2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)

(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} 2 (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意

义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

（补充）

三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为

{|,,}2xxRxkkZ

如果函数是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域

注意：

值域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为{y|y≥4ac－b24a}；

当a＜0时，值域为{y|y≤4ac－b24a}

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.

（补充）三角函数中

正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为1,1

正切函数y＝tanx值域为R 3 《名师一号》P15

1 函数的定义域、值域方法总结

一．常见函数（基本初等函数）：

1．)(为常数CCy 2．)0(kbkxy

3．)0(2acbxaxy 4．xy1

5．幂函数：)(Qaxya（包括前四个函数）

6．指数函数：)10(aaayx且

7．对数函数：)10(logaaxya且

8．三角函数：xysin，xycos，xytan，xycot，xysec，xycsc

由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：dcxbxaxy23，xxy2log1sin，xxy513，试着分析以上函数的构成。

二．定义域：

“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

函数的三要素： 对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

函数定义域的求法

tan...(,,)2yxxRxkk且

cotyx ,,xRxkk且

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？

1．3)5)(3(1xxxy 52xy 解：不是同一函数，定义域不同

2. 111xxy )1)(1(2xxy 解：不是同一函数，定义域不同 2 3. xxf)( 2)(xxg 解：不是同一函数，值域不同

4．xxf)( 33)(xxF 解：是同一函数

5．21)52()(xxf 52)(2xxf 解：不是同一函数，定义域、值域都不同

练习

求下列函数的定义域

①)2lg(2xxy

函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．

(3)一次函数、二次函数的定义域为R．

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为{}y|y≥4ac－b24a；当a＜0时，值域为{}y|y≤4ac－b24a．

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

2．求函数值域的六种基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，

(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．

(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．

[做一做]

1．下列表格中的x与y能构成函数的是( )

2下面各组函数中为相同函数的是( )

A．f(x)＝（x－1）2，g(x)＝x－1

B．f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1·x－1

C．f(x)＝x与g(x)＝1

D．f(x)＝x0与g(x)＝1x0

3．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )

4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则g(x)的解析式为( )

A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x

C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x

5．函数y＝|x|x－1的定义域为( )

A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x＝0}

C．{x|x≥0} D．{x|x＝0} 6．若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．